机械制图之平面投影
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机械制图——第一章投影法和点、线、平面的投影
表示重影点时，看不见点的投影，其代号用圆括号括起来,例 如上面所述的C点的正投影看不见，可表示为a’(c’)。
两个空间的点，发生重影的条件： 两对坐标值相等，一对坐标值不相等.
Xa = Xc Za = Zc Ya > Yc
a'(c') Yc
Za/Zc C A
c" a"
c Ya
a Xa/Xc
a'(c') Za/Zc
（三）两点的相对位置
如图1－8所示，两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向 所反映的坐标差，即这两个点对应投影面W、V、H的距离差， 能反映两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置和其中 一点的投影，也能作出另一点的投影。
两点的相对位置
A(XA,YA,ZA) 和 B(XB,YB,ZB) 两点的相对位置： 如：b’→ a’ : a’(△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb )
投影法分为两类： 中心投影法 平行投影法（称平行光源）
二、中心投影法
如图所示，点 S（投射中心）射 出过A点射线，在 投影面 P形成 a点的投影图案， 该方法称为：
中心投影法。
三、平行投影法
如图所示，投射线（由平行光源）平行投射，在投影面P形 成的投影图案，称为平行投影法。
平行投影法又可分为：
正投影法：投影线（平行光源）垂至于投影面的投影法
例：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
先作正面投影
k c●
b
⒊ 两直线交叉
b′
c′
a′ X
a
V
d′
c′
O
a′
AC
d
a
两个空间的点，发生重影的条件： 两对坐标值相等，一对坐标值不相等.
Xa = Xc Za = Zc Ya > Yc
a'(c') Yc
Za/Zc C A
c" a"
c Ya
a Xa/Xc
a'(c') Za/Zc
（三）两点的相对位置
如图1－8所示，两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向 所反映的坐标差，即这两个点对应投影面W、V、H的距离差， 能反映两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置和其中 一点的投影，也能作出另一点的投影。
两点的相对位置
A(XA,YA,ZA) 和 B(XB,YB,ZB) 两点的相对位置： 如：b’→ a’ : a’(△X=Xa-Xb ，△Z =Za-Zb )
投影法分为两类： 中心投影法 平行投影法（称平行光源）
二、中心投影法
如图所示，点 S（投射中心）射 出过A点射线，在 投影面 P形成 a点的投影图案， 该方法称为：
中心投影法。
三、平行投影法
如图所示，投射线（由平行光源）平行投射，在投影面P形 成的投影图案，称为平行投影法。
平行投影法又可分为：
正投影法：投影线（平行光源）垂至于投影面的投影法
例：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
先作正面投影
k c●
b
⒊ 两直线交叉
b′
c′
a′ X
a
V
d′
c′
O
a′
AC
d
a
机械制图课件-4平面的投影
四、平面上的直线和点
点和直线在平面上的几何条件是： （1）点在平面上，则该点必定在这个平面的一条直线上。 （2）直线在平面上，则该直线经过这个平面上的两个点；或者
通过这个平面上的一个点，且平行于这个平面上的另一直线。
如图所示，相交两直线AB、AC确定一平面P，点K取自 直线AB，所以点K必在平面P上。
（2）水平面
平行于H面，对V，W面垂直。
水平面的投影特性： 1、在平面所平行的H投影面上的投影反映平面图形的实形。 2、另外V、W面两投影都积聚成直线；并平行于相应的投影轴。
（3）侧平面
平行于W面，对H，V面垂直。
侧平面的投影特性： 1、在平面所平行的W投影面上的投影反映平面图形的实形。 2、另外H、V面两投影都积聚成直线；并平行于相应的投影轴。
垂直于V面，与H、W面倾斜。
投影特性： 1、平面在所垂直的投影面V面上的投影积聚为一斜直线，该投影与 投影轴的夹角分别反映平面与H、W面的真实倾角α、γ； 2、平面的H、W面投影均为类似形。
⑵铅垂面 垂直于H面，与V、W面倾斜
投影特性： 1、平面在所垂直的投影面H面上的投影积聚为一斜直线，该投影 与投影轴的夹角分别反映平面与H、W的真实倾角β、γ。 2、平面的V、W面投影均为类似形。
a ●
b● X
k●
d ● c
●
O
b●
c
k●
●●
a●
d
例4 已知三棱锥SAB面上一点K的V投影k′，试求 其H投影k
过k′作s′m′；求出sm(直线SM称辅助线，用细实线绘制)； 在sm上求出k 。 或者过k′作k′m′∥s′a′；由m′求出m； 过m作直线平行于sa；在该直线上求出k。
例5 补全平面图形PQRST的两面投影
机械制图-点、直线、平面的投影
特殊位置点的应用
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
机械制图 第四章平面的投影
(3)相交两直线；
(4)平行两直线；
(5)任意平面图形。
不 在 同 一 直 线 上 的 三 点
b’
a’ ’
c’ x c a b b’ a’ ’
平 行 两 直 线
一 直 线 和 直 线 外 的 一 个 点
b’
b’
a’ ’
c’ x a b b’ a’ ’ c
相 交 两 直 线
a’ ’
c’ x a b c
面，再将投影面垂直面变为投影面平行面。
例 求△ABC的实形。
分 析 1.先将△ABC变换 为H1面的垂直面; 2.再将△ABC变换 为V2面的平行面。
bH1
bV1
b’
d’
aH1 d H1 dV1 cH1 aV1 cV1
反映△ABC的实形
c’
a’
XV H
c
d
图 4-23
a b
1’
2’
分析: 如ⅠⅡ在P面内 则ⅠⅡ与AB, AC或者 相交; 或者与其中一 条相交而与另一条平
X
a’
3’
b’ a 1 3
c’ 4’
行。
2
b
c
4
图 4-12
直线ⅠⅡ 不在 P面内。
三、平面内的投影面平行线
b’
投影特性
1.符合投影面平行线的 投影特性;
X a a’
e’ d’
c’
2.满足直线在平面内的
第四章 平面的投影
§4-1 平面的表示法
§4-2 各种位置平面的投影
§4-3 平面内的线和点 §4-4 平面图形的实形
（编制 李小平）
§4-1 平面的表示法
一、几何元素表示法
二、迹线表示法
一、几何元素表示法
(4)平行两直线；
(5)任意平面图形。
不 在 同 一 直 线 上 的 三 点
b’
a’ ’
c’ x c a b b’ a’ ’
平 行 两 直 线
一 直 线 和 直 线 外 的 一 个 点
b’
b’
a’ ’
c’ x a b b’ a’ ’ c
相 交 两 直 线
a’ ’
c’ x a b c
面，再将投影面垂直面变为投影面平行面。
例 求△ABC的实形。
分 析 1.先将△ABC变换 为H1面的垂直面; 2.再将△ABC变换 为V2面的平行面。
bH1
bV1
b’
d’
aH1 d H1 dV1 cH1 aV1 cV1
反映△ABC的实形
c’
a’
XV H
c
d
图 4-23
a b
1’
2’
分析: 如ⅠⅡ在P面内 则ⅠⅡ与AB, AC或者 相交; 或者与其中一 条相交而与另一条平
X
a’
3’
b’ a 1 3
c’ 4’
行。
2
b
c
4
图 4-12
直线ⅠⅡ 不在 P面内。
三、平面内的投影面平行线
b’
投影特性
1.符合投影面平行线的 投影特性;
X a a’
e’ d’
c’
2.满足直线在平面内的
第四章 平面的投影
§4-1 平面的表示法
§4-2 各种位置平面的投影
§4-3 平面内的线和点 §4-4 平面图形的实形
（编制 李小平）
§4-1 平面的表示法
一、几何元素表示法
二、迹线表示法
一、几何元素表示法
机械制图平面的投影及相对位置
机械制图平面的投影及相对位置1. 引言机械制图是一种重要的工程设计辅助工具，用于显示和传达机械产品的形状、尺寸和组成部分。
在机械制图中，平面的投影和相对位置是至关重要的概念。
通过正确理解和运用这些概念，设计师可以准确地表达其设计意图，并确保实际制造的产品与设计一致。
本文将介绍机械制图平面的投影原理和相对位置的概念，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
2. 机械制图平面的投影在机械制图中，平面的投影是指将三维物体的形状在二维平面上进行表示的过程。
常见的机械制图平面投影有正投影和斜投影两种。
2.1 正投影正投影是将物体的各个点沿着垂直于平面的投影线，投影到平面上的过程。
在正投影中，平行于投影平面的线段在投影后仍然保持平行。
正投影可分为正射投影和斜投影两种类型。
•正射投影：在正射投影中，投影线垂直于投影平面。
常见的正射投影有正视图和俯视图。
•斜投影：在斜投影中，投影线与投影平面的夹角不为90度，即不垂直于投影平面。
斜投影可以提供更多的信息，如物体的形状和轮廓。
2.2 斜投影斜投影是一种将三维物体投影到二维平面上的方法，投影线不垂直于投影平面。
斜投影的优点是可以显示物体的真实形状和比例关系，但缺点是不容易确定物体的尺寸。
在斜投影中，常用的投影方法有等角度斜投影和等距离斜投影两种。
•等角度斜投影：在等角度斜投影中，投影线与平行于投影平面的线段夹角相等。
•等距离斜投影：在等距离斜投影中，投影线与平行于投影平面的线段之间的距离相等。
3. 机械制图平面的相对位置在机械制图中，平面的相对位置是指不同平面之间的位置关系。
常见的相对位置关系有平行、垂直和倾斜三种。
3.1 平行平行是指两个平面之间的投影线相互平行。
平行的平面在制图中通常使用相同的符号表示。
3.2 垂直垂直是指两个平面之间的投影线相互垂直。
垂直的平面在制图中通常使用符号。
机械制图第四节平面的投影课件
铅垂面
正垂面
侧垂面
2 投影面垂直面
投影特性
α
γ
β
α
2 另外两个投影均为类似形.
3、一般位置平面
1三个投影均为类似形，不反映实形。 2不反映该平面对投影面的倾角。
2．平面表示法－－迹线表示法
平面与投影面的交线称为平面的Leabharlann 线OXPV
PH
P
R
水平面
正平面
用迹线表示特殊平面
PH
PV
α
γ
铅垂面
侧平面
实形
平行于OX轴
平行于OY轴
正平面
1 投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
实形
平行于OX轴
平行于OZ轴
侧平面
1 投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
实形
平行于OY轴
平行于OZ轴
1投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
另外两个投影积聚成直线且平行于相应的投影轴.
在所平行的投影面上的投影反映实形；
投影特性
特殊面内取点、取线
只要点或线的投影落在面有积聚性的投影上，则点或线就在面内
利用面的积聚性
例：补全平面多边形的正面投影（cd∥ef）
c'
1
g'
注意利用CD与EF的平行关系
问题实质：在平面DEF内求两点C、G
3、过已知点、线作平面
一般面有无数个
投影面垂直面要限定角度
投影面平行面只有一个
例：在平面内ABC内找一点K，使它距H面25mm，距V面20mm
不共线的三点
线和线外一点
相交两直线
平行两直线
正垂面
侧垂面
2 投影面垂直面
投影特性
α
γ
β
α
2 另外两个投影均为类似形.
3、一般位置平面
1三个投影均为类似形，不反映实形。 2不反映该平面对投影面的倾角。
2．平面表示法－－迹线表示法
平面与投影面的交线称为平面的Leabharlann 线OXPV
PH
P
R
水平面
正平面
用迹线表示特殊平面
PH
PV
α
γ
铅垂面
侧平面
实形
平行于OX轴
平行于OY轴
正平面
1 投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
实形
平行于OX轴
平行于OZ轴
侧平面
1 投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
实形
平行于OY轴
平行于OZ轴
1投影面平行面
水平面
正平面
侧平面
另外两个投影积聚成直线且平行于相应的投影轴.
在所平行的投影面上的投影反映实形；
投影特性
特殊面内取点、取线
只要点或线的投影落在面有积聚性的投影上，则点或线就在面内
利用面的积聚性
例：补全平面多边形的正面投影（cd∥ef）
c'
1
g'
注意利用CD与EF的平行关系
问题实质：在平面DEF内求两点C、G
3、过已知点、线作平面
一般面有无数个
投影面垂直面要限定角度
投影面平行面只有一个
例：在平面内ABC内找一点K，使它距H面25mm，距V面20mm
不共线的三点
线和线外一点
相交两直线
平行两直线
机械制图(第四版)第2章 点、直线、平面的投影PPT课件
主视图、俯视图——长对正。
主视图、左视图——高平齐。
俯视图、左视图——宽相等。
上述关系统称为“三等关系”。 不论是整体还是局部，物体的
三视图都应符合三等关系，
图2-13 三视图度量的对应关系
在三等关系中，应注意理解俯视图和左视图“宽相等”的对应关系。
资讯
4. 视图间的方位对应关系 物体有上、下、前、后、左、右六个方位。 主视图反映了物体的上、下和左、右方位， 俯视图反映了左、右和前、后方位， 左视图则反映了上、下和前、后方位。
图2-14 补画左视图
图2-15 立体的空间形状与投影分析
(b) 三视图
图2-12 展开后的三投影面及物体的三视图
资讯
3.视图间的度量对应关系 根据三视图的形成可以分析出： 主视图反映物体长方向(OX)和高方向(OZ)的尺寸。 俯视图反映物体长方向(OX)和宽方向(OY)的尺寸。 左视图反映物体高方向(OZ)和宽方向(OY)的尺寸。
视图之间的度量关系为：
图2-9 三投影面体系
资讯
2.三视图的形成
如图2-10所示，将物体放在三投影面体系中用正投影方法将其向 各投影面投射，即可得到物体的三面视图。
画图时，需将相互垂直的三个投影面展平在同一平面上，规定：V 面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向后旋转 90°，如图2-11所示。
图2-10 三视图的形成
资讯
1. 三投影面体系
⑵ 三个投影轴
投影面之间的交线称为投影轴。
X投影轴：V与H面的交线，物体X轴方向的尺寸称为物体的长方向。 Y投影轴： H与W面的交线， 物体Y轴方向的尺寸称为物体的宽方向。 Z投影轴： V 与W面的交线，物体Z轴方向的尺寸称为物体的高方向。
机械制图之平面投影
于一个投 影面，垂直于另外两个投影面。 水平面 平行于H面并垂直于V、 W面的平面； 正平面 平行于V面并垂直于H 、 W面的平面； 侧平面 平行于W面并垂直于H、 V面的平面。
水平面的H面投影反映实形，V、W面投影积聚成垂直于Z轴的直线。
正平面的V面投影反映实形，H、W面投影积聚成垂直于Y轴的直线。
机械制图之平面投影
平面的表示法
平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面——平行于一个投影 面，垂直于另外两个投影面的平面； 投影面垂直面——垂直于一个投影 面，与另外两个投影面倾斜的平面； 一般位置平面——与三个投影面都 倾斜的平面。 投影面平行面与投影面垂直面统称 为特殊位置平面。 平面对H、V、W面的倾角（指该平 面与投影面的两面角）分别用α、β、 γ来表示。
侧平面的W面投影反映实形，V、H面投影积聚成垂直于X轴的直线。
2．投影面垂直面
投影面垂直面——垂直于一个投 影面，倾斜于另外两个投影面。 正垂面 垂直于V面并倾斜于H、 W面的平面； 铅垂面 垂直于H面并倾斜于V、 W面的平面； 侧垂面 垂直于W面并倾斜于H、 V面的平面。
正垂面V面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OZ轴的夹角分别是平 面与H、W面的倾角α、γ。正垂面的H、W面投影是平面的类似形。
一般位置面在V、H、W面的投影均为平面的类似形。
指出图示物体上有几个水平面，几个正平面，几个侧平面，几个正 垂面和几个侧垂面？
4．点在平面上的投影作图
（1）点在特殊位置平面上
（2）点在一般位置平面上
携手共进，齐创精品工程
Thank You
世界触手可及
铅垂面H面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OYH轴的夹角分别是 平面与V、W面的倾角β、γ。铅垂面的V、W面投影是平面的类似形。
水平面的H面投影反映实形，V、W面投影积聚成垂直于Z轴的直线。
正平面的V面投影反映实形，H、W面投影积聚成垂直于Y轴的直线。
机械制图之平面投影
平面的表示法
平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面——平行于一个投影 面，垂直于另外两个投影面的平面； 投影面垂直面——垂直于一个投影 面，与另外两个投影面倾斜的平面； 一般位置平面——与三个投影面都 倾斜的平面。 投影面平行面与投影面垂直面统称 为特殊位置平面。 平面对H、V、W面的倾角（指该平 面与投影面的两面角）分别用α、β、 γ来表示。
侧平面的W面投影反映实形，V、H面投影积聚成垂直于X轴的直线。
2．投影面垂直面
投影面垂直面——垂直于一个投 影面，倾斜于另外两个投影面。 正垂面 垂直于V面并倾斜于H、 W面的平面； 铅垂面 垂直于H面并倾斜于V、 W面的平面； 侧垂面 垂直于W面并倾斜于H、 V面的平面。
正垂面V面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OZ轴的夹角分别是平 面与H、W面的倾角α、γ。正垂面的H、W面投影是平面的类似形。
一般位置面在V、H、W面的投影均为平面的类似形。
指出图示物体上有几个水平面，几个正平面，几个侧平面，几个正 垂面和几个侧垂面？
4．点在平面上的投影作图
（1）点在特殊位置平面上
（2）点在一般位置平面上
携手共进，齐创精品工程
Thank You
世界触手可及
铅垂面H面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OYH轴的夹角分别是 平面与V、W面的倾角β、γ。铅垂面的V、W面投影是平面的类似形。
机械制图 点、直线和平面的投影
正投影特点是绘图过程简单，视图能够反 映实形，视角直观，且度量起来比较方便。单 一个投影图只能反映出平行于投影面的两个坐 标方向的形体的大小和形状，不能反映出整体 形状。
（2）斜投影。当平行投影线与投影面不 垂直时，所作的投影称为斜投影，如图2-4b） 所示。轴测图中有所采用。
图2-5 物体的正投影图
学习目标
1．能够认识投影的分类； 2．能够认识投影基本原理； 3．能够掌握点的基本投影规律； 4．能够掌握直线的基本投影规律； 5．能够掌握平面的基本投影规律； 6．能够绘制点、直线和平面的投影图形。
建议课时
8课时。
模块二 点、直线和平面的投影
一、投影的概念
（一）投影的概念 当物体被光照射时，物体的阴影就形成在地面或墙上，阴影的位置 和形状也会随着光照的角度以及光源与物体之间的距离而改变。通过对 光线、形体、影子三者之间关系的研究，经过科学的归纳总结，形成了 投影原理和投影图绘制方法。
三、点的投影
（一）点的投影基础 以空间三面投影体系中的投影轴OX、 OY、OZ 为坐标轴，以O 为坐标原点，建立 空间直角坐标系。X 轴、Y 轴、Z 轴为坐标 轴，空间点到3个投影面的距离就等于它的 坐标。空间点和投影点的位置都可用其直角 坐标值来确定。一般标注书写形式为： （X，Y，Z），分别代表X、Y、Z 坐标 值，是该点至相应坐标面的距离数值。也是 点到各相应投影面的距离。如图2-19所示。 如空间A 点：
图2-13 正投影的积聚性
模块二 点、直线和平面的投影
3）类似性 当空间中的某一条直线或者空间平面图形既不平行也不垂直于投影 面，即当空间直线或者空间平面图形倾斜于投影面时，空间直线的投影 仍为一条直线，但其投影的长度小于空间直线段的实际长度，如图214a）所示；空间平面图形的投影仍为平面图形，但其投影小于空间平 面图形的实形且与实形类似，如图2-14b）所示。正投影的这种性质称 为类似性。
（2）斜投影。当平行投影线与投影面不 垂直时，所作的投影称为斜投影，如图2-4b） 所示。轴测图中有所采用。
图2-5 物体的正投影图
学习目标
1．能够认识投影的分类； 2．能够认识投影基本原理； 3．能够掌握点的基本投影规律； 4．能够掌握直线的基本投影规律； 5．能够掌握平面的基本投影规律； 6．能够绘制点、直线和平面的投影图形。
建议课时
8课时。
模块二 点、直线和平面的投影
一、投影的概念
（一）投影的概念 当物体被光照射时，物体的阴影就形成在地面或墙上，阴影的位置 和形状也会随着光照的角度以及光源与物体之间的距离而改变。通过对 光线、形体、影子三者之间关系的研究，经过科学的归纳总结，形成了 投影原理和投影图绘制方法。
三、点的投影
（一）点的投影基础 以空间三面投影体系中的投影轴OX、 OY、OZ 为坐标轴，以O 为坐标原点，建立 空间直角坐标系。X 轴、Y 轴、Z 轴为坐标 轴，空间点到3个投影面的距离就等于它的 坐标。空间点和投影点的位置都可用其直角 坐标值来确定。一般标注书写形式为： （X，Y，Z），分别代表X、Y、Z 坐标 值，是该点至相应坐标面的距离数值。也是 点到各相应投影面的距离。如图2-19所示。 如空间A 点：
图2-13 正投影的积聚性
模块二 点、直线和平面的投影
3）类似性 当空间中的某一条直线或者空间平面图形既不平行也不垂直于投影 面，即当空间直线或者空间平面图形倾斜于投影面时，空间直线的投影 仍为一条直线，但其投影的长度小于空间直线段的实际长度，如图214a）所示；空间平面图形的投影仍为平面图形，但其投影小于空间平 面图形的实形且与实形类似，如图2-14b）所示。正投影的这种性质称 为类似性。
机械制图-点直线平面的投影
投
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α、γ倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β、γ倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α、β倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
§2-4 平面的投影
一、平面投影的表示法
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
这几种确定平面的方法是可以相互转化的
路漫漫其悠远
二、一般位置平面及投影特性
一般位置平面:平面与三个投影面都倾斜
YW
投影特性:投影均为类似形。
路漫漫其悠远
三、特殊位置平面及投影特性
1.投影面垂直面 垂直于一个投影面，与另外两个投影
路漫漫其悠远
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ
3.ef=e′f′=EF
△
三、一般位置直线求实长及倾角
△
实长
α β α
△ α
实长
直角三角形法的作图要领: • 以线段某一投影的长度为一直角边；
• 以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一 直角边（坐标差在另一投影面上量取）；
路漫漫其悠远
五、两直线的相对位置
1.一般情况
两直线平行： 其同面投影彼此平行。且投影线段成比例，投 影顺序相同。
路漫漫其悠远
机械制图-平面的投影
3. 平面在三投影面体系中的投影特性
（1） 一般位置平面投影特性
b' a'
B
b"
A b a
(a) 直观图
a" C c" c
(b) 投影图
投影特性 abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形。
（2） 投影面垂直面的投影特性
γ α β γ
β
α
物体上垂直面的投影分析
投影面垂直面的投影特性： 在平面所垂直的投影面上，其投影积聚成一倾斜直线；其余两个投影 均为缩小的类似形。
（3） 投影面平行面的投影特性
物体上平行面的投影分析
投影面平行面的投影特性： 在平面所平行的投影面上，其投影反映实形；其余两个投影积聚成直线且分 别平行于相应的投影轴。
2. 平面的投影特性
空间平面相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种。
E F M
d a b
c
d(a) e m f c(b)
d
c b
a
（1）真实性 当平面与投影面平行时，平面的投影为实形。
（2）积聚性 当平面与投影面垂直时，平面的投影积聚成一条直线。 （3）收缩性 当直线或平面与投影面倾斜时，平面的投影是小于平面实形的类似形。
三、平面的投影
• 1. 平面的三面投影 • 2. 平面的投影特性 • 3. 平面在三投影面体系中的投影特性
三、平面的投影
1. 平面的三面投影
平面图形具有一定的形状、大小和位置，常见的有三角
形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面形。另外，还有一些
由直线或曲线围成的平面形。平面投影的实质，就是求平面
形然后将各点的同面投影依次连线。
机械制图平面的投影及相对位置课件
03
投影规律
在正投影中，物体的前面与正面投影面相交，得到前视图；物体的上面
与水平投影面相交，得到俯视图；物体的左面与左侧投影面相交，得到
左视图。
机件的视图表达
机件视图的选择
根据机件的结构特点和工作位置，选择合适的视图表达方式，如 主视图、俯视图、左视图等。
剖视图的应用
对于内部结构较为复杂的机件，剖视图是一种有效的表达方式，通 过剖切平面将内部结构展示出来。
机械制图平面的投影及相对位置课件
目录 Contents
• 平面投影的基本概念 • 平面间的相对位置 • 平面上的点和线 • 平面投影的实际应用 • 总结与复习
01
平面投影的基本概念
平面的表示方法
几何元素表示法
包含两平行直线表示法
通过三个非共线的几何元素（点、直 线、平面）来确定一个平面的位置。
03
平面上的点和线
点在平面上的投影
点的投影
点在平面上的投影是指该点在平面上的垂直投影，可以通过确定点的坐标和投影 角度来计算。
点的投影特性
点的投影具有真实性、类似性和积聚性的特性，这些特性决定了投影的形状和大 小。
线在平面上的投影
线的投影
线在平面上的投影是指该线在平面上的垂直投影，可以通过 确定线的起点和终点以及投影角度来计算。
3
材料和技术要求
在零件图中，需要注明零件的材料、热处理要求 、表面处理等，以便于加工制造和质量控制。
05
总结与复习
重点回顾
平面投影的基本原
理
掌握平面在三投影面体系中的投 影特性，包括投影面积、投影形 状和投影位置。
特殊位置平面的判
定
能够根据平面的投影特性判断其 属于哪个位置的平面（正垂面、 侧垂面、一般位置平面）。
机械制图 第二章 点、直线、平面的投影
点的投影规律表明：点的两个投影反映 了点的三个坐标，确定了点的空间位置， 因此已知点的任意两个投影，总可以求出 其第三投影，且唯一。
南京师范大学 xws
10
【例1】已知A点的两个投影a和a′，求a″。 】
分析： 由于已知点A的正面投影 和水平投影a， 的正面投影a′和水平投影 分析： 由于已知点 的正面投影 和水平投影 ，则点的空间 位置可确定，也即点A的三个坐标 的三个坐标x、 、 都已知 都已知， 位置可确定，也即点 的三个坐标 、y、z都已知，根据点 的投影规律， 的投影规律，a′a″⊥OZ，a ax = a″az，作出其侧面投影 ⊥ ， ， a″。 。
Z a' b' αγ X O B b a YH
正平线AB的三面投影 图 2-14正平线 的三面投影 正平线
南京师范大学 xws 23
a" b" Yw A
2）投影面垂直线 在三投影面体系中，垂直于一个投影面 与其它两个投影面都平行的直线称为投影 面垂直线。 垂直于 V 面的直线称为正垂线；垂直于H 面的直线称为铅垂线；垂直于 W 面的直线 称为侧垂线。
Z x a' y O z X a Y a X x A a" a' z ax y O y x z A ax z x ay Y a ay YH (c) (a) (b)
x y
Z az y
z y
a' a" X O
Z az
a' ' Yw ay
45°
图2-4点的三投影面体系 点的三投影面体系
南京师范大学 xws 7
a' b' X a' '
z
b' ' Yw
南京师范大学 xws
10
【例1】已知A点的两个投影a和a′，求a″。 】
分析： 由于已知点A的正面投影 和水平投影a， 的正面投影a′和水平投影 分析： 由于已知点 的正面投影 和水平投影 ，则点的空间 位置可确定，也即点A的三个坐标 的三个坐标x、 、 都已知 都已知， 位置可确定，也即点 的三个坐标 、y、z都已知，根据点 的投影规律， 的投影规律，a′a″⊥OZ，a ax = a″az，作出其侧面投影 ⊥ ， ， a″。 。
Z a' b' αγ X O B b a YH
正平线AB的三面投影 图 2-14正平线 的三面投影 正平线
南京师范大学 xws 23
a" b" Yw A
2）投影面垂直线 在三投影面体系中，垂直于一个投影面 与其它两个投影面都平行的直线称为投影 面垂直线。 垂直于 V 面的直线称为正垂线；垂直于H 面的直线称为铅垂线；垂直于 W 面的直线 称为侧垂线。
Z x a' y O z X a Y a X x A a" a' z ax y O y x z A ax z x ay Y a ay YH (c) (a) (b)
x y
Z az y
z y
a' a" X O
Z az
a' ' Yw ay
45°
图2-4点的三投影面体系 点的三投影面体系
南京师范大学 xws 7
a' b' X a' '
z
b' ' Yw
5机械制图平面的投影
的两相交直线，则这两平
面相互平行。
a
c d
c d
b
b d
② 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积聚
a c
e
性的那组投影必相互平行。
d
b
ac
e
e f
f e
f h
h f
35
例题1 试判断两平面是否平行
a
f
s
b
n
r
e
m c
c m
d
n a d
e s
r
f
b
结论：两平面平行
平面对于三投影面的位置可分为三类：
垂直于某一投影面，倾 斜于另两个投影面
平行于某一投影面，垂 直于另两个投影面
投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
5
1） 投影面垂直面
铅垂面
正垂面
侧垂面
6
铅垂面
V P B
c a
b
W
c a
a
a
a bC
b
c
投影特性： H c
c
1、 abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性
2 、 侧平面投影abc 反映 ABC实形
14
积聚性
积聚性
a b c a c b
a
实形性
c
b
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
水平面
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行 的直线。
15
3） 一般位置平面
c
1、 abc、 abc积聚为一条线积聚为一条线，具有积聚性
画法几何及机械制图课件第三章点直线平面的投影
1.一般位置平面
一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个 投影面都倾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一般位 置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有类似形。
2.投影面垂直面
只垂直于一个投影面的平面，称为投影面垂直面
根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种： 1)铅垂面——垂直于H面； 2)正垂面——垂直于V面； 3)侧垂面——垂直于W面。
在右图中，虽然ab∩cｄ ＝k，a′b′∩c′ｄ′＝k′， 且k′k⊥OX，但因AB是侧平线， 察看侧面投影，a″b″和c″ ｄ″虽然相交，但该交点与 k′的连线与Z轴不垂直，故此 两直线不相交。
若只凭V、H两投影来判断，则需看简单比(abk)与 (a′b′k′)是否相等，若相等则相交，不相等则不相交。
3.交叉两直线
若两直线既不平行又不相交，则它们是交叉直线
同面投影可能相交，但交点不符合空间一个点的投影规律。 交点是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两 直线的空间位置。
两种特殊情况
1.当两直线有两个投 影均互相平行，且又 同时平行于第三个投 影面时，一般应观察 该两直线所平行的那 个投影面上的投影来 判断两直线是否平行。
（1）X坐标大，在左面, XA<XB,,A在右，B在左；
（2）Y坐标大，在前面， YA>YB,,A在前，B在后；
（3）Z坐标大，在上面， ZA<ZB,,A在上，B在下。
2. 重影点和可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在 该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点
点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面的投影重 合，称为对H面的重影点。而点C、D则称为对V面的重影点。
二、平面对投影面的相对位置及其投影特性
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2．投影面垂直面
投影面垂直面——垂直于一个投 影面，倾斜于另外两个投影面。 正垂面 垂直于V面并倾斜于H、 W面的平面； 铅垂面 垂直于H面并倾斜于V、 W面的平面； 侧垂面 垂直于W面并倾斜于H、 V面的平面。
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一般位置面在V、H、W面的投影均为平面的类似形。
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水平面的H面投影反映实形，V、W面投影积聚成垂直于Z轴的直线。
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3．一般位置平面
与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面
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1．投影面平行面
投影面平行面——平行于一个投 影面，垂直于另外两个投影面。 水平面 平行于H面并垂直于V、 W面的平面； 正平面 平行于V面并垂直于H 、 W面的平面； 侧平面 平行于W面并垂直于H、 V面的平面。
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正垂面V面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OZ轴的夹角分别是平 面与H、W面的倾角α、γ。正垂面的H、W面投影是平面的类似形。
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平面的表示法
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平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面——平行于一个投影 面，垂直于另外两个投影面的平面； 投影面垂直面——垂直于一个投影 面，与另外两个投影面倾斜的平面； 一般位置平面——与三个投影面都 倾斜的平面。 投影面平行面与投影面垂直面统称 为特殊位置平面。 平面对H、V、W面的倾角（指该平 面与投影面的两面角）分别用α、β、 γ来表示。
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（2）点在一般位置平面上
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铅垂面H面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OYH轴的夹角分别是 平面与V、W面的倾角β、γ。铅垂面的V、W面投影是平面的类似形。
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第二章 第三节
三、平面的投影
※ 概述 1．投影面平行面 2．投影面垂直面 3．一般位置平面 4．点在平面上的投影作图
开始
说明
退出
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指出图示物体上有几个水平面，几个正平面，几个侧平面，几个正 垂面和几个侧垂面？
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4．点在平面上的投影作图
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正平面的V面投影反映实形，H、W面投影积聚成垂直于Y轴的直线。
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侧平面的W面投影反映实形，V、H面投影积聚成垂直于X轴的直线。
（1）点在特殊位置平面上
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侧垂面W面投影积聚成一直线，该直线与OYW轴和OZ轴的夹角分别是 平面与H、V面的倾角α、β。侧垂面的V、H面投影是平面的类似形。
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2．投影面垂直面
投影面垂直面——垂直于一个投 影面，倾斜于另外两个投影面。 正垂面 垂直于V面并倾斜于H、 W面的平面； 铅垂面 垂直于H面并倾斜于V、 W面的平面； 侧垂面 垂直于W面并倾斜于H、 V面的平面。
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一般位置面在V、H、W面的投影均为平面的类似形。
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水平面的H面投影反映实形，V、W面投影积聚成垂直于Z轴的直线。
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3．一般位置平面
与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面
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1．投影面平行面
投影面平行面——平行于一个投 影面，垂直于另外两个投影面。 水平面 平行于H面并垂直于V、 W面的平面； 正平面 平行于V面并垂直于H 、 W面的平面； 侧平面 平行于W面并垂直于H、 V面的平面。
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正垂面V面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OZ轴的夹角分别是平 面与H、W面的倾角α、γ。正垂面的H、W面投影是平面的类似形。
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平面的表示法
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平面对投影面的相对位置有三种： 投影面平行面——平行于一个投影 面，垂直于另外两个投影面的平面； 投影面垂直面——垂直于一个投影 面，与另外两个投影面倾斜的平面； 一般位置平面——与三个投影面都 倾斜的平面。 投影面平行面与投影面垂直面统称 为特殊位置平面。 平面对H、V、W面的倾角（指该平 面与投影面的两面角）分别用α、β、 γ来表示。
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（2）点在一般位置平面上
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铅垂面H面投影积聚成一直线，该直线与OX轴和OYH轴的夹角分别是 平面与V、W面的倾角β、γ。铅垂面的V、W面投影是平面的类似形。
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第二章 第三节
三、平面的投影
※ 概述 1．投影面平行面 2．投影面垂直面 3．一般位置平面 4．点在平面上的投影作图
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指出图示物体上有几个水平面，几个正平面，几个侧平面，几个正 垂面和几个侧垂面？
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4．点在平面上的投影作图
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正平面的V面投影反映实形，H、W面投影积聚成垂直于Y轴的直线。
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侧平面的W面投影反映实形，V、H面投影积聚成垂直于X轴的直线。
（1）点在特殊位置平面上
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侧垂面W面投影积聚成一直线，该直线与OYW轴和OZ轴的夹角分别是 平面与H、V面的倾角α、β。侧垂面的V、H面投影是平面的类似形。