高等代数 习题

习题五 欧氏空间

1. 已知ABCD 的对角线为,,AC BD AB BC CD DA αβ==求、、、。

2. 设,,A B C 是任意三点，求AB BC CA ++。

3. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试应用向量证明它是平行四边形。

4. 用几何作图证明

()()()()()121112()222αβαβα

αβαβαβ++-=⎛

⎫+-+=- ⎪

⎝⎭

5. 已知(3,5,4),(6,1,2),(0,3,4),234αβγαβγ==-=-++求。

6. 已知点A （3，5，7）和点B （0，3，-4），求向量AB 并求A 关于B 的对称点C 的坐标。

7. 设向量α的长度是5，α与轴u 的夹角是30，求α在轴u 上的投影。

8. 已知()()||||αβαβ+=-，试证(1)()()100αβαββγγα=⨯+⨯+⨯=；2的充要条件是αβγ、、共面。

9. 设αβγ、、是三个向量， k 、l 是两个实数，试证

()()()()

12k l αβαβγαββαγα⨯+与正交

-与正交

10. 已知αβγ、、为单位向量，且满足0αβγ=++，计算αββγγα++。 11. 已知(1,2,3),(2,1,0),(6,2,6)αβγ=-==-。

()()()[]()12343

42,,x y x y αβγ

αβαγαγαβαβγαβγβγ+⨯=+-=+是否与平行？求，，

，；求，；设，求。

12. 已知()()(),,,,,,,,x y z x y z x y z ααααββββγγαα===，试利用行列式的性质证明())()αβγβγαγαβ==(

13. 已知空间三点A （1，0，-1），B （1，-2，0），C （1，1，1）。 （1） 求以OA 、OB 为邻边的平行四边形的面积； （2） 求以O 、A 、B 、C 为顶点的四面体的体积。 14. 判断αβγ、、是否共面

()()()1(4,0,2),(6,9,8),(6,3,3)2(1,2,3),(3,3,1),(1,7,5)

3(1,1,2),(2,4,5),

(3,9,8)

αβ

γαβγαβγ==-=-=-

==-=-

== 15. 90,30,ABC B ∆∠∠=中,A= AD 是BC 边上的高，求点D 对坐标系

{};,A AB AC 的坐标。

16. 在四面体OABC 中，M 是ABC 的重心，E 、F 分别是AB 、AC 的中心，求向量EF ME MF 、、在坐标系{};,,O OA OB OC 下的坐标。 17. 如0αβγ=++，证明αββγγα==。

18. 如,αβγδαγβδ⨯⨯⨯=⨯=，证明αδβγ--与共线。

19. 已知向量,2,22i j k i j k αβγ==-=-+，求单位向量δ，使δγ⊥，且

αβδ、、共面。

20. 已知,i j j k αβ=+=+，且αβγ、、的长度相等，两两夹角也相等，试求γ

。

21. 已知()()()]()αβγαββγγα⨯+⨯-=2，求[。 22. 求下列各平面的参数方程及一般方程：

a) 经过点A （1，2，3）且平行于向量v 1 =(1,-2,1), v 2 =(0,1,2); b) 经过点A （1，1，2）、B =(3,-2,0)、 C =(10,5,-5)三点;

c) 经过点A （1，2，-1）z 轴;

d) 经过点A （4，0，-2）、B =(5,1,7)，且平行于z 轴 。

23. 已知两个平面x-2y+3z+D=0, -2x+4y+Cz+5=0 问C 、D 为何值时，两平面平行？何时重合？

24. 求下列直线的参数方程及标准方程： a) 平行于 (3,1,2)α=且经过点P （1，0，-2）； b) 平行于x 轴且经过点P （-2，-3，1）； c) 经过A （1，0，-1）、B （1，1，3）两点； d) 经过点A （2，3，-5）且与直线21

134

x y z -+==-平行。 25. 把直线方程化为标准方程 ()()30

320

122310

4310

x y z x y x y z y z +++=-+=⎧⎧⎨

⎨

+-+=++=⎩⎩ 26. 判断直线与平面的位置关系，若有交点就求出交点坐标

()

()()531

125110223312210

2531314

32410823

x y z x y z x y z

x y z x y z x y z -+-==+--=--+==--+=----==+-+=和和2和 27. 如直线3260

40x y z x y z D -+-=⎧⎨+-+=⎩

与z 轴相交，求D 值。

28. 证明下面两条直线

12721:

322

:12,23,54x y z L L x t y t z t ---==

-=+=--=+共面，并求它们所在平面的方程。 29. 求平面的法向量和点法式方程

（1） 3x-2y+5z-1=0

( 2 ) x-y=0 ( 3 ) 4x-3z+2=0

30. 求点M （4，-3，1）在平面x+2y-z-3=0上的投影。

31. 讨论下列各直线的位置关系，若这两条直线共面，求该平面方程。

()()()103130

1230280104320

2230250

384222033x z x y z x y y z x y z x y z x y z x y x t

x y z y t x y z z t +-=+--=⎧⎧⎨

⎨

-+=+-=⎩⎩++-=+++=⎧⎧⎨

⎨

-++=-+=⎩⎩=⎧+-=⎧⎪=--⎨⎨

-+=⎩⎪=--⎩

和和和 32. 已知三

个平

面的

方

程

分别为

123

:3

8,

:22

6,:32

x y z x y z x y z πλ

ππμ++=+

+

=++= 问λμ、取何值时：（1）三平面交于一点；（2）三平面无公共交点；（3）三平面相交于一条直线，并求此直线方程。

33. 已知二直线12212233:1124x t

x y z L y t L z t

=⎧-+-⎪

=-+==⎨⎪=⎩

： 问L 1与L 2是否共面：是否相交,若相交，求其交点。

34. 已知平面12:2210,:23660x y z x y z ππ-++=+--=求12ππ与之间的夹

角。

35. 设二直线12

24112:2232x t

x y z L y mt L n z t

=--⎧-+⎪

=+==⎨-⎪=+⎩

： ()()()2222(1)n ;

n ,n n ,n 4,1m L m L m m L m m n L ⊥=-=-1111求、，使L 2求、，使L 并问这样的、是否惟一；3求、，使L 与共面并问这样的、是否惟一；4当时，求L 与的夹角。