数值计算方法-插值法
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第二章
§ 1引言 问题的提出
插值法
– 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即 在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) – 或者给出函数表
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
…… xn …… yn
y=p(x)
y=f(x)
原理： P( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
P( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l n ( x) y n
l k ( x)( k 0,1,, n)
P( x)
l
k 0
n
k
( x) y k
（2.8）
是次数不超过n次的多项式 , 称形如（2.8）式的插 值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为
Ln (x)
li (x)
xi
l k ( x0 ) 0,, l k ( xk 1 ) 0, l k ( xk ) 1, l k ( xk 1 ) 0,, l k ( xn ) 0
即
1 (i k ) l k ( xi ) ki 0 (i k )
由条件
l k ( xi )( 0 )知,i k
2 n xn xn
( xi x j )
i 1 j 0
n
i 1
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj
（当i≠j），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆
（Gramer）法则，方程组的解 存在惟一，从而P(x)被惟一确定。
a0 , a1 , , a n
插值多项式的误差
差商及其性质
f[xi,xj,xk]是指 f[xi , xj , xk]=
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] 例如：f [ x0 , x1 , x2 ] x 2 x0
一般的,可定义区间[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶差商为
f[xj , xk]- f[xi , xj ] x k- x i
由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数
1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ), , ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 )
的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多项式, 写成如下形式
这是一个关于待定参数 的n+1阶线性方 惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式, a0 , a1 , , a n 只要满足插值条件(2.1)其结果都是相互恒等的。 程组,其系数矩阵行列式为
1 x0 V 1 x1 1 xn
2 n x0 x0
x12 x1n
a<<b 且依赖于x
其中 证明 ( 略 )
( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ( x xi ), a, b
i 0
n
若 max | f ( n 1) ( x) | M n1 , 则
a x b
M n1 |Rn ( x) | |n 1 (x)|, (n 1)!
Ak
n
1
1 xj)
Ak
Ak ( xk x j ) 1
j 0 j k
n
于是
(x
j 0 j k
k
代入上式,得
(x x
l k ( x)
j 0 jk n
n
j
)
j 0 jk n
x xj xk x j
(x
j 0 jk
k
xj)
称
l k (x)
3.1差商及其性质
自变量之差和因变量之差之比叫差商
定义 率
函数y= f(x)在区间[xi ,xi+1]上的平均变化
f ( xi 1 ) f ( xi ) f [ xi , xi 1 ] xi 1 xi
称为f(x)关于xi , xi+1 的一阶差商,并记为f[xi ,xi+1] 二阶差商
a n x0 n a n 1 x0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
拉格朗日插值多项式
两个插值点可求出一次插值多项式,而三 个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1 个时,也就是通过n+1个不同的已知点 ,来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。与推导抛物插值的基函数类似,先构造一 ( xi , y )(i 0,1,, n) 个特殊n次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足i
的零点,故可设 l k (x )
x0 , x1 ,, xk 1 , xk 1 ,, xn
都是n次
l k ( x) Ak ( x x0 )( x x1 )( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn )
其中 为待定常数。由条件 A
k
lk ( x ,可求得 k )
引入记号
n 1 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
(2.10)
则得 n 1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
于是
n1 ( x ) Ln ( x ) yk ( x xk ) n 1 ( xk ) k 0
在插值区间a, b上用插值多项式p(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外， 在其它点上一般是存在误差的。
y=f(x)
y=p(x)
a x0 x1
b xixi+1 xn-1 xn
若记 R (x) = f(x) - p(x) 则 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称 插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。
n
(2.11)
§3 均差与牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式结构对称，使用方
便。但由于是用基函数构成的插值，这样要
增加一个节点时，所有的基函数必须全部重
新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪
费。这就启发我们去构造一种具有承袭性的
插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每
增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。 这就是牛顿插值多项式。
f [ xi 1 , xi 2 ,..., xi n ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n 1 ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n ] xi n xi
差商表
xi x0 x1 f[xi] f(x0) f(x1) f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2]
a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数,这种形式的插值多项式称为Newton插值多项
式。我们把它记为Nn(x)即
N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
5
8 27
125
80 4 20
27 8 19 32 125 27 49 53 216 125 91 65
19 4 5 30
49 19 10 52
91 49 14 63
10 5 1 50
14 10 1 62
6
216
差商及其性质 在n+1个节点处各阶差商的计算方法
为关于基点
的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
xi
以n+1个n次基本插值多项式 为基础,就能直接写出满足插值条件 的n次代数插值多项式。
l k ( x)( k 0,1,, n)
P ( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
事实上，由于每个插值基函数 都是n次值多项式,所以他们的线性组合
2
3
x
n
y
n
差商及其性质 性质1 函数 f(x) 的 n 阶差商 f [x0, x1 , …, xn ] 可 由 函数值 f (x0), f (x1 ), … , f (xn ) 的线性组 n 合表示, n 且 ( xk ) f
f [ x0 , x1 , xn ]
k 0 n
( xFra Baidu bibliotek )
f[x1,x2]- f[x0,x1]
f[x0,x1]
x2 – x0
x2
x3 …
f(x2)
f(x3) …
f[x1,x2]
f[x2,x3 ]
f[x0,x1,x2]
f[x1,x2,x3] … f[x0,x1,x2 ,x3]
例2.11 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各 阶差商值 解: 计算得如下表 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2 f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2] ] 0 0 2 3
定理2 设f(x)在a, b有n+1阶导数， x0, x1,…, xn 为 a, b上n+1个互异的节点, p(x)为满足 p(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的n 次插值多项式，那么对于任何x a, b有
插值余项
f ( n 1) ( ) R( x) f ( x) p ( x) ( x) (n 1)!
如果f ( x)的函数值称为零阶差商 , 则计算如下表 : x f(x)
0
x x x x
1
2
3
y y y y
0
1
f x 0 , x 1 f x1 , x 2 f x 2 , x 3 f x n-1 , x n f x 0 , x1 , x 2 f x1 , x 2 , x 3 f x n- 2, x n-1 , x n f x 0, x1 x n
f [ xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] xi 2 xi
m阶差商
f [ x1 , x 2 , x m ] f [ x0 , x1 , x m1 ] f [ x0 , x1 , x m ] x m x0
（3.12）
它满足
N n ( x) N n1 ( x) an ( x x0 )( 其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数，形如（3.12）的x x1 ) ( x x n 1 ) 插值多项式称为牛顿(Newton)插值多项式。
可见，牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式, 与 Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的 缺点, 且可以节省乘除法运算次数, 同时在Newton插值多项式中用到差分与差商 等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.
满足
P ( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意 义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
y1 x0 x1
yn xn x
定理1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的 证明: 设n次多项式
P( x) a n x a n1 x
其中 ( x k ) ( x k xi )
n
的问题就归结为求它的系数
n 1
a1 x a0
是函数 y 在区间[a, b]上的n+1个互异的节点 (i=0,1,2,…,n )上的插值 f (x) xi 多项式,则求插值多项式P(x)
(i=0,1,2,…,n )。
ai
由插值条件:
p( xi ) (i=0,1,2,…,n),可得 f ( xi )
§ 1引言 问题的提出
插值法
– 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即 在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) – 或者给出函数表
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
…… xn …… yn
y=p(x)
y=f(x)
原理： P( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
P( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l n ( x) y n
l k ( x)( k 0,1,, n)
P( x)
l
k 0
n
k
( x) y k
（2.8）
是次数不超过n次的多项式 , 称形如（2.8）式的插 值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为
Ln (x)
li (x)
xi
l k ( x0 ) 0,, l k ( xk 1 ) 0, l k ( xk ) 1, l k ( xk 1 ) 0,, l k ( xn ) 0
即
1 (i k ) l k ( xi ) ki 0 (i k )
由条件
l k ( xi )( 0 )知,i k
2 n xn xn
( xi x j )
i 1 j 0
n
i 1
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj
（当i≠j），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆
（Gramer）法则，方程组的解 存在惟一，从而P(x)被惟一确定。
a0 , a1 , , a n
插值多项式的误差
差商及其性质
f[xi,xj,xk]是指 f[xi , xj , xk]=
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] 例如：f [ x0 , x1 , x2 ] x 2 x0
一般的,可定义区间[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶差商为
f[xj , xk]- f[xi , xj ] x k- x i
由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数
1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ), , ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 )
的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多项式, 写成如下形式
这是一个关于待定参数 的n+1阶线性方 惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式, a0 , a1 , , a n 只要满足插值条件(2.1)其结果都是相互恒等的。 程组,其系数矩阵行列式为
1 x0 V 1 x1 1 xn
2 n x0 x0
x12 x1n
a<<b 且依赖于x
其中 证明 ( 略 )
( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ( x xi ), a, b
i 0
n
若 max | f ( n 1) ( x) | M n1 , 则
a x b
M n1 |Rn ( x) | |n 1 (x)|, (n 1)!
Ak
n
1
1 xj)
Ak
Ak ( xk x j ) 1
j 0 j k
n
于是
(x
j 0 j k
k
代入上式,得
(x x
l k ( x)
j 0 jk n
n
j
)
j 0 jk n
x xj xk x j
(x
j 0 jk
k
xj)
称
l k (x)
3.1差商及其性质
自变量之差和因变量之差之比叫差商
定义 率
函数y= f(x)在区间[xi ,xi+1]上的平均变化
f ( xi 1 ) f ( xi ) f [ xi , xi 1 ] xi 1 xi
称为f(x)关于xi , xi+1 的一阶差商,并记为f[xi ,xi+1] 二阶差商
a n x0 n a n 1 x0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
拉格朗日插值多项式
两个插值点可求出一次插值多项式,而三 个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1 个时,也就是通过n+1个不同的已知点 ,来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。与推导抛物插值的基函数类似,先构造一 ( xi , y )(i 0,1,, n) 个特殊n次多项式 的插值问题,使其在各节点 上满足i
的零点,故可设 l k (x )
x0 , x1 ,, xk 1 , xk 1 ,, xn
都是n次
l k ( x) Ak ( x x0 )( x x1 )( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn )
其中 为待定常数。由条件 A
k
lk ( x ,可求得 k )
引入记号
n 1 ( x ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
(2.10)
则得 n 1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
于是
n1 ( x ) Ln ( x ) yk ( x xk ) n 1 ( xk ) k 0
在插值区间a, b上用插值多项式p(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外， 在其它点上一般是存在误差的。
y=f(x)
y=p(x)
a x0 x1
b xixi+1 xn-1 xn
若记 R (x) = f(x) - p(x) 则 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称 插值余项我们可根据后面的定理来估计它的大小。
n
(2.11)
§3 均差与牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式结构对称，使用方
便。但由于是用基函数构成的插值，这样要
增加一个节点时，所有的基函数必须全部重
新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪
费。这就启发我们去构造一种具有承袭性的
插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每
增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。 这就是牛顿插值多项式。
f [ xi 1 , xi 2 ,..., xi n ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n 1 ] f [ xi , xi 1 ,..., xi n ] xi n xi
差商表
xi x0 x1 f[xi] f(x0) f(x1) f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2]
a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数,这种形式的插值多项式称为Newton插值多项
式。我们把它记为Nn(x)即
N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
5
8 27
125
80 4 20
27 8 19 32 125 27 49 53 216 125 91 65
19 4 5 30
49 19 10 52
91 49 14 63
10 5 1 50
14 10 1 62
6
216
差商及其性质 在n+1个节点处各阶差商的计算方法
为关于基点
的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
xi
以n+1个n次基本插值多项式 为基础,就能直接写出满足插值条件 的n次代数插值多项式。
l k ( x)( k 0,1,, n)
P ( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
事实上，由于每个插值基函数 都是n次值多项式,所以他们的线性组合
2
3
x
n
y
n
差商及其性质 性质1 函数 f(x) 的 n 阶差商 f [x0, x1 , …, xn ] 可 由 函数值 f (x0), f (x1 ), … , f (xn ) 的线性组 n 合表示, n 且 ( xk ) f
f [ x0 , x1 , xn ]
k 0 n
( xFra Baidu bibliotek )
f[x1,x2]- f[x0,x1]
f[x0,x1]
x2 – x0
x2
x3 …
f(x2)
f(x3) …
f[x1,x2]
f[x2,x3 ]
f[x0,x1,x2]
f[x1,x2,x3] … f[x0,x1,x2 ,x3]
例2.11 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各 阶差商值 解: 计算得如下表 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2 f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2] ] 0 0 2 3
定理2 设f(x)在a, b有n+1阶导数， x0, x1,…, xn 为 a, b上n+1个互异的节点, p(x)为满足 p(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的n 次插值多项式，那么对于任何x a, b有
插值余项
f ( n 1) ( ) R( x) f ( x) p ( x) ( x) (n 1)!
如果f ( x)的函数值称为零阶差商 , 则计算如下表 : x f(x)
0
x x x x
1
2
3
y y y y
0
1
f x 0 , x 1 f x1 , x 2 f x 2 , x 3 f x n-1 , x n f x 0 , x1 , x 2 f x1 , x 2 , x 3 f x n- 2, x n-1 , x n f x 0, x1 x n
f [ xi 1 , xi 2 ] f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] xi 2 xi
m阶差商
f [ x1 , x 2 , x m ] f [ x0 , x1 , x m1 ] f [ x0 , x1 , x m ] x m x0
（3.12）
它满足
N n ( x) N n1 ( x) an ( x x0 )( 其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数，形如（3.12）的x x1 ) ( x x n 1 ) 插值多项式称为牛顿(Newton)插值多项式。
可见，牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式p(x)的另一种表示形式, 与 Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的 缺点, 且可以节省乘除法运算次数, 同时在Newton插值多项式中用到差分与差商 等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.
满足
P ( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意 义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
y1 x0 x1
yn xn x
定理1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的 证明: 设n次多项式
P( x) a n x a n1 x
其中 ( x k ) ( x k xi )
n
的问题就归结为求它的系数
n 1
a1 x a0
是函数 y 在区间[a, b]上的n+1个互异的节点 (i=0,1,2,…,n )上的插值 f (x) xi 多项式,则求插值多项式P(x)
(i=0,1,2,…,n )。
ai
由插值条件:
p( xi ) (i=0,1,2,…,n),可得 f ( xi )