《算法设计与分析基础(第3版)》第一,二章部分习题答案

作业一

学号：_____ 姓名：_____

说明：

1、正文用宋体小四号，1.5倍行距。

2、报告中的图片、表格中的文字均用宋体五号，单倍行距。

3、图片、表格均需要有图片编号和标题，均用宋体五号加粗。

4、参考文献用宋体、五号、单倍行距，请参照参考文献格式国家标准（GB/T 7714-

2005）。

5、公式请使用公式编辑器。

P14

4.用伪代码写一个算法来求方程ax2+bx+c=0的实根，a，b，c 是任意实系数。（可以假设sqrt(x)是求平方根的函数。）

算法：Equate(a,b,c)

//实现二元一次方程求解实数根

//输入：任意系数a，b，c

//输出：方程的实数根x1，x2或无解

If a≠0

p←b2−4ac

If p>0

x1←−b+sqrt(p)

2a

x2←−b−sqrt(p)

2a

return x1，x2

else if p=0

return −b

2a

else

return “no real roots”

else

if b≠0

return −c

b

else

if c≠0

return “no real numbers”

else

return “no real roots”

5.写出将十进制正整数转换为二进制整数的标准算法。

a.用文字描述。

b.用伪代码描述。

a.解：

输入：一个正整数n

输出：正整数n相应的二进制数

第一步：用n 除以2，余数赋给K[i](i=0,1,2...)，商赋给n

第二步：如果n=0 ，则到第三步，否则重复第一步

第三步：将K[i]按照i从高到低的顺序输出

b.解：

算法：DecToBin(n)

//实现正整数十进制转二进制

//输入：一个正整数n

//输出：正整数n对应的二进制数组K[0..i]

i ←1

while n≠0 do

K[i]←n%2

n←(int)n/2

i ++

while i≠0do

print K[i]

i - -

p46

2.请用O，Ω 和θ的非正式定义来判断下列断言是真还是假。

a. n(n+1)/2∈O(n3)

b. n(n+1)/2∈O(n2)

c. n(n+1)/2∈θ(n3)

d. n(n+1)/2∈Ω(n)

解：

断言为真：a，b，d

断言为假：c

P53

5.考虑下面的算法。

算法：Secret(A[0..n−1])

//输入：包含n个实数的数组A[0..n−1]

minval←A[0];maxval←A[0]

for i←1 to n−1 do

if A[i]

minval←A[i]

if A[i]>maxval

maxval←A[i]

return maxval−minval

a. 该算法求的是什么？

b. 它的基本操作是什么？

c. 该基本操作执行了多少次？

d. 该算法的效率类型是什么？

e. 对该算法进行改进，或者设计一个更好的算法，然后指出它的效率类型。如

果做不到这一点，请试着证明这是不可能做到的。

a.答：该算法求的是一组数中最大值与最小值的差值。

b.答：A[i]maxval和maxval←

A[i]

c.答：n−1次

d.答：O(n)

e.由于此为一维数组若要得到其最大或最小值，者至少需比较n−1次，因

此效率类型为O(n)，无法改进。

6.考虑下面的算法。

算法：Enigma(A[0..n−1,0..n−1])

//输入：一个实数矩阵A[0..n−1,0..n−1]

for i←0 to n−2 do

for j←i+1 to n−1 do

if A[i,j]≠A[j,i]

return false

return true

a. 该算法求的是什么？

b. 它的基本操作是什么？

c. 该基本操作执行了多少次？

d. 该算法的效率类型是什么？

e. 对该算法进行改进，或者设计一个更好的算法，然后指出它的效率类型。如

果做不到这一点，请试着证明这是不可能做到的。

a.答：该算法求的是二维数组是否对称。

b.答：A[i，j]≠A[j,i]

c.答：n2/2次

d.答：O(n2)

e.答：若判断一个矩阵是否为对称矩阵，则至少需比较矩阵一半数量次数，

所以无法改进。

P59-60

1.解下列递推关系。

a. x(n)=x(n−1)+5 ，其中n>1 ，x(1)=0

b. x(n)=3x(n−1) ，其中n>1 ，x(1)=4

c. x(n)=x(n−1)+n ，其中n>0 ，x(0)=0

)+n ，其中n>1 ，x(1)=1（对于n=2k的情况求解）

d. x(n)=x(n

2

e. x(n)=x(n

)+1 ，其中n>1 ，x(1)=1（对于n=3k的情况求解）

3

a.解：x(n)=x(n−1)+5 ，for n>1 ，x(1)=0

x(n)=[x(n−2)+5]+5=x(n−2)+5×2

x(n)=[x(n−3)+5]+5×2=x(n−3)+5×3

x(n)=[x(n−4)+5]+5×3=x(n−4)+5×4

…

x(n)=x(n−i)+5×i

…

x(n)=x(1)+5×(n−1)=5×(n−1)

b.解：x(n)=3x(n−1) ，for n>1 ，x(1)=4

x(n)=3×3x(n−2)=32x(n−2)

x(n)=3×32x(n−3)=33x(n−3)

x(n)=3×33x(n−4)=34x(n−4)

…

x(n)=3i x(n−i)

…

x(n)=3n−1x(1)=4×3n−1

c.解：x(n)=x(n−1)+n ，for n>0 ，x(0)=0

x(n)=[x(n−2)+n−1]+n=x(n−2)+n−1+n