《算法设计与分析基础(第3版)》第一,二章部分习题答案

作业一
学号：_____ 姓名：_____
说明：
1、正文用宋体小四号，1.5倍行距。

2、报告中的图片、表格中的文字均用宋体五号，单倍行距。

3、图片、表格均需要有图片编号和标题，均用宋体五号加粗。

4、参考文献用宋体、五号、单倍行距，请参照参考文献格式国家标准（GB/T 7714-
2005）。

5、公式请使用公式编辑器。

P14
4.用伪代码写一个算法来求方程ax2+bx+c=0的实根，a，b，c 是任意实系数。

（可以假设sqrt(x)是求平方根的函数。

）
算法：Equate(a,b,c)
//实现二元一次方程求解实数根
//输入：任意系数a，b，c
//输出：方程的实数根x1，x2或无解
If a≠0
p←b2−4ac
If p>0
x1←−b+sqrt(p)
2a
x2←−b−sqrt(p)
2a
return x1，x2
else if p=0
return −b
2a
else
return “no real roots”
else
if b≠0
return −c
b
else
if c≠0
return “no real numbers”
else
return “no real roots”
5.写出将十进制正整数转换为二进制整数的标准算法。

a.用文字描述。

b.用伪代码描述。

a.解：
输入：一个正整数n
输出：正整数n相应的二进制数
第一步：用n 除以2，余数赋给K[i](i=0,1,2...)，商赋给n
第二步：如果n=0 ，则到第三步，否则重复第一步
第三步：将K[i]按照i从高到低的顺序输出
b.解：
算法：DecToBin(n)
//实现正整数十进制转二进制
//输入：一个正整数n
//输出：正整数n对应的二进制数组K[0..i]
i ←1
while n≠0 do
K[i]←n%2
n←(int)n/2
i ++
while i≠0do
print K[i]
i - -
p46
2.请用O，Ω 和θ的非正式定义来判断下列断言是真还是假。

a. n(n+1)/2∈O(n3)
b. n(n+1)/2∈O(n2)
c. n(n+1)/2∈θ(n3)
d. n(n+1)/2∈Ω(n)
解：
断言为真：a，b，d
断言为假：c
P53
5.考虑下面的算法。

算法：Secret(A[0..n−1])
//输入：包含n个实数的数组A[0..n−1]
minval←A[0];maxval←A[0]
for i←1 to n−1 do
if A[i]<minval
minval←A[i]
if A[i]>maxval
maxval←A[i]
return maxval−minval
a. 该算法求的是什么？
b. 它的基本操作是什么？
c. 该基本操作执行了多少次？
d. 该算法的效率类型是什么？
e. 对该算法进行改进，或者设计一个更好的算法，然后指出它的效率类型。

如
果做不到这一点，请试着证明这是不可能做到的。

a.答：该算法求的是一组数中最大值与最小值的差值。

b.答：A[i]<minval和minval←A[i]和A[i]>maxval和maxval←
A[i]
c.答：n−1次
d.答：O(n)
e.由于此为一维数组若要得到其最大或最小值，者至少需比较n−1次，因
此效率类型为O(n)，无法改进。

6.考虑下面的算法。

算法：Enigma(A[0..n−1,0..n−1])
//输入：一个实数矩阵A[0..n−1,0..n−1]
for i←0 to n−2 do
for j←i+1 to n−1 do
if A[i,j]≠A[j,i]
return false
return true
a. 该算法求的是什么？
b. 它的基本操作是什么？
c. 该基本操作执行了多少次？
d. 该算法的效率类型是什么？
e. 对该算法进行改进，或者设计一个更好的算法，然后指出它的效率类型。

如
果做不到这一点，请试着证明这是不可能做到的。

a.答：该算法求的是二维数组是否对称。

b.答：A[i，j]≠A[j,i]
c.答：n2/2次
d.答：O(n2)
e.答：若判断一个矩阵是否为对称矩阵，则至少需比较矩阵一半数量次数，
所以无法改进。

P59-60
1.解下列递推关系。

a. x(n)=x(n−1)+5 ，其中n>1 ，x(1)=0
b. x(n)=3x(n−1) ，其中n>1 ，x(1)=4
c. x(n)=x(n−1)+n ，其中n>0 ，x(0)=0
)+n ，其中n>1 ，x(1)=1（对于n=2k的情况求解）
d. x(n)=x(n
2
e. x(n)=x(n
)+1 ，其中n>1 ，x(1)=1（对于n=3k的情况求解）
3
a.解：x(n)=x(n−1)+5 ，for n>1 ，x(1)=0
x(n)=[x(n−2)+5]+5=x(n−2)+5×2
x(n)=[x(n−3)+5]+5×2=x(n−3)+5×3
x(n)=[x(n−4)+5]+5×3=x(n−4)+5×4
…
x(n)=x(n−i)+5×i
…
x(n)=x(1)+5×(n−1)=5×(n−1)
b.解：x(n)=3x(n−1) ，for n>1 ，x(1)=4
x(n)=3×3x(n−2)=32x(n−2)
x(n)=3×32x(n−3)=33x(n−3)
x(n)=3×33x(n−4)=34x(n−4)
…
x(n)=3i x(n−i)
…
x(n)=3n−1x(1)=4×3n−1
c.解：x(n)=x(n−1)+n ，for n>0 ，x(0)=0
x(n)=[x(n−2)+n−1]+n=x(n−2)+n−1+n
x (n )=[x (n −3)+n −2]+n −1+n =x (n −3)+3n −3 x (n )=[x (n −4)+n −3]+3n −3=x (n −4)+4n −6 …
x (n )=x (n −i )+i ×n −i ×i−12
…
x (n )=x (0)+n 2
−n ×
n−12
=
n 22
+n
2
d. 解：x(n)=x(n/2)+n ，for n >1 ，x(1)=1 （对于n =2k 的情况求解） x (n )=[x (n
4)+n
2]+n =x (n
4)+n
2+n x (n )=[x (n
8)+n
4]+n
2+n =x (n
8)+n
4+n
2+n
x (n )=[x (n
16)+n
8]+n
4+n
2+n =x (n
16)+n
8+n
4+n
2+n …
x(n)=x(n
2i )+2n(1−1
2i ) …
x (n )=x (1)+2n −2=2n −1
e. 解：x(n)=x(n/3)+1 ，for n >1 ，x(1)=1 （对于n =3k 的情况求解） x (n )=[x (n
9)+1]+1=x (n
9)+2 x (n )=[x (n
27)+1]+2=x (n
27)+3 x (n )=[x (n
81)+1]+3=x (n
81)+4 …
x(n)=x(n 3i )+i …
x (n )=x (1)+log 3n =log 3n +1
3.考虑下列递归算法，该算法用来计算前n 个立方的和：S(n)=13+23+⋯+n 3 算法：S(n)
//输入：正整数n
//输出：前n个立方的和
if n=1return 1
else return S(n−1)+n∗n∗n
a. 建立该算法的基本操作执行次数的递推关系并求解。

b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比较，你做何评价？
a.答：执行n次，S(n)=S(n−1)+n∗n∗n=S(n−2)+(n−1)3+
n3=⋯=S(1)+23+33+⋯+(n−1)3+n3
b.太麻烦
4.考虑下面的递归算法。

算法：Q(n)
//输入：正整数n
if n=1return 1
else return Q(n−1)+2n−1
a. 建立该函数的递推关系并求解，以确定该算法计算的是什么？
b. 建立该算法所做的乘法运算次数的递推关系并求解。

c. 建立该算法所做的加减运算次数的递推关系并求解。

a.Q(n)=Q(n−1)+2n−1=Q(n−2)+2(n−1)−1+2n−1=Q(n−
3)+2(n−2)−1+2(n−1)−1+2n−1=⋯=n2计算的是n2
b.答：n−1次，当n=1时返回1，当n>1时返回n2，Q(n)=Q(n−1)+2n 。

c.答：3n−3次。