第17讲 几何变换之轴对称(中)
几何变换对称
几何变换对称几何变换是指在平面或空间中改变图形的形状、大小、位置的操作。
对称是指图形中存在一条轴线、中心点或平面，使得图形在这条轴线、中心点或平面的对立侧存在对称关系。
几何变换对称是指在进行几何变换的同时，保持图形的对称性不变。
下面将分别介绍几何变换中的平移、旋转、翻转和尺度变换对称。
一、平移对称平移是指将图形在平面上按照一定的方向和距离进行移动。
平移操作不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
当一个图形在平移前后仍然保持对称时，称这个图形具有平移对称性。
例如，一个正方形在平移前后仍然保持对称。
当你将这个正方形沿着平面上的任意直线进行平移，正方形的每一部分都能沿着对应的位置平移，仍然保持对称关系。
二、旋转对称旋转是指围绕一个点或一条轴线将图形按照一定的角度进行旋转。
旋转操作改变图形的角度，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在旋转前后仍然保持对称时，称这个图形具有旋转对称性。
例如，一个圆形在任意一个中心点处都具有旋转对称性。
无论你将这个圆形围绕中心点旋转多少度，它的每个点都能找到对应的对称点，保持对称关系。
三、翻转对称翻转是指将图形绕着一条轴线进行镜像反转。
翻转操作改变图形的位置和方向，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在翻转前后仍然保持对称时，称这个图形具有翻转对称性。
例如，一个矩形具有关于某条中心线的翻转对称性。
当你将这个矩形绕着中心线进行翻转，矩形的每个点都存在对应的对称点，保持对称关系。
四、尺度变换对称尺度变换是指将图形等比例地放大或缩小。
尺度变换改变图形的大小，但不改变图形的形状和位置。
当一个图形在经过尺度变换后仍然保持对称时，称这个图形具有尺度变换对称性。
例如，一个正三角形具有尺度变换对称性。
无论你将这个正三角形放大或缩小，三角形的每个边和角度都保持等比例关系，保持对称性。
综上所述，几何变换对称是指在进行几何变换时，图形仍然保持原有的对称性。
平移、旋转、翻转和尺度变换分别对应不同的对称性。
对称性的几何意义
对称性的几何意义对称性在数学中具有重要意义，在几何学中更是重中之重。
对称性与对称操作有助于我们更好地理解空间形状之间的关系，同时也有助于我们解决更加复杂的问题。
一、轴对称和中心对称常见的对称操作有轴对称和中心对称两种。
轴对称是指将一个空间图形沿某条轴线翻转180度后，形成的新图形和原来的图形完全一样。
例如，正方形具有四条轴对称轴——包括边中心对称轴和对角线中心对称轴。
我们可以通过这些轴对称轴来帮助我们更好地理解正方形的性质和特点。
中心对称是指将一个空间点作为中心，在这个点上绕任意角度旋转一定角度后，形成的新图形和原来的图形完全一样。
例如，圆形就具有中心对称轴，任何经过圆心的直线都可以作为中心对称轴。
这种对称性可以让我们更好地理解圆形的性质和特点，如它的半径长度、周长、面积等等。
二、对称性与均匀性对称性和均匀性有着密切的联系。
均匀性指的是几何图形在某些方面的相似性，例如线段的长度、角度的大小、面积的大小等。
对称性则是指几何图形在某种操作下的相似性，例如轴对称、中心对称等。
这两种性质相互依存，通过对均匀性和对称性的分析，我们可以更好地理解不同的空间形状。
例如，正方形不仅具有四条轴对称轴，而且每条边也具有对称性，这说明正方形不仅在尺寸上具有均匀性，而且在形态上也具有均匀性。
三、对称性与几何变换对称性还与几何变换有密切的关系。
几何变换指的是将一个空间图形变形或移动，例如平移、旋转、翻转等操作。
这些几何变换都具有一定的对称性，而对称性也可以用来描述这些几何变换。
例如，将一个正方形分别绕各个对称轴旋转180度，依然可以得到正方形的原貌，这说明正方形具有对称性，并且旋转也具有对称性。
四、对称性在现实中的应用对称性不仅在理论上具有重要意义，在现实中也有广泛的应用。
例如，在建筑设计和工程设计中，对称性被广泛使用，因为对称性可以让建筑物和工程具有更好的结构稳定性，减少结构的变形和破坏。
另外，对称性还被应用在图像识别、物体辨认、计算机视觉等领域中，帮助识别和分类图像和物体。
小学数学教案：几何变换与图像的对称性
小学数学教案：几何变换与图像的对称性一、引言几何变换是小学数学中重要的内容之一，也是培养学生空间想象力和几何直观的关键环节。
其中，图像的对称性作为几何变换的特殊形式，不仅有助于提高学生的观察力和抽象思维能力，还能为他们构建几何概念打下坚实基础。
本教案将通过具体的教学活动和方法，帮助学生掌握几何变换与图像对称性的概念，并拓展其应用能力。
二、教学目标1. 理解几何变换（平移、旋转、翻转）的概念及特点；2. 识别图形简单变换后的特征并描述；3. 掌握图像的对称轴及其应用；4. 发现规律、归纳总结，并将所学知识运用到解决问题中。
三、教学过程1. 导入：引导学生观察身边环境中日常物品存在的“镜面对称”。
教师展示图片，出示一个以直线为对称轴的正方形图案，请学生描述它们之间存在哪些相同与不相同点。
引导学生发现正方形沿着对称轴线翻转后仍然重合。
2. 讲授：通过让学生观察和比较几何变换的实例，教师向学生解释平移、旋转和翻转的概念。
并介绍与每种变换相关的特点和规律。
3. 活动1：设计平移实践活动。
教师在课堂黑板上画出一个简单图形，请学生通过沿着黑板进行手指指引来模仿完成平移实验。
教室内有足够多的物品供学生参考，以加深他们对平移概念的理解。
4. 活动2：设计旋转实践活动。
在课前，老师要为每位学生准备好相同形状但朝向各异的小纸片，在纸片上标明几组常用角度，例如90°、180°等。
学生将手中的图案按照所示角度旋转，并感受图形旋转时某一点保持不变，创造出新位置等现象。
5. 活动3：设计翻转实践活动。
老师向学生提供一张具有镜面材质或或折射效果的透明图纸，在其中画出一些简单且易于复制的图形。
要求学生将透明图纸翻转并压贴在铅笔轮廓纸上，然后描绘出投影的结果。
引导学生理解镜面对称性与平面投影。
6. 活动4：发现图像的对称轴。
老师展示一些常见的对称图形，并要求学生找出其中存在的对称轴线。
通过讨论和实际操作，让学生体验对称轴与图形变换之间的关系，并发现规律。
《轴对称变换》课件
07
总结与展望
本课程的主要内容回顾
轴对称变换的基本概念
详细介绍了轴对称变换的定义 、性质和分类，以及其在几何 、代数和解析几何等领域的应 用。
轴对称变换的几何意义
通过具体的图形变换，阐述了 轴对称变换在几何图形中的表 现形式，以及其在解决几何问 题中的应用。
轴对称变换的代数表示
介绍了如何用矩阵和线性变换 来表示轴对称变换，以及其在 矩阵论和线性代数中的重要地 位。
03
轴对称变换的扩展研究
展望了轴对称变换未来的研究方向，如非线性对称性、高维空间的对称
性等，以及其在数学、物理学和工程学等领域的重要意义。
THANK YOU
感谢聆听
轴对称变换课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 轴对称变换的基本概念 • 轴对称变换的分类 • 轴对称变换的数学表达 • 轴对称变换的几何意义 • 轴对称变换的实际应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
轴对称变换：是指一个平面图形沿着一条直线折叠 后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形 关于这条直线对称，这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
详细描述
当一个图形关于y轴进行对称变换时，其形状和大小同样保持不变，但方向可能 发生变化。例如，一个竖直线段会变成一条水平线段，一个长方形会变成一个 水平放置的正方形。
关于原点的对称变换
总结词
关于原点的对称变换是指图形在原点两侧保持对称的性质。
详细描述
当一个图形关于原点进行对称变换时，其形状和大小保持不变，但方向会发生180度的变化。例如，一个点会变 成其相对原点的对称点，一个正方形会变成一个旋转了180度的正方形。
考虑点P(1, 2)和对称轴y=1，经过轴对称变换后得到点P'(1, 0)。这个变换可以用向量方程来表示：向量 OP' = 向量OP - 2*(向量OP · 单位向量j)*单位向量j = (1, 2) - 2*(1/√2)*(1, 0) = (1, -2)。
几何变换之轴对称
几何变换之轴对称（翻折）翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。
以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。
那么碰到这类题型，我们的思路就要以翻折性质为基础，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！对于翻折和折叠题型分两个题型来讲，一类题型就是直接计算型，另一类是涉及到分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了！解决翻折题型的策略一：利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等。
对应边相等，对应角相等②对应点连线被对称轴垂直平分二：结合相关图形的性质（三角形，四边形等）三：运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
翻折折叠题型（一），直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路！翻折折叠题型（二），分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析！常见的几类类型1. 纸片中的折叠如图，有一条直的宽纸带，按照如图方式折叠，则＝.【解答】【解析】，如图所示：∵∠＝∠1，∠2＝∠1，∴∠＝∠2，∴2∠＋∠AEB＝180º，即2∠＋∠30º＝180º，解得∠＝75º.2. 三角形中的折叠在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C’DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图1，把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；（2）如图2，把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；（3）如图3，把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系.【解答】（1）∠1＋∠2＝60º；（2）∠1＋∠2＝50º；（3）∠2－∠1＝2∠C【解析】（1）由图可得∠1＋∠2＝180º－2∠CDE＋180º－2∠CED＝360º－2（∠CDE＋∠CED）＝360º－2（180º－∠C）＝2∠C＝60º（2）连接DG，如图所示：∠1＋∠2＝180º－∠C’－（∠ADG＋∠AGD）＝180º－30º－（180º－80º）＝50º（3）由图可得∠2－∠1＝180º－2∠CED－（2∠CDE－180º）＝360º－2（∠CDE＋∠CED）＝360º－2（180º－∠C）＝2∠C3. 矩形中的折叠如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC＝8，AB＝6，求折叠后重合部分的面积.【解答】阴影部分的面积为【解析】∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1＝∠2，∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FB＝FD，设，则，在Rt △BAF 中，，即，解得， ∴阴影部分面积. 4.圆中的折叠 如图，将半径为8的沿AB 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，则折痕AB ＝ .【解答】AB = 【解析】延长CO 交AB 于E 点，连接OB ，如图所示：∵CE ⊥AB ，∴E 为AB 的中点，由题意可得CD=4，OD=4，OB=8，DE = 21(8×2 - 4) = 6，OE=6-4=2，在Rt △OEB 中，根据勾股定理可得：AB = .。
几何形的变换与对称性
几何形的变换与对称性几何形的变换与对称性是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学以及其他科学领域都有着广泛的应用。
本文将介绍几何形的变换和对称性的基本概念，以及它们在实际中的应用。
一、几何形的变换几何形的变换是指对图形进行改变的操作，主要包括平移、旋转和镜像三种基本变换。
1. 平移: 平移是指图形在平面上沿着某个方向保持大小和形状不变地移动。
平移可以由向量表示，将图形上的每个点都按照相同的向量进行平移。
2. 旋转: 旋转是指图形按照某个中心点进行旋转，使得图形在平面上绕中心点进行旋转。
旋转可以由角度表示，将图形上的每个点都按照相同的角度进行旋转。
3. 镜像: 镜像是指图形关于一条直线或一个点对称。
图形通过镜像变换后，与原来的图形完全重合，但是对称于镜像中心。
这三种基本变换可以组合使用，实现更复杂的变换效果，例如平移结合旋转可以实现圆周运动，平移结合镜像可以实现图形在平面上的滑移等。
二、对称性对称性是指一个图形相对于某条直线、某个平面或一个点而言能够完全或部分重合。
对称性可以分为以下几种类型：1. 线对称: 图形相对于一条直线对称，即左右对称。
直线可以是任意位置的，图形中的每个点关于直线都有对称点。
2. 面对称: 图形相对于一个平面对称，即上下对称或前后对称。
平面可以是任意位置的，图形中的每个点关于平面都有对称点。
3. 点对称: 图形相对于一个点对称，即中心对称。
点可以是图形中的任意一个点，图形中的每个点关于对称中心都有对称点。
对称性具有重要的几何性质，它可以帮助我们研究图形的性质和相似性质，简化计算和分析的过程。
三、应用案例几何形的变换与对称性在实际中有着广泛的应用。
以下是几个应用案例的介绍：1. 制造业: 在制造业中，使用几何形的变换和对称性可以帮助工程师设计、分析和生产产品。
例如，通过对产品进行平移、旋转和镜像变换，可以评估产品的装配性能、运动轨迹和外观质量。
2. 计算机图形学: 在计算机图形学中，几何形的变换和对称性是实现计算机动画和图形处理的基础。
轴对称变换要点全析
教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。
轴对称变换·要点全析1．变换在《现代汉语词典》中，变换的意思是：事物的一种形式或内容换成另一种，如变换位置、变换手法．在前面学习全等三角形时，学习和介绍了全等变换．所谓全等变换，即把一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到另一个图形的过程．在这个过程中，原来图形的形状、大小都没有改变，只是位置、方向发生了改变．如图 14-2-1 中，（1）图是△ ABC平移后得到△ DEF，（ 2）图是△ ABC翻折后得到△ DBC，（3）图是△ ABC 旋转一个角（即∠ BAD）后，得到△ ADE，（4）图是△ABC先平移（ BE），后翻折，得到△ DEF，以上这几种图形变化的过程都是全等变换．变换前后，两图形全等．2 ．轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．例如：图 14-2-2 中，△ DEF与△ ABC成轴对称，同样得到△ ABC的一系列对称图形△GHK、△ PQR、△ LMN等，并且△ ABC≌△ DEF≌△ GHK≌△ PRQ≌△LMN．以上这些图形的变化过程就是轴对称变换．3．轴对称变换的性质（1）变换前后的两个图形的形状、大小完全一样．（2）新图形的每一个点，都是原图形上每一个点关于某直线的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．【说明】如图 14-2-2 中，以△ ABC与△ DEF关于直线 l 对称为例说明如下：①△ ABC与△ DEF全等，只是图形的位置与方向发生变化，而形状、大小没变．②点 A、B、 C 分别与点 D、E、F 关于直线 l 对称．③线段 AD、 CF被直线 l 垂直平分．（4）①当对称轴平行时，变换一次，方向改变；变换两次，与原图形方向相同．依此类推，当变换奇数次时，方向改变，当变换偶数次时，方向不变．如图 14-2-3 ．②当对称不平行时，方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化．如图14-2-4 ．4．轴对称变换的应用利用轴对称变换可以设计出精美的图案，在许多美术作品和工艺制品中，经常看到轴对称变换的例子．如图 14-2-5 中的设计图：再如图 14-2-6 中的剪纸图：5．如何作一个图形关于某直线的对称图形由轴对称图形的性质可知，对称点的连线被对称轴垂直平分．因此，先把一个几何图形看成由一些点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形．例如：如图 14-2-7 中，已知△ ABC和直线 l ．作出△ ABC关于直线 l 的对称图形．分析：在（ 1）图中，△ ABC的三个顶点已确定，只要作出三个顶点关于直线 l 的对称点，连接这三个对称点，就得△ ABC关于直线 l 对称图形．作法：（ 1）图中，（1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 G，在垂直线上截取 GA′＝ GA．则点A′，就是点 A 关于直线 l 的对称点（因 AA′被直线 l 垂直平分）．（2）同样道理和方法，分别作出点B、 C 关于直线 l 的对称点 B′、 C′．（3）连接 A′B′、 B′C′、 C′ A′，得到△ A′ B′ C′即为所求．在（ 2）图中，作法同（ 1）图的作法，图形如（ 2）图所示．再如一些几何图形的对称图形的画法，如图 14-2-8 所示．6．应用轴对称，寻找最佳方案问题例如：如图 14-2-9 ，在金水河的同一侧有两个村庄A、 B．要从河边同一点修两条水渠到 A、B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处使两条水渠最短？分析：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN，在直线 MN的同一侧有 A、B 两点．在直线 MN上找一点 P，使 P 点到 A、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．解：如图 14-2-9 所示，作 B 点关于直线 MN的对称点 B′，连接 AB′与 MN 相交于点 P，则 P 点即为所求．事实上，如果不是 P 点而是 P′点时，则连接 AP′、P′B和 P′B′．由轴对称性可知， P′B＝P′B′， PB＝PB′，所以 P′到 A、B 的距离之和AP′＋P′B＝AP′＋ P′B′．而 P 到 A、B 的距离之和 AP＋ PB＝AP＋PB′＝ AB′，在△ AB′P′中，三角形两边之和大于第三边，即 AP′＋ P′B′＞AB′．所以 P 点即为所求的点．【说明】（1）此题为典型的最佳方案选择问题，问题的核心是如何节省材料，反映在数学上就是寻找最小值问题．（2）与此类型相似，前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题，也是按此方法处理的．（3）解决这类问题时，先把具体问题抽象成数学模型，再用数学中学过的有关法则、定理等去解决．（4）在本例中，充分利用了轴对称的性质．7．轴对称的坐标表示方法点（ x， y）关于 x 轴对称点的坐标为（ x，－ y）；点（ x， y）关于 y 轴对称点的坐标为（－ x，y）．如图 14-2-10 中，点 P（2，3）关于 x 轴的对称点为P2（2，－ 3），关于 y轴的对称点为 P 1 ，（－ 2， 3）；点 P 2 关于 y 轴的对称点为 P 3（－ 2，－ 3）；而点 P 3 （－ 2，－ 3）与点 P 1（－ 2， 3）关于 x 轴对称．因此，我们得到规律：关于 x 轴对称的两个点的坐标， 横坐标不变， 纵坐标变成它的相反数； 关于y 轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标变成它的相反数．反过来，也成立．例如：判断下列各点的位置关系： C （－ ，－ ） D （－，）A （，－）B （，）2 5 2 5 2 5 2 5解：由坐标特点知， A 与 B 关于 x 轴对称， A 与 C 关于 y 轴对称， B 与 D 关于 y 轴对称．8 ．点 P （ x ， y ）关于直线 x ＝a 的对称点坐标如图 14-2-11中，点 P （ ， ）关于直线 x ＝ 2 的对称点为 P 1（ ， ）；关于1 43 4 直线 x ＝－ 1的对称点为 P 2（－ ， ）．3 4，而 P 1 、P 2 的横坐标发 由此可以看出，点 P 、P 1、P 2 的纵坐标都没变，都是 4生了变化，变化的规律是： P 1 点的横坐标比 A 点横坐标 2 多了一个 AP 1（即 AP ） 的长，而 AP 的长为 － ＝ ，∴ P 1 横坐标为 ＋（ － ）＝ ．2 1 1 2 2 1 3同样道理， P 2 点的横坐标是比 B 点横坐标－ 1 多了一个 BP 2（即 BP ）的长，而 BP 的长为｜－ － ｜＝ ，∴ P 2 横坐标为－ ＋（－ － ）＝－ ．1 12 1 1 1 3因此，得出规律：点 P （x ，y ）关于直线 x ＝ m 的对称点 P 1 的横坐标为 m ＋（ m － x ）＝ m － x ，纵坐标不变，即点 P 1、坐标为（m －x ，y ）．2 2P x ， y ）关于直线 y ＝ m 的对称点 P 2 的纵坐标为 m m y ）＝同样，点 （＋（ －m －y ，横坐标不变，即点 P 2 坐标为（x ， m － y ）．2 2 的对称点坐标为 P 1（ × － ，由此可以直接写出点 P （ ， ）关于直线 x ＝5 3 2 P 2（，） 2 5 3 2），即 P 1 （ ， ），关于 y ＝ 3的对称点 P 2 的坐标为7 2 3 4 例如：写出下列点关于直线 x ＝4 和直线 y ＝5 的对称点的坐标． A （2，3） B （4，5）C （－ 3， 1）D （－ 2，－ 1） 解：由上面的式子可知， 点关于直线 x ＝ 4 的对称点和关于直线 y ＝ 5 的对称 点坐标列表如下：A （2，3）B （4，5）C （－ 3，1）D （－ 2，－ 1） 关于直线 x ＝ 4 A 1（，）B 1（ ，５）C 1（，１）D 1（ ，－ ）的对称点6 341110 1关于直线 y ＝ 5A 2（ ，７）B 2（ ，５）C 2（－ ， ）D 2（－ ， ）的对称点243 9 2 11同样，关于 x 轴（y ＝0）对称的点的坐标中 x 坐标不变， y 坐标为其相反数；关于 y 轴（ x＝0）对称的点的坐标中， y 坐标不变， x 坐标为其相反数．9．轴对称在生产实际中的应用应用点的对称性质能解决生产实践中遇到的寻求最佳点的问题，看下面两个例子．例 1 ：如图 14-2-12 ，EFGH是一个长方形的台球桌面，有黑、白两球分别位于 A、B 位置上．试问：怎样撞击黑球 A，使黑球先撞击台边 EF，反弹后再击中白球 B？试画出黑球 A 的运动路线．画法：（ 1）作点 A 关于 EF 的对称点 A′．（2）连接 A′B 交 EF于点 M．点 M就是黑球 A 撞击边框 EF的位置，黑球 A 的运动路线为 AMB．根据物理知识，黑球 A 的入射角∠ AMC只有与黑球 A 撞击边框 EF反弹后的反射角∠ BMC相等，黑球 A 才能击中白球 B．证明：过点 M作垂线 CD．∵EF是线段 A′A 的中垂线，∴MA＝MA′，∴ ∠AMF＝∠ A′ MF．又∵∠FMC＝∠ FMD＝90°（已知），∴∠AMC＋∠ AMF＝ 90°，∠ A′MD＋∠ A′MF＝90°．∴∠AMC＝∠ A′MD（等角的余角相等）．又∵∠A′MD＝∠ BMC（对顶角相等）．∴∠AMC＝∠ BMC（等量代换）．例 2 ：如图 14-2-13 ，甲、乙、丙三人做接力游戏．开始时，甲站在∠ AOB 内的 P 点，乙站在 OA上，丙站在 OB上．游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑到终点 P 处．如果甲、乙、丙三个人速度相同，试找出乙、丙站在何处，他们比赛所用的时间最短．画法：（ 1）作点 P 关于 OA的对称点 P1．（2）作点 P 关于 OB的对称点 P2．（3）连接 P1P2交 OA于点 M，交 OB于点 N．则点 M是乙所站的位置，点N 是丙所站的位置．证明：若在 OA上取一点 M′，连接 M′P1，M′P．∵P 和 P1关于 OA对称，∴M′ P1＝ M′ P，同理在 OB上取一点 N′，则 N′P＝N′P2．若乙站在 M′位置，丙站在 N′位置，接力棒传递路线为： PM′＋ M′N′＋ N′P．∵P1M′＝ PM′， N′ P2＝N′P，∴PM′＋ M′N′＋ N′ P＝ P1′＋ M′N′＋ N′P2．∵两点间直线段最短，∴P1M′＋ M′N′＋ N′P2＞P1P2＝P1M＋MN＋NP2＝PM＋MN＋NP．因此，乙站在 M点，丙站在 N 点，甲、乙、丙三人传递接力棒的距离最短．。
几何变换4----轴对称变换
几何变换-轴对称变换提高题【知识提要】1. 如果已知平面上直线l 和一点A ，自点A 作l 的垂线，垂足设为H ，在直线AH 上、l 的另一侧取点A '，使得A H AH '=，如图所示，我们称点A '是点A 关于直线l 的轴对称点，或者说点A 与点A '关于直线l 为轴对称，其中l 称为对称轴.2. 图形F 的每一点关于直线l 的对称点组成的图形F '，称为F 关于轴l 的轴对称图形.把一个图形变为关于直线l 的轴对称图形的变换，叫作轴对称变换(或反射变换)，直线l 称为对称轴(反射轴).3. 我们容易想到，一条线段AA '关于它的垂直平分线为轴对称图形，一个角AOA '∠关于它的角平分线为轴对称图形.在几何证题或解题时，如果图形是轴对称图形，则经常要添加对称轴以便充分利用轴对称图形的性质；如果图形不是轴对称图形，往往可选择某直线为对称轴，补为轴对称图形，或将对称轴一侧的图形反射到该直线的另一侧，以实现条件的相对集中.4. 在几何问题中有两种常用而比较普遍的对称图形，它们是轴对称图形和中心对称图形.利用对称性解题是解决几何问题的有效方法之一，本讲重点讲解轴对称图形.(1) 轴对称变换：把一个图形变为关于某一直线为对称轴的轴对称图形，这种变换称为轴对称变换.在几何图形中，如果是轴对称图形，则常添加对称轴，以充分利用对称的性质.如等腰三角形、等腰梯形的对称轴可以应用三线合一等；对于正方形、菱形，经常添加对角线等.(2) 中心对称变换：把一个图形绕着一个定点按一定方向、一个角度旋转而得到另一个图形，这种变换称为旋转变换.特殊地，当旋转角为180 时，称为中心对称变换.平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.在对称变换下，可使某些相关元素相对集中，为充分运用已知条件、转化结论提供方便.【例题精讲】【例1】在ABC ∆中，由A 点向BC 边引高线，垂足D 落在BC 上，如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.A AB CD C 1AB C D【解法1】如图所示，以AD 为对称轴翻折ADC ∆到1ADC ∆的位置，则1C 在BD 上，1AC AC =，1C D CD =，12AC D ACD B ∠=∠=∠.在1ABC ∆中，根据外角定理可知11ABC BAC ∠=∠， 所以11AC BC =，故1111AC CD AC C D BC C D BD +=+=+=.【解法2】以AD 为对称轴翻折ABD ∆到AED ∆的位置，则12AED ABD ACB ∠=∠=∠，从而CA CE =.进而AC CD CE CD DE +=+=，而DE BD =(由“翻折”的特点决定)， 故AC CD BD +=.【解法3】回顾一下我们在第10讲中所学的知识，可知2()c b a b =+，即22c b ab -=.注意到2222222()2c b BD CD a x x a ax -=-=--=-，故22a ax ab -=， 即2a x b -=，亦即a x b x -=+，故BD AC CD =+.【点评】题设中的2C B ∠=∠给了我们太多的联想！我们不妨回忆一下第4讲、第5讲、第10讲，看看是否还有其他解法(比如延长AC 至E ，使CE CD =).【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，BC CD =，60BCA ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥.AB C D ED CBA D'D CBA a-x x cbD C B A【解析】注意到60BCA ACD ∠-∠=︒，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出60︒角.以AC 为对称轴将DAC ∆翻折到'D AC ∆的位置，连接'BD . 则'CD CD BC ==，''60BCD BCA ACD BCA ACD ∠=∠-∠=∠-∠=︒， 故'D BC ∆为等边三角形.从而''AD CD AD D B AB +=+≥， 等号成立时AC 平分BAD ∠.【变式】(第3届英国数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AB AC >，BE 、CF 为ABC ∆的两条高，求证：AB CF AC BE +>+.【解法1】将改写A B C F A C B E +>+为AB AC BE CF ->-，可形成下面的思路：BAC ∠的平分线记为l ，作点C 关于l 的对称点'C ，作点F 关于l 的对称点'F ，过点'C 作BE 的垂线'CD ，因为'AB AC BC -=，''BE CF BE C F BD -=-=， 而'BC BD >，故AB CF AC BE +>+.【解法2】我们用“分析法”寻求思路：AB CF AC BE +>+22()()AB CF AC BE ⇔+>+222222AB CF AB CF AC BE AC BE ⇔++⋅>++⋅.注意到224ABC AB CF AC BE S ∆⋅=⋅=，222AB AE BE =+，222AC AF CF =+，故22AB CF AC BE AE AF AE AF +>+⇔>⇔>. 而由ABE ACF ∆∆∽、AB AC AE AF >⇒>.【例3】如图所示，在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，40CD =，90ABD BDC ∠+∠= ，求四边形ABCD 的面积.48401430A'A B CDl 48401430A B CD EFCBAlDC'F'EFCBA【解析】直接计算四边形ABCD 的面积有困难，注意到90ABD BDC ∠+∠= ，我们以BD 的垂直平分线l 为对称轴，作ABD ∆的关于l 的轴对称图形'A DB ∆，从而可以将角度集中.1ABD A DB S S ∆∆=，'30A D AB ==，'48A B AD ==，'A DB ABD ∠=∠， 所以''A DC A DB BDC ∠=∠+∠90ABD BDC =∠+∠= ， 因此，'A DC ∆是直角三角形.由勾股定理求得'50A C . 在'A BC ∆中，'50A C =，'48A B =，14BC =.而2222'1448BC A B +=+1962304=+2500=2250'A C ==. 由勾股定理的逆定理可知'90A BC ∠= . 'ABCD A BCD S S =''A BC A DC S S ∆∆=+11''22A B BC A D CD =⋅+⋅ 114814304022=⨯⨯+⨯⨯ 336600936=+=.【变式】在凸四边形ABCD 中，105ADB ABC ∠=∠= ,75CBD ∠= .如果15AB CD ==厘米，求四边形ABCD 的面积.【解析】如图所示，以BD 边上的中垂线为对称轴作DBC ∆的轴对称图形1BDC ∆，则1DBC BDC S S ∆∆=，175C DB CBD ∠=∠=︒，110575180ADB C DB ∠+∠=︒+︒=︒， 故A 、D 、1C 共线.A BCDA B C D C 1又因为1057530ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 由ABD ∆可知1801053045A ∠=︒-︒-︒=︒， 而115C B CD AB ===， 故145C A ∠=∠=︒.因此190ABC ∠=︒，1ABC ∆是等腰直角三角形.故111515112.52ABCD ABC S S ∆==⨯⨯=.【例4】(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题) 已知点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，且120AMD ∠= ,证明：12AB BC CD AD ++≥.【解析】显然，要证题设的不等式，应当把AB ，12BC ，CD 三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段AD 比较.要实现这一构想，折线之首端应与A 点重合，尾端应与D 点重合，这可由轴对称来实现.以AM 为对称轴，作点B 关于AM 的对称点1B ，连接1AB 、1MB ， 则1AB AB =，1MB MB =，即1AB M ∆≌ABM ∆，由此1B MA BMA ∠=∠.B 1AB CDM C 1AB CDM再以DM 为对称轴，作点C 关于DM 的对称点1C ，连接1DC 、1MC ， 则1DC DC =，1MC MC =，即1DC M ∆≌DCM ∆，由此1C MD CMD ∠=∠. 而120AMD ∠= ，所以180********BMA CMD AMD ∠+∠=-∠=-= . 注意到1160B MA C MD BMA CMD ∠+∠=∠+∠= ，因此1111120()B MC B MA C MD ∠=-∠+∠ 1206060=-= ， 而1112MB MC BC ==，所以11B MC ∆是等边三角形，1112B C BC =. 由于两点之间以直线段为最短，所以1111AB B C C D AD ++≥，即12AB BC CD AD ++≥.【变式】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 设M 是凸四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒，求证：AB CD AD ++≥.【解析】作点B 关于AM 的对称点'B ，作点C 关于DM 的对称点'C ，连接'AB 、''B C 、'C D ， 则''MB MB MC MC ===， 且'AB AB =，'C D CD =. 而''90C MB ∠=︒，则'''B C ==，故''''AB CD AB B C C D AD ++=++≥.M D C B A C'B'M DCB A【例5】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，A ∠的平分线交BC 于点D ，已知2BD DC AD ⋅=，且45ADB ∠=︒，求ABC ∆的各个内角.【解析】AD 是角平分线提示我们可以进行“翻折”.将点C 翻折到'C 的位置，且'C 在AB 的延长线上，且'AC AC =，'DC DC ⊥，'DC DC =.延长CB 至点E ，使ED DC =，则2BD ED AD ⋅=，故E BAD DAC ∠=∠=∠， 从而222AC ED DC DC =⋅=，则'AC CC ==，故'AC C ∆为等边三角形.故60BAC ∠=︒，15ACB ∠=︒.【变式】如图所示，已知在ABC ∆中，6AB =，3AC =，120BAC ∠= ，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD 之长.【解法1】由于AD 平分BAC ∠，因此这就提供了以AD 为轴进行对称变换的可能性.取AB 的中点C '，连接CC '，交AD 于O ，易知AOC ∆与AOC '∆关于AD 对称，且AO CC '⊥.由于30ACO ∠= ，3AC =，所以32AO =. 延长AC 至B '，使6AB '=，连接BB '交AD 的延长线于点E . C B A D C'C B AO E D B'EC'45︒DCBA 45︒D CB A显然ABE ∆和AB E '∆关于AE 对称，且AE BB '⊥. 由于OC 是AEB '∆的中位线， 所以32AO OE ==，1122OC EB BE '==. 因为OC OD BE DE =， 所以12OD DE =. 所以332OD =，12OD =. 于是31222AD AO OD =+=+=. 【解法2】回顾一下我们学过的第9讲例3之“变式2”：如图所示，在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠且交BC 于点D ，求证：111AD AB AC=+. 直接应用此结论可得11163AD =+， 即2AD =.下面的题目作为备用题：【备选1】如图所示，在ABC ∆中，2ACB ABC ∠=∠，P 为三角形内一点，AP AC =，PB PC =，求证：3BAC BAP ∠=∠.PC BAPCBAMA'DB A【解析】由已知条件PB PC =，考虑作直线PM BC ⊥于M ，并以PM 为对称轴将APC ∆翻折至A PB '∆的位置，连接AA '.由轴对称的性质有//AA BC '，2A BC ACB ABC '∠=∠=∠. 因为A AB ABC A BA ''∠=∠=∠， 于是AA A B AC AP A P '''====， 即A AP '∆是正三角形，从而可得60ABC A AB BAP '∠=∠=-∠ ，21202ACB ABC BAP ∠=∠=-∠ .再由ABC ∆三内角之和为180 ，即(60)(1202)180BAP BAP BAC -∠+-∠+∠= ， 整理后得3BAC BAP ∠=∠.【备选2】如图所示，在ABC ∆中，60B ∠= ，100A ∠= ，E 为AC 的中点，80DEC ∠= ，D是BC 边上的点，1BC =，求ABC ∆的面积与CDE ∆的面积的两倍的和.【解析】将ABC ∆补成一个等边三角形，并作ABC ∆的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于24ABC CDE S S ∆∆+.作60BCF ∠= ，其中点F 在BA 的延长线上，则BFC ∆为等边三角形.作CH BF ⊥于点H ，并取点A 关于点H 的对称点G ， 则有18080CGH CAH BAC ∠=∠=-∠= .而80DEC ∠= ，18080EDC DEC ACB ∠=-∠-∠= ， 故CGA CED ∆∆∽，且相似比为2. 则4CAG CDE S S ∆∆=.ED C B A GHFE D C B A而ABC GFC S S ∆∆=(ABC GFC ∆∆≌)， 故2ABC CDE S S ∆∆+12FBC S ∆==【复习巩固】练习1. 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点P 在ABD ∆内部，求证：APB APC ∠>∠.【解析】作点P 关于AD 的对称点'P ，连接'AP 并延长交PC 于点Q ，连接'P C .因为AB AC =，AD 是BC 边上的高， 易得'AP C APB ∠=∠.因为''AP C P QC ∠>∠，'P QC APC ∠>∠， 故APB APC ∠>∠.练习2.(1997年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD ⊥，求证：(1) AD BC AB CD +≥+； (2) AD BC AB CD ⋅≥⋅.DCBA C'D'DCB A D QP'P CB AP D CB A【解析】(1) 以AC 为对称轴将ADC ∆翻折到'AD C ∆的位置，则由AC BD ⊥可知'D 在BD 上，且'AD AD =，'CD CD =.将DC 平移到'BC 的位置，则由AB CD ∥可知'C 在AB 的延长线上， 且''C B CD CD ==，'CC BD ∥，因此''BC CD 是一个等腰梯形，所以''BC D C =，于是'''''AD BC AD D C AC AB BC AB CD +=+≥=+=+.(2) 由(1)可得22()()AD BC AB CD +≥+，即222222AD BC AD BC AB CD AB CD ++⋅≥++⋅， 而由AC BD ⊥及勾股定理可得2222AD BC AB CD +=+， 故AD BC AB CD ⋅≥⋅.练习3. 在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，120PCA A ∠=︒-∠，求CBP ∠的度数.【解析】容易求得1302PAC A ∠=∠+︒，1302BAP BCP A ∠=∠=∠-︒. ABC ∆的对称轴为AD ，作点P 关于AD 的对称点'P ， 则'60PAP ∠=︒，故'APP ∆为等边三角形，则'P C 平分ACP ∠，1'602PCP A ∠=︒-∠. 故11'(30)(60)3022CBP BCP A A ∠=∠=∠-︒+︒-∠=︒.练习4. 如图所示，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45ABC ∠= ，60APC ∠= ，试求ACB ∠的度数.P C B A D P'P CB AC P B ACP BA C 1M【解析】作出点C 关于直线AP 的对称点1C ，连接1BC 、1PC 、1AC ，则12C P CP BP ==，如图所示.11180C PB APC APC ∠=-∠-∠ 180606060=--= . 取1C P 的中点M ，连接BM ，则BM P ∆为等边三角形，1BM MP MC ==， 故111302C BM BC M BMP ∠=∠=∠= ，190C BC ∠= . 又因为45ABC ∠= ，故1ABC ABC ∠=∠，故AB 平分1C BC ∠， 故A 点到直线CP 、1PC 、1BC 等距， 从而1AC 是1BC P ∠的外角平分线， 所以11(18030)752ACB AC P ∠=∠=-= .‘’。
几何变换的对称与旋转
几何变换的对称与旋转几何变换是对图形进行改变的一种方法，其中对称和旋转是两种常见的变换方式。
在这篇文章中，我们将探讨几何变换中的对称和旋转，并深入了解它们的定义、性质以及在实际生活中的应用。
一、对称变换对称变换是指将一个图形进行镜像翻转的操作。
具体来说，对称变换将图形中的每个点关于某一条直线、平面或中心点翻转，使得原图形与翻转后的图形完全重合。
对称变换有以下几个重要的性质：1. 线对称：当图形的每个点关于某一条直线进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。
2. 平面对称：当图形的每个点关于某一平面进行翻转后，原图形与翻转后的图形重合。
对称变换在生活中广泛应用，例如在建筑设计中，对称结构可以增加建筑物的稳定性和美观性。
另外，在艺术和设计领域，对称变换也经常被运用于图案设计和装饰。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕某一中心点进行旋转的操作。
旋转变换可以按照顺时针或逆时针方向进行，具体角度可以是任意值。
通过旋转变换，图形将保持形状不变，但位置及方向发生改变。
旋转变换有以下几个重要的性质：1. 中心旋转：旋转变换是以一个中心点为基准进行的，图形中的每个点都绕着该中心点进行旋转。
2. 旋转角度：通过改变旋转的角度，可以实现不同程度的旋转变换，包括90度、180度、270度以及任意角度。
旋转变换在科学研究和实践中具有广泛的应用。
例如，在地图制作中，通过旋转变换可以将地图上的各个实际位置与相对方向准确展示出来。
此外，在计算机图形学中，旋转变换也是三维模型呈现和动画效果实现的重要手段之一。
三、对称与旋转的联系和区别对称变换与旋转变换在几何变换中有着密切的关系，同时也存在一些区别。
对称变换是将图形镜像翻转，通过直线或平面来实现；而旋转变换是围绕中心点进行旋转，改变图形的位置和方向。
对称变换保持图形的形状不变，只是改变了位置；而旋转变换保持图形的形状和位置不变，只是改变了方向。
四、几何变换的实际应用几何变换在现实生活中有着广泛的应用，以下是部分例子：1. 建筑设计：对称变换可以帮助设计师创造对称美感的建筑结构，旋转变换可以实现建筑物在不同角度的呈现。
浅谈解析几何中的对称问题
浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。
对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。
无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。
这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。
本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。
一、中心对称：即关于点的对称问题泄义：把一个图形绕某个点旋转180。
后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。
这个点叫做对称中心。
性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。
1.点关于点对称例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。
分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。
小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。
）（依据中点坐标公式）。
特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。
，一％）。
2.直线关于点对称例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。
分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。
思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。
再由kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。
思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。
小学数学教案：几何变换与图像的对称性
小学数学教案：几何变换与图像的对称性一、引言在小学数学教学中，几何变换与图像的对称性是重要的内容之一。
通过教授几何变换和图形的对称性，可以帮助学生理解图形的特性，并培养他们的想象力和空间思维能力。
本文将详细介绍如何设计一节小学数学课程，以教授几何变换与图像的对称性。
二、知识背景在开始教授该课程之前，我们先来了解几何变换和图像的对称性的基本概念。
1. 几何变换几何变换是指在平面或空间中对点、线、面进行移动、旋转、翻转等操作，产生新的图形或位置关系。
常见的几何变换包括平移、旋转、翻转和放缩等。
2. 对称性图像的对称性指一个图形在某种操作下保持不变。
常见的对称性包括轴对称和中心对称。
轴对称即图形相对于某条直线呈镜像关系；中心对称即图形相对于某一点呈镜像关系。
三、教案设计根据小学数学课程标准和教学要求，我们可以按照以下步骤设计一节有关几何变换与图像对称性的教案。
1. 目标设定让学生能够：a）理解几何变换和对称性的基本概念；b）识别轴对称和中心对称；c）进行简单的几何变换。
2. 导入活动：发现图形的特点给学生展示一些常见图形，并引导他们观察和描述这些图形的特点。
比如，图形是否有对称性？如果有，是轴对称还是中心对称？这个活动可以激发学生们的兴趣，并为后续的学习打下基础。
3. 知识讲解：几何变换与对称性向学生详细介绍什么是几何变换，包括平移、旋转、翻转和放缩等。
同时，解释什么是轴对称和中心对称，并分别举例说明。
通过图片、实物模型等多种方式进行讲解，帮助学生理解概念。
4. 实践操作：进行几何变换在黑板或者纸上画出一些简单的图形，要求学生按照指导进行平移、旋转、翻转和放缩等操作，观察并记录每次操作后图形发生了怎样的变化。
在每次操作之后，引导学生总结变换前后图形的关系，加深他们对几何变换的理解。
5. 拓展应用：解决实际问题提出一些与几何变换和对称性相关的实际问题，让学生运用所学知识进行解答。
例如：某个图形在进行平移、旋转或者翻转时是否发生了形状或位置的改变？学生可以通过观察图形的特征以及应用几何变换的知识来回答这些问题。
轴对称变换课件PPT
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直线的轴对称变换可以用来研 究几何图形的对称性和性质。
05
轴对称变换的应用举例
在几何图形中的应用
总结词：丰富多样
详细描述：轴对称变换在几何图形中有着广泛的应用，如矩形、正方形、菱形、 等腰三角形等都是轴对称图形。通过对这些图形进行对称变换，可以创造出更多 具有美学价值的图案和设计。
在函数图像中的应用
图案设计
在图案设计中，轴对称变换可 以创造出具有美感的图案，如 雪花、蜂巢等。
物理学应用
在物理学中，轴对称变换被应 用于分析物体的平衡和稳定性 问题，如天体运动、机械转动 等。
02
轴对称变换的定义与性质
轴对称变换的定义
轴对称变换是指图形关于某一直线（称为对称轴）对称的变换。
如果图形上任意一点P经过轴对称变换后，其对应点P'与P关于对 称轴对称，则称该变换为轴对称变换。
根据对称轴的方向，轴对称变换可分为正向和反向轴对称变换。正向轴 对称变换是指图形关于水平或垂直的直线进行对称的变换；反向轴对称 变换是指图形关于斜线进行对称的变换。
03
常见的轴对称变换
关于x轴的对称变换
总结词
图像在x轴两侧对称
详细描述
当一个图形关于x轴进行对称变换时，图像在x轴两侧呈现对称状态，即如果某 点坐标为(x, y)，则其对称点坐标为(x, -y)。
如果一个点关于某一直线进行 轴对称变换，则该点关于该直 线进行翻转，与原点关于该直 线对称。
点的轴对称变换可以用来研究 几何图形的性质和关系。
轴对称变换与直线的关系
直线是几何图形中的重要元素， 轴对称变换也可以应用于直线。
如果一条直线关于某一直线进 行轴对称变换，则该直线会变 成一条与原直线平行且距离相 等的直线。
数学知识中轴对称的重要性及相关教案编写
数学知识中轴对称的重要性及相关教案编写数学中轴对称是指一个图形对于某条线对称。
这条线称为对称轴，对称轴两边的部分是相互对称的。
轴对称是一种几何变换，常用于分析、构造和优化图形。
轴对称是一个基本概念，它与复合、相似、旋转、平移等几何变换概念有密切关系。
轴对称具有重要的几何性质，可用于解决数学问题、美术设计、工程等领域中。
轴对称定理是中学数学中重要的定理之一，常用于证明图形对称性质和解决一些几何问题。
轴对称的重要性体现在以下几个方面：1.用于美术设计：轴对称是美术设计中广泛使用的一种手段。
图案、字形、标志等设计常以某条中轴线为对称轴，使得左右对称，达到平衡、稳定、美观的效果。
2.用于建筑设计：轴对称可以使建筑结构更加平衡、稳定。
古代建筑设计常以中轴线为对称轴，设计出了许多具有丰富文化、历史价值的建筑。
3.用于解决数学问题：轴对称可以将一些复杂的几何问题转化为易于解决的问题。
例如，通过轴对称可以证明一些定理，如轴对称定理、正方形两条对角线相等的定理等。
4.用于科学理论：轴对称在物理学、化学等科学中也经常被使用。
例如，人体的左右对称结构就具有重要的生物学意义，这种对称设计有助于人类的研究和理解。
因此，在中学数学教学中，轴对称的相关知识也具有重要意义。
教师应该设计相应的轴对称教学计划，让学生了解轴对称的定义、性质和应用。
以下是一份轴对称教案的编写。
一、教学目标1.理解轴对称的概念，能够用语言和图形描述轴对称的性质。
2.了解轴对称的应用场景，在科学、艺术、建筑等领域中进行案例分析。
3.能够运用轴对称相关定理进行问题分析和解决，提高几何思维能力。
二、教学内容1.轴对称的概念和基本性质2.轴对称定理和轴对称图形的性质3.轴对称在数学和科学、美术、建筑等领域中的应用4.练习题和解题方法的讲解三、教学过程1.导入（5分钟）通过投影或实物演示，让学生了解轴对称的应用场景，如中国古代的宫殿、寺庙建筑、铜器、玉器等，以及现代的建筑、科技产品设计等。
轴对称及中心对称变换平移及旋转变换
轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换变换是极为重要的数学思维方法，利用几何变换解题在数学竞赛中经常用到，本文介绍几何变换中的基本变换：轴对称及中心对称变换、平移及旋转变换。
一、轴对称变换把一个图形F沿着一直线l折过来，如果它能够与另一个图形F'重合，我们就说图形F和F'关于这条直线l对称。
两个图形中的对应点叫做关于这条直线l的对称点，这条直线l叫做对称轴，如右图。
轴对称图形有以下两条性质：1.对应点的连线被对称轴垂直平分；2.对应点到对称轴上任一点的距离相等。
例1 凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞OD，求证：BC+AD＞AB+CD。
分析：题中条件比较分散，故考虑“通过反射使条件相对集中”，注意到AC⊥BD，于是以BD(AC)为对称轴，将BC(AD)反射到BC'(AD')，把有关线段集中到△ABO内，利用三角形中两边之和大于第三边易证得结果。
证明：∵AC⊥BD，且OA＞OC，OB＞OD，于是以BD为对称轴，作C点关于直线BD为对称点C'，以AC为对称轴作D点关于AC 的对称点D'。
连结BC'，AD'相交于E点，则BC= BC'，AD=AD'，CD=C'D'。
∴ BE＋AE＞AB ①EC'＋ED'＞C'D' ②①＋②，得BC'＋AD'＞AB＋C'D'。
∴BC＋AD＞AB+CD。
注：(1)本题的结论对于凹四边形仍然成立；(2)还可将四边形推广成2n边形，也有类似结论。
其证明思路也完全相同，读者试自证。
二、中心对称变换如果平面上使任意一对对应点A，A'的连线段都通过一个点O，且被这一点所平分，则这个变换叫做中心对称变换(亦称点反射或点对称)，点O叫对称中心，点A和A'叫做关于对称中心的对称点，如果一个图形F在中心对称变换下保持不变(还是自身)，则这个图形F叫做中心对称图形。
关于任意轴的对称变换的5步
关于任意轴的对称变换的5步摘要：1.引言2.对称变换的概念3.任意轴对称变换的5 个步骤3.1 选择一个轴3.2 将物体绕轴旋转180 度3.3 确定旋转后的物体位置3.4 将物体沿着轴翻转3.5 确定翻转后的物体位置4.对称变换在数学和物理中的应用5.总结正文：对称变换是一种重要的几何变换，它在数学和物理中有着广泛的应用。
本文将详细介绍关于任意轴的对称变换的5 个步骤。
首先，我们需要了解对称变换的概念。
对称变换是指将一个物体或图形通过某种变换，使得其与某个轴对称。
在几何学中，轴对称变换是一种保持物体形状不变，但改变其位置的变换。
接下来，我们来介绍任意轴对称变换的5 个步骤。
第一步，选择一个轴。
对称轴可以是任意一条直线，如水平轴、垂直轴或斜轴。
选择对称轴的依据是它能够将物体分为两部分，使得这两部分关于轴对称。
第二步，将物体绕轴旋转180 度。
这意味着物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴旋转180 度。
需要注意的是，旋转的方向和角度要根据所选轴来确定。
第三步，确定旋转后的物体位置。
这一步需要根据物体的初始位置和旋转的角度来确定旋转后的物体位置。
如果物体在轴的左侧，旋转180 度后，它将位于轴的右侧；如果物体在轴的右侧，旋转180 度后，它将位于轴的左侧。
第四步，将物体沿着轴翻转。
翻转的目的是使物体上的每个点都与轴上的对应点关于轴对称。
翻转后的物体应与旋转后的物体重合。
第五步，确定翻转后的物体位置。
这一步需要根据物体的旋转位置和翻转方向来确定翻转后的物体位置。
翻转后的物体可能与初始位置重合，也可能与初始位置相反。
对称变换在数学和物理中有着广泛的应用。
在数学中，对称变换可以用于解决几何问题，如求解图形的面积、周长等；在物理中，对称变换可以用于分析物体的受力情况，以及研究物体在相互作用过程中的运动规律。
总之，任意轴对称变换是一种在数学和物理中具有重要意义的几何变换。
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第十七讲几何变换之轴对称（中）
【例1】如图，I是△ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），且CA＋AI＝BC.若∠BAC ＝80°，求∠ABC和∠AIB的大小.
【例2】已知在△ABC中，AD⊥BC，D在BC上，已知∠ABC＞∠ACB，P是AD上的一点，求证：AC＋BP＜AB＋PC.
【例3】如图所示，在△ABC中，AB＞AC，BE、CF为△ABC的两条高，
求证：AB＋CF＞AC＋BE.
轴对称变换一般应用于处理整个图形是非轴对称图形而其中有部分轴对称图形（相对于整个图形而言，称为轴对称子图形），尤其是这个轴对称子图形的直线型元素（线段、射线、直线）或圆弧形元素（圆弧、圆）至少有两个的平面几何问题.
【例4】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C.
求证：AB＋BD＝CD.
【例5】在等腰直角△ABC中，P为内部一点，满足PB＝PC，AP＝AC.
求证：∠BCP＝15°.
【例6】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC，P为△ABC内一点，AP＝AC，PB＝PC，求证：∠BAC＝3∠BAP.
【例7】△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，I是内心.
求证：AB＝IC.。