正态分布及其经典习题和答案

【知识网络】

1 、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；

2 、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题;

(4) 从1, 2, 3, 4, 5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为 _________________ (5) 如图，两个正态分布曲线图：

1

为 1,1

(x) , 2 为 2 2(X),

中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对 2题才算合格.

(I)求甲答对试题数E 的概率分布及数学期望; (H)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率

例3 :甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 X 和Y ,其分布列如下:

(1) 求a,b 的值； (2) 比较两名射手的水平

例4 :一种赌博游戏：一个布袋内装有 6个白球和6个红球，除颜色不同外， 6个小球完全一样，每次从袋

中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白， 输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为 这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”

.。

正态分布

3、通过实际问题，借助直观(如实际问题的直观图) 【典型例题】

例1 : ( 1)已知随机变量 X 服从二项分布，且

，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 E ( X )=，V ( X )=，则二项分布的参数

n , p 的值为

A n=4，p=

B . n=6,p=0.4 (2)

正态曲线下、横轴上，从均数到

A 95%

B . 50%

C . %

C. n=8, p=

D. n=24, p=

的面积为(

)

。

D .不能确定(与标准差的大小有关)

(3) 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为

80,标准差为10,理论上说在 80

分到

90分的人数是

A 32

B 16

C 8

D 20

例2:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的

10道试题中，甲能答对其中的 6题，乙能答对其

1 答案：B 。解析：EX np 2.4 , V X n p(1 p) 1.44。

2.答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。

3.答案：B 。解析：数学成绩是X — N(80,10 2),

4. P(80 X 90) P 80 80 Z 90 80

P(0 Z 1) 0.3413,48 0.3413 16。

10 10

5.答案：v,＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

例 答案：解：(I)依题意，甲答对试题数E 的概率分布如下:

13 11 甲答对试题数E 的数学期望 E E =0

1 2丄3丄 30 10

2 6

45

例答案：(1) a=,b=;

(2) EX 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3, EY 1 0.3 2 0.4 3 0.3 2

0.855, DY 0.6所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定

【课内练习】

P (A ) = cfc 4 C ：=60 20 2 P(B)=

Cw 120

3 '

C |C

2 C ；

56 56 14

15'

因为事件A 、B 相互独立,

G

3

120

2

14

1 方法一：.••甲、乙两人考试均不合格的概

P A B

P A P B

1 -1

3

15

45

1 44

••、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P 1 P A B 1

45 45

答: 甲、乙两人至少有一人考试合格的概率

为

44

45

方法一 二：.••甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

2 1

1 14

2 14 44

P P A B P A B P A B -

3 15 3 15 3 15 45

(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为

A B,则

答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 C k C 6 k

X ,则 X — H( 6, 6, 12), P(X k) 6 6 6

，其中 k=0,1,2，…,6

C 12

设赢得的钱数为Y ,则Y 的分布列为

••• E (Y )

100

盘50

7720

瓷100100

29

・44

,故我们不该“心动”

DX 答案：设取出的红球数为

1标准正态分布的均数与标准差分别为 ()

0与0 D . 1与1 ，() 相应的正态曲线的形状越扁平。

越大 D . 越小

1 n

- 2

,x n ，那么 X i x 是指

n i 1

A.

B .

C .

2

D .

2

(

)

5•对某个数学题，甲解出的概率为 2

，乙解出的概率为-，两人独立解题。记

X 为解出该题的人数，则

E

3 4

(X ) = ______ 。

6•设随机变量 服从正态分布 N(0,1)，则下列结论正确的是 ___________ (1) P(|

| a) P(| | a) P(| | a)(a 0) ⑵ P(| | a) 2P(

a) 1(a 0) ⑶ P(| | a)

1 2P(

a)(a 0) ⑷ P(| | a)

1 P(|

| a)(a

0)

7.抛掷一颗骰子，设所得点数为

X ,则V (X ) = __________ 。

8•有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示:

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。

9 .交5元钱，可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球 10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱,

摸奖者只能从中任取 2个球，他所得奖励是所抽 2球的钱数之和(设为 ),求抽奖人获利的数学期望。

10.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为 (1) 求该题被乙独立解出的概率； (2)

求解出该题的人数 的数学期望和方差•

1.答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。

2.答案：C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。

A 0 与 1

B . 1 与 0

C 2.正态分布有两个参数

与

A 越大

B . 越小 C

3 .已在n 个数据x 1, x 2, 4.设 ~ B(n, p) , E 12 , V 4，贝U n 的值是