701.有理数的计算技巧-奥数精讲与测试7年级1101
有理数计算的六个技巧
有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。
以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。
例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。
2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。
这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。
3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。
例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。
4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。
例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。
5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。
例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。
6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。
例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。
这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。
在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。
专题02有理数计算常用技巧与方法(方法清单)(6个题型解读+提升训练)(解析版)
专题02有理数常用技巧与方法（方法清单）（6个题型解读+提升训练）【方法清单】有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。
一、四个原则1.整体性原则:乘除混合运算统一化乘，统一进行约分;加减混合运算按正负数分类分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
2．简明性原则:计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来:运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
3口算原则:在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。
4分段同时性原则: 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算二、运算技巧题型一：巧用凑整法计算将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消。
将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率【变式】(1)31＋(－28)＋28＋69；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)；(3)(＋635)＋(－523)＋(425)＋(1＋123)．解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；(2)16＋(－25)＋24＋(－35)＝16＋24＋(－25)＋(－35)＝(16＋24)＋[(－25)＋(－35)]＝40＋(－60)＝－20；(3)(＋635)＋(－523)＋(425)＋(1＋123)＝(635＋425)＋(－523)＋(223)＝11＋(－3)＝8.题型二：运用拆项法计算运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。
【例3】计算：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋(－625)＋(－4)＋|－3|；(2)－1423＋11215－(－1223)－14＋(－11215)；(3)23－18－(－13)＋(－38)．解：(1)－9.2－(－7.4)＋915＋(－625)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；(2)－1423＋11215－(－1223)－14＋(－11215)＝－1423＋11215＋1223－14－11215＝(－1423＋1223)＋(11215－11215)－14＝－2＋0－14＝－16；(3)23－18－(－13)＋(－38)＝23－18＋13－38＝(23＋13)＋(－18－38)＝1＋(－12)＝12.题型四：巧用裂项相消法计算凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法【变式】先观察下列各式：11111434æö=-ç÷´èø；111147347æö=-ç÷´èø；11117103710æö=-ç÷´èø；…；1111(3)33n n n n æö=-ç÷++èø，根据以上观察，计算：1111447710+++´´´ (120052008)+´的值．【答案与解析】解：原式111111111111343473710320052008æöæöæöæö=-+-+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø… 111111111344771020052008æö=-+-+-+×××+-ç÷èø 1113200812007320086692008æö=-ç÷èø=´=【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n æö-ç÷+èø的形式，然后再进行计算．题型五：正逆用分配律计算正难则反逆用运算定律以简化计算乘法分配律a(b+c)-ab+ac 在运算中可简化计算，而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立有时逆用也可使运算简便。
有理数的运算技巧
有理数的运算技巧有理数是指可用整数比值得数，包括整数、分数以及这两者之间的有限小数或循环小数。
有理数具有很多特点和规律，掌握一些运算技巧可以帮助我们更快更准确地进行有理数的运算。
下面将介绍一些常用的有理数运算技巧。
1.整数的加减运算：a)同号相加减：将它们的绝对值相加，结果的符号与原来相同。
b)异号相加减：将绝对值较大的数减去绝对值较小的数，结果的符号与绝对值较大的数相同。
2.分数的运算：a)分数的加减：先找到两个分数的最小公倍数，然后将两个分数的分子乘以最小公倍数除以原分母，再进行相加减即可。
b)分数的乘法：将两个分数的分子乘积作为结果的分子，分母乘积作为结果的分母。
c)分数的除法：将除数分数的分子与被除数分数的分母相乘，除以除数分数的分母与被除数分数的分子的乘积。
3.有理数的混合运算：首先进行混合数的整数部分的加减运算，然后再进行分数部分的运算。
如：31/4+22/5=(3+2)+(1/4+2/5)4.有理数的乘方运算：将有理数的底数按照要求进行相应的运算，然后再求幂。
如：(-2/3)^3=(-2/3)*(-2/3)*(-2/3)5.有理数的开方运算：对于完全平方数的有理数，可以直接提取出有理数的平方根。
对于非完全平方数的有理数，可以先将其化成最简分数形式，再进行开方运算。
6.有理数的逆运算：a)有理数的相反数：改变有理数的符号即可。
如：(-5)的相反数为5b)分数的倒数：将分子与分母互换位置即可。
如：1/4的倒数为4/17.有理数的化简：a)两数的最大公约数：将两数各自分解质因数，然后将公共的质因数相乘，得到的结果即为最大公约数。
b)两数的最小公倍数：将两数各自分解质因数，将各自分解质因数中的若干个质因数按照次数最多的那一组相乘，得到的结果即为最小公倍数。
8.小数的进位和舍位：a)进位：小数的末尾数大于等于5时，前一位数进位。
b)舍位：小数的末尾数小于5时，前一位数舍去(不进位)。
以上是有理数运算的一些常用技巧，通过掌握这些技巧，我们可以更加便捷和准确地进行有理数的运算。
初一数学有理数混合运算解题方法与技巧
初一数学有理数混合运算解题方法与技巧板块一、有理数基本加、减混合运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.示例：a+b=b+a(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.示例：(a+b)+c=a+(b+c)(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.示例：a-b=a+(-b)有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.示例：(+3)+(-0.15)+(-9)+(+5)+(-11)=3-0.15-9+5-11，它的含义是求正3，负0.15，负9，正5，负11的和.板块二、有理数基本乘法、除法有理数乘、除法Ⅰ：有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.示例：ab=ba (乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.示例：abc=a(bc)(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.示例：a(b+c)=ab+ac(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算.Ⅱ：有理数除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.板块三、有理数混合运算的顺序在进行有理数运算时，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的数.-----------------------------------------------------------------------------------------------------有理数运算所需的小学知识储备：整数、小数和分数的四则运算；约分和通分；常用的小数与分数的互化；基本的运算律和运算性质；在进行有理数运算之前，必须要掌握相反数、倒数和绝对值等相关概念：相反数：倒数：绝对值：要想学好有理数运算，必须要熟练掌握有理数运算法则：加法：减法：乘法：除法：乘方：有理数运算要点：有理数的运算顺序:先乘方和绝对值，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。
初一奥数 第五讲 有理数的计算技巧
第六节 活学巧算【知识要点】1．裂项相消法：有些求若干个分数之和的计算题，如果用通分的方法来解答，显得既繁又难，也很不容易求出正确答案，我们可以把其中的每个加数，根据()11111+-=+n n n n 的原理，分裂为两个分数之差，这样算式中除首、尾两项之外，其余各分数均加、减相消，可巧妙求出整个算式的和，这种巧解思路，称为裂项相消法．2．裂项公式：（1）()11+n n 型（n 为自然数）裂项公式．因为111+-n n =())1(1)1(11+=+-++n n n n n n n n ， 所以，有裂项公式()11111+-=+n n n n ． （2）)(1k n n +型（k n ,均为自然数）裂项公式．⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k n n k 111()()()k n n k n n n k n n k n k +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=11 所以，有裂项公式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k k n n 111)(1 姓名： 日期：（3）)(k n n k +型（k n ,均为自然数）裂项公式．因为)()()(11k n n k k n n n k n n k n k n n +=+-++=+-，所以，有裂项公式kn n k n n k +-=+11)(．3．倒写相加法：用将原式倒序排列后所得的新式，再与原式对应项相加，使所得的和均相等，这样能使计算简便，这种计算方法叫做倒写相加法．4、整体换元法用字母将算式中具有共同特点的部分进行整体代换后，可以使计算简化。
这种方法叫做整体换元法。
【典型例题】例1 计算：10032114321132112111+++++++++++++++．例2 求证：()()()212324321641531421311+++-=+++⨯+⨯+⨯+⨯n n n n n ．例3 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++19991141131121119991411311211413112113121121例4、 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++9897983981656361434121例5．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+9182734637281941322314312213211211例6.比较200022000164834221+++++=S 与2的大小．例7、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++199613121119971413121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-199614131211997131211【经典练习】1．计算：()()13231741411+-++⨯+⨯n n ．2．计算：191817143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯3．计算：200320017531++++++4．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++60596058602601545352514342413231215．计算：2019181715432143211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯6．122000200120012001+++=7．1111399241111111111111111112232342399+++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．111113142531999199720001998+++++=⨯⨯⨯⨯⨯9.⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++7665544332766554433221121766554433221766554433221210．计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++17113111119117113111111911711311111711311111思考题：222222221223342000200112233420002001+++++++=⨯⨯⨯⨯有理数的巧算作业1．111111123456761220304256++++++=2．32191617815413211++++姓名： 成绩：3．1111 1661111165156 ++++⨯⨯⨯⨯4．()() 22222222 24610013599 12310981++++-+++= ++++++++5．1111 224246246200 ++++++++++。
【初一数学】初一奥数专题七有理数计算技巧(二)(共5页)
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有理数计算运算技巧讲解
初一数学竞赛选讲有理数的巧算（一）有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 34345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n 2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n 2-(n 2-12)=n 2-n 2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690． 例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析 式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(．解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1) =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=…… =(232-1)(232+1) =264-1．1、若单项式324y x m --与单项式n y x 27332-能合并成一项，求()n m n m 2222--+的值．2、设P=223b ab a ++，Q=223b ab a +-且P －[Q －2P －（－P －Q ）]+R=222b ab a ++，求R ． 3、计算：①求)26532(3)54332(2434-+---+-x x x x x x 的值，此时x=21- ②求32332331)]}3(2[22{23b ab a b a b ba b a a --+--+-的值，此时a=2，b=3．1、 求代数式1234567891023456789+++++++++x x x x x x x x x ，当x=－1时的值时由于将式子中某两项的“+”号看成了“－”号，算出的结果为7，看错的是哪几项？ 2、 多项式42112435--++-++m n n nm nmnmy x v uy x v u （其中m 、n 为正整数）化简后为三项式，求mn 的值。
有理数的计算方法与技巧
有理数的计算方法与技巧
1. 嘿，你知道吗，有理数计算有个超棒的方法叫凑整法！就好像搭积木一样，把能凑成整数的数字放在一块儿。
比如算 37+63，这不是很明显能凑成 100 嘛！这样计算起来多轻松呀，是不是很妙啊？
2. 还有哦，转化法也很厉害呀！把分数呀小数呀转化成容易计算的形式。
比如说不就等于四分之一嘛，这样一转换，计算就简单多啦。
就像给数字变个魔法一样，多有趣呀！
3. 哇塞，裂项相消法也绝对不能错过！当遇到那种一连串可以拆分的式子，就像拆礼物一样把它拆开。
比如算 1/2+1/6+1/12，把它们拆成
1/(12)+1/(23)+1/(34)，然后一消，结果就出来啦，神奇吧！
4. 特殊值法也超好用的呀！有时候不用费劲去算复杂的式子，找个特殊值代入试试。
比如说要研究一个式子的规律，随便找个方便的数带进去，不就大概能知道啦，多快捷呀！
5. 整体代入法也非常酷哦！当式子中有相同的部分，就像发现宝藏一样把它拎出来整体代入。
比如前面算出一个值后面又用到，直接代入，多省力呀！
6. 倒推法有时候也能派上大用场呢！从结果反推回去找答案。
就好像走迷宫从出口往入口找路一样，是不是很特别啊！
7. 分类讨论法也很关键呢！根据不同情况分别去算。
好比走不同的路去寻找答案，每一条路都可能有惊喜呢！
总之，有理数的计算方法和技巧那可真是丰富多彩呀，掌握了这些，计算起来就像玩游戏一样有趣又轻松！。
七年级有理数的运算技巧
七年级有理数的运算技巧在七年级数学学习中，有理数的运算技巧是一个非常重要的内容。
有理数包括整数和分数，掌握有理数的运算技巧不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以在后续的数学学习中打下坚实的基础。
本文将介绍七年级有理数的四则运算技巧以及有理数的约分与化简技巧。
一、有理数的加法和减法运算技巧在进行有理数的加法和减法运算时，首先需要判断两个数的符号，然后按照符号的不同进行相应的运算。
1. 同号数相加（减）：将两个数的绝对值相加（减），并保持符号不变。
例如：计算-3 + (-5)的结果，首先将绝对值3和5相加，得到8，然后保持符号为负，最终结果为-8。
2. 异号数相加（减）：将两个数的绝对值相减，然后保持绝对值较大的数的符号。
例如：计算-4 + 7的结果，首先将绝对值7减去4，得到3，然后保持绝对值较大的数7的符号，最终结果为3。
二、有理数的乘法和除法运算技巧有理数的乘法和除法运算相对于加法和减法而言，稍微复杂一些。
下面将介绍有理数的乘法和除法运算技巧。
1. 有理数的乘法：将两个数的绝对值相乘，然后根据乘积的符号确定最终结果的符号。
例如：计算-2 × (-3)的结果，首先将绝对值2和3相乘，得到6，然后根据乘积的符号确定结果的符号为正，最终结果为6。
2. 有理数的除法：将除数和被除数的绝对值相除，然后根据除法的规律确定最终结果的符号。
例如：计算-8 ÷ 4的结果，首先将绝对值8和4相除，得到2，然后根据除法的规律确定结果的符号为负，最终结果为-2。
三、有理数的约分与化简技巧约分是指将分数的分子和分母同时除以它们的公约数，使得分数的值保持不变但表达更简洁。
例如：将分数8/12约分为最简形式。
首先找出8和12的公约数，可以得到公约数4，然后将8和12同时除以4，得到分数2/3，即为所求的最简形式。
化简是指将一个复杂的数式经过一系列计算得出一个更简单且与原数式等价的结果。
例如：将数式(3+5)×2/4化简。
(word完整版)有理数的运算技巧-教师版
“显示有理数的混合运算（1）有理数的加法：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.（2)有理数的减法:减去一个数，等于加这个数的相反数。
()a b a b -=+-(3）有理数的乘法：两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. （4)有理数的除法：除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.1a b a b÷=⋅ （0b ≠ ） (5）有理数的乘方：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方。
一、有理数的加法运算技巧（1）分数与小数均有时，应先化为统一形式. （2）带分数可分为整数与分数两部分参与运算。
（3）多个加数相加时，若有互为相反数的两个数,可先结合相加得零。
（4)若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加。
（5）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. (6）符号相同的数可以先结合在一起。
二、有理数的混合运算步骤（1）在进行有理数加法运算时，优先确定符号，然后在计算绝对值，这样就不容易出错。
减法转化为加法。
（2）作带分数加法时，可将整数部分与分数部分分开相加,然后再把结果相加。
（3）既有分数，又有小数时，通常把小数化成分数。
（4）有理数相乘,先确定积的符号，再确定积的绝对值;除法转化为乘法进行计算.(5）要正确解答乘方运算，必须切实弄清乘方定义，它是求n 个相同因数的积的运算，n a a n ≠⋅，2(1)1n -=，21(1)1n +-=-.（6)带分数进行乘方运算时，一般要把带分数化为假分数，注意不能犯如下错误：211(3)924=。
三、有理数的混合运算注意要点有理数混合运算,应注意以下几点：（1）先乘方，再乘除，最后加减; （2）同级运算，从左到右进行；有理数的运算技巧知识回顾知识讲解（3）如有括号，先做括号内的运算,按小括号,中括号，大括号的顺序依次进行（4)恰当地运用交换律，结合律、分配率有时可以使计算简便（5）进行分数的乘除运算时,一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法进行有理数混合运算时易错点有:(1）符号错误；如2(2)4-=-，224-=等；（2）运算顺序发生错误，如1232123÷⨯=÷=等；（3）知识理解错误，如326=;（4）去括号法则，如112(2)222415 22-⨯-=-⨯-⨯=--=-一、有理数的加减运算【例1】计算：⑴11(28)(17)42++-⑵3510.75(2)(0.125)(12)(4)478+-+++-+-⑶3378 1.25644412-++-⑷11( 2.125)(3)(5)( 3.2)58-+++++-⑸112(3)( 2.4)()(4)335-+-++--⑹232(3)(2)(1) 1.75343------⑺219 17887.21435312.792121-++-【答案】⑴原式=1113 28(17)()11()104244 +-++-=+-=⑵原式=33151(2)(12)(4)44878+-++-+-=33151()()()(2)(12)(4)44878+-++-+-+-+-+-=5187-⑶原式=3137816444412-++-=3137(8)16(4)()()44412-+++-+-+++-=11(5)()533-+-=-⑷原式=1111(2)(3)(5)(3)8585-+++++-=11(2)5()88-++-+=3⑸原式=1212(3)(2)()(4)3535-+-++--=1212(3)(2)4()()3535-+-++-+-++=1-⑹原式=2323(3)(2)(1)(1)3434-+++-=2323(3)21(1)()()3434-+++-+-+++-=1-⑺原式=219178(87)4353(12)(0.21)(0.79)2121 +-+++-+-+-++=175【变式练习】计算：⑴12114()(3)(2)2735+-+-+-⑵5221(2000)(1999)4000(1)6332-+-++-⑶2(3)( 5.7)( 1.5)( 3.4)( 4.2)5----++++-⑷8110.8231033-+-+⑸113.125()()( 5.25)248--+--++⑹35713.2()()4612--+--同步练习【答案】⑴原式=12114(3)(2)()()()2725+-+-++-+-+-=17(1)()35-+-⑵原式=5221 (2000)(1999)4000(1)()()()6332-+-++-+-+-++-=43-⑶原式=27121 (3)5(1)3(4)510255 -++-++-=27121 (3)5(1)3(4)()()()510255-++-++-+-++-++-=0⑷原式=4411(2)35533-++-+=11(2)3()33-++-+=1⑸原式=11113()(5)28484++-+-+=11113(5)2()()8484+-++++-+-=0⑹原式=13571354612+++=13571354612++++=711330+=111530二、有理数加减运算解决实际问题【例2】超市新进了10箱橙子,每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：0.5+、0.3+、0.9-、0.1+、0.4+、0.2-、0.7-、0.8+、0.3+、0.1+那么超市购进的橙子共多少千克?【答案】(0.5)(0.3)(0.9)(0.1)(0.4)(0.2)(0.7)(0.8)(0.3)(0.1)+++-+++++-+-++++++=[0.50.30.1(0.9)][0.80.1(0.2)(0.7)](0.40.3)+++-+++-+-++=0.750100.7500.7⨯+=()kg即橙子共有500.7千克【例3】数轴的原点O上有一个蜗牛,第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去,当它爬完第100次处在B点．①求O、B两点之间的距离(用单位长度表示)．②若点C与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能到达？③若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O点多远？【答案】①1(2)3(4)99(100)50+-++-+++-=-，故O、B两点之间的距离为50个单位长度．②分两种情况，第一种情况：点C在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次,依次每两次结合相当于向正方向前进1米，所以再经过(501)298-⨯=(次)运动即可前进50米，到达B地；用时为：(1239899)22475++++÷=（分钟）．第二种情况：点C在数轴的负半轴,观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进1米,故经过100次运动即可前进50米，到达B地，用时为：(12100)22525+++÷=（分钟）．③设第n次运动时，正好60分钟,那么有12345660 2222222n+++++++=(word 完整版)有理数的运算技巧-教师版所以15n =，此时它离A 点：1234561314158-+-+-++-+=（米）．【变式练习】A 市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午A 市 某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：2.3、7.2-、 6.1-、8、9.3、 1.8-（单位：公里，向北行驶记为正,向南行驶记为负）,车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？【答案】因为每公里收费2元，且不足1公里的按1公里计算所以出租车司机的收入为收入：(3878102)276+++++⨯=(元) 出租车所行驶的路程为2.37.2 6.189.3 1.834.7+-+-+++-=公里 汽油成本:34.70.1413.88⨯⨯=（元)，收入7613.8862.12-=（元）。
关于有理数运算中的解题技巧
关于有理数运算中的解题技巧有理数是数学中的一类基础数，有着广泛的应用。
在日常生活和学习中，遇到有理数的运算、解题等问题时，往往需要掌握一些基本技巧和方法。
本文将介绍有理数运算中常用的解题技巧。
一、有理数的加减法1. 同符号数相加减同符号的两个有理数相加减，只需将它们的绝对值相加减，并保持原来的符号不变。
举例：3.5+2.1=5.6(−3.5)−(−2.1)=−1.42. 异符号数相加减异符号的两个有理数相加减，先将它们变为同符号数，然后按照同符号数相加减的方法进行计算。
举例：2.5−(−3.2)=2.5+3.2=5.7(−4.5)+7.8=7.8−4.5=3.33. 带分数的加减法若要对带分数进行加减法运算，可以先将其转化为假分数，然后再按照同符号数相加减的方法进行计算。
举例：$$\\frac{3}{4}+\\frac{1}{2}=\\frac{3\\times2}{4\\times2}+\\frac{ 1\\times 4}{2\\times4}=\\frac{6+4}{8}=\\frac{5}{4}$$$$\\frac{1}{2}-\\frac{2}{3}=\\frac{1\\times 3}{2\\times3}-\\frac{2\\times 2}{3\\times2}=\\frac{3-4}{6}=-\\frac{1}{6}$$二、有理数的乘除法1. 乘法有理数的乘法，可以先将它们的绝对值相乘，再确定符号。
•同号相乘得正数；•异号相乘得负数。
举例：$$3.5\\times2.4=8.4$$$$(-3.5)\\times(-2.4)=8.4$$$$(-3.5)\\times2.4=-8.4$$$$3.5\\times(-2.4)=-8.4$$2. 除法有理数的除法，可以先将它们的绝对值相除，再确定符号。
•分子、分母同号，商为正数；•分子、分母异号，商为负数。
同时，当分母为0时，除法无意义，需避免出现这种情况。
有理数运算方法与技巧
掌握了有理数的运算法则，才能更好地进行四则运算。
以下是一些有理数运算的技巧：
1. 乘法分配律的应用：乘法分配律是进行有理数乘法运算的重要法则之一。
对于任意三个有理数a、b、c，有a ×(b + c) = a ×b + a ×c。
这个法则可以用于简化有理数的乘法运算，例如(a + b) ×(a - b) = a^2 - b^2。
2. 绝对值的运算：绝对值是有理数的一个重要概念，它可以用于化简复杂的运算。
例如，|a + b| = |a| + |b|仅当a和b同号时成立，如果a和b异号，则|a + b| < |a| + |b|。
绝对值的性质可以帮助我们解决一些复杂的有理数问题。
3. 分数的运算：分数的运算法则是进行有理数四则运算的重要基础。
在分数运算中，应注意通分的意义和分母的扩大或缩小对分数值的影响。
同时，对于复杂的分数运算，可以通过化简、约分等方法简化问题。
4. 倒数的应用：倒数是有理数的一个重要概念，它可以用于化简有理数的除法运算。
例如，
a /
b = a ×1/b，即除法可以转化为乘法运算。
此外，倒数的性质还可以用于解决一些复杂的有理数问题。
5. 综合运算的顺序：在进行有理数的混合运算时，应按照先乘除后加减、先括号后指数的顺序进行。
注意运算的优先级，合理使用括号，可以避免计算错误。
通过掌握这些有理数运算的技巧，我们可以更好地理解和掌握有理数的四则运算，提高解题效率和准确性。
七年级奥数：有理数的计算
七年级奥数：有理数的计算阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算． 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度．有理数的计算常用的技巧与方法有： 1．利用运算律； 2．以符代数； 3．裂项相消 4．分解相约； 5．巧用公式等．例题与求解例1 已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3，则x —(1+m +n +ab )x +(m +n )x+(—ab )的值等于_________．(湖北省黄冈市竞赛题)解题思路 利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算．例2 把足够大的一张厚度为0．1mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过12mm ，至少要对折( )．(A )6次 (B )7次 (C )8次 (D )9次 (江苏省竞赛题)解题思路 探索对折的规律，运用估算求解．例3 计算： (1) 1111..12123123100+++⋯+++++++⋯⋯+ (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2) 23419987777.7++++⋯+(江苏省泰州市奥校竞赛题)(3) 22222221949195019511952199719981999-+-+⋯+-+(北京市竞赛题)解题思路 对于(1)，若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于(2)，由于相邻的后一项与前一项的比都是7，考虑用字母表示和式；(3)式使人联3220012002想到平方差公式．例4 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a +b ，a 的形式，又可表示为0、、b 的形式，求的值．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路 由于三个互不相等的有理数有两种表示形式，因此，应考虑对应分情况讨论．例5 有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3，例如，30可以这样得到：(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到2．(全国初中数学竞赛题)解题思路 要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的程序即可．能力训练 A 级1．初一“数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10张盾牌如下所示：则盾牌后面的同学中，有女同学_____人，男同学______人．2．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算，例如对1，2，3，4，可作运算：(1+2+3)×4=24(注意上述运算与4×(1+2+3)应视作相同方法的运算)．现有四个有理数3，4，-6，10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：(杭州市重点中学加试试题)3．计算：(1)111135577919971999+++⋯+=⨯⨯⨯⨯ (2) 43421(0.25)(8)2(2)(6)3⎛⎫⎡⎤-⨯--+-÷-÷- ⎪⎣⎦⎝⎭=ab20001999b a+30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+2297100-+4．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，…，依此类推，直主最后减去余下的，最后的答数是_________． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5.如果对于任意非零有理数a 、b 定义运算△如下:a ba b ab-=，则 5(43)=____ 6.如果有理数c 、b 、c 满足关系式0a b c <<<那么代数式23bc acab c-的值（ ). （A ）必为正数 （C ）可正可负 （B ）必为负数 （D ）可能为0（第十六届江苏省竞赛题） 7．199797199898,,,199898199999----这四个数由小到大的排列顺序是（)・ 199797199898(A) 199898199999199819979897 (B) 199919989998979819971998 (C) 989919981999981998971997 (D) 991999981998-<-<-<--<-<-<--<-<-<--<-<-<-(重庆市竞赛题)8.若a 与（一b ）互为相反数，则221898991997a b ab+= (A) 0 (B) 1 (C) -1 (D) 1997 9.如果20012002()1,()1a b a b +=--=,则20032003a b +的值是（)・(A) 2 (B) 1 （C ） 0 （D ） -1 （第十三届“希望杯”邀请赛试题）10.若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数9且abed = 9,则d+b+c+d 等于（ ）. (A) 0 (B) 4 (C) 8 （D ）值无法确定 1 1 亠1L 把111,3.7,6,2.9,4.652分别填在图中五个○内，再在每个□中填上和它相连的三个○中的数的平均数，再把三个□中的平均数填在△中找出一种填法，使△中的数尽可 能小,并求这个数.2131415119971（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛） 12.已知a 、b 、c 都不等于零，且||||||||a b c abca b c abc +++的最大值为m ，最小值为n ，求(+1)1998m n +的值.B 级1.计算：1131351397=244666989898⎛⎫⎛⎫⎛++++++++++⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝） （第十届“五羊杯”竞赛题）2．计算：23456789102222222222--------+= （第十届“希望杯”邀请赛试题）3．计算：212424824139261839n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎛⎫= ⎪⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⎝⎭4．据美国詹姆斯·马丁的测算，在近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度，因此，基础教育的任务已不是“教会一切人一切知识，而是让一切人会学习”．已知底，人类知识总量为以a ．假如从底到2009年底是每3年翻一番；从2009年底到2019年底是每1年翻一番；2020年是每73天翻一番．则： (1)2009年底人类知识总量是——； (2)2019年底人类知识总量是——；(3)2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是——． (北京市顺义区中考题) 5.你能比较两个数20022001和20012002的大小吗？为了解决这个问题.我们先写岀它的一般形式，即比较1n n +与+1nn （）的大小（n 是自然数），然后，我们从分析1,2,3,n n n ===中发现规律，经归纳、猜想得出结论.（1）通过计算.比较下列各组中两个数的大小（在空格中填写<，=，>号）2132435465(1)12;(2)23;(3)34;(4)45;(5)56-----（2）从第（1）题的结果经过归纳.以猜想出1n n+与+1nn （）的大小关系是——； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20022001_20012002 (福建省龙岩市中考题)6．如果ac<0,那么下面的不等式22330,0,0,00aac a c c a ca c<<<<<，中必定成立的有（）个(A )1 (B )2 (C )3 (D )47. a 、b 都是有理数,代数式222222222,,(),(),1,0.001,a b a b a b a b a a b +--++++24231a b ++中，其中值为正的共有（ ）个・(A )3 (B )4 (C )5 (D )68．三进位制数201可用十进位制数表示为21230312901219⨯+⨯+=⨯++；二进位制数1011可用十进位制法表示为3211202121802111⨯+⨯+⨯+=+++=．前者按3的幂降幂排列，后者按2的幂降幂排列，现有三进位制数a =221，二进位制数b =10111，则a 与b 的大小关系为( )．(D )不能判定(重庆市竞赛题)9．如果有理数a ．b 、c 、d 满足a +b >c +d ，则( )． (第十一届“希望杯”邀请赛试题)222233334444(A) |1||1| (B) (C) (D) a b c d a b c d a b c da b c d-++>++>++>++>+10．有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为( )． (《学习报》公开赛试题)999997998999(A)(B)(C)(D)199719971998199811．设n 为自然数，比较与2的大小. 12．如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和(1)大于9 (2)大于10? 若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由． (第十五届江苏省竞赛题)n n ns 223222132++++=n s。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第02章-有理数及其运算
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第02章-有理数及其运算1.整数和分数的大小比较：-方法一：通分。
将整数转换为分数，然后通分进行比较。
-方法二：化为相同的分数形式。
将分数化为相同的分母，然后比较分子的大小。
-方法三：换算成小数进行比较。
将分数转换为小数形式，然后比较大小。
2.有理数的加法和减法运算：-方法一：同分母相加（减）。
-方法二：通分后相加（减）。
3.有理数的乘法运算：-方法一：分子乘分子，分母乘分母。
-方法二：化为最简形式。
-方法三：化为小数进行计算。
4.有理数的除法运算：-方法一：分子乘除分子，分母乘除分母。
-方法二：化为最简形式。
-方法三：化为小数进行计算。
5.有理数的混合运算：-方法一：先按运算顺序完成个别运算，然后进行总体运算。
-方法二：化为分数形式进行运算。
6.有理数的平方运算：-方法一：整数的平方是整数，分数的平方是分数。
-方法二：先化为最简形式，再进行平方运算。
7.有理数的相反数和绝对值：-方法一：相反数是原数的负数。
-方法二：绝对值是原数的去掉符号的值。
8.有理数的乘方运算：-方法一：整数次幂，底数不变，指数相乘。
-方法二：0的正整数次幂为0。
-方法三：0的非正整数次幂无意义。
-方法四：1的任何整数次幂都为1-方法五：负数的奇数次幂为负数，偶数次幂为正数。
-方法六：分数的乘方运算，将底数与指数分别进行乘方运算。
9.有理数的开方运算：-方法一：将开方式化为最简形式。
-方法二：将开方数化为分数形式。
-方法三：化为小数进行计算。
10.展示解题过程和解题思路。
解答有理数的运算问题时，尽量展示解题过程和解题思路，不仅仅写出答案，可以加深对有理数运算规则的理解，并且能体现出解题的逻辑性和连贯性。
11.理解运算规则。
熟练掌握有理数的运算规则，不仅能快速解答题目，还能够在解题过程中发现和运用运算规则，更好地理解数学概念和思维方法。
七年级有理数学习技巧
七年级有理数学习技巧有理数是七年级数学中的重要概念，也是后续数学学习的基础。
对于刚刚升入七年级的同学来说，掌握有理数的相关知识和学习技巧至关重要。
下面就为大家分享一些有理数学习的实用技巧。
一、理解有理数的概念有理数包括整数和分数，整数可以看作是分母为 1 的分数。
要理解有理数，首先要明确数轴的概念。
数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
通过数轴，可以直观地理解有理数的大小和正负关系。
比如，在数轴上，右边的数总是大于左边的数。
正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，0 既不是正数也不是负数。
二、掌握有理数的运算1、加法和减法有理数的加法和减法要特别注意符号的运算。
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例如，＋5 ＋（＋3) ＝＋8，－5 ＋（＋3) ＝－2 。
减法运算可以转化为加法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数。
比如，5 3 ＝ 5 ＋（－3) ＝ 2 ，5 （－3) ＝ 5 ＋ 3 ＝ 8 。
2、乘法和除法有理数的乘法法则是：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
例如，＋2 ×（＋3) ＝＋6 ，－2 ×（＋3) ＝－6 。
除法运算同样要先确定符号，除以一个数等于乘以这个数的倒数。
比如，6 ÷ 3 ＝ 6 × 1/3 ＝ 2 ， 6 ÷（－3) ＝ 6 ×（－1/3) ＝－2 。
3、混合运算有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。
例如，计算：（－2)² × 3 （－4) ÷ 2首先计算乘方：（－2)²＝ 4然后计算乘法和除法：4 × 3 ＝ 12 ，－4 ÷ 2 ＝－2最后进行加减运算：12 （－2) ＝ 12 ＋ 2 ＝ 14三、多做练习题通过大量的练习题，可以加深对有理数概念和运算的理解和掌握。
有理数的计算方法与技巧
有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。
一、注意事项：①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。
这样可以防止出错。
②应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。
③在进行有理数的加减法运算时，先观察有没有相加后为0的数，若有，先将它们结合起来；然后把同分母的数相加；若是带分数，还可以将其整数和分数部分分别结合相加；若既有小数又有分数，通常将小数化为分数（熟记一些常见的数据：0.125= _____________________ 0.25= _____ ，0.375= _ ，0.75= ____ 等）。
在进行有理数混合运算时，若有公因数，一般先提出，然后运算。
有时可以利用因数之间关系获得公因数。
在运算过程中应注意符号的变化。
二、运算顺序有理数混合运算的运算顺序：①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。
三、四个原则：①整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。
③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。
④分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。
如何分段呢？主要有：(1)运算符号分段法。
有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。
有理数的运算技巧归纳
数学学习与研究2014.12【摘要】运算是数学学习的一个重要组成部分,也可以说是数学的一大特色.在初中数学的学习中,有关于数的知识点,最大的一个变化就是引入了有理数,有关有理数的运算也变得更加丰富多彩,数从正数和零扩展到了负数,在运算上的种类也更加多,计算也变得更加复杂.因此,学生们在进行相关的有理数运算的时候,要学会归纳和总结,善于提取经验和方法,把复杂的运算简单化.【关键词】初中数学;数学教学;有理数的运算;运算方法有理数的运算可以说是初中阶段最基础的一种运算,是必须要过关的.刚升入初中的学生对代数的认识还是比较有限的,由于旧知识及旧思维习惯的影响,使很多学生在接触有理数的运算时,总是会觉得很难适应,在计算时也常常会出错.本文将以一些典型例题来谈谈在有理数的运算中常用的一些有效的运算方法和技巧.特别是在初中阶段,计算题的考查更重要的一个方面是考查学生们的思维习惯、计算的方法和技巧,而不是让学生们机械地进行一些复杂的计算.因此,总结和学习一些实用的运算技巧也是非常有必要的.一、凑整法凑整是数学运算中最基础的一种简便运算方式,在小学阶段就有过接触.凑整法的目的就是把一个算式中能够凑成整十或整百的数先凑到一起进行运算,也可以通过引入数字,对原式中的数进行凑整,从数字上简化运算,实现快速且准确的计算.例1计算89+899+899+89999+899999.解析原式=90-1+900-1+9000-1+90000-1+900000-1+999990-5=999985.点评当式子中的数接近某个整十或整百数时,凑整法是最先要考虑的,如题中,通过凑整的方式实现了口算,快速且准确.二、分解法分解法主要就是根据需要对某些数或式子进行分解,从而简化运算.例257×5556+27×2728.解析原式中不能进行约分,可以在整数部分构造出一个与分母相同的数来简化运算.原式=(56+1)×5556+(28-1)×2728=(55+27)+5556-2728()=28156.点评通过拆分的方法把数字拆成与分母相关的数,在计算中就可以进行约分,从而让计算变得更加简单.三、结合法结合法就是把能进行简单运算的数结合到一起,比如说同分母的分数结合在一起,就可以免去通分,直接进行计算.例312+13+…+159+160()+23+24+…+259+260()+…+5860+5960()+5960.解析原式=12+13+23()+…+160+260+5960()=885.点评关于分数的加减,最好的方法就是免去通分,直接加减,而在分数的乘除法中,最好的方法就是能够约分.这是两种简化分数运算的常用方法.四、裂项法裂项法一般就是把一个分数拆成两项相加或相减,在前后项的连续运算中进行抵消,最后转化成为简单的运算.例4计算12+16+112+120.解析原式=11×2+12×3+13×4+14×5=1-22()+12-13()+13-14()+14-15()=1-15=45点评通过裂项,把一个分数拆成两个分数的差,与前后的项互相抵消,运算就简单了,这是一种很典型的计算题,方法和思路也是比较固定的,一般是先将原式中分母拆分为两个连续自然数的乘积.五、巧用公式在初中阶段的计算中,常会用到平方差或完全平方公式对算式进行变形计算,公式比较简单,但要能够灵活运用还是需要一定的技巧的.例5计算(1+2)(1+22)(1+24)(1+28).解析因为1=2-1.所以,原式=(2-1)(2+1)(1+22)(1+24)(1+28)=(22-1)(1+22)(1+24)(1+28)=(24-1)(1+24)(1+28)=(28-1)(1+28)=216-1.点评公式的灵活运用,首先要明确使用公式的算式中的一些特征,看到题目中出现了平方,我们就要想到有关平方的一些公式,而“1”是比较特殊的,可以写成12,像这样的一些分析方法和解题技巧是需要平时积累的.六、换元法换元法不一定就是在解方程组中使用,在一些算式中,如果总是出现某个相同的代数式,并且这个代数式还比较复杂,那就可以考虑使用换元法先将算式化简,再进行计算.例6计算137+141+143+147+153()×141+143+147+153+154()-137+141+143+147+153+154()×141+143+147+153().解析设137+141+143+147+153=a ,141+143+有理数的运算技巧归纳◎丁式清(浙江省天台县栖霞中学317200). All Rights Reserved.数学学习与研究2014.12147+153=b ,那么a -b =137.原式=a b +154()-a +154()b =ab +154a -ab -154b =154(a-b )=11998.点评像这种题目,如果按照正常的计算方法,肯定是很难的,计算量相当大,而通过换元法,把算式先化简之后再计算,就简单了很多.这种类型的题目特征也很明显,就是相对复杂的代数式重复出现,代数式之间存在着某种关联,这样就可以用假设的方式用字母代替这个代数式再进行化简运算.七、乘方的巧算乘方是初中阶段学习的又一种运算方式,在乘方运算中,如果指数特别大,是很难算的,而乘方的运算同样也可以通过巧妙的方法来简化计算.例7计算(-0.125)12×-123()7×(-8)13×-35()9.解析原式=-0.12512×53()7×813×35()9=-(0.125×8)12×53×35()7×8×35()2=-1×1×8×925=-22225.点评这道题目中是通过把指数不同的式子转化成为指数相同的算式,再通过积的乘方公式把相应的算式合并起来,简化计算.综上所述,有理数的运算题型是多种多样的,在解题时要先观察算式中的数字和算式结构,结合算式的特征选定适当的方法进行计算.这样不仅能提高计算的正确率,还能节省时间.因此,在平时的练习中要善于总结和反思,归纳出一套有效的解题方法,提高计算及解决问题的能力.【参考文献】[1]钱唐儿.有理数计算的若干技巧.数学大世界:初中版,2013(11).[2]赵国瑞.有理数混合运算需要具备五种意识.语数外学习:七年级(上旬),2013(9).[3]孙桂红.有理数乘除运算有技巧.初中生学习指导:初一版,2013(9).数学作业是反映学生驾驭知识的能力的一个窗口,而批改作业,则是数学教师的基本功之一.初中数学作业的批改,不是简单地画叉叉勾勾,有经验的教师可从中获取大量的反馈信息,现就以下几个方面阐述.一、建立学生作业档案将作业检查表装订成册,就是学生作业档案.批改作业时,一是记录学生完成作业的量和质,二是记录学生的典型错误和巧妙解法.这样,对每名学生完成作业的情况一清二楚,也为分析学生的错误原因和评讲作业,积累了宝贵的素材.在期终复习期间,这本作业档案还将起到巨大的作用,利于就重避轻地复习指导.二、批改作业方法的几点尝试布置和批改作业是师生双方获得信息的重要窗口,及时批改作业能使师生双方及时接受正确的信息,加快信息反馈的速度.如何调动学生的积极性,真正达到做作业和批改作业的目的呢?我为此做了以下尝试:1.随堂批改作业新课后,简单的作业可当堂完成,采用集体讨论答案,当堂集中统一批改.如教学“有理数的加法”,练习较多,可及时批改了解学生掌握知识点的情况.2.小组批改作业把不同水平的学生安排成前后两桌,每四人组成一个小组.安排一个数学成绩较好的学生任组长,每次下课前5分钟由教师提供参考答案,小组内互相批改,并把批改的情况向老师或信息小组汇报典型范例及错题情况.3.教师抽查和面批教师对小组批改后的作业要进行抽查,了解作业和批改的情况,对作业中存在的明显问题要复批或面批.4.信息小组及时做好信息交流由科代表和几名同学组成信息小组,其主要任务是:(1)汇集班上作业中出现的典型错题进行“会诊”,分析错误原因,提出正确答案供学生参阅.(2)收集作业中做题方法新颖巧妙、思路简捷、一题多解等典型范例,及时向全班进行交流.(3)每一单元教学后,在教师的指导下,信息小组总结正、反两种典型,向全班同学做交流.以达到消除错误,开阔眼界,巩固知识,掌握方法的目的.三、学生评价要定期对作业进行讲评,以总结近一段时间学生作业中的优缺点,表扬作业优良和有进步的学生.1.采用期待的评语让学生树立学习的信心有人说,教师的语言像一把钥匙,能打开学生心灵的窗户;即使是对待学生的错误,也应用激励的态度来对待.有些学生的解法比较新颖,思考方法与众不同,对于这些惊人之作,教师要用欣赏激励的口吻去着笔,如:“你的解法真新颖,值得推广.”“你真是我班的数学王子.”看到这些话,学生心中将会掀起波澜,似乎看到老师期待的目光,激励他们去认真完成作业,给我们带来更多的惊喜.2.采用肯定的评语培养学生积极的上进心人的内心总是有一种被肯定、被赏识的需要,为此教师应当尊重学生,用赏识的眼光去评价学生作业,从中找到闪光点,给予激励性的评价.为了增强实效,我还经常在批改作业时加一些针对性、启发性、鼓励性的眉批.3.采用多元的评价方式培养学生良好的学习习惯4.用评语点拨进行评价袁拓宽思路对每名学生基本知识和技能的掌握、良好的非智力因素的形成都了如指掌,从而选择有效的教学方法和手段,面向全体学生,因材施教,大面积提高教学质量.因此,批改作业的能力是教师是否成熟的一个重要标志.浅淡初中数学作业的批改◎佘友国(贵州省遵义县尚嵇中学563100)(接上页). All Rights Reserved.。
七年级上册数学有理数有理数的运算知识点整理
七年级上册数学有理数有理数的运算知识
点整理
本文介绍有理数的运算，与小学四则运算类似，但有理数运算中会涉及负数，因此相对复杂一些。
首先介绍有理数的加法，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数与相加，仍得这个数。
加法计算步骤为先定符号，再算绝对值。
有理数加法的运算律包括加法的交换律和结合律，为了计算简便，可以采取互为相反的两个数先相加、符号相同的数先相加、分母相同的数先相加、几个数相加能得到整数先相加等方法。
接下来介绍有理数的减法，实质上就是把减法变加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
有理数的乘法法则为同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同零相乘都得零；一个数同1相乘，结果是原数；一个数同-1相乘，结果是原数的相反数。
乘积为1的两个数互为倒数，没有倒数，若ab=1，则a、b互为倒数。
几个不是偶的数相乘，积的符号由负因式
的个数决定，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个
数是奇数时，积是负数。
有理数乘法的运算律包括乘法的交换律、结合律和分配律。
最后介绍有理数的除法，除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
除以任何一个不等于的数，都得0.乘除混合运算的步骤为先把除法转化为乘法，确定积的符号，运用乘法运算律和乘法法则进行计算得出结果。
有理数的乘方是求n个相同因数的积的运算，乘方的结果叫做幂。