三角形中的计算与证明(1)
三角形中的边角关系、命题与证明(知识点汇总 沪科8上)
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明一、三角形（一）、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。
（二）、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a -b<c,a -c<b,b -c<a 。
2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a 同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.4、作用：∠判断三条已知线段能否组成三角形；∠当已知两边时，可确定第三边的范围；∠证明线段不等关系。
（三）、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
八下数学第一章三角形的证明讲义
第一章三角形的证明1.1等腰三角形（一）一、问题引入：列举我们已知道的公理：.（1）公理：同位角，两直线平行.（2）公理：两直线，同位角.（3）公理：的两个三角形全等.（4）公理：的两个三角形全等.（5）公理：的两个三角形全等.（6）公理：全等三角形的对应边，对应角. 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.二、基础训练：1. 利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2)等边对等角三线合一三、例题展示：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.四、课堂检测：1. 如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF.2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为.（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.4. △ABC中，AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G 是垂足，求证：（1）G是CE中点.（2）∠B=2∠BCE.1.1 等腰三角形（二）一、问题引入：1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？2.等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.已知：求证：证明：得出定理： .问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明二、基础训练；1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？得出定理： ；简称： .三、例题展示：如图，△ABC 中，D.E 分别是AC.AB 上的点，BD 与CE相交于点O ，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.四、课堂检测：1. 已知：如图，在直角△ABC 中，角C 为45度，AD 垂直于BC,DE 垂直于AB,则图中等腰直角三角形共有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=1200, D.E 是BC上两点，且第1题 第2题 第3题 第4题AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形.3. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（）A.30B.36C.39D.424. 在△ABC中，AB=AC, ∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有个等腰三角形.5. 如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.1.1 等腰三角形（三）一、问题引入：1. 已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形.2. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形.二、基础训练：做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的.三、例题展示：1. 等腰三角形的底角为150，腰长为2a，求腰上的高.2. 判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）3. 证明三个角都相等的三角形是等边三角形.四、课堂检测1. 等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是.2. 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A =300，CD⊥AB，BD=1，则AB= .3. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC= .4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则∠A= .5. 在Rt△ABC中，∠C=300，AD⊥BC，你能看出BD与BC的大小关系吗？中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长.1.3 线段的垂直平分线（一）一、问题引入：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？二、基础训练：议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.三、例题展示：例：如图在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB.BC 延长线于F.E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC（3）∠EAC=∠B四、课堂检测:1. 已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上.2. 已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= .3. △ABC 中，∠A=500，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 .4. △ABC 中，DE.FG 分别是边AB.AC 垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= .5. 如图，△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 .6. 有特大城市A 及两个小城市B.C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B.C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.第1题 第4题 第5题中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB.BC 于D.E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C1.3 线段的垂直平分线（二）一、问题引入：1. 等腰三角形的顶点一定在上.2. 在△ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点P，则PA.PB.PC的大小关系是.3. 在△ABC中，AB=AC，∠B=580，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC= .4. 已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.A B二、基础训练：1. 三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否相等？上面的问题如何证明？定理：三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离.三、例题展示：（1）如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB 的度数；（2）如果将（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；（3）如果将（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB 的度数.你发现了什么规律？请证明；（4）如果将（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？四、课堂检测：1. 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A. 三角形三条角平分线的交点；B. 三角形三条垂直平分线的交点；C. 三角形三条中线的交点；D. 三角形三条高的交点.2. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形；B. 直角三角形；C. 钝角三角形；D. 不能确定3. 等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是.4. 已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.a b中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段.1.4角平分线（一）一、提出问题：1. 角平分线的定义：______________________________________2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.四、课堂检测1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFD C:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDFFEDC BA3. △ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4. 与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.6. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.7. 如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.1.4 角平分线（二）基础训练：1. 如图：设△ABC的角平分线交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离.引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形的面积S= .2. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为.3. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点D.不能确定三、例题展示：例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E. （1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、课堂检测：1. 到一个角的两边距离相等的点在.2. △ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D 到AB的距离为.3. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.4. △ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为.5.Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是.6. 已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM ，AD ⊥ON ，BE ⊥OM ，BF ⊥ON ，垂足分别为C.D.E.F ，且AC=AD 求证：BE=BF中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.第一章 单 元 检 测一、填空题（每小题3分）：1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为 米.2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 三角形.3. 如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是 或 .4. 命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ___________________________________ ___.这条逆命题是______命题（填“真”或“假”）5. 如图，一个顶角为40º的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21_________ ；6. 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝ ，∠DAC ＝ ，BD ＝ cm ；第18题图C B A 第1题 第5题7. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC.∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10，则△ODE 的周长为 .8. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是 .9. △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.若DC=7，则D 到AB 的距离是 .10. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD的长为 .二、选择题（每小题3分）1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（ ）A.90°B.60°C.120°D.150°2.下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形3. 到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点4. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D 若BC=a ，则AD 等于（ ） A.21a B.23a C.23a D.3a 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）A.30°B.36°C.45°D.70°三、解答题（每题12分）1. 如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°.求：（1）∠ABC 的度数（2）AD 和CD 的长.2.已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°.(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC. AB 于点M.N(保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.四、证明题（每题10分）1.已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD.求证：D 在∠BAC 的平分线上.2. 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝ CD ．求证：BD ＝ DE ．五、（本题11分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．。
《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
例1 已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边 上的中线且BD=B′D′ (如图)． 求证： Rt△ABC≌CORt△A′B′C′． 证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中， ∵BD=B′D′,BC=B′C′, ∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′ (HL定理)． CD=C'D'． 又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中， ∵BC=B′C ′，∠C=∠C ′ =90°，AC=A′ C ′ ， ∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)
跟踪检测
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度 数是( C) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C ) A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56° C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18° 3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重 合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D ) A．1 B．2 C．3 D．4
（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （×）
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （HL）
活动探究
活动1：如图，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； 那么， “两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”吗？.
观察下列演示，你有什么发现？
A
B
C
归纳
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
八年级数学上册优生训练：专题提升一 全等三角形的计算与证明含答案
八年级数学上册优生训练专题提升全等三角形的计算与证明专题一全等三角形性质的简单运用1.如图，已知AB=CB，BE=BF，点A，B，C在同一条直线上，∠1=∠2．（1）证明：△ABE≌△CBF；（2）若∠FBE=40°，∠C=45°，求∠E的度数．专题二全等三角形在实际生活中的应用2.课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两堆砖块之间，如图所示．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）．专题三全等三角形的开放与探究问题3．如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，且E，F，C，D在同一直线上．（1）△ABC与△ADE是否全等？并说明理由；（2）若∠B=30°，∠BAC=100°，点F是CE的中点，连结AF.请你编写一道关于角度计算的题目，并解答.专题四全等三角形的动态问题4．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图1，已知，在△ABC中，AB＝AC，P 是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连结BQ，CP，则BQ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图1的分析，发现△ABQ≌△ACP，从而得到BQ＝CP.之后，他将点P 移到△ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图2给出说明．5．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，∠B=∠C，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？专题五全等三角形的综合问题6．如图甲，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E，设BD＝m，CE＝n.（1）求DE的长（用含m，n的代数式表示）；（2）如图乙，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α（0°＜α＜180°），设BD＝m，CE＝n.问DE的长如何表示？并请证明你的结论．7．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．（1）如果∠DEF=110°，求∠BAF的度数；（2）判断△ABF和△AGE是否全等吗？请说明理由．参考答案1.（1）∵∠1=∠2，∴∠ABE=∠CBF，在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF．（2）∵∠1=∠2，∠FBE=40°，∴∠1=∠2=70°，∵△ABE≌△CBF，∴∠A=∠C=45°，∵∠ABE=∠1+∠FBE=110°，∴∠E=180°-∠A-∠ABE=25°．2.（1）由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）由题意得：∵一块墙砖的厚度为acm，∴AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，AD=CE=4a，∴DC+CE=BE+AD=7a=35，∴a=5，答：砌墙砖块的厚度a为5cm．3.（1）△ABC与△ADE全等.理由如下：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）.（2）求∠FAE的度数．∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=50°．∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB=∠AED=50°．∵点F是CE的中点，∴△ACF≌△AEF，∴∠AFC=∠AFE=90°．∴∠FAE=90°-∠E=40°．（答案不唯一）4.∵∠QAP＝∠BAC，∴∠QAB＝∠PAC，又∵AB＝AC，AQ＝AP，∴△ABQ≌△ACP（SAS），∴BQ ＝CP.5.（1）如图，经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=（8-3t）cm，CQ=xtcm，∵∠B=∠C，全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：当BD=PC，BP=CQ或当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；①当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②当BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．6.（1）∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE＝m＋n；（2）DE＝m＋n.证明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.∴∠DBA＝∠CAE.∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD ＝BD＋CE＝m＋n.7.（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠CFE=180°-∠DEF=70°，由折叠知：∠AFE=∠CFE=70°，∴∠AFB=180°-∠AFE-∠CFE=40°，∵∠B=90°，∴∠BAF=90°-∠AFB=50°．（2）结论：△ABF≌△AGE.由折叠知：AG=CD，∠G=∠D=90°，∠GAF=∠C，∴∠B=∠G，∵AB=CD，∴AB=AG，∵∠GAF=∠C=∠EAB，∴∠GAE=∠BAF，在△ABF和△AGE中，∴△ABF≌△AGE（AAS）．。
正弦定理的证明(1)
正弦定理的证明正弦定理（Sine Rule）是三角学中常用的一个定理，它描述了一个三角形中各边与其对应的角之间的关系。
在本文档中，我们将给出正弦定理的证明。
定理表述设在一个三角形ABC中，a、b 和 c 分别表示三角形的三条边的长度，而 A、B 和 C 分别表示相应的三个角的大小。
那么，正弦定理可表述如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)证明为了证明正弦定理，我们将使用向量和三角函数的相关性质。
考虑一个三角形ABC，我们可以将向量AB和AC表示为：AB = BA = b * uAC = CA = c * v其中 u 和 v 是单位向量。
我们可以将向量 BC 表示为：BC = AC - AB = (c * v) - (b * u) = (c * v) + (-b * u)由于向量 BC 可以被表示为两个非零向量的和，我们可以利用三角恒等式来求解这个向量。
将向量 BC 表达为向量 u 和 v 的线性组合之后，我们可以使用三角函数的定义来分解这个向量。
对向量 u 和 v 进行正弦分解，我们可以得到：BC = c * sin(C) * v + (-b * sin(B) * u)其中 sin(B) 表示∠B 的正弦，sin(C) 表示∠C 的正弦。
由于 BC 的两个方向分量与三角形的两个角的正弦值有关，我们可以比较向量BC 的模与其分解后两个分量的模的关系。
根据向量的模定义，我们有：|BC| = sqrt((c * sin(C))^2 + (-b * sin(B))^2)另一方面，我们可以计算出向量 BC 的模为：|BC| = a因此，我们可以得到以下等式：a = sqrt((c * sin(C))^2 + (-b * sin(B))^2)继续化简等式，我们有：a = sqrt(c^2 * sin^2(C) + b^2 * sin^2(B))a^2 = c^2 * sin^2(C) + b^2 * sin^2(B)将等式两边同时除以 b^2 * c^2，我们得到：(a^2) / (b^2 * c^2) = (sin^2(C)) / (sin^2(B)) + 1应用三角恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，我们可以改写上述等式为：(a^2) / (b^2 * c^2) = (sin^2(C)) / (sin^2(B)) + (1 - cos^2(C)) / (1 - cos^2(B))根据余弦定理cos^2(x) = 1 - sin^2(x)，我们可以将等式继续化简：(a^2) / (b^2 * c^2) = (sin^2(C)) / (sin^2(B)) + (sin^2(C)) / (sin^2 (B))(a^2) / (b^2 * c^2) = 2 * (sin^2(C)) / (sin^2(B))将等式两边同时乘以(b^2 * c^2) / 2，我们有：(a^2) * (b^2 * c^2) = 2 * b^2 * (sin^2(C)) * c^2 / (sin^2(B))进一步化简，我们得到：a^2 * b^2 * c^2 = 2 * b^2 * (sin^2(C)) * c^2a^2 = 2 * (b^2 * (sin^2(C)) * c^2) / (b^2 * c^2)a^2 = 2 * (sin^2(C))对等式两边同时开根号，我们最终得到正弦定理的证明：a = sqrt(2 * (sin^2(C)))a / sin(C) = sqrt(2)a / sqrt(2) = sin(C)同理，我们可以得到以下两个等式：b / sin(B) = sqrt(2)c / sin(A) = sqrt(2)由此，我们可以证明正弦定理。
三角形重心定理(Centroid Theorem) 证明(1)
1 BC, F E = BC;
2
4. 同理，HK
1 BC, HK = BC;
2
5. 由此，F E
BC
1 HK, F E = BC = HK;
2
6. 由平行四邊形判別定理，F EKH 為一平行四邊形；
7. 由平行四邊形性質定理，平行四邊形的對角線互相平分，
EG
=
GH ，由此
BG
=
2 BE
3
8.
即
B E 、C F
3. 因 AG = GH, AF = F B, 由三角形中位線定理，CF BH;
4. 同理，BE CH;
5. 由此，BGCH 為一平行四邊形；
A
FG
E
B
C
K
H
6. 由平行四邊形性質定理，平行四邊形的對角線互相平分， 所以，BK = KC, GK = KH，由此，AK 實為由 A 到 BC 的中線。 ABC 的 三條中線相交於一點。
性質(1)
若 G 為 ABC 的重心，則，S AGB = S AGC = S BGC (以 S AGB 記 AGB 面積)。
1. 因 BD = DC，由等底等高的三角形面積相等， 有 S ABD = S ADC , S GBD = S GDC ,
2. S ABG = S ABD − S GBD = S ACD − S GCD = S ACG 3. 同理，S ABG = S BCG 4. 所以，S ABG = S BCG = S ACG
7. 亦因為 AG = GH = 2GK， G 到頂點 A 的距離是它到對邊中點 K 距離的 2 倍。
1
證明(2)
1. 設 E、F ，分別為 AC、AB 的中點，BE、CF 交於 G
(完整版)三角函数公式大全(最新整理)
csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2 cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2 tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
常用公式表（一）
1。乘法公式
（1）（a+b）²=a2+2ab+b2
三角函数和差化积公式
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
常用公式表（二）
///
///
1、求导法则：（1）（u+v） =u +v （2）（u-v） =u -v
/
/
（3）（cu） =cu
/
（1）（c） =0
/
//
（4）（uv） =uv +u v
2、基本求导公式：
a/
a 1
（2）（x ） =ax
（5）
u v
uv uv v2
x/x
（3）（a ） =a lna
（1） 直线形式：点斜式： y y0 kx x0
斜截式：y=kx+b
y y1
x
x1
两点式： y2 y1 x2 x1
（2）直线关系： l1 : y k1 x b1
l2 : y k2 x b2
平行：若 l1 // l2 ，则 k1 k2
高中数学复习：三角函数与解三角形 (1)
1．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）高中数学复习：三角函数与解三角形（1）在ABC 中，内角A B C ,,对应的边分别为a b c ,,，已知=a B A cos sin ． （1）求B ；（2）若=a =c 3，求b 的值． 【答案】（1）=πB 6；（2）=b 【分析】（1）根据正弦定理边化角化简题中等式即可；（2）直接运用余弦定理即可求解. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得==a R A b R B 2sin ,2sin ，因为a B A cos sin，代入化简得=A B B A sin cos sin ， 因为∈πA (0,)，所以≠A sin 0，所以=B tan ∈πB (0,)，所以=πB 6.（2）在ABC 中，由余弦定理得=+−b a c ac B 2cos 222，代入数据解得=+−==b b 39233,2. 2．（2023·江苏·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，+=+A B A 1sin 23tan 2cos2)(.(1)若=C 4π3，求B tan 的值； (2)若=A B ，=c 2，求ABC 的面积. 【答案】(1)=B 3tan 1【分析】（1）根据三角恒等变换可得⎝⎭ ⎪+=+⎛⎫A B 4tan 2tan 2π，结合条件可得关于B tan 的方程，进而即得；（2）根据条件可得=A tan，进而可得=a b .【详解】（1）若=C 4π3，则+=A B 4π，因为+=+A B A 1sin 23tan 2cos2)(，≠A cos 20，所以是以所以的面积为3．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．−=+−+A B A B A C sin sin sin )()()(，角A 的角平分线交BC 于点D ，且=b 3，=c 6．(1)求角A 的大小； (2)求线段AD 的长． ）在中，由已知）在中，由（由ABCABDACDSSS=+得：4．（2023·安徽安庆·统考二模）在中，角A ，，C 所对的边分别为a ，，c ，⋅=b C a A22sin tan. (1)若角=B 6π，求角A 的大小； (2)若=a 4，=A 8cos 21，求. cos 22cos 1,0,A A A A =−=∈∴=±84,cos π132)(5．（2023·安徽合肥·校考一模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且（c ﹣a ）（c +a ）+ab cos C . （1）求角A 的大小；（2）若4cos B •cos C ＝1，且a ＝S 的值. ）()()cos ,sin c a c a ab C S c a ab bc A −++=∴−+⨯=⨯+−ab a b c 323223231222220A <<π，4cos cos 4cos sin cos 2cos 23cos sin B C B B B B B B ⎝⎭⎪ ⎪=−=−+⎛⎫22312⎝⎭⎝⎭66B C B B B B +=∴<<−∈−∴−==⎝⎭ ⎪⎛⎫ππππππππ3366662302,2,2276．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知锐角三角形ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，+=+c a b C C cos ).(1)求B ；(2)若=a 2，求c 的取值范围.因为是锐角三角形，所以7．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD 中，∥AB CD ，=BC ，∠=∠BAD BCD 2． (1)求∠ABC ；(2)若=CD 4，∠=∠ABD ADB ，求四边形ABCD 的面积．在△BCD 中，由正弦定理可得sin 因为∥AB CD ，所以∠=∠ABD 2ABD BDCSS+=⨯1校考一模）在中，（1）求A cos 的值；（2）若=B A 2，b ，求a 的值. ）因为在中，9．（2023·山东菏泽·统考一模）如图,在平面四边形ABCD 中,=<<===∠θθABC AB BC CD ),1π(0,⊥AC CD .(1)试用θ表示BD 的长; (2)求+AC BD 22的最大值. 在中先用余弦定理将）∠0）在中10．（2023·江苏·统考一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(.c b A A=−2sin cos)(1)若=sin10sin，求AB Csin的值；(2)在下列条件中选择一个，判断是否存在，如果存在，求的最小值；如果不存在，说明理由.①的面积=S1；②=bc222.③a b c+=）在中用正弦定理将边转化为角化简，再根据同角的平方关系，结合角值以及最小值时的边和角即可判断是否存在；选②，将的最小值以及最小值时的边和角即可判断是否存在；选③，根据可知为直角三角形且，在中由正弦定理可得，所以存在，所以存在，在中由正弦定理代入可得：，等式矛盾，故这样的不存在11．（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AB＝6，=BC D在边BC上，且∠ADC＝60°．AC=(1)求cos B 与△ABC 的面积； (2)求线段AD 的长． =ABC S 21，代入计算．−2(=ABCS2160°，则中由正弦定理12．（2023·湖南株洲·统考一模）如图，在平面四边形ABCD 中，90,60,23,4DAB DCB ABC AB AD ∠∠∠=====.(1)求∠DBC cos 的值； (2)求AC 的长度.)cos cos 60cos60cos sin60sin DBC ABD ABD ABD ∠=−∠=∠+∠( ）因为∠=DCB 90，所以在中，由余弦定理得：13．（2023·湖南永州·统考二模）已知的内角的对边分别为，且向量(2,m b a c =−)与向量(cos ,cos n A C =)共线.(1)求C ；(2)若c ABC =3,+a b 的值. ）向量(2,m b a c =−)与向量(cos ,cos n A C =)共线，有ABCS=由余弦定理：∴=a 3(14．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且=+C B B A 2sin sin cos tan(1)求A ;(2)若+=a c CA C B3sin cos cos ,求外接圆的半径R ．所以在中所以外接圆半径为15．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知=−−aC A B bsin sin )(. (1)求A ；(2)设=a 2，当b 的值最大时，求△ABC 的面积．ABCS=16．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知函数⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪=−−−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫f x x x x 644sin 22sin cos π3ππ5)(.(1)求f x )(的最小正周期及对称轴方程；(2)⎣⎦⎢⎥∈−⎡⎤x 46,ππ时，=+g x af x b )()(的最大值为7，最小值为1，求a ，的值.∴⎝⎭ ⎪=−⎛⎫f x x 6sin 2)(，则f x )(的最小正周期为==T 2ππ2，∵=y x sin 的对称轴为直线x k =2+ππ，Z ∈k ， ∴由−=+x k 62π2ππ，Z ∈k ，解得=+x k 23ππ，Z ∈k ， ∴f x )(的对称轴方程为=+x k 23ππ，Z ∈k . （2）⎝⎭ ⎪−+⎛⎫=+=g x af x b a x b )6n ()(si 2π，∵⎣⎦⎢⎥∈−⎡⎤x 46,ππ，∴∈−x 232[,]ππ，∴−∈−x 6362[,]ππ2π，∴−∈−x 62sin(2)[1,]1π，当>a 0时，=+g x af x b )()(的最大值为+a b 21，最小值为−+a b ，∴由⎩−+=⎪⎨⎪+=⎧a b a b 1271，解得⎩=⎨⎧=b a 54，当0a<时，=+g x af x b )()(的最大值为−+a b ，最小值为+a b 21，∴由⎩⎪+=⎨⎪⎧−+=a b a b 2117，解得⎩=⎨⎧=−b a 34，综上所述，=a 4，=b 5或=−a 4，=b 3.17．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）在平面四边形ABCD 中，∠=ABD 3π，=AB 4，=AD AC 与BD 交于点E ，且=AE EC 2，=DE EB .(1)求BD 的长； (2)求∠ADC cos 的值.18．（2023·安徽淮北·统考一模）设内角A ，，C 的对边分别为a ，，c ，已知−=−a a C A c C b Bsin sin sin sin ，=b 4． (1)求角的大小(2)若=c 3，求的面积．(2)4334 ABCS=19．（2023·山东济南·一模）已知函数=+−f x x x x x ()cos sin cos 22． (1)求f x ()的单调递减区间； (2)中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，===f A b c ()2,3,2，求A 的内角平分线AD 的长．20．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）在△ABC中，角所对的边分别是，若4cos()2cos23．B C A++=−(1)求角A的大小；(2)若=+=a b c ABC的面积．21．（2023·山西临汾·统考一模）记的内角的对边分别为，已知(.cos1cos)=+a Bb A(1)证明：=A B2；(2)若==c b a2,的面积.22．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在中，D 为边BC 上一点，=DC 3，=AD 5，=AC 7，∠=∠DAC ABC .(1)求∠ADC 的大小； (2)求的面积.ABCS=23．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）已知函数=−ωωωf x x x x 2()cos ())cos()12，其中>ω0，且函数f x ()的两个相邻零点间的距离为2π，(1)求ω的值及函数f x ()的对称轴方程；(2)在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若=−=f A a ()1,周长的取值范围．所以周长的取值范围为24．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，<a c ，且⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪−+=⎛⎫⎛⎫A A 364sin cos 1ππ．(1)求A 的大小；(2)若+=a A c C B sin sin ，求的面积．25．（2023·安徽合肥·统考一模）已知的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且+−=b c a 220222． (1)若=C 3tan 1，求A 的大小；(2)当−A C 取得最大值时，试判断的形状．(2)为直角三角形∴为直角三角形．26．（2023·湖南·模拟预测）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝⎭ ⎪=−⎛⎫b A a B 6sin cos π．(1)求角B 的大小；(2)若=b +=a c 5，求△ABC 的面积． (2)ABCS =3）在中，由正弦定理ABCS=27．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =4，且+=b C c a 2cos 1.(1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD ⊥AC ，求BD 的最大值. ）方法一：cos ,sin cos sin sin sin b C c a B C C A B C +=∴+==+2211)(，(,0,πB C ∈(0,πB B ∈∴=3,π). 方法二：在中，由正弦定理得：=B C sin cos 在中，由余弦定理得：所以的面积ABCS=ABCSBD =≤428．（2023·湖南张家界·统考二模）记的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，+=−+a B C b B C c C sin sin sin sin )()(. (1)求A ；(2)若=a ，求的面积的最大值.29．（2023·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，=B 3π． (1)若+=−a a b b a c，判断的形状；(2)求+A Ctan tan 1的最大值．，所以为直角三角形30．（2023·山东聊城·统考一模）在四边形ABCD 中，AB CD //． (1)证明：⋅∠=⋅∠AD BAD BC BCD sin sin ；(2)若=AD 1，=AB 3，=BC ，∠=∠BAD BCD 2，求△BCD 外接圆的面积．==AD BC 1,，可得=ααsin 2，即=ααα2sin cos ，解得=αcos ，所以=α6π，在△BCD 中，由正弦定理可知，∠=BCD R BD sin 2，所以=R 所以△BCD 的外接圆的面积为==S R π7π2。
北师大版八年级数学下册《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
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知识点二：直角三角形的边的关系
B
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方
和等于斜边的平方.
A
C
关于勾股定理的证明，可以欣赏“16页的读一读”， 并可以上网搜索，诸如美国第二十任总统的证法、赵 爽弦图法等
勾股定理反过来，怎么叙述呢？
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那 么这个三角形是直角三角形．
一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由.
解:能.理由:在Rt△ABC中,
∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°,
∴AC=
=5(cm).
在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm,
你来给出完整的 证明过程吧，试 一试
例题讲解 例1 如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC 于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数． 解：由题意可知， ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°. ∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°. ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°. ∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°. ∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
原命题都存在逆命题 ，
但是互逆命题的真假 无法保证
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫 做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
定理
“两直线平行，内错角相等”
三角形内角和定理的证明方法
三角形内角和定理是：三角形的内角和等于180°。
接下来分享三角形内角和定理的证明方法，供参考。
三角形内角和定理证明方法证法一：作BC的延长线CD，过点C作CE∥BA，则∠1=∠A，∠2=∠B，又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°证法二：过点C作DE∥AB，则∠1=∠B，∠2=∠A，∵∠1+∠ACB+∠2=180°∴∠A+∠ACB+∠B=180°证法三：在BC上任取一点D，作DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F，则有∠2=∠B，∠3=∠C,∠1=∠4,∠4=∠A。
∴∠1=∠A。
又∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠A+∠B+∠C=180°三角形内角和公式任意n边形内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·(n-2)。
其中，θ是n边形内角和，n 是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=(n-2)·180°，∀n=3，4，5，…。
三角形的五心(1)重心:三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;重心分中线比为1：2;(2)垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心，到三边距离相等。
(4)外心：是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。
是三角形的外接圆的圆心的简称，到三顶点距离相等。
(5)旁心：一条内角平分线与其它二外角平分线的交点(共有三个)，是三角形的旁切圆的圆心的简称。
1.2.2三角形当中的几何计算(1)
(5)sin(A－B)＝0⇔A＝B；
(6)在ABC中，A B a b sin A sin B.
(7)sin sin 或 若、是三角形的内角则有
（8）在△ABC 中，三边分别为 a，b，c(a<b<c) (1)若 a2＋b2>c2，则△ABC 为锐角三角形． (2)若 a2＋b2＝c2，则△ABC 为直角三角形． (3)若 a2＋b2<c2，则△ABC 为钝角三角形.
.
[解]
证法一(角化边）：左边＝ab－ －ccab22＋ ＋22abcccc22－ －ba22
＝a2－2ca2＋b2·b2－2cb2＋a2＝ba＝22RR
sin sin
Hale Waihona Puke B A＝ssiinn
B A
＝右边，
其中 R 为△A BC 外接圆的半径．
∴ab－ －ccccooss
B A
＝ssiinn
B A
.
[针对训练 2]
人教版高中数学必修5第一章《解三角形》
1.2.2三角形中的几何计算
学习目标
1.记住正弦定理、三角形的面积公式及余弦定理和 其推论； 2．会用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式， 余弦定理的推论计算三角形中的一些量
难点：探寻解题的思路与方法.
知识点梳理 1.正弦定理
a b c 2R(其中R为ABC外接圆的半径) sin A sinB sinC
【典例 3】
(3)∵|A→B＋A→C |＝ 6， ∴|A→B|2＋|A→C |2＋2A→B·A→C ＝6， 即 c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝ 2. ∴△A B C 为正三角形． ∴S△ABC＝ 43×( 2)2＝ 23.
三角形中的角度计算
三角形中的角度计算要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。
1、内角和定理在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°2、外角定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、直角三角形的两锐角直角三角形的两个锐角之和等于90°4、等腰三角形的三角的关系1(180°－n°n°，则两底角为);已知等腰三角形的一个底角为已知等腰三角形的顶角为2n°，则另一个底角也是n°,顶角为180°－2n°.三角形中的角度计算主要分以下三种形式：1、方程法，2、推理代换法，3、特殊值法1、方程法例1、在△ABC中，AB=AC，CD平分∠C，∠ADC=150°，求∠B[分析] (1)所求的∠B在△DBC内，已知的∠ADC是△DBC的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD。
∠B是等腰△ABC的顶角，∠BCD B是底角的一半，可以用∠B表示，所以可利用方D程式求∠B。
CA ACD是底角的一半，(2)因为∠A是底角，∠A。
∠ADC是已知角，所以可以先求出∠11由三角形的内角和定x),BCD=(180°－(180°－x),∠解法1、设∠B=x，则∠ACB=42，即BCD=∠ADC理，可得∠B+∠1°°－x+x)=150(1804°所以x=1401ACD=∠，则∠ACB=x,ADC=180∠ACD+∠°，解法2、设∠A=xx。
因为∠A+21 =180x+°x+150°所以2 A=20°°,即∠解得x=20 °=140×20°∴∠B=180°－2C°，求∠大10A：7，∠C比∠A例2、在△ABC中，∠：∠B=57 ),所以有∠B=(x-10°A=x解：设∠C=x,则∠－10°,57°10－°)=180)+x+(x－10°(x5°即∠C=60°解得x=60,BAC ，求∠，边上一点，AD=BDAB=AC=CD的、例3D是△ABCBC C，∠∠所以有∠AB=AC=CDAD=BD][分析因为，，B=BAD=A CBD．∠DAC=∠ADC，且∠BAC+∠B+∠C=180°，这样我们可以设∠B=x,列出方程即可求。
沪科版数学八年级上册教案-三角形内角和定理的证明及推论1、2,三角形的外角-2课时
13.2命题与证明第3课时三角形内角和定理的证明及推论1，2教学目标【知识与能力】1、通过对三角形内角和定理的探究，进一步了解证明的基本过程。
2、能将几何命题的文字语言用图形语言和符号语言表示出来。
【过程与方法】经历具体的几何命题的文字语言翻译成图形语言和符号语言的过程，学会将文字语言用图形语言和符号语言来表示的方法。
【情感态度价值观】通过学习几何证明，初步感受推理的严密性、条理性。
教学重难点【教学重点】根据具体的证明过程，填写推理的理由。
【教学难点】将文字语言表述的证明题改写成图形语言和符号语言表述的证明题。
课前准备课件、教具等。
教学过程一、情境导入问题：将三角形的内角剪下，试着拼拼看．三角形的内角和是否为180°？从拼角的过程你能想出证明的办法吗？二、合作探究探究点一：三角形内角和定理的证明例1 如图，在△ABC内任意取一点P，过点P画三条直线分别平行于△ABC的三条边．(1)∠1、∠2、∠3分别和△ABC的哪一个角相等？请说明理由；(2)利用(1)说明三角形三个内角的和等于180°.解析：(1)利用平行线的性质即可证得；(2)根据对顶角相等，以及∠HPE＋∠1＋∠FPI ＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°和(1)的结论即可证得．解：(1)∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C.理由如下：∵HI∥AC，∴∠1＝∠CEP，又∵DE∥AB，∴∠CEP＝∠A，∴∠1＝∠A.同理，∠2＝∠B，∠3＝∠C；(2)如图，∵∠HPE＝∠1，∠FPI＝∠3，∠GPD＝∠2，又∵∠HPE＋∠1＋∠FPI＋∠3＋∠GPD＋∠2＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠A，∠2＝∠B，∠3＝∠C，∴∠A ＋∠B＋∠C＝180°.方法总结：本题考查了平行线的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质和对顶角相等．探究点二：直角三角形的两锐角互余例2 直角三角形两锐角的平分线的夹角是______．解析：作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＋∠BAC＝90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB＋∠OBA＝1(∠ABC＋∠BAC)，然后利用三角形的内角和等于180°求出2∠AOB，即为两角平分线的夹角．如图，∠ABC＋∠BAC＝90°，∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，∴∠OAB＋∠OBA ＝1(∠ABC＋∠BAC)＝45°，∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝135°，∴∠AOE＝45°，∴两锐角2的平分线的夹角是45°或135°.故答案为45°或135°.方法总结：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键，作出图形更形象直观．探究点三：有两个角互余的三角形是直角三角形例3 如图所示，AB∥CD，∠BAC和∠DCA的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？解析：要判断△AHC 的形状，首先观察它的三个内角，其中∠1与∠2与已知条件角平分线有关，而两条角平分线分别平分∠BAC 和∠DCA ，这两个角是同旁内角，于是联想到已知条件中的AB ∥CD .解：△AHC 是直角三角形．理由如下：因为AB ∥CD ，所以∠BAC ＋∠DCA ＝180°.又因为AH ，CH 分别平分∠BAC 和∠DCA ，所以∠1＝12∠BAC ，∠2＝12∠DCA ， 所以∠1＋∠2＝12(∠BAC ＋∠DCA )， 所以∠1＋∠2＝90°，所以△AHC 为直角三角形．方法总结：判定一个三角形是否为直角三角形，既可以通过这个三角形有一个角是直角来判定(直角三角形的定义)，也可以通过有两个角度数之和为90°来判定．三、板书设计三角形内角和定理的证明及推论1、2⎩⎪⎨⎪⎧三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.证明定理的一般步骤：①找出命题的题设和结论，画出图形；②题设部分是已知部分，结论部分是要证明的部分；③利用已知条件，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论.推论1：直角三角形的两锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.教学反思教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，而非知识的灌输者，因而对一个问题的解决不是要教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，给学生一把在知识的海洋中行舟的桨，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，获取成功并体验成功的喜悦．在课堂中，放手让学生自主探索证明三角形内角和定理的方法，让学生在动手试一试、动口说一说、相互评一评的过程中掌握证明的各种方法．课堂中，营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断地发展。
三角形内角和三种证明
三角形内角和三种证明
三角形内角和是指三角形三个内角的度数之和。
这个和等于180度，也就是一个直角。
有三种常见的证明方法：
1. 利用平行线性质
先画出一个任意三角形ABC，然后在BC线段上取一点D，使得AD与AC线段平行。
这时，三角形ABC与三角形ABD的两个角是对应角，它们相等；同时，三角形ABD与三角形ACD的两个角也是对应角，它们也相等。
因此，∠ABC=∠ABD+∠ACD。
又因为AD||BC，所以∠ACD+∠BCD=180°，代入上面的等式，得到∠ABC=∠ABD+∠BCD，即三角形三个内角的和为180度。
2. 利用外角和定理
在三角形ABC的每个顶点处画一条外角，得到三个外角。
通过观察可以发现，三个外角的度数之和等于360度。
同时，每个外角都是相邻两个内角的补角。
因此，三角形三个内角的度数之和等于三个外角的度数之和，即180度。
3. 利用向量
将三角形的三个顶点A、B、C看成三个向量a、b、c。
利用向量的数量积公式cosθ=ab/|a||b|，可以得到：
cos∠A=（bc）/（|b||c|），cos∠B=（ca）/（|c||a|），cos∠C=（ab）/（|a||b|）。
由于三个角的和为180度，因此有：
cos∠A+cos∠B+cos∠C=-1。
代入上面的公式中，得到：
（bc）/（|b||c|）+（ca）/（|c||a|）+（ab）/（|a||b|）=-1。
整理后，得到：
ab+bc+ca=0。
这个公式说明，三个向量的数量积等于0，因此它们共面，即三角形三个内角的和为180度。
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么
三角形余弦定理公式及证明_方法是什么什么是三角形余弦定理三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
三角形余弦定理的公式对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：a2=b2+c2-bc·cosAb2=a2+c2-ac·cosBc2=a2+b2-ab·cosC也可表示为：cosC=(a2+b2-c2)/abcosB=(a2+c2-b2)/accosA=(c2+b2-a2)/bc这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
三角形余弦定理的证明平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cos θ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)(以上粗体字符表示向量)又∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC即cosC=(a2+b2-c2)/2__a__b同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
平面几何证法在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB__c，AD=sinB__c，DC=BC-BD=a-cosB__c根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2b2=(sinB__c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2b2=c2+a2-2accosBcosB=(c2+a2-b2)/2ac高中必背的数学公式(一)两角和公式1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(二)倍角公式1、cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A2、tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgA(三)半角公式1、sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))4、ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))(四)和差化积1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2、2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)3、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)4、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB5、ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(五)几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)提高数学成绩高效方法课后一分钟回忆及时复习数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。
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三角形面积公式：
S ABC
1 1 1 a ha ac si nB ab sinC 2 2 2
c
B h
A
b
C
S ABC 同理可证：
1 1 bc sin A ba sinC 2 2
a
S ABC
1 1 1 bc sin A ac sinB ba sinC 2 2 2
b
A
sin2B 3 cos2B 0， 5 5 2 B (0 , )， A ， B (0 , )， tan2B 3ห้องสมุดไป่ตู้， 3 6 6 4 2 2B 或 ，即 B 或 . 3 3 6 3 2 2 故 A ，B ，C ，C . 或 A ，B 6 6 3 6 3 6
例2.
A
解：根据正弦定理，有
B
C
例2.
A
解：根据正弦定理，有
B
c
b
C1
b
C2
例2.
A
B
C
例3. 在ABC中，求证：
a b sin A sin B (1) ; 2 2 c sin C
2 2 2 2
(2) a 2 b2 c 2 2(bc cos A ca cos B abcosC ).
3 由正弦定理，有 3 sinB sinC 3 sin A . 4 3 B) ， 即 sinB sin ( 4 6
2
5 3 sinB sin( B ) ， C 6 4 5 3 3 1 5 3 sinB(sin cos cos ) ， a ( cos B B sin B ) sinB ， 6 4 4 2 6 2 c B 1 3 1 cos 2 B 3 sin2 B ， 4 2 2 4
c B a C b h
A
a b c sin A sin B sin C
（正弦定理）
三角形面积公式：
S ABC 1 1 1 1 aha ab sin C ac sin B bc sin A 2 2 2 2
A h B C B C h
A
B 45, C 60, a 2( 3 1) ，求 例1 在 ABC 中，
2 2 2 2 2 2 2 2 2
例4. 在△ABC中,已知 2 AB AC 3 AB AC 3BC ,
2
求角A,B,C的大小.
C a B c b A
解： 由 2 AB AC 3 AB AC
得 2 AB AC cos A 3 AB AC
3 . A (0 , ) , A . 即 cos A 6 2 又 3 AB AC 3 BC 2 , 即 3bc 3a 2 ,
课后作业
1.教材第20页 习题1.2 11~14 B组 1，2 2.教辅练习册第9页作业 3.教辅第13页 ~第15页内容
4.预习教辅第16页 ~19页内容
ABC 的面积S．
解： A 180 ( B C ) 75
A
b a ∴由正弦定理得 sinB sin A
C
2 ) 2 4.
B
a sinB b sin A
S ABC
2( 3 1)( 6 2 4
1 ab sinC 2 1 3 2( 3 1) 4 ( ) 6 2 3 . 2 2
a b c 2 R, 证明：(1) 由正弦定理， sin A sin B sin C
a 2 b 2 ( 2 R sinA)2 ( 2 R sinB )2 sin2 A sin2 B 得 ; 2 2 2 ( 2 R sinC ) sin C c
得 (2) 由余弦定理，
右边 (b c a ) (c a b ) (a b c ) 故原式成立. a 2 b 2 c 2 左边