光的衍射习题(附答案)

光的衍射（附答案）

一．填空题

1.波长λ = 500 nm（1 nm = 10−9 m）的单色光垂直照射到宽度a = 0.25 mm

的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹．今测得屏幕上中央明条纹之间的距离为d = 12 mm，则凸透镜的焦距f为3 m．

2.在单缝夫琅禾费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光（λ1 ≈

589 nm）中央明纹宽度为 4.0 mm，则λ2 ≈ 442 nm（1 nm = 10−9 m）的蓝紫色光的中央明纹宽度为3.0 mm．

3.平行单色光垂直入射在缝宽为a = 0.15 mm的单缝上，缝后有焦距为f = 400

mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8 mm，则入射光的波长为500 nm（或5×10−4mm）．

4.当一衍射光栅的不透光部分的宽度b与透光缝宽度a满足关系b = 3a 时，

衍射光谱中第±4, ±8, …级谱线缺级．

5.一毫米有500条刻痕的平面透射光栅，用平行钠光束与光栅平面法线成30°

角入射，在屏幕上最多能看到第5级光谱．

6.用波长为λ的单色平行红光垂直照射在光栅常数d = 2 μm（1 μm = 10−6 m）

的光栅上，用焦距f = 0.500 m的透镜将光聚在屏上，测得第一级谱线与透镜主焦点的距离l = 0.1667 m，则可知该入射的红光波长λ=632.6或

633nm．

7.一会聚透镜，直径为3 cm，焦距为20 cm．照射光波长550nm．为了可以分

辨，两个远处的点状物体对透镜中心的角必须不小于 2.24×10−5rad．这时在透镜焦平面上两个衍射图样中心间的距离不小于4.47μm．

8.钠黄光双线的两个波长分别是589.00 nm和589.59 nm（1 nm = 10−9 m），若

平面衍射光栅能够在第二级光谱中分辨这两条谱线，光栅的缝数至少是500．

9.用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上，波长为λ1 = 440 nm的第3级光

谱线将与波长为λ2 =660 nm的第2级光谱线重叠（1 nm = 10−9 m）．

10.X射线入射到晶格常数为d的晶体中，可能发生布拉格衍射的最大波长为

2d．

二．计算题

11.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，垂直入射于

单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问：

(1) 这两种波长之间有何关系？(2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样

中，是否还有其它极小相重合？

解：(1) 由单缝衍射暗纹公式得

a sinθ

1= 1 λ

1

a sinθ

2

= 2 λ

2

由题意可知θ

1 = θ

2

, sinθ

1

= sinθ

2

代入上式可得λ1 = 2 λ2

(2) a sinθ

1= k

1

λ

1

=2 k

1

λ

2

(k

1

=1, 2, …)

sinθ

1= 2 k

1

λ

2

/ a

a sinθ

2= k

2

λ

2

(k

2

=1, 2, …)

sinθ

2= 2 k

2

λ

2

/ a

若k

2= 2 k

1

，则θ

1

= θ

2

，即λ

1

的任一k

1

级极小都有λ

2

的2 k

1

级极小与之

重合．

12.在单缝的夫琅禾费衍射中，缝宽a= 0.100 mm，平行光垂直如射在单缝上，

波长λ= 500 nm，会聚透镜的焦距f = 1.00 m．求中央亮纹旁的第一个亮纹的宽度Δx．

解：单缝衍射第1个暗纹条件和位置坐标x1为

a sinθ

1

= λ

x1 = f tanθ1≈f sinθ

1

≈f λ / a (∵θ1很小) 单缝衍射第2个暗纹条件和位置坐标x2为

a sinθ2 = 2 λ

x2 = f tanθ2≈f sinθ

2

≈ 2 f λ / a (∵θ2很小)

单缝衍射中央亮纹旁第一个亮纹的宽度

Δx1 = x2− x1≈f (2 λ / a −λ / a)= f λ / a=1.00×5.00×10−7/(1.00

×10−4) m

=5.00mm．

13.在单缝夫琅禾费衍射中，垂直入射的光有两种波长，λ1 = 400 nm，λ2 = 760

nm（1 nm = 10−9 m）．已知单缝宽度a = 1.0×10−2 cm，透镜焦距f = 50 cm．

(1)求两种光第一级衍射明纹中心间的距离．

(2)若用光栅常数a = 1.0×10-3 cm的光栅替换单缝，其它条件和上一问相

同，求两种光第一级主极大之间的距离．

解：(1) 由单缝衍射明纹公式可知

a sinφ

1=

1

2

(2 k + 1)λ

1

=

1

2

λ

1

（取k = 1）

a sinφ2= 1

2

(2 k + 1)λ

2

=

3

2

λ

2