3-28 - 奇解、克莱罗方程、包络

3.3 奇解和包络(Singular solution of ODE and envelop of curve family )

[教学内容] 1. 介绍微分方程奇解的概念; 2.介绍曲线族包络的概念; 3. 介绍求解微分方程奇解的方法;4. 介绍寻找曲线族包络的方法；5.复习克莱罗方程.

[教学重难点] 重点是知道并会运用微分方程奇解的必要条件来寻找微分方程的奇解；难点是如何验证由奇解必要条件获得函数是微分方程的奇解

[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3

[考核目标]

1.微分方程奇解的概念;

2. 知道曲线族包络的概念;

3. 求解微分方程奇解的方法;

4. 知道寻找曲线族包络的方法;

5. 认识克莱罗方程并会求解.

1.微分方程奇解和曲线族包络的概念

2.包络和奇解的寻找

例45. 求曲线族03)y(y C)(x 2

2

=---的包络.

解：由C 判别式得到，0C)2(x 0,C)y(y C)(x 2

2

=-=---.

得到两条直线⎩⎨⎧==⎩⎨

⎧==3

y C

x ,0y C x .

42024

1

1

2

3

4

由上图知道，直线y=0是原曲线族的包络.

例46. 求曲线族0C)(x 3

2

C)(y 32

=--

-的包络. 解：由C 判别法知，0C)-2(x C)-2(y 0,C)(x 3

2C)(y 2

32=+=---.

2112

2

1

1

解得⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=⎩⎨⎧==94

C y 32C x ,C y C x ，即直线92x y x,y -==. 由上图知，直线9

2

x y -=是曲线族的包络.

作业38. 求曲线族4c y c)(x 2

2

=+-的包络，其中c 为参数.

例47. 求方程2

)dx

dy (dx dy 2x y -=的奇解. 解：记dx

dy p =

，则方程为2p 2x p y -=，运用p 判别法知，02p 2x ,p 2x p y 2

=--=. 解得2

x y =. 易验证可知，2

x y =不是原方程的解，因此，原方程没有奇解.

例48. 求方程01y )dx

dy (22

=-+的奇解. 解：记01y p ,dx

dy

p 22=-+=

，由p 判别法知，02p 0,1y p 22==-+，解得1y ±=. 令⎪⎩⎪⎨⎧==sin t dx

dy t cos y ，当0dx dy ≠时，1sin t sin t dx dy /dt dy dt dx -=-==，即C t x +-=.

故所求的通解为C)cos(x y -=.

4224

1.0

0.5

0.5

1.0

容易验证1y ±=为原方程的奇解.

作业39. 求解方程0y )dx

dy

x ()dx dy (

2=-+，并求奇解（如果存在的话）.

3. 克莱罗方程与应用题

例49. 求一曲线使得它的切线在两坐标轴之间的线段长为a>0.

1.00.50.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

作业40. 求一曲线，使得它上面每一点的切线与坐标轴的两截距之和等于常数a>0.