运筹学25-27资料
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根据对偶问题的对称性 • 可C代B以达B-这到1P样基j≤0考可，虑行而：解原若，问保这题持样在对也非偶得可问到行题了解的最的解优基是解础基。上可，行通解过，逐即步c迭j• 其优点是原问题的初始解不一定是基可行解，可从非基可
行解开始迭代。
设原问题 max z=CX
AX=b X≥0
• 又设B是一个基。不失一般性，令B=(P1，P2，…，Pm)，它对 应的变量为 XB=(x1，x2，…,xm)
z* b
CB B1
Y*
由上式可知，变量yi*的经济意义是在其他条件不变的情况下， 单位资源变化所引起的目标函的最优值的变化。
[eg.7]max z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1,x2 ≥ 0
cj
23000
θ
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
Fra Baidu bibliotek
b1： 8 b2：16 b3：12
9 Q2’(4，2.5)
z*’ = 15.5
Δ z* = z*’- z* = 3/2 = y1*
17 Q2”(4.25，1.875) z*” = 14.125
Δ z* = z*”- z* = 1/8 = y2*
13 Δ z* = 0 = y3*
yi*的值代表对第i种资源的估价-影子价格。
• 重复步骤(1)～(4)。
例6 用对偶单纯形法求解
min ω =2x1+3x2+4x3 x1+2x2+x3≥3 2x1-x2+3x3≥4 x1，x2，x3≥0
解 先将此问题化成下列形式，以便得到对偶问题的初始
可行基
max z=-2x1-3x2-4x3
-x1-2x2-x3+x4
=-3
-2x1+x2-3x3
cj-zj
0
-4 -1
θ
8/5 -
00
x4
x5
10
01
00
x4
x5
1 -1/2
0 -1/2
0 -1
-2
表 2-8
cj→
-2
CB
XB
b
x1
-3 x2 2/5 0
-2 x1 11/5 1
cj-zj
0
-3 -4 0 0
x2
x3
x4
x5
1 -1/5 -2/5 1/5
0 7/2 -1/5 -2/5
0 -9/5 -8/5 -1/5
对偶单纯形法的计算步骤如下：
(1) 根据线性规划问题，列出初始单纯形表。 检查b列的数字，若都为非负，检验数都为非正，则已
得到最优解。停止计算。 若检查b列的数字时，至少还有一个负分量，检验数保
持非正，那么进行以下计算。
(2) 确定换出变量
• 按min｛(B-1b)i｜(B-1b)i＜0＝(B-1b)l对应的基变量xl为换出变量 (3) 确定换入变量 • 在单纯形表中检查xl所在行的各系数α lj(j=1,2,…，n)。若所有
α lj≥0，则无可行解，停止 计算。 若存在α lj＜0 (j=1,2,…，n), 计算
mjin
c
j
alj
z
j
alj
0
ck zk alk
按θ 规则所对应的列的非基变量xk为换入变量，这样才能保 持得到的对偶问题解仍为可行解。
(4) 以α lk为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算， 得到新的计算表。
第5节 对偶问题的经济解释 ——影子价格
在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b，和检验数 CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经济意义是什么?
设B是｛max z=CX｜AX≤b，X≥0｝的最优基，
由-Yb= -CB B-1b可知 z*=CBB-1b=Y*b 。
对z求偏导数，得
表2-8中，b列数字全为非负，检验数全为非正，故问题的最 优解为
X*=(11/5，2/5，0，0，0)T 若对应两个约束条件的对偶变量分别为y1和y2， 则对偶问题的最优解为
第6节 偶单纯形法
• 前节讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关系时指出： 在单纯形表中进行迭代时，在b列中得到的是原问题的基 可行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解。
• 通过逐步迭代，当在检验数行得到对偶问题的解也是基可 行解时，根据性质(2)、(3)可知，已得到最优解。即原问 题与对偶问题都是最优解。
• 当非基变量都为零时，可以得到XB=B-1b。若在B-1b中至少有 一个负分量，设(B-1b)i＜0，并且在单纯形表的检验数行中的 检验数都为非正，即对偶问题保持可行解，它的各分量是
• (1) 对应基变量x1，x2，…,xm的检验数是 σ i=ci-zi=ci-CBB-1Pj=0，i=1,2,…,m
2 x1 4 1 0 x5 4 0 3 x2 2 0
-z -14 0
0 0 1/4 0 0 -2 1/2 1 1 1/2 -1/8 0 0 -3/2 -1/8 0
y1*=1.5，y2*=0.125，y3*=0。
这说明是其他条件不变的情 况下，若设备增加一台时， 该厂按最优计划安排生产可 多获利1.5元；原材料A增加 1kg，可多获利0.125元；原 材料B增加1kg，对获利无影 响。
+x5=-4
xj≥0，j=1,2,…,5
初始单纯形表，见表2-6。
cj→
-2 -3 -4
CB
XB
b
x1
x2
x3
0 x4 -3 -1 -2 -1
0 x5 -4 [-2] 1 -3
cj-zj
-2 -3 -4
θ
1 - 4/3
CB
XB
b
x1
x2
x3
0 x4 -1 0 [-5/2] 1/2
-2 x1 2 1 -1/2 3/2
• 这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格， 称它为“影子价格”。
• 在该厂现有资源和现有生产方案的条件下，设备的每小时租费 为1.5元，1kg原材料A的出让费为除成本外再附加0.125元，1kg 原材料B可按原成本出让，这时该厂的收入与自己组织生产时获 利相等。
• 影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种 资源的市场价低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生 产；而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，则企业的决 策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
• (2) 对应非基变量xm+1，…，xn的检验数是 σ j=cj-zj=cj-CBB-1Pj≤0，j=m+1,…,n
• 每次迭代是将基变量中的负分量xl取出，去替换非 基变量中的xk，经基变换，所有检验数仍保持非 正。从原问题来看，经过每次迭代，原问题由非 可行解往可行解靠近。当原问题得到可行解时， 便得到了最优解。
行解开始迭代。
设原问题 max z=CX
AX=b X≥0
• 又设B是一个基。不失一般性，令B=(P1，P2，…，Pm)，它对 应的变量为 XB=(x1，x2，…,xm)
z* b
CB B1
Y*
由上式可知，变量yi*的经济意义是在其他条件不变的情况下， 单位资源变化所引起的目标函的最优值的变化。
[eg.7]max z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1,x2 ≥ 0
cj
23000
θ
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
Fra Baidu bibliotek
b1： 8 b2：16 b3：12
9 Q2’(4，2.5)
z*’ = 15.5
Δ z* = z*’- z* = 3/2 = y1*
17 Q2”(4.25，1.875) z*” = 14.125
Δ z* = z*”- z* = 1/8 = y2*
13 Δ z* = 0 = y3*
yi*的值代表对第i种资源的估价-影子价格。
• 重复步骤(1)～(4)。
例6 用对偶单纯形法求解
min ω =2x1+3x2+4x3 x1+2x2+x3≥3 2x1-x2+3x3≥4 x1，x2，x3≥0
解 先将此问题化成下列形式，以便得到对偶问题的初始
可行基
max z=-2x1-3x2-4x3
-x1-2x2-x3+x4
=-3
-2x1+x2-3x3
cj-zj
0
-4 -1
θ
8/5 -
00
x4
x5
10
01
00
x4
x5
1 -1/2
0 -1/2
0 -1
-2
表 2-8
cj→
-2
CB
XB
b
x1
-3 x2 2/5 0
-2 x1 11/5 1
cj-zj
0
-3 -4 0 0
x2
x3
x4
x5
1 -1/5 -2/5 1/5
0 7/2 -1/5 -2/5
0 -9/5 -8/5 -1/5
对偶单纯形法的计算步骤如下：
(1) 根据线性规划问题，列出初始单纯形表。 检查b列的数字，若都为非负，检验数都为非正，则已
得到最优解。停止计算。 若检查b列的数字时，至少还有一个负分量，检验数保
持非正，那么进行以下计算。
(2) 确定换出变量
• 按min｛(B-1b)i｜(B-1b)i＜0＝(B-1b)l对应的基变量xl为换出变量 (3) 确定换入变量 • 在单纯形表中检查xl所在行的各系数α lj(j=1,2,…，n)。若所有
α lj≥0，则无可行解，停止 计算。 若存在α lj＜0 (j=1,2,…，n), 计算
mjin
c
j
alj
z
j
alj
0
ck zk alk
按θ 规则所对应的列的非基变量xk为换入变量，这样才能保 持得到的对偶问题解仍为可行解。
(4) 以α lk为主元素，按原单纯形法在表中进行迭代运算， 得到新的计算表。
第5节 对偶问题的经济解释 ——影子价格
在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b，和检验数 CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经济意义是什么?
设B是｛max z=CX｜AX≤b，X≥0｝的最优基，
由-Yb= -CB B-1b可知 z*=CBB-1b=Y*b 。
对z求偏导数，得
表2-8中，b列数字全为非负，检验数全为非正，故问题的最 优解为
X*=(11/5，2/5，0，0，0)T 若对应两个约束条件的对偶变量分别为y1和y2， 则对偶问题的最优解为
第6节 偶单纯形法
• 前节讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关系时指出： 在单纯形表中进行迭代时，在b列中得到的是原问题的基 可行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解。
• 通过逐步迭代，当在检验数行得到对偶问题的解也是基可 行解时，根据性质(2)、(3)可知，已得到最优解。即原问 题与对偶问题都是最优解。
• 当非基变量都为零时，可以得到XB=B-1b。若在B-1b中至少有 一个负分量，设(B-1b)i＜0，并且在单纯形表的检验数行中的 检验数都为非正，即对偶问题保持可行解，它的各分量是
• (1) 对应基变量x1，x2，…,xm的检验数是 σ i=ci-zi=ci-CBB-1Pj=0，i=1,2,…,m
2 x1 4 1 0 x5 4 0 3 x2 2 0
-z -14 0
0 0 1/4 0 0 -2 1/2 1 1 1/2 -1/8 0 0 -3/2 -1/8 0
y1*=1.5，y2*=0.125，y3*=0。
这说明是其他条件不变的情 况下，若设备增加一台时， 该厂按最优计划安排生产可 多获利1.5元；原材料A增加 1kg，可多获利0.125元；原 材料B增加1kg，对获利无影 响。
+x5=-4
xj≥0，j=1,2,…,5
初始单纯形表，见表2-6。
cj→
-2 -3 -4
CB
XB
b
x1
x2
x3
0 x4 -3 -1 -2 -1
0 x5 -4 [-2] 1 -3
cj-zj
-2 -3 -4
θ
1 - 4/3
CB
XB
b
x1
x2
x3
0 x4 -1 0 [-5/2] 1/2
-2 x1 2 1 -1/2 3/2
• 这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格， 称它为“影子价格”。
• 在该厂现有资源和现有生产方案的条件下，设备的每小时租费 为1.5元，1kg原材料A的出让费为除成本外再附加0.125元，1kg 原材料B可按原成本出让，这时该厂的收入与自己组织生产时获 利相等。
• 影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种 资源的市场价低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生 产；而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，则企业的决 策者应把已有资源卖掉。可见影子价格对市场有调节作用。
• (2) 对应非基变量xm+1，…，xn的检验数是 σ j=cj-zj=cj-CBB-1Pj≤0，j=m+1,…,n
• 每次迭代是将基变量中的负分量xl取出，去替换非 基变量中的xk，经基变换，所有检验数仍保持非 正。从原问题来看，经过每次迭代，原问题由非 可行解往可行解靠近。当原问题得到可行解时， 便得到了最优解。