第14讲 解析函数的洛朗级数表示
洛朗级数
26
iii) 在2<|z|<+∞内
1 1 f (z) = − 1− z 2 − z 1 1 1 1 =− + ⋅ = z 1 z 2 1− 1− z z −1 1 1 1 2 4 = (1+ + 2 +L + (1+ + 2 +L ) ) z z z z z z 1 3 7 = 2 + 3 + 4 +L. z z z
f (z) =
n=−∞
∑a (z − z ) ,并设C为圆环域内任何
n n 0
∞
条正向简单闭曲线 ζ为C上一点 则 , , f (ζ ) =
−∞
∑a (ζ − z )
n 0
∞
n
21
f (ζ ) =
以(ζ−z0)−p−1去乘上式两边, 这里p为任一整数, 并沿C沿分, 得 ∞ f (ζ ) n− p−1 ∫ (ζ − z0 ) p+1 dζ = n∑ an C (ζ − z0 ) dζ = 2π iap ∫ =−∞ C
1 f (ζ ) 从而 ap = ∫ (ζ − z0 ) p+1 dζ , ( p = 0,±1,±2,L) 2π i C
n=−∞
an (ζ − z0 )n ∑
∞
这就是(4.4.8)
22
用(4.4.8)计算cn要求环积分, 过于麻烦, 因此一 般不用. 一般是根据由正负整次幂项组成的级 数的唯一性, 可以用别的方法, 特别是代数运 算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛 朗级数的展开式. 例如:
洛朗Laurent级数展开
k a ( z z ) k 0 为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛
朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)， 而在去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，则称z=z0是f(z) 的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除 z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
k 0
z 2 k
k 0
( 2)
1 1 1 f ( z) 2 2 z 1 z 1 1/ z 2 1 2 z
1 1 2 2 k 0 z k 0 z k k 1
无穷多个负幂项，但z0=0不是f(z)的奇点 (3)展开中心z0=1 ，为奇点
(2)在1<|z|<2内，有|1/z|<1
1 1 f ( z) 2(1 z / 2) z (1 1 / z ) 1 zk 1 1 k k 2 k 0 2 z k 0 z
zk 1 k 1 k 1 k 0 2 k 0 z zk 1 k 1 k k 0 2 k 1 z
1 1 1 1 1 f ( z) 2 z 1 ( z 1)(z 1) 2 z 1 z 1
第一项已经是展开式的一项，第二项z=1不是 奇点，z=-1是奇点，可在|z-1|<2上展开为泰 勒级数
1 1 1 1 2 z 1 2 ( z 1) 2 1 1 1 k z 1 (1) 4 1 ( z 1) / 2 4 k 0 2
在|z-z0|≤R2上，存在奇点(即内圆以内存在
奇点)；
f ( k ) ( z0 ) (2) 洛朗系数 ak ，因为 k! k! f ( ) (k ) f ( z0 ) d k 1 2i C ( z0 )
洛朗级数
1. 预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域---见第三章第18：、且作圆周：解析在设D D k k R z z k k R D z f ⊂=−≤121021,,:.:)(有，对1D z ∈∀ζπf iz f k ∫=221)(2. 双边幂级数定义形如)(00 +++=−+∞−∞=∑n nnc c z z c 正幂项(包括常数项))(00+=−∑∞=n nnc z z c 及其中1,0(0±=n c z n 负幂项部分：)(110=−−∞=−−∑n nnc z z c3. 函数展开成双边幂级数定理()()(21:)5()()(:)(010001的任何一条简单闭曲线内绕是其中在设z D c n d z f i c z z cz f R z z R D z f k n n n nn=−=−=<−<∫∑+∞+−∞=ζζζπ在称为R z z R D z f 201:)(<−<内的在称为R z z R D z f 201:)(<−<4. 展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是的洛朗级数。
事实上，)()(:)(01∑∞+−∞=−=<n nz z az f R D z f 可表示为在设∑∞+−∞=−=n nnz af )()(0ζζcz D c ∈∀ζ的简单闭曲线，内任何一条绕为设。
解析函数的级数表示法
4.2.2 幂级数
cn (z a)n c0 c1(z a)2 c1(z a)n
n0
或 cn zn称为幂级数。
阿贝n尔0 （Abel)定理
如果级数 cn z在n z z0 (收0敛) ，那么对满足
z z |发z |散| z，0 |的那么n满0，足级数必| z绝||对的z0收| 敛，，级如数果必在发散z。 级z0 数
上一致收敛。
| z | r(r 1)
29 第29页，共107页。
定理4.2.2 设级数 fn的(z)各项在点集E上连续，并且在C
上一致收敛于
，n1则f和(z函) 数
f (z) fn(z)
也在E上连续.
n1
定理4.2.3 设级数
fn (的z) 各项在曲线C上连续，并且在
C上一致收敛于 n，1 则f (沿z)C可以逐项积分：
24 第24页，共107页。
定理4.4
（１）一个绝对收敛的复级数的各项可以 任意重排次序，而不致改变其绝对收敛 性，亦不致改变其和。
（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方 法得出乘积级数。
25 第25页，共107页。
4.2 幂级数
4.2.1 复变函数项级数
设 { fn (z)}(n 1,2,)为一复变函数列，其中 各项在区域D内有定义. 表达式
n
i. 1
解：先分解 n an ibn，然后分别考察 an
和 bn的极限，再确定数列 {的n} 收敛性。
（1）
(1 i )n 2
1 2n 2
(cos
n
4
i sin n ) 0(n )
4
5 第5页，共107页。
（2）
1 ni 1 ni
1 1
实变函数的幂级数,泰勒级数,洛朗级数
实变函数的幂级数,泰勒级数,洛朗级数实变函数的幂级数、泰勒级数和洛朗级数是数学中常见且重要的概念，它们在数学分析和实际应用中都有着重要的作用。
本文将从浅入深地探讨这些级数的定义、性质和应用，希望能够帮助读者更全面地理解这一主题。
一、实变函数的幂级数1.1 什么是幂级数在数学中，幂级数是指形如∑(an * (x - a)^n)的无穷级数，其中a是常数，an是系数，x是变量。
这种级数在数学分析和微积分中有着重要的应用，可以用来表示各种函数。
1.2 幂级数的收敛性幂级数的收敛性是指在何种情况下幂级数能够收敛于某一函数。
对于幂级数∑(an * (x - a)^n)，我们可以使用收敛域的概念来定义其收敛性。
一般来说，收敛域是指在何种范围内幂级数可以收敛于某一函数，而在范围之外则发散。
1.3 幂级数的应用幂级数在数学分析、微积分、物理学和工程学等领域有着重要的应用。
通过幂级数，我们可以将各种函数进行展开，并且可以用幂级数逼近复杂的函数，从而简化计算和分析过程。
二、泰勒级数2.1 泰勒级数的定义泰勒级数是一种特殊的幂级数，它可以将一个函数表示为一个无穷级数的形式。
泰勒级数的系数由函数的各阶导数决定，因此可以通过泰勒级数来对函数进行近似和展开。
2.2 泰勒级数的收敛性与幂级数类似，泰勒级数也有其收敛性的问题。
对于给定的函数，我们需要确定其在何种范围内泰勒级数能够收敛于该函数，这可以通过收敛域的概念来加以解释。
2.3 泰勒级数的应用泰勒级数在数学分析、物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
通过泰勒级数，我们可以对各种函数进行近似和展开，从而简化复杂函数的计算和分析。
三、洛朗级数3.1 洛朗级数的定义洛朗级数是一种可以表示在一个环形区域内解析的函数的级数表示法。
它是将一个函数在有限正负无穷远点处展开成一个大量项的和的一种方式。
3.2 洛朗级数的收敛性与泰勒级数类似，洛朗级数也需要考虑其在何种范围内能够收敛的问题。
洛朗级数的概念
例2
将 f (z) =
对级数 ∑ c n ( z z0 )
n =1
| ξ |<
1 内收敛 , 在该圆域外必散 。 R1
c n ( z z 0 ) n 在 | z z 0 |> R1内收敛 。 ∑
n =1 ∞
洛朗级数
f ( z ) 在该圆环内解析 。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n 在 R1 <| z z 0 |< R2 内收敛 , 且它的和函数 ∑
n = ∞
c n ( z z 0 ) n = L + c n ( z z 0 ) n + L + c 2 ( z z 0 ) 2 + c 1 ( z z 0 ) 1 ∑
∞
+ c0 + c1 ( z z 0 )1 + c 2 ( z z 0 ) 2 + L + c n ( z z 0 ) n + L
第八模块 复变函数
第八节 洛朗级数
一、洛朗级数的概念 二、解析函数的洛朗展开式
一、洛朗级数的概念
正整数次幂的幂级数
∑c
n=0
∞
n
( z z 0 ) n 与负整数次幂的幂级数
∑c
n =0
∞
n ( z z0 )
n
相加得到的级数 :
n = ∞
∑c
∞
( z z 0 ) n 称为 n
洛朗级数。 洛朗级数。
n = ∞
c n ( z z 0 ) n收敛 ∑
∞
∑ 与 ∑ c n ( z z 0 ) n 都 收敛 。
罗朗 级数
例4： 求下列积分的值 (1)
z =3
∫
1 dz z ( z + 1)( z + 4)
(2)
ze ∫=2 1 − z dz z
1 z
解：） （ 函数 f ( z ) = 1
1 在圆环域1 < z < 4 z ( z + 1)( z + 4) f ( z ) dz = 2πic−1
内处处解析，而 z = 3在此圆环域内，故有
(k )
k! f (z ) (z0 ) = ∫C dz k +1 2πi ( z − z0 )
4、展开方法
直接利用展开定理（机会较少） 利用常用函数的泰勒展式和运算及性质通过各种手段 展开 举例 ez 把函数 f ( z ) = 2 在z0=0的环域内展成罗朗级数 z 解：
ez 1 z 1 z2 z3 = 2 ⋅ e = 2 (1 + z + + + ...) 2 z z z 2! 3! 1 1 1 z2 z2 = 2 + + + + + ... z z 2! 3! 4!
洛朗级数
解
(3) 将函数在每个解析环内分别展开
①当 时， 0 |z| 1
Hale Waihona Puke 1 1 f (z) 1 z 2 z
1 2
1 1 1 z 2
1 z 1 2
z n 1 1 n z n (1 n1 ) z n . 2 n 0 2 2 n 0 n 0
内是处处解析的, 试把 f (z) 在区域内展开成洛朗级数. 解
1 1 f (z) , (1 z ) ( 2 z )
1 2
盐城工学院基础部应用数学课程组
1) 在 0 z 1内,
y
z 由于 z 1 , 从而 1 o 1 x 2 1 则 1 z z2 zn 1 z 1 1 1 1 z z2 zn 1 2 n 2 z 2 1 z 2 2 2 2 2 2 1 z z 2 所以 f ( z ) (1 z z ) 1 2 2 4 1 3 7 2 z z 2 4 8
盐城工学院基础部应用数学课程组
问题分析
1 1 , 从而可得 由 |z| 1 有 |z| 1 1 1 1 1 1 2 3 . 1 1 z z z z z 1 z
这样一来，在整个复平面上就有
1 1 z z 2 , ( | z | 1) ; 1 z 引入负幂次 1 1 1 1 2 3 , ( | z | 1) . 1 z z z z
盐城工学院基础部应用数学课程组
sin z 在 z0 0 的去心邻域内展开成 例2 将函数 z 洛朗级数.
解
sin z f (z) z
解析函数的泰勒展开及洛朗展开
洛朗级数的收敛性
洛朗级数的收敛性取决于函数在圆环 域内的性质。如果函数在圆环域内解 析且满足一定的条件，则洛朗级数在 该圆环域内收敛。
洛朗级数的收敛性可以通过比较判别 法、根值判别法等方法进行判断。如 果洛朗级数的通项满足一定的条件， 则该级数收敛。
常见函数的洛朗展开
一些常见的函数在特定的圆环域内可以展开成洛朗级数。例如，函数$f(z) = frac{1}{z}$在圆环域$0 < |z| < infty$内可以展开 成洛朗级数$frac{1}{z} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n z^{-(n+1)}$。
计算复变函数的值
通过泰勒展开，可以将一个复杂的复 变函数表示为一个简单的多项式形式， 从而方便计算函数在某一点的数值。
VS
利用洛朗展开，可以将一个在某一点 不解析的复变函数表示为一个在该点 解析的函数与一个在该点不解析但已 知的函数之和，进而计算该点的函数 值。
证明复变函数的等式与不等式
泰勒展开和洛朗展开可以将复变函数表示为 幂级数形式，通过比较相应项的系数，可以 证明两个复变函数之间的等式或不等式关系 。
PART 04
解析函数在复平面上的性 质
REPORTING
WENKU DESIGN
解析函数的零点与奇点
零点
解析函数的零点是指在该点上函数值为零的点。零点可以是孤立的，也可以是连续的。 例如，多项式函数的零点就是其根。
奇点
解析函数的奇点是指在该点上函数不解析的点，即函数在该点上没有定义或者不可微。 奇点可以是孤立的，也可以是连续的。常见的奇点类型包括可去奇点、极点和本性奇点。
REPORTING
WENKU DESIGN
展开形式的差异
解析函数的洛朗展开
x
f (ζ )在C及其所围区域内解析,故由复闭路柯西积分定理知
∫ f (z) = 2π1= i C ζf (−ζz) dζ
1
2π
i
∫C"
f
ζ
(ζ ) dζ
−z
−
1
2π
i
∫C'
f
ζ
(ζ ) dζ
−z
.
正幂项和常数项部分 负幂项部分
∫ ∫ ∫ f (z) = = 2π1 i C ζf (−ζz) dζ
z
ζ
C
x
对D内任一条围绕点a的逆时针方向简单闭路C,
∀n ∈ ,
(ζ
f (ζ )
−a )n+1
在由C和C"所围的区域内部解析，
由多连通区域的柯西积分定理可知，
∫ ∫ ∫ C"
(ζ
f (ζ )
−a )n+1
d
ζ
=
C
(ζ
f (ζ )
−a )n+1
d
ζ。
∴ an =2π1 i
− a)n dζ
1 (z−a)n+1
∑ { ∫ } ∑ −1
=
m= −∞
1
2π i
C'
(ζ
f (ζ )
− a )m+1
dζ
(令n + 1 =−m)
(z − a)m
−1
am (z − a)m。
m= −∞
am
f (z)
1
2π i
∫C"
f
ζ
(ζ )
−z
d
ζ
−
1
2π
i
罗朗级数及展开方法
例如在 zi 和zi处展开函数 f (z) 1 2i 为洛朗级数。 z(z i)
在复平面内有两个奇点: z=0与zi, 分别在以i为中心的
圆周: |zi|=1与|zi|=2上.
因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式
有三个:1)在|zi|<1中的泰勒展开式;
2)在1<|zi|<2中的洛朗展开式;
(4.5.2)
1
cn (z z0 )n cn (z z0 )n
n
n1
两部分组成.
(4.5.3)
因此，我们可以用它的正幂项级数(4.5.2)和负幂项级数 (4.5.3)的敛散性来定义原级数的敛散性. 我们规定：当且仅当 正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原 级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和.
1
解： f (z) e zz0 (z z0 )3 在0 z z0 内解析，
其Laurent 系数C1 0 2 iC1 0.
例4 求积分
z
2
ln
1
1 z
dz
.
解：ln1 1 z
(1)n1 n1 n
z n
1
z
C1 1 2 i .
1
例 5 求积分
ze z d z.
i O i
3)在2<|zi|<+中的洛朗展开式;
在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|zi|=1上. 因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:
1)在0< |zi|<1中的洛朗展开式;
0
i
2)在1<|zi|< +中的洛朗展开式。
特别的，当洛朗级数的系数公式
解析函数的级数表示PPT课件
k 0
k 0
数学物理方法
性质 3
若级数 wk (z)在区域D（边界 L）上一致收敛，且各项wk (z) k 0
在区域 D 上解析，则
（1）级数和S(z) wk (z)在 D 内解析 k 0
（2）在 D 内级数可逐项求导任意多次：
S (m) (z) w(m)k (z) k 0
数学物理方法
证明：（1）.设：z——边界 L 上任意一点，z ——D 中任意
若 zk 收敛而 zk 发散，则称 zk 为条件收敛级数。
k 0
k 0
k 0
数学物理方法
例1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？
1
i
(8i)n
(1)n i
(1) (1 ) (2)
n1 n
n
n0 n!
(3) (
n1
n
2n )
解
(1)
n1
1 n
发散，
n1
1 n2
收敛，
n1
1 n
数学物理方法
四、一致收敛级数的性质
性质 1
若级数 wk (z)在 D 内一致收敛于S(z)，且其各项均为 D k 0
内的连续函数，则S(z)也是 D 内的连续函数。
性质 2
若级数 wk (z)在曲线 L 上一致收敛于S(z)，且各项均为 L k 0
上的连续函数，则级数可沿 L 逐项积分：
L s(z)dz L wk (z)dz L wk (z)dz
实质：1.找一个收敛的正项级数 mk（收敛性比较容易判断） k 0
2.将 wk (z) 与mk 比较
（在 D 上所有点）
数学物理方法
判别法 2
已知u(z)在 D（或 L）上是个有界函数，若 wk (z)在 D（或 k 0
洛朗级数
3 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 z
1 3 z
1 z
1 z
应当注意，给定函数 f ( z )与复平面内 一点z0以后，由于这个函数可以在以z0为心 的不同圆环域内解析，因而在各不同的圆 环域中有不同的洛朗展式，不要把这种不 同和洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓展开 式的唯一性是指同一环形域内的洛朗展开 式是唯一的.
z =3
∫ f ( z ) dz = 2πic1
而 f ( z) = =
= =
1 1 1 1 = + z ( z + 1)( z + 4) 4 z 3( z + 1) 12( z + 4) 1 1 1 1 1 + 4 z 3z 1 + 1 48 1 + z z 4 1 1 1 1 z (1 + ...) + (1 + ...) 4 z 3z z 48 4 1 1 1 1 z + 2 + ... + (1 + ...) 4 z 3z 3z 48 4
还须指出，在一确定的 圆环域内解析的函 数展开为含有正、负幂 项的级数是唯一的，这 个级数就是 f ( z )的洛朗级数.
上面定理给出了将一个在圆环域内解析的 函数展开成洛朗级数的一般方法，但用此定理 计算系数cn时，往往非常麻烦 . 因此，更多的时 候要利用展开式的唯一性，通过运算及性质去 展开.
1 所以 c1 = , 从而 12 1 dz = 2πic1 ∫ z =3 z ( z + 1)( z + 4) =
科技英语 洛朗级数
科技英语洛朗级数
洛朗级数（Laurent series）是数学分析中的一种级数表示方法，由法国数学家皮埃尔·阿尔方斯·洛朗（Pierre Alphonse Laurent）于1843年提出。
洛朗级数是将复变函数表示为幂级数与幂级数的倒数之和的形式。
一般而言，洛朗级数适用于复平面上除去有限个孤立奇点的函数。
洛朗级数的一般形式为：
f(z) = Σ(a_n (z - z_0)^n) + Σ(b_n (z - z_0)^(-n))
其中，a_n和b_n是复数，z_0是函数的奇点。
第一项Σ(a_n (z - z_0)^n)是幂级数，对应于函数在z_0处的收敛部分，第二项Σ(b_n (z - z_0)^(-n))是幂级数的倒数，对应于函数在z_0处的发散部分。
洛朗级数的优点在于它能够提供比泰勒级数更广泛的函数表达形式。
通过洛朗级数，我们可以描述那些在某些点附近的函数，即使这些点是奇点。
洛朗级数的应用涵盖了数学、物理、工程等多个领域。
在实际应用中，洛朗级数经常用于解析函数的研究、复变函数的积分计算以及计算复杂函数的留数。
洛朗级数也为研究奇点的性质提供了有力的工具，例如确定奇点的类型（可去奇点、极点或本性奇点），
以及计算奇点的留数等。
总结起来，洛朗级数是复变函数的一种级数表示方法，能够用于描述具有奇点的函数，并且在数学和应用领域中有广泛的应用。
对于研究和计算复杂函数的性质和行为，洛朗级数提供了一种重要的数学工具。
函数在其孤立奇点的某个去心邻域内可展开成洛朗级数
孤立奇点是复函数在该点处不解析的点，通常出现在函数的分母为零的情况下。
而洛朗级数是在孤立奇点处的一种特殊展开形式，它包括了常规的泰勒级数和一些额外的项，可以更好地描述复函数在孤立奇点附近的性质。
1. 洛朗级数的定义洛朗级数是对于一个在孤立奇点处解析的复函数的一种特殊展开形式。
如果f(z)在z0处有一个孤立奇点，那么它在z0的某个去心邻域内可以表示为洛朗级数的形式：f(z) = Σ(an/(z-z0)^n) + Σ(bn*(z-z0)^n)其中an和bn是复数系数，n取遍正整数，Σ表示求和运算。
第一项是主要的部分，称为主部；而第二项是次要的部分，当次要部分为零时，洛朗级数就变成了泰勒级数。
2. 主部和次要部的性质主部和次要部的性质可以帮助我们更好地理解洛朗级数在孤立奇点处的展开形式。
主部反映了函数在孤立奇点处的奇异性，通常包括了一个负幂次的内容；而次要部则是对主部的修正，它包括了正幂次的项，可以使得函数在孤立奇点处的性质更加准确地描述。
3. 洛朗级数的应用洛朗级数在复变函数论中有着广泛的应用，特别是在解析函数的性质研究中。
通过洛朗级数展开，我们可以更好地理解函数在孤立奇点附近的性态，比如它的极点分布、奇点处的残留等重要概念。
而且在复积分计算和解析函数逼近等方面，洛朗级数也发挥着重要的作用。
4. 总结洛朗级数是一种特殊的复函数展开形式，它能够更好地描述函数在孤立奇点附近的性质。
洛朗级数包括了主部和次要部两个部分，通过对其展开系数的研究，我们可以更深入地理解复函数在孤立奇点处的行为。
在复变函数论和相关领域中，洛朗级数有着重要的应用和意义。
洛朗级数作为一种特殊的复函数展开形式，在复变函数论中具有重要的应用和意义。
接下来我们将继续探讨洛朗级数的性质以及其在实际问题中的具体应用。
1. 洛朗级数的性质洛朗级数的展开形式包括主部和次要部两个部分。
在主部中，通常包括了一个负幂次的部分，它反映了函数在孤立奇点处的奇异性。
解析函数的泰勒展开及洛朗展开
1
1 z
z0
1 z0
n0
z
z0 z0
n
n0
(z z0)n ( z0 )n1
z0
蜒 f (z) 1
N 1 (z z0 )n f ( )d 1
(z z0 )n f ( )d
2 i Cr n0 ( z0 )n1
洛朗级数nudt洛朗级数定理laurent设在圆环域内解析则对其中这里为圆环域利用柯西积分公式的推广式在圆环内的洛朗展开式洛朗级数定理laurent设在圆环域内解析则对其中这里为圆环域闭路变形原理右边的第二式中先利用代换运算来展开成级数
NUDT
第四章 级数
§1 复数项级数 §2 幂级数
—幂级数的收敛域 —幂级数的运算性质 §3 泰勒(Taylor)级数 §4 洛朗(Laurent)级数
(1)Cn
f (n) (1) n!
e n!
(2)e z
e ez1 e
(z 1)n
n0 n!
( z 1 )
Exercise2. 以知f (z) sin(z2 ), 求f (5) (0) ?, f (8) (0) ?
Sol. sin(z2 )
(1)m (z2 )2m1 ( z )
RN (z)
1 2
f ( ) Cr nN z0
n
z z0 ds 1
M qn 2r Mqn M q N )
z0
2 nN r
nN
1 q
NUDT
人物简介
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的 英国数学家泰勒（Brook Taylor）,于1685年8月18日 在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。
洛朗Laurent级数展开
由此，我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数 的敛散性来定义原级数的敛散性。 规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛 时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级 数与负幂项级数的和。 讨论： (1)若R1<R2，则双边幂级数处处发散， (2)若R1>R2，则双边幂级数就在R2<|z-z0|<R1环 状区域内收敛，环状收敛域称为收敛环。 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛，在环外 发散，在环上敛散性不定。
样往往更便利(即间接展开法) 。 同一个函数在不同的收敛圆环域内的洛朗级数一 般不同；由洛朗级数的唯一性可知，同一个函数 在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同。
sin z 例1：在z0=0的邻域上把 z 展开。 sin z f ( z) 有孤立奇点z=0，并在0<|z|<∞内有 z sin z 1 (1) n z 2 n 1 z2 z4 f ( z) 1 ... z z n0 (2n 1)! 3! 5!
k
k a ( z z ) k 0 为f(z)在它的孤立奇点z0的邻域内的洛
朗展开式。若f(z)在z0不解析(不可微或无意义)， 而在去心邻域0<|z-z0|<ε内解析，则称z=z0是f(z) 的孤立奇点。若在z0无论多么小的邻域内，总有除 z0外的奇点，则称z0为f(z)的非孤立奇点。
负幂部分 ak ( z z0 ) k
k 1
(0 R1 )
1 令 z z0
则 a1 a2 2 a3 3 ...
设 | | R
1 → | z z0 | R2，R2 0 R2
即负幂部分在|z-z0|=R2的圆外收敛。
k
1 1 1 k z 1 f ( z) (1) 2 z 1 4 k 0 2
5.1 解析函数的洛朗展式
D': R'1 | z z0 | R2 '
D ' 上解析，根据柯西定理
1 f ( ) 1 f ( ) f ( z) d d ' ' 2i 2 z 2i 1 z
其中积分分别是沿 及 关于它们所围成圆盘 的正向取的。 ' 当 2 时，级数
1 例1、求函数 分别在圆环1<|z|<2及 ( z 1)( z 2) 2 | z | 内的洛朗级数展式。 z 1 解：如果1<|z|<2，那么| | 1, | | 1, z 2 利用当| | 1时的幂级数展式
1 2 n 1 ... ... 1
前者是幂级数，它在收敛圆 一解析函数f1(z)。
z a R 内表示
1 , 对第二个级数做代换： za 2 n c c ... c ... 则它成为幂级数 1 2 n
设它的收敛域为 换回到原来的变量z,可 知第二个级数在 | z a | r 内表示一解析函数 f2(z)。 当 r < R 时，我们所考虑的两个幂级数有公共 的收敛区域: 圆环H : r | z a | R. 这时，我们称上述两个级数之和为双边幂级数 。记为 n
n ( z z ) 注解2、我们称 n 0 为f(z)的解析部分，
而称
n 1
n
( z z ) 为其主要部分。
n 0 n 0
n ( z z ) 注解3、我们称 n 为f(z)的洛朗展式。 0 n
n ( z z ) 定理5.3 设洛朗级数 n 在圆环 0
:| z z0 | ( R1 R2 )