第三角动量和角动量守恒
角动量和角动量守恒定律
恒矢量
M 0
质点或质点系所受对参考点 O 的合外力矩为零 时，质点或系统对该参考点 O 的角动量为一恒矢量 . (1) 不受外力
(2) 力臂 d 0 (3) F // r
3 – 2 角动量 角动量守恒动量守恒。
质点在有心力作用下的运动：r 与 F 同向或
第三章 刚体力学
dp dL F, ? Lrp dt d t dL d dp dr (r p) r p dt dt d t dt dr dL dp v, v p 0 r r F dt dt dt 作用于质点的合力对参考点 O dL 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 M dt 动量随时间的变化率 .
L mR
2 32 12
2g 12 ( sin ) R
L mR (2g sin )
Lx 、Ly 、Lz 质点对x、y、z 轴的角动量 M y、 M x、 M z 质点对x、y、z 轴的力矩
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
1）求角动量和力矩某一方向的分量的方法
L ( xi yj zk ) ( pxi py j pz k ) M （xi yj zk） （Fxi Fy j Fz k）
rb
通过一点（力心）—— 力对力心的力矩为零。
当力 F 的作用线始终
vb
ra mva rb mvb ra v b va va rb
ra
r
F
3 – 2 角动量 角动量守恒定律
第三章 刚体力学
举例： 将一个质量为m的小球系在轻绳的一端，放在 光滑的水平桌面上，轻绳的另一端从桌面中间的一 光滑小孔穿出。先使小球以一初速度在水平桌面上 作圆周运动，然后向下拉绳。 动画演示：模拟实验
《大学物理I》作业-No.03 角动量与角动量守恒-A-参考答案
《大学物理I 》作业 No.03 角动量 角动量守恒定律 （A 卷）班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、选择题[ ]1、一质点沿直线做匀速率运动时，(A) 其动量一定守恒，角动量一定为零。
(B) 其动量一定守恒，角动量不一定为零。
(C) 其动量不一定守恒，角动量一定为零。
(D) 其动量不一定守恒，角动量不一定为零。
答案：B答案解析：质点作匀速直线运动，很显然运动过程中其速度不变，动量不变，即动量守恒；根据角动量的定义v m r L⨯=，质点的角动量因参考点（轴）而异。
本题中，只要参考点（轴）位于质点运动轨迹上，质点对其的角动量即为零，其余位置均不会为零。
故(B)是正确答案。
[ ]2. 两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ，若A ρ>B ρ，两圆盘质量与厚度相同，如两盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量各为A J 和B J ，则 (A) A J >B J(B) B J >A J(C) A J ＝B J(D) A J 、B J 哪个大，不能确定答案：B答案解析：设A 、B 联盘厚度为d ，半径分别为A R 和B R ，由题意，二者质量相等，即B B A A d R d R ρπρπ22=因为B A ρρ>，所以22B A R R <，由转动惯量221mR J =，则B A J J <。
[ ]3．对于绕定轴转动的刚体，如果它的角速度很大，则 (A) 作用在刚体上的力一定很大 (B) 作用在刚体上的外力矩一定很大(C) 作用在刚体上的力和力矩都很大 (D) 难以判断外力和力矩的大小答案：D 答案解析：由刚体质心运动定律和刚体定轴转动定律知：物体所受的合外力和合外力矩只影响物体运动的加速度和角加速度，因此无法通过刚体运动的角速度来判断外力矩的大小，正如无法通过速度来判断物体所受外力的大小一样。
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
第三章 动量与角动量
在光滑桌面上运动，速度分别为
v1
10i ,
v2
3.0i
5.0
j
（SI制）碰撞后合为一体，求碰撞后的速度？
解：方法一，根据动量守恒定律
m1v1 m2v2 (m1 m2 )v
解得：
v
7i
25
j
7
方法二，利用动量守恒分量式：
(m1 m2 )vx m1v1x m2v2x vx 7m / s
例 题 12
12、一子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 F 400 4105 t
3
（SI），子弹从枪口射出时的速率为300m/s。假设子弹离
开枪口时合力刚好为零，则
（1）子弹走完枪筒全长所用的时间；
（2）子弹在枪筒中所受力的冲量； （3）子弹的质量 m ；
解：（1）根据题意，子弹离开枪口时合力为零，
f mg
f t(N)
30N L L L 0 t 4 30 ft 70 10tL 4 t 7
0
Ft ft f
t(s) 47
当 t 4s 时 Ftt mv4 mv0 v4 8m / s
(2)当 t 6s 时
6
4 Ftdt mv6 mv4 v6 v4 8m / s
人造卫星的角动量守恒。
A1 : L1 mv1(R l1)
l2
l1 m
A2 : L2 mv2 (R l2 )
A2
A1
mv1(R l1) mv2 (R l2 )
v2 6.30km/s
v2
v1
R l1 R l2
o
B
角动量 角动量守恒定律
h
vN2 2g
1 2g
3mvM m 6m
2
h
3m m 6m
2
19
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P104例3 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心
O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于
水l/4平处位, 置并时背,离有点一O只向小细虫杆以的速端率点vvA0 0垂爬直行落. 设在小距虫点与O细为杆
14
4-3 角动量 角动量守恒定律
比较 动量
F
dP dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
F
P
mv
力 动量
t2
Fdt 力的冲量
t1
第四章 刚体转动
角动量
M
dL dt
t2
Mdt ΔL
t1
LMMrrp0F角L力动矩量0或或角动力量矩
其角速度为ω, 求齿轮啮合后两圆盘的角速度.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2)
J11 J22
(J1 J2 )
16
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P103例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.
R
x
26
dP
F dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
大学物理(上册)角动量 角动量守恒定律(3)
，已足以盖过整个银河发光的总和。 ( 10
?
第二篇 实物的运动规律 第五章 角动量 角动量守恒定律
第五章第三讲
本章共3讲
§5.3 角动量守恒定律 一. 角动量守恒定律 研究对象：
dL M外 dt
质点系
由角动量定理： 得：当M 外 0时，L 恒矢量 分量式：
Mx 0 My 0 Mz 0 时 时 时 Lx 恒量 L y 恒量 Lz 恒量
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
回顾习题（ p84 4 -11）
C B Ny
o
Nx
A
F轴 0
M轴 0
A、B、C系统 p 不守恒；
A、B、C系统对 o 轴角动量守恒
应用广泛，例如：
天体运动
（行星绕恒星、卫星绕行星...） 微观粒子运动 （电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级 近似；加速器中粒子与靶核散射...）
[例2] 已知：地球 R=6378 km
卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1
远地: h2= 2384 km
求： v2=?
严格同步条件
卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零
轨道严格为圆形
运行周期与地球自转周期完全相同 （23小时56分4秒）
地球偏心率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂 移，用角动量、动量守恒调节 ~ 定点保持技术
•研究微观粒子相互作用规律
自学教材P108[例4]
第五章
角动量
角动量守恒
习题课
复习提要：三个概念，两条规律
mA mB v1 R mA mB mc vR
物理三大守恒定律公式
物理三大守恒定律公式物理学是一门研究自然界中各种现象的科学，它是自然科学中最基础、最根本的一门学科。
在物理学中，有三个重要的守恒定律，它们分别是能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律。
这三个守恒定律是物理学研究中的基础，也是我们理解自然界中各种现象的重要工具。
下面，我们将详细介绍这三大守恒定律公式。
一、能量守恒定律公式能量守恒定律是物理学中最基本的守恒定律之一，它表明在一个封闭系统中，能量总量保持不变。
这个定律可以用一个简单的公式来表示：E1 + Q = E2其中，E1是系统的初始能量，E2是系统的最终能量，Q是系统吸收或放出的热量。
这个公式的意义在于，系统中的能量总量不会因为内部的能量转化或热量的吸收或放出而改变。
这个定律可以应用于各种物理现象的研究，如机械能守恒、热力学过程、电磁能守恒等。
二、动量守恒定律公式动量守恒定律是物理学中另一个重要的守恒定律，它表明在一个封闭系统中，物体的总动量保持不变。
这个定律可以用一个简单的公式来表示：m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'其中，m1和m2分别是两个物体的质量，v1和v2是它们的初始速度，v1'和v2'是它们的最终速度。
这个公式的意义在于，系统中的物体总动量不会因为内部的碰撞或运动而改变。
这个定律可以应用于各种物理现象的研究，如弹性碰撞、非弹性碰撞、质点运动等。
三、角动量守恒定律公式角动量守恒定律是物理学中最后一个重要的守恒定律，它表明在一个封闭系统中，物体的总角动量保持不变。
这个定律可以用一个简单的公式来表示：L1 + L2 = L1' + L2'其中，L1和L2分别是两个物体的角动量，L1'和L2'是它们的最终角动量。
这个公式的意义在于，系统中的物体总角动量不会因为内部的转动或运动而改变。
这个定律可以应用于各种物理现象的研究，如刚体转动、自转、公转等。
总结物理学中的三大守恒定律——能量守恒定律、动量守恒定律和角动量守恒定律，是我们理解自然界中各种现象的重要工具。
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
为零,角动量守恒
v0
v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有
t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。
量子力学中的角动量与角动量守恒
量子力学中的角动量与角动量守恒量子力学是研究微观世界中粒子行为的物理学分支，而角动量是量子力学中的一个重要概念。
本文将探讨量子力学中的角动量以及守恒性质。
一、角动量的定义与性质角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的几何形状和运动方式密切相关。
在经典物理中，角动量可以通过物体的质量、位置矢量和速度矢量的叉积来定义。
然而，在量子力学中，由于粒子具有波粒二象性，角动量的定义与经典物理有所不同。
在量子力学中，角动量有两个关键属性：大小和方向。
大小由量子数j表示，而方向由量子数m表示。
这些量子数与角动量算符的本征值有关，通过测量可以得到具体的角动量数值。
二、角动量算符与本征态角动量算符在量子力学中具有重要的地位，它们分别表示对应的角动量分量在三个空间方向上的操作。
常见的角动量算符包括轨道角动量算符L和自旋角动量算符S。
通过对角动量算符的本征态进行测量，可以得到具体的角动量值。
这些本征态通常用球谐函数表示，并具有特定的角动量量子数。
例如，对于轨道角动量算符，其本征矢量即球谐函数Y_lm，其中l表示轨道量子数，m表示磁量子数。
三、角动量守恒定律在量子力学中，角动量守恒是一项重要的基本定律。
它意味着，在一个封闭系统中，角动量的总和在时间上保持不变。
这一定律的重要性在于它对微观粒子行为的限制，以及对物理现象解释的影响。
角动量守恒包括轨道角动量守恒和自旋角动量守恒。
轨道角动量守恒指的是在一个封闭系统中，轨道角动量的总和保持不变。
自旋角动量守恒则指的是系统中粒子的自旋角动量总和保持不变。
四、应用与实验验证角动量的概念和守恒性质在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
例如，在原子物理中，轨道角动量和自旋角动量的守恒性质对于描述原子光谱、电子结构和化学键的性质至关重要。
实验证实了角动量守恒的重要性。
通过实验观测到的自旋和轨道角动量的守恒，科学家们验证了量子力学的正确性，并为进一步研究微观世界的行为提供了重要的基础。
结论量子力学中的角动量与角动量守恒是研究微观世界行为的重要概念和定律。
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律
角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动时的两个基本定律。
下面进行简单的介绍：
1. 角动量定理
角动量定理是描述角动量变化的定律。
它表示为：物体所受外力矩等于物体角动量对时间的变化率。
即
I*ω= ΔL/Δt
其中，I 为物体的转动惯量，ω为物体的角速度，L 为物体的角动量。
这个定理表明了一个物体的角动量发生变化时，必定受到了外部的力矩作用，即力矩等于角动量的变化率。
2. 角动量守恒定律
角动量守恒定律是描述角动量不变的定律，即如果没有外部力矩作用，系统的总角动量保持不变。
即：
L = L0
其中，L 为系统的总角动量，L0 为系统在某一时刻的总角动量。
这个定律表明，如果没有外部力矩作用，那么系统的总角动量保持不变。
如果一个物体在自由运动时，角动量发生变化，那么它将会改变自身的旋转状态（比如转速、方向等）。
总之，角动量定理和角动量守恒定律是描述刚体运动和角动量变化的基本定理，可以帮助我们更好地理解物体的运动和变化规律。
3_3角动量角动量守恒
M mgR cos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt
dL mgR cos dt dL mgR cosdt
考虑到
d dt , L mRv mR
2
得
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式
L
0
LdL m gR
2
32
3
0
M 0, L
恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量.
Note：1. 角动量与参考点的选择有关 2. 若质点作圆周运动，则对圆心O L rmv mr
2
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
质点的角动量定理和角动量守恒定律
pi
pj
1 质点的角动量 质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r ，质点相对于原 点的角动量
L
x
z
r
o
L r p r mv 大小 L rmv sin
L 的方向符合右手法则.
cosd
12
L mR (2 g sin )
L mR 2g 12 ( sin ) R
2
二
4-3角动量 角动量守恒定律
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水
跳水运动员
茹可夫斯基凳
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只 小虫以速率 v 0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背 离点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆 的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
解 设飞船在点 A 的速度 v 0 , 月球质 量 mM ,由万有引力和 牛顿定律
vB
R
B
vA
v0
v
O h A
u
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 2 R R g
2 0
v0 (
Rh
)
12
1 612 m s
1
质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒
d r mv r F dt
所以
dL M＝ dt
dL M dt
t2
t1
M dt L2 L1
冲量矩
t1
t2
M dt
对同一参考点O，质点所受的冲量矩 等于质点角动量的增量．——质点的角动 量定理
3、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
4－3 角动量 角动量守恒定律
力对时间累积效应： 冲量、动量、动量定理． 力矩对时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
2、 刚体定轴转动的角动量定理
由转动定律
MZ
dLz dt
d(J )
dt
M Z dt d(J ) 角动量定理微分形式
t2 t1
MZdt
A
B
C
A
B
C
A
解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律
可得 J A A J BB＝J A J B
为两轮啮合后共同转动的角速度，于是
垂直位置。现有一质量为m2的子弹，以水平速度v0
射入细棒下断而不复出。求细棒和子弹开始一起运 动时的角速度？
题意分析：由于子弹射入细棒的时间极为短促，我们 可以近似地认为：在这一过程中，细棒仍然静止于垂 直位置。因此，对于子弹和细棒所组成的系统（也就 是研究对象）在子弹射入细棒的过程中，系统所受的 合外力（重力和轴支持力相等）对转轴O的力矩都为 零。根据角动量守恒定律，系统对于O轴的角动量守 恒。
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs （5）
l
当’取正值，则棒向左摆，其条件为
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l <6s
动量守恒三大定理
动量守恒三大定理动量守恒是物理学中的一个基本定律，它描述了一个物体的动能、速度和质量在运动中的变化。
这个定律非常重要，因为它可以让我们更好地理解物理问题并作出正确的预测。
动量守恒包括三个定理，下面将分别进行介绍。
一、质心动量守恒定理质心动量守恒定理指的是，在孤立系统中，系统的质心动量总是守恒不变的。
所谓孤立系统，就是指系统内部没有与外界发生能量交换和质量交换的情况。
举个例子，一架宇宙飞船在太空中飞行，不受到外力的作用，那么它的质心动量就是守恒的。
质心动量守恒定理是物理学的基础之一，因为它可以让我们更好地理解物理系统的运动情况。
在宇宙空间中，质心动量守恒定理被广泛应用于星际尘埃、彗星和行星的研究中。
在地球上，它也是描述汽车、火车和飞机运动的基础。
二、角动量守恒定理角动量守恒定理指的是，在孤立系统中，系统总的角动量守恒不变。
所谓角动量，就是物体围绕着某个固定的点旋转时的动量。
例如，一个旋转的陀螺，在旋转的过程中具有角动量。
在日常生活中，我们经常可以看到这个定理的应用。
例如，一个冰滑道上的溜冰运动员双臂伸开自转，“安静”的旋转中让身体内部的能量完全转化为旋转能量的同时增加角动量。
同样地，在双人滑比赛中，运动员通过旋转身体的方式，可以更好地控制身体的角动量，从而达到更好的竞技效果。
三、动量守恒定理动量守恒定理是最重要的定理之一，它指的是，如果物体在自由运动过程中，没有受到外力的作用，那么它的动量就是守恒的。
换句话说，如果一个物体在没有受到外部作用力的情况下运动，那么它的动量将保持不变。
动量守恒定理广泛应用于各个领域，例如：机械、光学、量子力学、天文学以及地球物理学等。
例如，物体在自由落体过程中，它的动量就是守恒的；在弹性碰撞中，被击中物体的动量和击打物体的动量分别守恒；在任意物体运动的过程中，如果不受到外力的作用，那么它的动量总是保持不变的。
总之，动量守恒三大定理是物理学中的重要定理，它们可以帮助我们更好地理解不同领域的物理问题，从而做出正确的预测。
角动量 角动量守恒(3-4,8节
v2 c2
dt
3 相对论动能 Ek mc 2 m0c2
v c
Ek
1 2
m0 v 2
4 相对论质能关系
E mc2
二 确定性与随机性
确定性： 牛顿力学具有内在随机性：
三 能量的连续性与能量的量子化
普朗克提出一维振子的能量
E nh (n 1,2,3)
爱因斯坦认为光子能量 h
FTd
1 2
mv2
1 2
mv02
物体由静止开始下落 v0 0, 0 0
FN
o P'
FT
FT
m
P
并考虑到圆盘的转动惯量 J 1 mR2 2
v R
解得
v 2 mgh
m 2gh
m 2m (m' 2) m
例2 一长为 l , 质量为 m 的竿可绕支点O自由
dt dL
dt r dp
r
F
dt
dt
dt
M
dL
dt
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
讨论
子细 弹绳
o
击质
入量
沙不 袋计
v
子 弹
o
击
入
杆
v
圆
o'
角动量 角动量守恒
4.8
0–lgsind =vvdv
–v2/2=lg(cosθ–1)
θ
0
R 例6. 半径R, 质量M的均匀水 解: 小车与 M r m 平转台可绕中心轴自由转动, 转盘受重力 开始时静止.今有质量m的玩 与轴的支撑 具汽车静止开始在转台上作 力都平行转 半径r(r<R)的圆运动, 求汽车 轴,力矩在轴方向上无分量, 相对转台走一周时,转台转过 故小车与转盘系统对转轴角 的角度. 动量守恒.用角标0,1,2分别表 示地,转盘和小车,设u=v21,有 ω20=ω21+ω10 mvr+Iω10=0
方向：沿轴向 所有内力矩矢量和为零 所有质元的角动量方向相同 L=∑miri2 刚体所受力矩等于外力矩 L=(∑miri2) =J 的矢量和 M=∑ri×Fi L的方向：沿轴向
3.刚体的角动量定理 第i个质元 Mi=dLi/dt
4.角动量守恒定律
对于刚体定轴转动. 求和 ∑Mi=∑(dLi/dt) 条件: M外=0 结论: L=恒量 讨论: =d(∑Li)/dt (1)内力矩不改变系统的角 得 M =dL/dt 动量，角动量守恒是自然 界的一条基本定律 刚体合外力矩M 等于 (2)当M外<<M内时, L恒量; 刚体角动量L 对时间 的变化率 (3)当J=恒量时, ω=恒量 t L ω大小方向不变(如回转仪); Mdt = dL=L2–L1 t L (4)当J改变时(内力作功使质 =J2ω2–J1ω1 量重新分布),ω大小改变,但 合外力矩的冲量矩等于刚 方向不变;
7.8
L
p
o
m r
质点的角动量定理： (dr / dt ) p r (dp / dt ) 对同一参考点 ，质点 v pr F 所受的冲量矩等于质点
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三 质点系角动量定理 质点系角动量守恒定律
9
第 i 个质点
dLi dt
Mi
M ij
ji
力矩的迭加原理
j j
Mij Mij
ji
j
i
系统
i
dLi dt
i
Mi
i
M ij
ji
i
M ij
j
Mij M ji
0
M外
M外
dL dt
L
Li
或
i
M外dt dL
质点系的 角动量定理
t2
若 m1 m2，会出现什么情况？
系统所受的合外力矩为
M 外 （m2 m1)gR 0
系统总角动量 L (m1v1 m2v2 )R
初始时小孩未动， L0 0 。
由角动量定理
M外
dL dt
若 m1 m2 :
dL 0, dt
L 0
有 m1v1 m2v2 0, v1 v2
N
以向纸 O R
由牛顿第二定律，得
T mg ma1
T (m M )g (m
m d2 x1 dt 2
M )a2
(m
M
)
d2 x2 dt 2
整理得
Mg
d2 x1 dt 2
m
d2 x2 dt 2
(m
M
)
x
h
h
TT
mm1
mm+M2
(不爬)
(爬)
mg (m+M)g
Mg
d2 x1 dt 2
m
d2 x2 dt 2
L1 L2
常量
一个系统由两个质点组成，如果只受它们之间 的相互作用，则这个系统的总角动量保持守恒
3
4
例：自由下落质点的角动量
（1） 对 A 点的角动量
任意时刻 t， 有 r
1
gt2
5
o RA
2
p mv mgt
LA
r
p
1 2
mt 3 g
g
0
r r
（2） 对 O 点的角动量
LO
r
p
m1r1 dv1 m2r2 dv2 dr1 v1dt, dr2 v2dt
dr1 v1 0, dr2 v2 0
由于 d(r v) dr v r dv
dv1
1
1
m1
H
r1
m2
r2
dv2
d(m1r1 v1) d(m2r2 v2 ) o
d(r1 m1v1 r2 m2v2 ) 0
内为正
v1 r1r v2
m1
r//
m2
(不爬) m1g m2 g (爬)
轻的升得快；
若 m1 m2 :
dL 0, L 0 dt
则 m1v1 m2v2 0, v1 v2 轻的升得快。
当较轻的人爬到滑轮处，较重的人离滑轮还有多高16 的距离？ 若开始时离滑轮的距离均为 h 。
设 m : 较轻人的质量， m+M : 较重人的质量。
L2
M 外dt dL L2 L1
t1
L1
dL
M 外 dt
L
Li
i
质点系角动
M 外 0时
dL 0 dt
L Li 常量
量守恒定律
讨论; 1) 不要求系统孤立, 只要求 M 外 0 2) 矢量式有3个分量式,即 M 外的某个分量=0, 则相应角
动量的分量守恒
3) 系统守恒条件;
r L1
rrm1 1Rrm1vrvr11（m指1(向Rr 纸 r内r// )）
vr1
L1 m1Rv1
同理 L2 m2Rv2 （指向纸外）
系统的角动量守恒： L1 L2 0
N
OR
v1
m1
r1rr//
v2
m2
(不爬) m1g m2 g (爬)
m1Rv1 m2Rv2 0
m1v1 m2v2
Q m1 m2 v1 v2 爬与不爬，两小孩同时到达滑轮！
(m
M
)
对
t
积分 Mgt
m
dx1
(m
M
)
dx2
dt
dt
再对 t 积分
t
0
l
Mgtdt mdx1 (m M )dx2
0
h
h
解得 l M (h 1 gt2 ) mM 2
x
17
h T
m
mm1
hl T
mm+mM2+M
(不爬)
(爬)
mg (m+M)g
即是较重的人离滑轮的距离。
【解】 设滑轮半径为R， 且 m1= m2
N
OR
把小孩看成质点，
以滑轮中心为“固定点”，
v1
v2
对外“力m：1+mm1g2r+,
轻绳
r
+ r恒
设两小孩分别以 vr1, vr 2速度上升。
m1
m2
(不爬) m1g m2 g (爬)
设角动量以指向纸内为正。
i
i
rc mivi [ri mivc ] [ri ' mivi]
i
i
i
故角动量
L
rc
mvc
i [ri mi vi]
L L轨道 L自旋
二 力矩
由两个质点组成的孤立系统
L1 L2 常量
dL1 dL2 dt dt
定义力矩： M dL
MF
M
r O r0
dt
F
F// f
r1 m1v1 r2 m2v2 常量
r1 m1v1 r2 m2v2 常量
L
2
定义: L r mv r p
----- 质点对参考点O的质 点角动量 或 质点动量矩
r
m O
p
大小： L rp sin mrv sin
方向：垂直 r , p组成的平面
二. 质点角动量守恒定律
Rg
(
R
r)
LO
p rRrp RR Rmgt
mgt
m
mv
3-2 质点系角动量和角动量守恒定律
6
一、质点系角动量
n
L Li (ri mvi )
由 ri i1rc ri ' 得 vi vc vi
L [(rc ri' ) mi vi ]
O
rc
cri '
ri mi
i
rc mivi ri ' mi (vc vi)
M外 0 或 1 F 0, 或 2 r F 0
*质心参考系的角动量定理
dL dt
drc dt
p
rc
dp dt
dLc dt
rc
dp dt
dLc dt
对定点O：
L rc p Lc
rc
cri '
ri mi
O
M外 (ri Fi ) (rc ri ' ) Fi rc Fi (ri ' Fi )
i
i
i
i
由
M外
dL dt
rc
i
Fi
i
(ri ' Fi )
dp rc dt
dLc dt
i
(ri '
Fi )
dLc dt
即
Mc
dLc dt
质心参考系的 角动量定理
角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
12
例题. 已知：轻绳，v10 = v20 =0，(忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 问：哪一个小孩先到达滑轮？
F
dL dt
d dt
(r
p)
dr dt
p r
dp dt
v
mv
r
F
r
F
对O点力矩 对轴的力矩
Mf MF M轴
r
f
r
F
r
F
Mf r
F//
r0
f r
fr sin F
M dL
8
dt
对于质点
Mdt dL
t2
L2
Mdt dL L2 L1
质点的 角动量定理
t1
L1
角冲量（冲量矩）