全国优质课- -基本不等式

《基本不等式》教学设计

一．教学内容解析

基本不等式是选自人教A版数学必修5第三章第4节第1课时，是在学习了“不等关系与不等式”，“一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓展，为后面选修中不等式的学习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

本节课内容属于概念性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。因此，根据以上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的形成与正明，会利用基本不等式求解简单的最值问题。在本节课中，学生通过观察，试验等方法抽象概括，归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。

二．教学目标设置

本章的课程目标是：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。根据本节课内容特点和以上分析，我确定了以下教学目标：

知识与技能目标：

了解基本不等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利用基本不等式求解简单的最大（小）值问题；

过程与方法目标：

了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路，体会利用基本不等式求解最值的方法；

情感态度与价值观目标：

通过实际背景抽象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体现了数学来源于生活，又应用于生活；同时培养学生分析问题，解决问题的能力，充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。

基本不等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和最值等问题时有着广泛的应用，时培养学生思维品质的重要途径。

三．学生学情分析

在此之前，学生已经学习了完全平方差公式，圆，三角形以及比较法证明不等式等相关知识，具备了初步的观察能力，分析能力；但由于数学基础相对比较薄弱，还缺乏一定的探究归纳能力以及分析问题和解决问题的能力。

课堂上，教师问题逐步引导带领学生探究，归纳基本不等式与证明，由于数学学习是一个长期的过程，分析和解决问题的能力需要逐步提高。

四．教学策略分析

学习知识的结果固然重要，但探索知识形成的过程同样重要。因此，在课堂上，教师主要利用多媒体课件，几何画板的动态演示，课堂例题规范书写等方式启发引导学生自主探究，合作学习，以便于学生学会甚至会学。

由于学生个体之间存在着差异，因此，对于不同学生，学习目标达成的效果是有差距的。在课堂上，对于不同程度学生给予相应的评价和鼓励，激发学生的学习兴趣和信心。

五．教学过程

（一）创设情境

如图是在北京召开的第24国际数学家大会的会标，会标是根

据中国古代数学家赵爽的弦图设计的颜色的明暗使它看上去像一

个风车，代表中国人民热情好客。

【设计意图】：以会标图案引入，贴近生活，有利于充分激发学生

的学习兴趣。

（二）探索发现，形成新知识

下面请同学们思考以下问题。

问题1：会标中ABCD是什么形状吗？还有哪些图形？

问题2：它们的面积之间存在着怎样的大小关系？如何

a,表示？

用b

问题3：中间的正方形是怎样产生的？能消失吗？（几

何画板展示）

学生们开动脑筋，找到很多相等关系与不等关系。

4S S ≥大正方形直角三角形，得ab b a 222≥+。

【设计意图】：问题的设计，可以给学生提供更多独立思

考的机会，启发引导学生得出不等关系。

进一步深化问题，思考等号成立的条件，几何画板演

示，润物细无声地引导学生体会极限思想。

问题4：你能用代数方法证明吗？上式对正实数是成立的，那么对任意实数b a ,，

上式都成立吗？

（学生回答，学生比较自然的想到用“比较法”证明。教师利用投影仪展示

学生的完整证明过程。强调b a =和b a ≠两种情况，说明“当且仅当”的含义。）

1. 重要不等式：

对任意实数a b 、，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

【设计意图】：思考变量取值范围和不等式证明过程，为后面基本不等式的条件

和证明方法作铺垫。

问题5：对于上式，如果0,0>>b a ,用b a ,代替b a ,可得到什么结论？

2

b a ab +≤，当且仅当a b =时，等号成立。 2.基本不等式 通常我们把不等式 )0,0(2>>+≤

b a b a ab ，当且仅当b a =时等号成立。 称为基本不等式。

我们把 2

b a + 叫做正数b a ,的算术平均数，ab 叫做正数b a ,的几何平均数。 基本不等式文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

由于基本不等式中含有两个平均数，因此，我们又把基本不等式叫均值不等式（均

值定理）

基本不等式实质反映的是两个正数的和与积之间的不等关系。

【设计意图】：演绎变换，得出本节课的核心内容。其中，渗透a,b 的取值范围

为正数。

【过渡】实际上，在许多几何图形中也都蕴含着基本不等式，下面就让我们回归

到直观图形进一步理解基本不等式

【问题6】动手操作

现在我们来做一个实验，请拿出准备好的两个正方形纸张，记一张面积为a ，

另一张面积为b .

步骤一：把两张纸张沿对角线对折，把对折后的两部分纸张沿对角线靠拢，则两部分的总面积为2

a b +； 步骤二：此时靠拢的两张纸张的下半部分可看成一个

矩形（见下图），则其中一个边长为a ，另一边为b ，ab

步骤三：由图显然可得基本不等式：矩形面积不大于整个面积，即

2a b

ab +≤

其实，用我们初中所学过的平面几何的知识也可以解释基本不等式。

【问题7】你能用这个图得出基本不等式的几何解释

吗?

如图,点C 是AB 上一点, AC=a ，BC=b ， 以AB 为

直径作圆, O 为圆心，过点C 作垂直于AB 的弦DC,连

接AD 、BD 、OD 。

①如何用a, b 表示OD?

②如何用a, b 表示CD?

③OD 与CD 的大小关系怎样?

(教师问题引导，学生观察图形回答问题，教师用几何画板展示说明）

【设计意图】：根据所学过的圆和三角形相似的知识，结合图形得出几何解释，

几何画板的动态演示，既使学生从数和形的角度感受等号成立的条件，又在同时

激发着他们对数学的无限兴趣。

刚才我们从几何方面体会了基本不等式。数缺形时少直观，形少数时难入微。

因此，代数证明是不可缺少的。你可以想到哪些方法呢？（学生回答作差法，这

个问题留作课下自己推导）今天我们尝试一种新的证明方法