直线与椭圆的综合问题

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2020高考冲刺数学总复习压轴解答:椭圆相关的综合问题(附答案及解析)

2020高考冲刺数学总复习压轴解答:椭圆相关的综合问题(附答案及解析)

专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合,且椭圆考查的最多,,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设置了两个问,第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题时需根据具体问题,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.【考点方向标】 方向一 中点问题典例1.(2020·山东高三期末)已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ,P 是椭圆C 上一点,PF x ⊥轴,2PF =. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点,且OM ,求AOB ∆面积的最大值.【举一反三】(2020·河南南阳中学高三月考)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合,且椭圆C (1)求椭圆C 的标准方程;(2)直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,线段AB 的中点为(1,)M t ,直线m 是线段AB 的垂直平分线,求证:直线m 过定点,并求出该定点的坐标.方向二 垂直问题典例2.(2020·安徽期末)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =,且过点(22.(1)求椭圆C 的方程;(2)如图,过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ,且满足12AM AB =,12DN DE =,求MNF ∆面积的最大值.【举一反三】(2020·吉林东北师大附中高三月考)已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为F ,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,A ,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,且AB OP ,且POB ∆的面积是12,其中O 是坐标原点. (1)求椭圆C 的方程.(2)若过点F 的直线1l ,2l 互相垂直,且分别与椭圆C 交于点M ,N ,S ,T 四点,求四边形MSNT 的面积S 的最小值.方向三 面积问题典例3.(2020·安徽高三月考)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -,经过点F 的直线与椭圆相交于M ,N 两点,点P 为线段MN 的中点,点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时,直线OP 的斜率为12-.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点A 为椭圆的左顶点,点B 为椭圆的右顶点,过F 的动直线交该椭圆于C ,D 两点,记ACD ∆的面积为1S ,BCD ∆的面积为2S ,求21S S -的最大值.典例4.(2020·河南高三月考)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =,且椭圆过点)(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线l 与C 交于M 、N 两点,点D 在椭圆C 上,O 是坐标原点,若OM ON OD +=,判定四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.【举一反三】(2020·全国高三专题练习)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b +=>>线E :22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅰ)设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.(2020·重庆高三月考)已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率e =且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 相切,且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ,N 两点,证明:OMN 的面积为定值(O 为坐标原点).方向四 范围与定值问题典例5.(2020·内蒙古高三期末)已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =,且圆222x y +=过椭圆C 的上,下顶点. (1)求椭圆C 的方程. (2)若直线l 的斜率为12,且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点,点P 关于点的对称点为E ,点()2,1A -是椭圆C 上一点,判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值,如果是,请求出此定值:如果不是,请说明理.典例6.(2020·全国高三专题练习)已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合,且过点(22,1).(1)求椭圆的标准方程;(2)若抛物线上不同两点A ,B 作抛物线的切线,两切线的斜率121k k =-,若记AB 的中点的横坐标为m ,AB 的弦长()g m ,并求()g m 的取值范围.【举一反三】(2020·全国高三专题练习(理))已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的长轴长是离心率的两倍,直线l :4430x y -+=交C 于A ,B 两点,且AB 的中点横坐标为12-. (1)求椭圆C 的方程;(2)若M ,N 是椭圆C 上的点,O 为坐标原点,且满足2234OM ON +=,求证:OM ,ON 斜率的平方之积是定值.(2020·四川石室中学高三月考(文))已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍,焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ,且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列,求ⅠOMN 面积的取值范围.【压轴选编】1.(2020·全国高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅰ)在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积;若不存在,请说明理由.2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点,ΔF 2MN 的周长为8,直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.(1)求椭圆C 的方程;(2)设A,B 是椭圆上两动点,线段AB 的中点为P ,OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2(O 为坐标原点),且4k 1k 2=−3,求|OP |的取值范围.3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =,且经过点1,2⎛ ⎝⎭.(1)求椭圆方程;(2)过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点,求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围.4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点,点M (√3,12)在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点,且k OA +k OB =−12(O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率; (Ⅰ) 当k =12时,求ΔPBQ 的面积;(Ⅰ)设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ,当C 为PB 中点时,求k 的值 .6. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32,长轴长为4,直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅰ)求AB 长度的最大值.7.(2020·河南鹤壁高中高三月考)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,P 是椭圆短轴的一个顶点,并且12PF F ∆是面积为1的等腰直角三角形. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线1:1l x my =+与椭圆E 相交于,M N 两点,过M 作与y 轴垂直的直线2l ,已知点3(,0)2H ,问直线NH 与2l 的交点的横坐标是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.8.(2020·江西高三)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点1)2-.(1)求椭圆C 的方程.(2)若A ,B 是椭圆C 上的两个动点(A ,B 两点不关于x 轴对称),O 为坐标原点,OA ,OB 的斜率分别为1k ,2k ,问是否存在非零常数λ,使当12k k λ=时,AOB ∆的面积S 为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.9.(2020·甘肃省岷县第一中学期末)已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)(,0)A a ,(0,)B b ,(0,0)O ,OAB ∆的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:||||AN BM ⋅为定值.10.(2020·江苏高三期末)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ,焦距为4,且椭圆过点5(2,)3,过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点,点Q 关于x 轴的对称点为R ,直线PR 交x 轴于点M .(1)求1PFQ 的周长; (2)求1PF M 面积的最大值.11.(2020·河南高三期末)已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ,N 两点.(1)证明:当229a b +取得最小值时,椭圆C . (2)若椭圆C 的焦距为2,是否存在定圆与直线MN 总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.12.(2020·四川高三月考)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.13.(2020·内蒙古高三)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3,以原点O 为圆心,椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点A ,B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点,问:在x 轴上是否存在定点E ,使得2EA EA AB +⋅为定值?若存在,试求出点E 的坐标和定值;若不存在,请说明理由.14.(2020·河北高三期末)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0),四条直线x a =±,y b =±所围成的区域面积为(1)求C 的方程;(2)设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ,设弦AB 的中点为M ,且1||||2OM AB =(O 为原点),求直线l 的方程.15.(2020·山东高三期末)已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的短轴长和焦距相等,左、右焦点分别为1F 、2F ,点1,2Q ⎛ ⎝⎭满足:122QF QF a +=.已知直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l 过点2F ,且222AF F B =,求直线l 的方程;(3)若直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t (0t >),且AB 中点的横坐标等于23,证明:符合题意的点T 有两个,并任求出其中一个的坐标.16.(2020·安徽高三)已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2.(1)求Γ的方程;(2)如图,若菱形ABCD 内接于椭圆Γ,求菱形ABCD 面积的最小值.17.(2020·福建省福州第一中学高三开学考试)已知O 为坐标原点,椭圆E :()222210x y a b a b+=>>的焦距为y x =截圆O :222x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2,椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为A .(1)求椭圆E 的标准方程;(2)设点()00,B x y (00y ≠且01y ≠±)为椭圆E 上一点,点B 关于x 轴的对称点为C ,直线AB ,AC分别交x 轴于点M ,N .试判断OM ON ⋅是否为定值?若是求出该定值,若不是定值,请说明理由.18.(2020·江西高三期末)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭是椭圆上的点,,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点,当,A B 运动时,满足APQ BPQ ∠=∠,试问直线AB 的斜率是否为定值?请说明理由.19.(2020·甘肃高三期末)设椭圆2222:1y x C a b +=(0)a b >>的离心率是2,直线1x =被椭圆C 截得的弦长为(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,当MAB △的面积最大时,求直线l 的方程.20.(2020·江西高三期末)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,F 为椭圆C 的右焦点,2D ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点,C 的离心率2e =(1)求椭圆C 的标准方程;(2)斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于,M N 两点,线段MN 的中垂线交x 轴于点P ,试探究||||PF MN 是否为定值,如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.21.(2020·青海高三期末)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为2,(1)试求椭圆M 的方程; (2)若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点,点3(1)2P ,为椭圆M 上一点,记直线PC 的斜率为1k ,直线PD 的斜率为2k ,试问:12k k +是否为定值?请证明你的结论22.(2020·四川高三期末)在平面直角坐标系中,已知点(2,0)A -,(2,0)B ,动点(,)P x y 满足直线AP 与BP 的斜率之积为34-.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程,并说明C 是什么曲线;(2)若M ,N 是曲线C 上的动点,且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭,问在y 轴上是否存在定点Q ,使得MQO NQO ∠=∠若存在,请求出定点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.23.(2020·山西高三期末)已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点,M 是椭圆C 上一点,当112MF F F ⊥时,有213MF MF =. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点,试问在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ,使得22ATF BTF ∠=∠恒成立?若存在,求出定点T 的坐标,若不存在,请说明理由.专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合,且椭圆考查的最多,,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设置了两个问,第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题时需根据具体问题,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.【考点方向标】 方向一 中点问题典例1.(2020·山东高三期末)已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ,P 是椭圆C 上一点,PF x ⊥轴,PF =(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点,且OM ,求AOB ∆面积的最大值.【答案】(1)22182x y +=;(2)2. 【解析】(1)设椭圆C 的焦距为()20c c >,由题知,点,2P c ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭,b =则有222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=,2234c a ∴=,又22222a b c c =+=+,28a ∴=,26c =, 因此,椭圆C 的标准方程为22182x y +=;(2)当AB x ⊥轴时,M 位于x 轴上,且OMAB ⊥,由OM =AB12AOB S OM AB ∆=⋅=; 当AB 不垂直x 轴时,设直线AB 的方程为y kx t =+,与椭圆交于()11,A x y ,()22,B x y ,由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+,21224814t x x k-=+,从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ,则2221t d k=+, ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=,则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号,此时AOB ∆的面积最大,最大值为2. 综上:AOB ∆的面积最大,最大值为2. 【举一反三】(2020·河南南阳中学高三月考)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合,且椭圆C 的离心率为2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,线段AB 的中点为(1,)M t ,直线m 是线段AB 的垂直平分线,求证:直线m 过定点,并求出该定点的坐标.【答案】(1)2214x y +=;(2)直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭,详见解析.【解析】(1)抛物线2y =的焦点为,则c =椭圆C 的离心率c e a ==2222,1a b a c ==-=. 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)方法一:显然点(1,)M t 在椭圆C 内部,故t <<,且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时,易知0t ≠,设直线l 的方程为(1)y k x t =-+, 代入椭圆方程并化简得22222(14)(88)48440k x kt k x k kt t ++-+-+-=.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则212288214kt k x x k -+=-=+,解得14k t =-. 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线,故直线:4(1)m y t t x -=-,即(43)y t x =-.令430x -=,此时3,04x y ==,于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时,易知0t =,此时直线:0m y =,故直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述,直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二:显然点(1,)M t 在椭圆C 内部,故t <<,且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有221114x y +=,222214x y +=,两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-=.由线段AB 的中点为(1,)M t ,则12122,2x x y y t +=+=, 故直线l 的斜率121214y y k x x t-==--.因为直线m 是线段AB 的垂直平分线,故直线:4(1)m y t t x -=-,即(43)y t x =-. 令430x -=,此时3,04x y ==,于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率不存在时,易知0t =,此时直线:0m y =,故直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述,直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方向二 垂直问题典例2.(2020·安徽期末)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =,且过点(22.(1)求椭圆C 的方程;(2)如图,过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ,且满足12AM AB =,12DN DE =,求MNF ∆面积的最大值. 【答案】(1)2212x y +=;(2)19.【解析】(1)根据条件有22222{13124a b a b=+=,解得222,1a b ==,所以椭圆22:12x C y +=. (2)根据12AM AB =,12CN CD =可知,,M N 分别为,AB DE 的中点, 且直线,AB DE 斜率均存在且不为0,现设点()()1122,,,A x y B x y ,直线AB 的方程为1x my =+,不妨设0m >, 联立椭圆C 有()222210m y my ++-=, 根据韦达定理得:12222m y y m +=-+,()12122422x x m y y m +=++=+, 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭,MF =,同理可得12NF m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 所以MNF ∆面积2112142MNFm m S MF NF m m ∆+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭,现令12t m m =+≥, 那么21124294MNF t S t t t∆==≤++,所以当2t =,1m =时,MNF ∆的面积取得最大值19. 【举一反三】(2020·吉林东北师大附中高三月考)已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为F ,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,A ,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,且AB OP ,且POB ∆的面积是12,其中O 是坐标原点. (1)求椭圆C 的方程.(2)若过点F 的直线1l ,2l 互相垂直,且分别与椭圆C 交于点M ,N ,S ,T 四点,求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】(1)2212x y +=;(2)169【解析】(1)依题意画出下图可设2(,)b P c a-,(,0)A a ,(0,)B b ,则有:22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩,解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,Ⅰ椭圆C 的标准方程为2212x y +=;(2)Ⅰ当1l x ⊥,2//l x 时,22122222MSNTb S a b a===; Ⅰ当1l ,2l 斜率存在时,设1l :1x ky =-,2l :11x y k=-,分别联立椭圆方程2212x y +=,联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=, Ⅰ12222k y y k +=+,12212y y k -=+, ⅠMN==)2212k k +=+,同理)22221111122k k ST k k⎫+⎪+⎝⎭==++, Ⅰ12S MN ST =()()()22228112221k k k +=++()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+,当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立, 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =.方向三 面积问题典例3.(2020·安徽高三月考)已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -,经过点F 的直线与椭圆相交于M ,N 两点,点P 为线段MN 的中点,点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时,直线OP 的斜率为12-.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若点A 为椭圆的左顶点,点B 为椭圆的右顶点,过F 的动直线交该椭圆于C ,D 两点,记ACD ∆的面积为1S ,BCD ∆的面积为2S ,求21S S -的最大值.【答案】(1)2212x y +=(2【解析】(1)设()11,M x y ,()22,N x y ,则点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭,由条件知直线MN 的斜率为12121y y x x -=-,直线OP 的斜率为121212y y x x +=-+,而22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式作差得,22221212220x x y y a b --+=, 所以()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+--===---+,即222a b =, 又左焦点为()1,0F -,所以22222221c a b b b b =-=-==,所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.(2)设直线CD 的方程为1x my =-,记C ,D 过标为()11,x y ,()22,x y ,则1121212S AF y y y y =⋅-=-,2121212S BF y y y y =⋅-=-, 所以2112S S y y -=-.联立方程,22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩,消去x ,得()222210m y my +--=,所以12222m y y m +=+,12212y y m =-+,12y y -==,令21tm =+,则1t ≥,且()()()2222818882122122m tt mt t+==≤=+++++,当且仅当1t =时等号成立, 所以2112S S y y -=-21S S -.典例4.(2020·河南高三月考)已知椭圆()2222:10x y C a b ab +=>>的离心率2e =,且椭圆过点)(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设直线l 与C 交于M 、N 两点,点D 在椭圆C 上,O 是坐标原点,若OM ON OD +=,判定四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.【答案】(1)22142x y+=;(2. 【解析】(1)设椭圆C 的焦距为()20c c >,由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得24a =,22b =,因此,椭圆C 的标准方程为22142x y +=;(2)当直线l 的斜率不存在时,直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =,联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时,MN =OMDN的面积为122=同理,当直线l 的方程为1x =-时,可求得四边形OMDN; 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y kx m =+,代人到22142x y +=,得()222124240k x kmx m +++-=,122412km x x k -∴+=+,21222412m x x k -=+,()228420k m ∆=+->, ()12122221my y k x x m k∴+=++=+,12MN x x =-==,点O 到直线MN的距离d =,由OM OC OD +=,得122421D km x x x k =+=-+,122212D my y y k =+=+, 点D 在椭圆C 上,所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=,整理得22122k m +=,由题意知,四边形OMDN 为平行四边形,∴平行四边形OMDN的面积为1222OMDN OMNS S MN d ∆==⨯⨯=()222121k k +====+故四边形OMDN . 【举一反三】(2020·全国高三专题练习)平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b +=>>线E :22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅰ)设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上;(ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】(Ⅰ)2241x y +=;(Ⅰ)(Ⅰ)见解析;(Ⅰ)12S S 的最大值为94,此时点P的坐标为1,)24【解析】(Ⅰ=,解得2a b =. 因为抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以11,2a b ==,所以椭圆的方程为2241x y +=.(Ⅰ)(1)设2,(0)2m m P m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由22x y =可得y x '=,所以直线l 的斜率为m ,其直线方程为2()2m y m x m -=-,即22my mx =-. 设()()()112200,,,,,A x y B x y D x y ,联立方程组2222m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理可得()223441410m x m x m +-+-=,故由其判别式>0∆可得0m <<3122441m x x m +=+, 故312022241x x m x m +==+,代入22m y mx =-可得()202241m y m =-+, 因为0014y x m =-,所以直线OD 的方程为14y x m=-. 联立14y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得点的纵坐标为14y =-,即点M 在定直线14y =-上. (2)由(1)知直线l 的方程为22m y mx =-,令0x =得22m y =-,所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又()2322212,,,0,,2241241m m m P m F D m m ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以()2111||124S GF m m m ==+,()()22202211||2841m m S PM m x m +=⋅-=+, 所以()()()221222241121m m S S m ++=+,令221t m =+,则1222(21)(1)112S t t S t t t -+==-++, 因此当112t =,即2t =时,12S S 最大,其最大值为94,此时2m =满足>0∆,所以点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭,因此12S S 的最大值为94,此时点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. (2020·重庆高三月考)已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率2e =,且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 相切,且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ,N 两点,证明:OMN 的面积为定值(O 为坐标原点).【答案】(1)2214x y +=;(2)见解析.【解析】(1)解:因为圆221x y +=过椭圆C 的上、下顶点,所以1b =.又离心率2e ==,所以21314a -=,则24a =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)证明:椭圆221:1164x y C +=,当直线l 的斜率不存在时,这时直线l 的方程为2x =±,联立2221164x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩,得y =||MN =则12||2OMN S MN ∆=⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时,设:l y kx m =+,联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()()222418410k x kmx m +++-=,由0∆=,可得2241m k =+. 联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()()222418440k x kmx m +++-=.设()11,,M x y ()22,N x y ,所以1228,41km x x k +=-+()21224441m x x k -=+,则||MN ==.因为原点到直线l的距离d ==1||2OMNS MN d =⋅=. 综上所述,OMN ∆的面积为定值方向四 范围与定值问题典例5.(2020·内蒙古高三期末)已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C 的上,下顶点. (1)求椭圆C 的方程. (2)若直线l 的斜率为12,且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点,点P 关于点的对称点为E ,点()2,1A -是椭圆C 上一点,判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值,如果是,请求出此定值:如果不是,请说明理.【答案】(1)22182x y +=;(2)是,0. 【解析】(1)因为圆222x y +=过椭圆C的上,下顶点,所以b =又离心率2e =3a c =,于是有222b a a bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=; (2)由于直线l 的斜率为12,可设直线l 的方程为12y x t =+,代入椭圆C :2248x y +=, 可得222240x tx t ++-=.由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点,所以()2244240t t ∆=-->, 整理解得22t -<<设点()11,P x y 、()22,Q x y ,由于点P 与点E 关于原点的对称,故点()11,E x y --,于是有122x x t +=-,21224x x t =-.若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ,AQ k ,由于点()2,1A -,则21211122AE AQ y y k k x x ---+=++-+()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-, 又Ⅰ1112y x t =+,2212y x t =+. 于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()12124x x t x x =-+--()()224240t t t =-----=,故直线AE 与AQ 的斜率之和为0,即0AE AQ k k +=.典例6.(2020·全国高三专题练习)已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合,且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若抛物线上不同两点A ,B 作抛物线的切线,两切线的斜率121k k =-,若记AB 的中点的横坐标为m ,AB 的弦长()g m ,并求()g m 的取值范围.【答案】(1)2215y x +=;(2)[)8,+∞. 【解析】(1)由题意可知,设抛物线方程为:22x py =点在抛物线C 上,所以抛物线C 的方程为28x y =,所以椭圆的上焦点为(0,2),所以椭圆的标准方程为2215y x +=;(2)设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,在A 点处的切线的斜率114x k =,在B 点处的切线的斜率224x k =,又1212116x xk k ⋅==-,所以 22212188ABx x k x x -=-218x x +=,4m =212x x m +=,而12|||AB x =-===所以g()m =20m ≥,所以()8g m ≥.【举一反三】(2020·全国高三专题练习(理))已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍,直线l :4430x y -+=交C 于A ,B 两点,且AB 的中点横坐标为12-. (1)求椭圆C 的方程;(2)若M ,N 是椭圆C 上的点,O 为坐标原点,且满足2234OM ON +=,求证:OM ,ON 斜率的平方之积是定值.【答案】(1)22241x y +=(2)证明见解析【解析】由椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍得22a e =,即2a c =………..Ⅰ 设1122(,),(,)A x y B x y联立22221x y a b+=和4430x y -+=整理得222222239()0216a b x a x a a b +++-=; 所以2122232ax x a b +=-+, 依题意得:22232=1aa b--+,即222a b =……..Ⅰ· 由ⅠⅠ得依题意得:2211,24a b ==,所以椭圆C 的方程为22241x y +=.(2)设3344(,),(,)M x y N x y ,由223||||4OM ON +=得2222334434x y x y +++= 因为3344(,),(,)M x y N x y 在椭圆C 上,所以22332244241,241,x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩223412x x +=, 22223422342222343411(12)(12)44OM ON x x y y K K x x x x -⋅-⋅===222234342234112()4)1164x x x x x x -++=( (2020·四川石室中学高三月考(文))已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍,焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ,且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列,求ⅠOMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=;(2) (0,1).【解析】(1)由已知得222222{2a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==ⅠC 方程:2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为:y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理,得:222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则Ⅰ22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y Ⅰ212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列,Ⅰ2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得:214k =⇒12k =±.又由Ⅰ0>得:202m << 显然21m ≠(否则:120x x =,则12,x x 中至少有一个为0,直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在,矛盾!)设原点O 到直线l 的距离为d ,则1212OMNSMN d x ==-12== 故由m 得取值范围可得ⅠOMN 面积的取值范围为(0,1)【压轴选编】1.(2020·全国高三专题练习)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅰ)在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积;若不存在,请说明理由. 【答案】(1);(2)存在,M 的坐标为62,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,最大值为.【解析】(Ⅰ)因为e =2223c a =,于是223a b .设椭圆C 上任一点,椭圆方程为,,=Ⅰ当,即时,(此时舍去;Ⅰ当即时,综上椭圆C 的方程为.(Ⅰ)圆心到直线l 的距离为221d m n=+,弦长,所以OAB ∆的面积为点,当时,由得综上所述,椭圆上存在四个点2⎫⎪⎪⎝⎭、⎛⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭,使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大,且最大值为12. 2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点,ΔF 2MN 的周长为8,直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.(1)求椭圆C 的方程;(2)设A,B 是椭圆上两动点,线段AB 的中点为P ,OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2(O 为坐标原点),且4k 1k 2=−3,求|OP |的取值范围.【解析】(1)根据题意4a =8,∴a =2. 把y =x 代入椭圆方程x 24+y 2b 2=1得,x 2=4b 24+b 2, 因为直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427, 所以2√4b 24+b 2+4b 24+b 2=4√427,解得b 2=3, 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 0,y 0),由k 1k 2=−34,得3x 1x 2+4y 1y 2=0,当AB 的斜率不存在时,x 1=x 2,y 1=−y 2,3x 12−4y 12=0,又3x 12+4y 12=12, ∴x 12=2,这时|OP |=√2.当AB 的斜率存在时,设直线AB:y =kx +m ,由得{3x 2+4y 2=12y =kx +m :(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0, 由Δ>0得m 2<4k 2+3Ⅰx 1+x 2=−8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2−123+4k 2,结合3x 1x 2+4y 1y 2=0得2m 2=4k 2+3≥3Ⅰ 由ⅠⅠ知m ≠0且m 2≥32,x 0=x 1+x 22=−2k m ,y 0=kx 0+m =32m ,∴|OP|2=x 02+y 02=4k 2m 2+94m 2=2m 2−3m 2+94m 2=2−34m 2≥32∴√2>|OP |≥√62综上|OP |的取值范围为[√62,√2]. 3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =,且经过点1,2⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆方程;(2)过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点,求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围.【解析】(1)2212x y += (2)PM 的斜率不存在时, MN 的垂直平分线与x 轴重合,没有截距,故PM 的斜率存在. 设PM 的方程为2y kx =+,代入椭圆方程 得: ()2212860k x kx +++=PM 与椭圆有两个不同的交点()()22841260k k ∴∆=-+⨯>,即232k >,即2k >或2k <-设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点()0,0Q x y 则120002242,221212x x k x y kx k k +==-=+=++ MN ∴的垂直平分线的方程为222141212k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭∴在x 轴上的截距为222242121212k k kk k k -=-+++ 设()2212xf x x =-+,则()()()22222112x f x x-+'=, 232x ∴>时, ()0f x '>恒成立x ∴>()0;f x x <<<时()0f x <<MN ∴的垂直平分线在x 轴上的截距的范围是⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点,点M (√3,12)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点,且k OA +k OB =−12(O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围. 【解析】(1)由题可知,椭圆的另一个焦点为(−√3,0),所以点M 到两焦点的距离之和为√(2√3)2+(12)2+12=4.所以a =2.又因为c =√3,所以b =1,则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)当直线l 的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,k OA +k OB =0,不符合题意. 故设l 直线的方程为y =kx +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立{y =kx +m x 24+y 2=1,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0.所以{x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1, 而k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=(kx 1+m )x 2+(kx 2+m )x 1x 1x 2=2k +m (x 1+x 2)x 1x 2=2k +−8km 24(m 2−1)=−2km 2−1,由k OA +k OB =−12,可得m 2=4k +1.所以k ≥−14,又因为16(4k 2−m 2+1)>0,所以4k 2−4k >0.综上,k ∈[−14,0)∪(1,+∞).5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率;(Ⅰ) 当k =12时,求ΔPBQ 的面积;(Ⅰ)设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ,当C 为PB 中点时,求k 的值 . 【解析】(Ⅰ)因为a 2=4,b 2=2,所以a =2,b =√2,c =√2 所以离心率e =c a=√22(Ⅰ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)若k =12,则直线l 的方程为y =12x +1由{x 24+y 22=1y =12x +1 ,得3x 2+4x −4=0 解得 x 1=−2,x 2=23设A(0,1),则 S ΔPBQ =12|AB|(|x 1|+|x 2|)=12×3×(23+2)=4(Ⅰ)法一: 设点C(x 3,y 3),因为P(x 1,y 1),B(0,−2),所以{x 3=x 12y 3=−2+y 12又点P(x 1,y 1),C(x 3,y 3)都在椭圆上,所以{x 124+y 122=1(x 12)24+(−2+y 12)22=1解得{x 1=√142y 1=−12 或{x 1=−√142y 1=−12 所以 k =−3√1414或k =3√1414法二:设C(x 3,y 3)显然直线PB 有斜率,设直线PB 的方程为y =k 1x −2 由{x 24+y 22=1y =k 1x −2, 得 (2k 12+1)x 2−8k 1x +4=0所以{Δ=16(2k 12−1)>0x 1+x 3=8k12k 12+1x 1x 3=42k 12+1又x 3=12x 1 解得{x 1=−√142k 1=−3√1414 或 {x 1=√142k 1=3√1414所以{x 1=−√142y 1=−12或 {x 1=√142y 1=−12所以k =3√1414或k =−3√14146. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32,长轴长为4,直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅰ)求AB 长度的最大值. 【解析】(I )由2a =4,Ⅰa =2,e =√32,Ⅰc =√3,b =1所以椭圆方程为x 24+y 2=1(II )设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2),把y =kx +m 代入x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0 x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2−44k 2+1,∠AOB =90°,OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=0, x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=04k 2+4=5m 2,Δ=16(4k 2+1−m 2)>0 Ⅰ4k 2+1−m 2=4k 2+1−4k 2+45>0 Ⅰ16k 2+1>0,则|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−4k 2+454k 2+1=45√5⋅√16k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1。

专题47 椭圆——直线与椭圆的综合问题(课后层级训练)-2020年新高考数学一轮复习

专题47 椭圆——直线与椭圆的综合问题(课后层级训练)-2020年新高考数学一轮复习

课下层级训练(四十七) 直线与椭圆的综合问题[A 级 基础强化训练]1.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,且|AB |=3,则C 的方程为( ) A .x 22+y 2=1B .x 23+y 23=1C .x 24+y 23=1D .x 25+y 24=1【★答案★】C [设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则c =1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ,B 两点,且|AB |=3,所以b 2a =32,b 2=a 2-c 2,所以a 2=4,b 2=a 2-c 2=4-1=3,椭圆的方程为x 24+y 23=1.]2.(2019·山东枣庄检测)过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) A .43 B .53 C .54D .103【★答案★】B [由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0),则直线AB 的方程为y =2x -2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25+y 24=1,y =2x -2,解得交点坐标为(0,-2),⎝ ⎛⎭⎪⎫53,43,不妨设A 点的纵坐标y A =-2,B 点的纵坐标y B =43,∴S △OAB =12·|OF |·|y A -y B |=12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪-2-43=53.]3.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x -y +5=0,弦的中点坐标是M (-4,1),则椭圆的离心率是( ) A .12 B .22 C .32D .55【★答案★】C [设直线与椭圆交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),分别代入椭圆方程,由点差法可知y M =-b 2a 2k x M ,代入k =1,M (-4,1),解得b 2a 2=14,e =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2=32.]4.已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ,Q 两点,若△PF 1F 2为直角三角形,则椭圆E 的离心率为( )A .53 B .23 C .23D .13【★答案★】A [由题意可知,∠F 1PF 2是直角,且tan ∠PF 1F 2=2,∴|PF 2||PF 1|=2,又|PF 1|+|PF 2|=2a ,∴|PF 1|=2a 3,|PF 2|=4a 3. 根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32+⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32=(2c )2,所以离心率e =c a =53.] 5.(2019·山东济宁模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)及点B (0,a ),过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ,F 为椭圆的右焦点,则∠ABF =( ) A .60° B .90° C .120°D .150°【★答案★】B [由题意知,切线的斜率存在,设切线方程y =kx +a (k >0),与椭圆方程联立,⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +a ,x 2a 2+y2b2=1,消去y 整理得(b 2+a 2k 2)x 2+2ka 3x +a 4-a 2b 2=0, 由Δ=(2ka 3)2-4(b 2+a 2k 2)(a 4-a 2b 2)=0,得k =c a ,从而y =c a x +a 交x 轴于点A (-a 2c,0),又F (c,0),易知BA →·BF →=0,故∠ABF =90°.]6.已知椭圆C :x 29+y 24=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=____________.【★答案★】12 [设MN 交椭圆于点P ,连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点),利用中位线定理可得|AN |+|BN |=2|F 1P |+2|F 2P |=2×2a =4a =12.]7.P 为椭圆x 29+y 28=1上的任意一点,AB 为圆C :(x -1)2+y 2=1的任一条直径,则PA →·PB →的取值范围是______________.【★答案★】[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点,PA →·PB →=(PC →+CA →)·(PC →+CB →)=(PC →+CA →)·(PC →-CA →)=PC →2-CA →2=|PC →|2-1,显然|PC →|∈[a -c ,a +c ]=[2,4],所以PA →·PB →=|PC →|2-1∈[3,15].]8.椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c .若直线y =3(x +c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于________________. 【★答案★】3-1 [直线y =3(x +c )过点F 1(-c,0),且倾斜角为60°,所以∠MF 1F 2=60°,从而∠MF 2F 1=30°,所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中,|MF 1|=c ,|MF 2|=3c ,所以该椭圆的离心率e =2c 2a =2cc +3c=3-1.]9.(2019·山东济南模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22,其中左焦点为F (-2,0).(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线y =x +m 与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上,求m 的值.【★答案★】解 (1)由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧c a =22,c =2,a 2=b 2+c 2,解得⎩⎨⎧a =22,b =2.∴椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.(2)设点A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段AB 的中点为M (x 0,y 0),由⎩⎪⎨⎪⎧x 28+y 24=1,y =x +m ,消去y 得,3x 2+4mx +2m 2-8=0, Δ=96-8m 2>0,∴-23<m <23.∵x 0=x 1+x 22=-2m 3,∴y 0=x 0+m =m3. ∵点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫-2m 32+⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32=1,∴m =±355.10.如图,已知椭圆x 22+y 2=1的左焦点为F ,O 为坐标原点,设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ,求点G 横坐标的取值范围.【★答案★】解 设直线AB 的方程为y =k (x +1)(k ≠0),代入x 22+y 2=1,整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2-2=0.因为直线AB 过椭圆的左焦点F ,所以方程有两个不等实根,记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB 中点N (x 0,y 0), 则x 1+x 2=-4k22k 2+1,x 0=12(x 1+x 2)=-2k 22k 2+1,y 0=k (x 0+1)=k2k 2+1,所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y -y 0=-1k(x -x 0).令y =0,得x G =x 0+ky 0=-2k 22k 2+1+k22k 2+1=-k 22k 2+1=-12+14k 2+2.因为k ≠0,所以-12<x G <0,所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0.[B 级 能力提升训练]11.(2019·辽宁沈阳模拟)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为43,离心率为32. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 经过点M (0,1),且与椭圆C 交于A ,B 两点,若AM →=2MB →,求直线l 的方程.【★答案★】解 (1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),因为c =2 3.e =c a =32,所以a =4,b =2, 所求椭圆方程为x 216+y 24=1.(2)由题得直线l 的斜率存在,设直线l 方程为y =kx +1,则由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 216+y 24=1得(1+4k 2)x 2+8kx -12=0,且Δ>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则由若AM →=2MB →, 得x 1=-2x 2,又x 1+x 2=-8k 1+4k 2,x 1x 2=-121+4k 2,所以-x 2=-8k 1+4k 2,-2x 22=-121+4k 2,消去x 2解得k 2=320,k =±1510,所以直线l 的方程为y =±1510x +1. 12.(2019·山东东营月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(0,-1),离心率e =22.(1)求椭圆的方程;(2)已知点P (m,0),过点(1,0)作斜率为k (k ≠0)直线l ,与椭圆交于M ,N 两点,若x 轴平分∠MPN ,求m 的值.【★答案★】解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上,过点(0,-1),离心率e =22,所以b =1,c a =22, 所以由a 2=b 2+c 2,得a 2=2, 所以椭圆C 的标准方程是x 22+y 2=1,(2)因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ,所以直线l 的方程是y =k (x -1).联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 22+y 2=1消去y , 得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2=0, 显然Δ>0,设点M (x 1,y 1),N (x 1,y 1), 所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x 1x 2=2k 2-21+2k 2,因为x 轴平分∠MPN ,所以∠MPO =∠NPO . 所以k MP +k NP =0, 所以y 1x 1-m +y 2x 2-m=0,所以y 1(x 2-m )+y 2(x 1-m )=0,所以k (x 1-1)(x 2-m )+k (x 2-1)(x 1-m )=0, 所以2kx 1x 2-(k +km )(x 1+x 2)+2km =0, 所以2·2k 2-21+2k 2-(1+m )·4k21+2k 2+2m =0所以-4+2m1+2k2=0,所以-4+2m =0,所以m =2.13.(2019·山东德州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与C D .当直线AB 斜率为0时,AB =4.(1)求椭圆的方程;(2)若|AB |+|CD |=487,求直线AB 的方程.【★答案★】解 (1)由题意知e =c a =12,2a =4.又a 2=b 2+c 2,解得a =2,b =3,所以椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时,另一条弦所在直线的斜率不存在,由题意知|AB |+|CD |=7,不满足条件.②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设直线AB 的方程为y =k (x -1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则直线CD 的方程为y =-1k(x -1).将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得 (3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0, 则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1·x 2=4k 2-123+4k 2,所以|AB |=k 2+1|x 1-x 2|=k 2+1·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12(k 2+1)3+4k2.同理,|CD |=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2+13+4k2=12(k 2+1)3k 2+4. 所以|AB |+|CD |=12(k 2+1)3+4k 2+12(k 2+1)3k 2+4=84(k 2+1)2(3+4k 2)(3k 2+4)=487, 解得k =±1,所以直线AB 的方程为x -y -1=0或x +y -1=0.14.(2019·湖北荆州模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,且椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-32,直线l过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于M ,N 两点. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点P (4,0),求证:若圆Ω:x 2+y 2=r 2(r >0)与直线PM 相切,则圆Ω与直线PN 也相切.【★答案★】(1)解 设椭圆C 的焦距为2c (c >0),依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a =12,a 2=b 2+c 2,1a 2+94b 2=1解得a =2,b =3,c =1,故椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明 当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =1,M ,N 两点关于x 轴对称,点P (4,0)在x 轴上, 所以直线PM 与直线PN 关于x 轴对称, 所以点O 到直线PM 与直线PN 的距离相等,故若圆Ω:x 2+y 2=r 2(r >0)与直线PM 相切,则也会与直线PN 相切;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -1),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,所以x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k2,k PM =y 1x 1-4=k (x 1-1)x 1-4,k PN =y 2x 2-4=k (x 2-1)x 2-4,k PM +k PN =k (x 1-1)x 1-4+k (x 2-1)x 2-4=k [2x 1·x 2-5(x 1+x 2)+8](x 1-4)(x 2-4)=k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2-243+4k 2-40k 23+4k 2+8(x 1-4)(x 2-4)=0,所以,∠MPO =∠NPO ,于是点O 到直线PM 与直线的距离PN 相等, 故若圆Ω:x 2+y 2=r 2(r >0)与直线PM 相切,则也会与直线PN 相切;综上所述,若圆Ω:x 2+y 2=r 2(r >0)与直线PM 相切,则圆Ω与直线PN 也相切.感谢您的下载!快乐分享,知识无限!由Ruize收集整理!。

2021年新高考地区数学名校押题精选26 椭圆(解答题)(原卷版)

2021年新高考地区数学名校押题精选26 椭圆(解答题)(原卷版)

精选26 椭 圆(解答题)解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.1.已知椭圆1C :()222210x y a b a b+=>>和椭圆2C :2212x y +=的离心率相同,且点)在椭圆1C 上.(1)求椭圆1C 的方程;(2)设P 为椭圆2C 上一点,过点P 作直线交椭圆1C 于A ,C 两点,且P 恰为弦AC 的中点,则当点P 变化时,试问AOC △的面积是否为常数,若是,求出此常数,若不是,请说明理由.2.已知点F 为椭圆E :()222210x y a b a b+=>>的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线142x y+=与椭圆E 有且仅有一个交点M . (1)求椭圆E 的方程; (2)设直线142x y+=与y 轴交于点P ,过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,若22PM PF PA PB λ⋅=⋅,求实数λ的取值范围.3.如图,设点,的坐标分别为,,直线,相交于点,且它们的斜率之积为.AB (AP BP P 23-(1)求的轨迹方程;(2)设点的轨迹为,点、是轨迹为上不同于,的两点,且满足,,求的面积.4.已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于1 2,它的一个顶点恰好是抛物线2x=的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点()2,3P,()2,3Q-在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足APQ BPQ∠=∠,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.5.已知椭圆的右焦点为,是椭圆上一点,轴,.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆交于、两点,线段的中点为,为坐标原点,且面积的最大值.PP C M N C A B//AP OM //BP ON MON△(222:12x yC aa+=>F P C PF x⊥2PF=Cl C A B AB M OOM=AOB∆6.已知椭圆:()的左右焦点分别为,焦距为2,且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴,与椭圆有两个不同的交点,,线段的中点为.(1)点在椭圆上,求的取值范围; (2)证明:直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值;7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()0,1.(1)求椭圆C 的方程.(2)直线y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点. ①求||AB (用实数,k m 表示).②O 为坐标原点,若0OA AB ⋅=,且||3||2AB OA =,求OAB 的面积.8.已知椭圆的离心率为,点分别是的左、右、上、下顶点,且四边形的面积为(1)求椭圆的标准方程;(2)已知是的右焦点,过的直线交椭圆于两点,记直线的交点为,求证:点在定直线上,并求出直线的方程.9.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 的距离(1)求椭圆C 的标准方程 ;C 22221x y a b +=0a b >>12,F F Q12⎛- ⎝⎭,l l C A B AB M P C 12PF PF ⋅OM l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>23,,,A B D E C ADBE C F C F C ,P Q ,AP BQ T T l l(2)过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点,交y 轴 于P 点,设12,PA AF PB BF λλ==,试判断12λλ+是否为定值?请说明理由.10.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,短轴长为23,A ,B 在椭圆C 上,且220AF BF +=.1AEF △的周长为 8.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 上的动点M 作C 的切线l ,过原点O 作OP l ⊥于点P ,求OMP 的面积的最大值.11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,A 为椭圆上一动点(异于左右顶点),12AF F △面积的最大值为3. (1)求椭圆C的方程;(2)设过点1F 的直线l (l 的斜率存在且不为0)与椭圆C 相交于,A B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,试判断1||PF AB 是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.12.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ,左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,点()4,0B ,2F 为线段1A B 的中点.(1)求椭圆C 的方程.(2)若过点B 且斜率不为0的直线与椭圆C 的交于M ,N 两点,已知直线1A M 与2A N 相交于点G ,试判断点G 是否在定直线上?若是,请求出定直线的方程;若不是,请说明理由.13.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2,且经过点(12A ,.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线:l y kx t =+与椭圆C 交于两个不同点P Q 、,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,设O 为原点,若2OM ON=,求证:直线l 经过定点.14.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -,2(,0)F c ,离心率为12,短轴长为 (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设左、右顶点分别为A 、B ,点M 在椭圆上(异于点A 、B ),求MA MB k k 的值;(3)过点2F 作一条直线与椭圆C 交于,P Q 两点,过,P Q 作直线2a x c =的垂线,垂足为,S T .试问:直线PT 与QS 是否交于定点?若是,求出该定点的坐标,否则说明理由.15.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点,直线l 经过点2F ,倾斜角为45°,与椭圆交于A 、B 两点.(1)若12F F = (2)对(1)中椭圆,求1ABF 的面积;(3)M 是椭圆上任意一点,若存在实数λ,μ,使得OM OA OB λμ=+,试确定λ,μ满足的等式关系.16.已知分别为椭圆:的上.下焦点,是抛物线:的焦点,点是与在第二象限的交点,且 (1)求椭圆的标准方程;(2)与圆相切的直线:(其中)交椭圆于点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.17.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :点(2,1)在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与圆O :相切,切点在第一象限,与椭圆C 相交于P ,Q 两点. ①求证:以PQ 为直径的圆经过原点O ; ②若△OPQ 求直线l 的方程.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,且过点2⎛ ⎝⎭,O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程; (2)圆2283x y +=的一条切线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,求: ①AOB ∠的值; ②AB 的取值范围.19.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ,2F ,且1F ,2F 与短轴12,F F 1C 22221(0)y x a b a b+=>>1F 2C 24x y =M 1C 2C 153MF =1C ()2211x y ++=l ()y k x t =+0kt ≠1C ,A B 1C P OA OB OP λ+=2λ22221(0)x y a b a b+=>>222x y +=的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形,点P ⎝⎭在椭圆E 上,过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ,CD 分别交椭圆E 于A ,B ,C ,D ,且M ,N 分别是弦AB ,CD 的中点. (1)求椭圆的方程.(2)求证:直线MN 过定点2,03R ⎛⎫⎪⎝⎭. (3)求2MNF 面积的最大值.20.已知中心为坐标原点的椭圆C 的一个焦点为)F ,且经过点M ⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)若不经过点F 的直线l :()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ,B 两点,且与圆221x y +=相切,试探究ABF 的周长是否为定值.若是,求出定值;若不是,请说明理由.21.已知椭圆22:1126y x Γ+=,F 是Γ的下焦点,过点()0,6R 的直线l 交Γ于M 、N 两点,(1)求F 的坐标和椭圆Γ的焦距;(2)求MNF 面积的最大值,并求此时直线l 的方程;(3)在y 轴上是否存在定点S ,使得RSM RSN π∠+∠=恒成立?若存在,求出定点S 的坐标;若不存在,请说明理由.。

直线与椭圆的综合问题

直线与椭圆的综合问题

第2课时直线与椭圆的综合问题考点1直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程.(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程.(3)当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线与椭圆相离.1.若直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1总有公共点,则m的取值范围是()A.m>1B.m>0C.0<m<5且m≠1 D.m≥1且m≠5D[直线y=kx+1恒过定点(0,1),则点(0,1)在椭圆x25+y2m=1内部或椭圆上,从而1m≤1,又m>0,则m≥1,因为椭圆x25+y2m=1中,m≠5.所以m的取值范围是m≥1且m≠5,故选D.]2.过点M(-4,4)作椭圆x24+y23=1的切线,切点N在第一象限,设椭圆的左焦点为F,则直线NF的斜率为.34[设N(x,y),直线MN的斜率为k.M(-4,4),则直线MN的方程为y-4=k(x+4),代入椭圆方程消去y,整理得(3+4k2)x2+8mkx+(4m2-12)=0,其中m=4k+4,由于相切,所以Δ=0,所以m2=4k2+3,所以解得k=-136,-12,代入求得切点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,所以直线NF 的斜率为k NF =321+1=34.]3.已知直线l :y =2x +m ,椭圆C :x 24+y 22=1.试问当m 取何值时,直线l 与椭圆C :(1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点.[解]将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组⎩⎨⎧y =2x +m ,①x 24+y 22=1,②将①代入②,整理得9x 2+8mx +2m 2-4=0.③方程③根的判别式Δ=(8m )2-4×9×(2m 2-4)=-8m 2+144.(1)当Δ>0,即-32<m <32时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m =±32时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点,即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点.(3)当Δ<0,即m <-32或m >32时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l 与椭圆C 没有公共点.T 2中求切点的横坐标时,可直接使用求根公式x 1=x 2=-b2a (其中a ,b 分别是一元二次方程的二次项系数和一次项系数)考点2 直线与椭圆相交的弦长问题弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB |=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1k 2[(y 1+y 2)2-4y1y 2](k 为直线斜率). (3)若直线的斜率不存在,可直接求交点坐标,再求弦长.(2018·北京高考改编)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B .(1)求椭圆M 的方程; (2)若k =1,求|AB |的最大值.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=b 2+c 2,c a =63,2c =22,解得a =3,b =1.所以椭圆M 的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎨⎧y =x +m ,x 23+y 2=1,得4x 2+6mx +3m 2-3=0,由题意知Δ=36m 2-16(3m 2-3)>0,即-2<m <2,此时x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34.所以|AB |=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=2(x 2-x 1)2=2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=12-3m 22. 当m =0,即直线l 过原点时,|AB |最大,最大值为 6.利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有两个不同解的情况下进行的,不要忽略Δ>0.[教师备选例题]直线经过椭圆x 216+y 212=1的左焦点,倾斜角为60°,与椭圆交于A ,B 两点,则弦长|AB |= .325[由题意知直线方程为y =3(x +2),代入椭圆方程消元整理得5x 2+16x =0,所以x =0,或x =-165,所以交点A (0,23),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-165,-635, 所以|AB |=⎝ ⎛⎭⎪⎫1652+⎝ ⎛⎭⎪⎫23+6352=325.]1.已知椭圆x 22+y 2=1与直线y =x +m 交于A ,B 两点,且|AB |=423,则实数m 的值为( )A .±1B .±12 C.2 D .±2A [由⎩⎨⎧x 22+y 2=1,y =x +m消去y 并整理,得3x 2+4mx +2m 2-2=0.由题意知Δ=16m 2-12(2m 2-2)>0,即-3<m < 3. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-4m3,x 1x 2=2m 2-23.由题意,得|AB |=2(x 1+x 2)2-8x 1x 2=433-m 2=423,解得m =±1.]2.椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F 1,右焦点为F 2,离心率e =12,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程;(2)若直线AB 的斜率为3,求△ABF 2的面积. [解] (1)由题意知,4a =8,所以a =2, 又e =12,所以c a =12,c =1, 所以b 2=22-1=3,所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1. (2)设直线AB 的方程为y =3(x +1),由⎩⎨⎧y =3(x +1),x 24+y 23=1,得5x 2+8x =0,解得x 1=0,x 2=-85, 所以y 1=3,y 2=-335.所以S △ABF 2=c ·|y 1-y 2|=1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3+335=835.考点3 弦中点问题处理中点弦问题常用的两种方法 (1)点差法设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,y 1-y 2x 1-x 2三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.(1)在椭圆x 216+y 29=1中,以点M (1,2)为中点的弦所在直线方程为 .(2)(2019·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x -y +5=0,弦的中点坐标是M (-4,1),则椭圆的离心率e = .(1)9x +32y -73=0 (2)32 [(1)设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2116+y 219=1,x 2216+y 229=1,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)16+(y 1+y 2)(y 1-y 2)9=0,所以(x 1+x 2)(x 1-x 2)16=-(y 1+y 2)(y 1-y 2)9,即-9(x 1+x 2)16(y 1+y 2)=y 1-y 2x 1-x 2,因为x 1+x 2=2,y 1+y 2=4, 所以y 1-y 2x 1-x 2=-932,故该直线方程为y -2=-932(x -1), 即9x +32y -73=0.(2)设直线x -y +5=0与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,因为AB 的中点M (-4,1),所以x 1+x 2=-8,y 1+y 2=2.易知直线AB 的斜率k =y 2-y 1x 2-x 1=1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2+y 21b2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,所以y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2,所以b 2a 2=14,于是椭圆的离心率e =ca =1-b 2a 2=32.]用点差法求参数的值(或范围)时,要检验直线与椭圆是否相交.1.已知椭圆x 29+y 2=1,过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12的直线与椭圆相交于A ,B 两点,且弦AB 被点P 平分,则直线AB 的方程为( )A .9x +y -5=0B .9x -y -4=0C .x +9y -5=0D .x -9y +4=0 C [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧x 219+y 21=1,x 229+y 22=1,两式作差得(x 2-x 1)(x 2+x 1)9+(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0,因为x 2+x 1=1,y 2+y 1=1,y 2-y 1x 2-x 1=k AB ,代入后求得k AB=-19,所以弦所在的直线方程为y -12=-19⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,即x +9y -5=0.]2.焦点为F (0,52),并截直线y =2x -1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为 .y 275+x 225=1 [设所求的椭圆方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0),直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意,可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22,y 1+y 22,且x 1+x 22=27,y 1+y 22=-37.将A ,B 两点坐标代入椭圆方程中,得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2+x 21b2=1,y 22a 2+x 22b2=1.两式相减并化简,得a 2b 2=-y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y 2x 1+x 2=-2×-6747=3,所以a 2=3b 2,又c 2=a 2-b 2=50, 所以a 2=75,b 2=25,故所求椭圆的标准方程为y 275+x 225=1.] 考点4 椭圆与向量的综合问题解决椭圆与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示,再利用函数、方程知识建立数量关系. (2)利用向量关系转化成相关的等量关系.(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题.(2019·长春模拟)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3,32.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点(点A 位于x 轴上方),若AF 1→=2F 1B →,求直线l 的斜率k 的值.[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),由⎩⎪⎨⎪⎧2a =|EF 1|+|EF 2|=4,a 2=b 2+c 2,c =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =1,b =3,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题意得直线l 的方程为y =k (x +1)(k >0),联立⎩⎨⎧y =k (x +1),x 24+y 23=1,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2+4y 2-6k y -9=0,则Δ=144k 2+144>0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=6k3+4k 2,y 1y 2=-9k 23+4k 2, 又AF 1→=2F 1B →,所以y 1=-2y 2, 所以y 1y 2=-2(y 1+y 2)2, 则3+4k 2=8,解得k =±52, 又k >0,所以k =52.解答本题应注意:(1)根据AF 1→=2F 1B →,确定y 1与y 2的关系,从而确定直线与椭圆方程联立消去x ;(2)根据y 1=-2y 2得到y 1+y 2=-y 2,(y 1+y 2)2=y 22,从而y 1y 2=-2(y 1+y 2)2;(3)也可以根据⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=6k3+4k 2,y 1=-2y 2求出y 1,y 2,再利用y 1y 2=-9k 23+4k2求解. [教师备选例题]已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),e =12,其中F 是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l 与椭圆C 交于点A ,B ,线段AB 的中点横坐标为14,且AF →=λFB →(其中λ>1).(1)求椭圆C 的标准方程; (2)求实数λ的值.[解] (1)由椭圆的焦距为2,知c =1, 又e =12,∴a =2,故b 2=a 2-c 2=3, ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)由AF →=λFB →,可知A ,B ,F 三点共线, 设点A (x 1,y 1),点B (x 2,y 2). 若直线AB ⊥x 轴,则x 1=x 2=1,不符合题意; 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时, 设l 的方程为y =k (x -1).由⎩⎨⎧y =k (x -1),x 24+y 23=1,消去y 得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0.①①的判别式Δ=64k 4-4(4k 2+3)(4k 2-12)=144(k 2+1)>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2-124k 2+3,∴x 1+x 2=8k 24k 2+3=2×14=12, ∴k 2=14.将k 2=14代入方程①,得4x 2-2x -11=0,解得x =1±354. 又AF →=(1-x 1,-y 1),FB →=(x 2-1,y 2),AF →=λFB →,即1-x 1=λ(x 2-1),λ=1-x 1x 2-1, 又λ>1,∴λ=3+52.(2019·保定模拟)设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,32在以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上.(1)求椭圆C 的方程;(2)经过F 2作直线m 交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .若MA →=λ1AF 2→,MB →=λ2BF 2→,且λ1λ2=1,求λ1与λ2的值.[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,32在以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b >0)上,所以2a =⎝ ⎛⎭⎪⎫52-22+94+⎝ ⎛⎭⎪⎫52+22+94=210, 所以a =10. 又因为c =2,所以b =6,所以椭圆C 的方程为x 210+y 26=1.(2)设A ,B ,M 点的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (0,y 0).因为MA →=λ1AF 2→,所以(x 1,y 1-y 0)=λ1(2-x 1,-y 1),所以x 1=2λ11+λ1,y 1=y 01+λ1,将A 点坐标代入到椭圆方程中,得110⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ11+λ12+16⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01+λ12=1.去分母整理得18λ21+60λ1+30-5y 20=0.同理,由MB →=λ2BF 2→可得18λ22+60λ2+30-5y 20=0,λ1,λ2是方程18λ2+60λ+30-5y 20=0的两个根.则λ1+λ2=-103,又λ1λ2=1,二者联立解得λ1=-3,λ2=-13,或λ1=-13,λ2=-3.。

〖2021年整理〗《椭圆的综合问题及应用》完整版教学课件PPT

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个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.
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探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟处理椭圆的中点弦问题的三种途径
1.根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其
中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与
系数的关系结合中点坐标公式求解.
2.点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦
的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的
方法.
3.中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的
另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.
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-16
2
,x1x2=
4 +1
12
2
,
4 +1
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由题意可知 ⊥ , ·=0 即
x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,
2
12(1+ )

2
4 +1
解得

2
32
2
+4=0,
4 +1
3
k2=4>4,
∴|AB|= 1 + 2 |x1-x2|

高二数学椭圆试题答案及解析

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高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上,抛物线的顶点在原点、焦点在轴上.小明从曲线、上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(.由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆上,也不在抛物线上,小明的记录如下:据此,可推断抛物线的方程为_____________.【答案】【解析】:由题意可知:点是椭圆的短轴的一个端点,或点是椭圆的长轴的一个端点.以下分两种情况讨论:①假设点是椭圆的短轴的一个端点,则可以写成经验证可得:若点在上,代入求得,即,剩下的4个点中也在此椭圆上.假设抛物线的方程为,把点代入求得p=2,∴,则只剩下一个点既不在椭圆上,也不在抛物线上满足条件.假设抛物线的方程为y2=-2px,经验证不符合题意.②假设点是椭圆的长轴的一个端点,则可以写成,经验证不满足条件,应舍去.综上可知:可推断椭圆的方程为.【考点】椭圆、抛物线的标准方程及其性质和分类讨论的思想方法是解题的关键.2.已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上,若右焦点到直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)是否存在斜率为,且过定点的直线,使与椭圆交于两个不同的点,且?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)不存在【解析】(1)设椭圆的方程,用待定系数法求出的值;(2)解决直线和椭圆的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.试题解析:(I)依题意可设椭圆方程为,则右焦点,由题设:,解得:,故所求椭圆的方程为.(II)设存在直线符合题意,直线方程为,代入椭圆方程得:,设,为弦的中点,则由韦达定理得:,,因为不符合,所以不存在直线符合题意.【考点】(1)椭圆的方程;(2)直线与椭圆的综合问题.3.椭圆的焦距是()A.3B.6C.8D.10【答案】B【解析】由椭圆的方程知,∵a2=25,b2=16,∴c=∴的焦距2c=6.故选B.【考点】椭圆的性质.4.已知椭圆经过点,离心率为,过点的直线与椭圆交于不同的两点.(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用题干中的两个条件,和椭圆本身的性质,得然后求解,代入即可;(2)由题干“过点的直线与椭圆交于不同的两点”.设直线的方程为,由得,设,的坐标分别为,,然后利用根与系数的关系,代换出,注意:k的范围.试题解析:(1)由题意得解得,.椭圆的方程为.(2)由题意显然直线的斜率存在,设直线的方程为,由得. 直线与椭圆交于不同的两点,,,解得.设,的坐标分别为,,则,,,.的范围为.【考点】椭圆定义,转化与化归思想,舍而不求思想的运用.5.已知椭圆的对称中心为原点,焦点在轴上,左右焦点分别为和,且||=2,离心率. (1)求椭圆的方程;(2)过的直线与椭圆相交于A,B两点,若的面积为,求直线的方程.【答案】(1);(2)或.【解析】(1)设椭圆的方程,用待定系数法求出的值;(2)解决直线和椭圆的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式:计算一元二次方程根.第四步:写出根与系数的关系.第五步:根据题设条件求解问题中结论.试题解析:(1)椭圆C的方程是 4分(2)当直线轴时,可得的面积为3,不合题意。

高二数学极坐标试题答案及解析

高二数学极坐标试题答案及解析

高二数学极坐标试题答案及解析1.已知直线:(为参数);椭圆:(为参数)(Ⅰ)求直线倾斜角的余弦值;(Ⅱ)试判断直线与椭圆的交点个数.【答案】(1);(2)没有交点.【解析】(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(2)掌握常见的将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程;(3)解决直线和椭圆的综合问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式.试题解析:(1)将直线参数方程化为普通方程得:,得斜率为,则倾斜角的余弦值为椭圆的普通方程为:,得:所以没有交点.【考点】(1)参数方程的应用;(2)直线与椭圆相交的综合问题.2.在直角坐标系中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的直角坐标方程为.(1)求曲线C1的直角坐标方程;(2)已知为曲线C2上一点,Q为曲线C1上一点,求P、Q两点间距离的最小值.【答案】(1);(2)【解析】(1)将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程,需要根据参数方程的结构特征,选取恰当的消参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法;(2)将参数方程转化为普通方程时,要注意两种方程的等价性,不要增解、漏解,若有范围限制,要标出的取值范围;(3)先转化为普通方程和直角坐标方程后根据题意设点根据点到直线的距离公式.试题解析:解:(1)由得, 3分即,所以直线l的直角坐标方程为; 6分(2)P为上一点,设,其中, 8分则P到直线l的距离,其中所以当时,的最大值为.【考点】(1)参数方程与普通方程的互化;(2)参数方程的应用.3.在平面直角坐标系中,以为极点,轴非负半轴为极轴建立坐标系,已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为: (为参数),两曲线相交于两点. 求:(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若求的值.【答案】(1),x-y-2="0;" (2)【解析】(1) 由得,曲线C的直角坐标方程为,由中两式相减的x-y=2,直线l的普通方程为x-y-2="0;(2)" 将代入得,设M,N对应的参数分别为,则所以试题解析:(1)由得,曲线C的直角坐标方程为,由中两式相减的x-y=2,直线l的普通方程为x-y-2=0(2)将代入得,设M,N对应的参数分别为,则所以.【考点】1.极坐标与直角坐标的互化;2.参数方程与普通方程的互化;3.参数的几何意义4.已知直线的极坐标方程为,圆M的参数方程为。

高二数学椭圆试题

高二数学椭圆试题

高二数学椭圆试题1.已知椭圆过和点.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与椭圆交于两点,且,求直线的方程.【答案】(1);(2).【解析】(1)由已知将已知两点的坐标代入椭圆G的方程中,可得到关于的方程组,解此方程组就可求得的值,进而就可写出椭圆G的方程.(2)首先注意到由题意可得到直线的斜率存在,且.从而可用斜截式设出直线的方程,代入椭圆G的方程消元得到一个一元二次方程,则此方程一定有两个不同的解,所以,可得到的取值范围;再由,得到,结合韦达定理可用的代数式表示出线段MN的中点的坐标,然后由就可求出的值,从而求得直线的方程.试题解析:(1)因为椭圆过点和点.所以,由,得.所以椭圆的方程为 4分(2)显然直线的斜率存在,且.设直线的方程为.由消去并整理得, 5分由, 7分设,,中点为,得, 8分由,知,所以,即.化简得,满足.所以 12分因此直线的方程为 14分【考点】1.椭圆的的方程;2.直线与椭圆的位置关系.2.已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.(1)求椭圆的方程;(2)若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于不同两点,设线段的中点为,且三点共线.设点到直线的距离为,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)本小题中为焦点三角形,其周长为,又,两式组成方程组从而易求出,即可写出椭圆方程;(2)本小题中直线的方程可设为(其中不存在是不可能的),与椭圆方程联立消y,利用韦达定理与中点坐标公式,可得M点坐标(用k,m表示),当三点共线,则有即可解出k的值,又消y后的方程的可得m的范围,而点到直线的距离可用m表示,利用函数观点可求出的取值范围.试题解析:(1)由已知得,且,解得,又,所以椭圆的方程为.(2)当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性可知:点在轴上,且与原点不重合,显然三点不共线,不符合题设条件.所以可设直线的方程为,由消去并整理得:①则,即,设,且,则点,因为三点共线,则,即,而,所以,此时方程①为,且因为,所以.【考点】椭圆的定义及标准方程,性质,直线与椭圆相交问题,设而不解思想,韦达定理,方程与函数思想,化归思想.3.与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线方程是()A.B.C.D.【答案】C【解析】椭圆焦点为,又,则,所以,焦点在x轴上,故选C.【考点】椭圆与双曲线的标准方程与几何性质.4.若点分别为椭圆的中心和左焦点,点为椭圆上的任意一点,则的最大值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,设,则又因为,所以因为对称轴,而,因此当时,的最大值为.【考点】二次函数最值5.若椭圆上有个不同的点为右焦点,组成公差的等差数列,则的最大值为()A.199B.200C.99D.100【答案】B【解析】椭圆上的点到右焦点最大距离为:a+c=3,到右焦点最小距离是a-c=1,2=(n-1)d,要使,且n最大,有d=,由此能求出n的最大值.【考点】(1)椭圆的定义;(2)等差数列.6.已知椭圆过点,且离心率.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),椭圆的右顶点为,且满足,试判断直线是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.【答案】(1);(2).【解析】(1)本小题通过待定系数法列出两个关于的方程,通过解方程组求出椭圆的方程,包含着二次方的运算需掌握;(2)本小题是直线与椭圆的位置关系的问题,这类题目的常用思路就是联立直线方程和椭圆方程通过消元得到一个一元二次方程,确定判别式的情况,正确书写、利用韦达定理,由,两点(不是左右顶点),椭圆的右顶点为,且满足,根据向量的数量积为零,可得到关于两个根的等式,再利用韦达定理可得关于的等式,从而就可得出相应的结论.试题解析:(1)即∴椭圆方程为 4分又点在椭圆上,解得∴椭圆的方程为 6分(2)设,由得,8分所以,又椭圆的右顶点,,解得 10分,且满足当时,,直线过定点与已知矛盾 12分当时,,直线过定点综上可知,当时,直线过定点,定点坐标为 14分.【考点】1.直线与椭圆的位置关系;2.韦达定理;3.平面向量的数量积;4.过定点的问题;5.直线与椭圆的综合问题.7.已知点分别是椭圆为:的左、右焦点,过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点,过点作直线的垂线交直线于点,若直线与双曲线的一条渐近线平行,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】将点代入:,得,∴,∵过点作直线的垂线交直线于点,,设,得,解得,∴.∵直线与双曲线的一条渐近线平行,∴,即,整理,得,解得,故选C.【考点】1、椭圆的几何性质;2、双曲线的性质.8.椭圆的焦距等于()A.20B.16C.12D.8【答案】B【解析】椭圆中的关系是,,焦距是,题中,所以,所以焦距为16,故选B.【考点】椭圆的几何性质(椭圆的焦距).9.如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程。

椭圆综合题型分类总结大全(定点定值问题、圆锥曲线与向量、圆锥曲线弦长与面积等)

椭圆综合题型分类总结大全(定点定值问题、圆锥曲线与向量、圆锥曲线弦长与面积等)

椭圆综合题型分类总结大全一、直线与椭圆位置关系的常规解题方法:1.设直线的方程(注意:①设直线时分斜率存在与不-存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别)2.设交点坐标(注意:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)3.联立方程组,得到新的一元二次方程4.求出韦达定理(注意:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)5.根据条件重转化,常有以下类型:①“以弦AB 为直径的圆过点0”(注意:需讨论K 是否存在,OA ⊥OB ) ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题”⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔12120x x y y +>③“等角、角平分、角互补问题”即斜率关系(120K K +=或12K K =); ④“共线问题”(如:AQ QB λ=⇔数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题”即坐标与斜率关系;⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题 6.化简与计算; 7.细节问题不忽略;①判别式是否已经考虑;②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想1、“常规求值”问题:找等式关系,“求范围”问题需要找不等式;2、“是否存在”问题:应当假设存在去求,若求出答案则假设成立,若不存在则计算时会无解;3、证明定值问题的方法:⑴常把变量用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明(此方法用得少)4、处理定点问题的方法:⑴常把方程参数分离,使参数乘以的因式为0,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;、题型一、椭圆与向量(1)给出直线的方向向量或;(2)给出与相交,等于已知过的中点;(3)给出,等于已知是的中点;(4)给出,等于已知A、B与PQ的中点三点共线;(5)给出以下情形之一:①;②存在实数;③若存在实数,等于已知三点共线.(6)给出,等于已知是的定比分点,为定比,即(7)给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

专题三直线与椭圆综合讲解

专题三直线与椭圆综合讲解

专题三 直线与椭圆综合1.(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b b a +=>>椭圆C 的长轴长为4. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线:l y kx =C 交于A ,B 两点,是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.2.(本小题满分14分) 已知椭圆G 的离心率为,其短轴的两个端点分别为A (0,1),B(0,-1).(Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ)若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .判断以MN 为直径的圆是否过点A ,并说明理由.3.(本小题满分12分)已知直线l : 323-=x y 过椭圆C :2221x a b2y +=(a >b>0)的右焦点,且椭圆的离心率为3(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点D (0,1)的直线与椭圆C 交于点A ,B ,求△AOB 的面积的最大值.4.已知椭圆2222:1x y C a b+=(a>b>0)的两个焦点分别为12,F F ,离心率为12,过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,且2MNF ∆的周长为8.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点,证明:点O 到直线AB 的距离为定值,并求出这个定值.5.已知椭圆的中心为原点,焦点在x 轴上,离心率为,且经过点(4,1)M ,直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B .直线MA MB x 、与轴分别交于点E F 、.(1)求椭圆标准方程;(2)求m 的取值范围;(3)证明MEF ∆是等腰三角形.6.已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,且3AP PB =,求实数m 的取值范围.7.(本小题满分13分)已知点P (一1,32)是椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>上一点F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,O 是坐标原点,PF 1⊥x 轴.(1)求椭圆E 的方程;(2)设A ,B 是椭圆E 上两个动点,满足:(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且,求直线AB 的斜率8.已知椭圆E :()22221 0, 0x ya b a b +=>>的离心率 e =,并且经过定点1)2P (1)求椭圆 E 的方程;(2)问是否存在直线y=-x+m ,使直线与椭圆交于 A, B 两点,满足OA OB ⊥,若存在求 m 值,若不存在说明理由.9.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2A ,离心率为12,左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线交椭圆于,A B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)当2F AB ∆的面积为7时,求直线的方程.10.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ,离心率为2,过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .(1)求椭圆C 的方程;(2)求BM BN ⋅的取值范围.11.(满分14分)如图在平面直角坐标系xoy 中,12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点,顶点B 的坐标是(0,)b ,连接2BF 并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接1FC .(1)若点C 的坐标为41(,)33,且2BF =,求椭圆的方程; (2)若1FC AB ⊥,求椭圆离心率e 的值. 12.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ,且离心率21=e . (1)求椭圆C 的标准方程;(2)是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ,且满足167OM ON ⋅=(其中点O 为坐标原点),若存在,求出直线l 的方程,若不存在,请说明理由.13.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =12), (1)求椭圆的方程;(2)设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ,Q 两点,且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.参考答案1.(1)2214y x +=;(2)存在实数2k =±使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O .【解析】试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用椭圆的离心率和长轴长列出方程,解出a 和c 的值,再利用222a b c =+计算b 的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,将直线与椭圆联立,消参,利用韦达定理,得到12x x +、12x x ,由于以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ,所以0OA OB ∙=,即12120x x y y +=,代入12x x 和12y y ,解出k 的值.试题解析:(1)设椭圆的焦半距为c,则由题设,得22a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩222431b a c =-=-=, 故所求椭圆C 的方程为2214y x +=. (2)存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O .理由如下:设点11(,)A x y ,22(,)B x y , 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322x y kx y并整理,得22(4)10k x ++-=.(*)则12x x +=,12214x x k =-+. 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ,所以0OA OB ⋅=,即12120x x y y +=.又2121212()3y y k x x x x =++,()()033121212=++++∴x x k x x k 于是2222163044k k k k +--+=++,解得k = 经检验知:此时(*)式的Δ>0,符合题意.所以当2k =±时,以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O . 考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.2.(Ⅰ)2212x y +=;(Ⅱ)以MN 为直径的圆不过A 点. 【解析】试题分析:(Ⅰ)由已知条件设椭圆G 的方程为:()22211y x a a +=,>由c a =可得222,1a b ==由此能求出椭圆的标准方程.(Ⅱ)设11C x y (,),且10x ≠,则11D x y -(,),由已知条件推导出202011x AM AN y -=+-⋅,()220021x y -=,由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A .试题解析:(Ⅰ)设椭圆G 的方程为:()22211y x a a +=,>,所以,1b =,2c a =,222a c =,∴21c =,∴222,1a b ==, ∴椭圆方程为2212x y += (Ⅱ)设00(,)C x y ,则00(,)D x y -,001AC y k x -=,001BD y k x +=-, 000011:1,:1,y y AC y x BD y x x x -+=+=-- 令0y =,则0000,,11M N x x x x y y -==-+ ∴0000(,1),(,1)11x x AM AN y y =-=---+,∴2001(1)(1)xAM ANy y-⋅=+-+=2200211x yy--+-∵2212xy+=∴22012xy-=,∴22212xAM ANx-⋅==-,∴AM与AN不垂直,∴以MN为直径的圆不过A点.考点:椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系3.(Ⅰ)221 62x y+=;【解析】试题分析:(Ⅰ)通过分析可知直线l与x轴的交点为(2,0),得2c=,又cea==,得a=2222b a c=-=,可得,22=b即可求得椭圆方程为22162x y+=;(Ⅱ)可设直线AB方程为1y kx=+,设1122(,),(,)A x yB x y,故1112AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=,为此可联立221162y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得22(31)630k x kx++-=,利用韦达定理,求出12122263,3131kx x x xk k-+==++,可得AOBS∆==令21,31tk=+则AOBS∆==1=t,即0k=时,AOBS∆试题解析:(Ⅰ)∵a b>,∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点,∵直线l与x轴的交点为(2,0),∴椭圆的焦点为(2,0),∴2c=, 1分又∵3c e a ==,∴a =2222b a c =-= 3分 ∴椭圆方程为22162x y +=. 4分 (Ⅱ) 直线AB 的斜率显然存在,设直线AB 方程为1y kx =+设1122(,),(,)A x y B x y ,由221162y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得22(31)630k x kx ++-=, 显然0∆>,12122263,3131k x x x x k k-+==++ 6分 1212AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=分====分令2,31t k =+则(]0,1t∈, AOB S ∆==1t ∴=,即0k =时,AOB S ∆分考点:1、椭圆的标准方程;2、直线与曲线相交问题.4.(Ⅰ)22143x y +=;. 【解析】试题分析:(Ⅰ)由2MNF ∆的周长为8,得4a=8,由12e =得222222314a c e ab a --===,从而可求得b ;(Ⅱ)分情况进行讨论:由题意,当直线AB 的斜率不存在,此时可设0000A x x B x x -(,),(,),再由A 、B 在椭圆上可求0x ,此时易求点O 到直线AB 的距离;当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+m ,代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程,知0∆>,由OA ⊥OB ,得12120x x y y +=,即12120x x kx m kx m +++=()(),整理后代入韦达定理即可得m ,k 关系式,由点到直线的距离公式可求得点O 到直线AB 的距离,综合两种情况可得结论,注意检验0∆>.试题解析:(Ⅰ)由题意知,4a=8,所以a=2,因为12e =,所以222222314a c e ab a --===,23b ∴=.所以椭圆C 的方程22143x y +=; (Ⅱ)由题意,当直线AB 的斜率不存在,此时可设0000A x x B x x -(,),(,).又A ,B 两点在椭圆C 上,222000121437x x x ∴+=,=所以点O 到直线AB的距离7d = 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+m .22143x y kx m y ⎧⎪⎨+=⎩+⎪=,消去y 得2223484120k x kmx m +++-=(). 由已知0∆>,设1122A x y B x y (,),(,).212122284343412km m x x x x k k -+-++=,=, ()()221212121212120010OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⊥∴+=∴+++=∴++++,.()(),=.()22222222284123431071142m k k k m k m m k -∴+++-+∴=+=.(),满足0∆>.所以点O 到直线AB的距离7d =为定值. 考点:椭圆标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系5.(1)221205x y +=;(2)(5,3)(3,5)---;(3)详见解析. 【解析】 试题分析:(1,得224a b = ,由经过点(4,1)M ,得221611a b +=,联立求,a b 即可;(2)本题考查直线和椭圆位置关系,要注意判别式的隐含条件,联立椭圆方程和直线方程,利用0∆>和直线不经过点(4,1)M ,得关于m 的不等式,解不等式得m 的取值范围;(3)由数形结合可知,要证明MEF ∆是等腰三角形,只需证明120k k +=,表示两条直线的斜率,利用韦达定理设而不求,可证明120k k +=.试题解析:(1)设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =,所以224a b =, 又因为椭圆过点(4,1)M ,所以221611a b+=,解得225,20b a ==,故椭圆标准方程为 221205x y += 4分 (2)将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-= 令 2(8)m ∆=220(420)0m -->,解得 55m -<<.又由题设知直线不过M (4,1),所以41m +≠,3m ≠-,所以m 的取值范围是(5,3)(3,5)---. 8分(3)设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ,要证明MEF ∆是等腰三角形,只要证明120k k +=即可.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,由(2)知1285m x x +=-,2124205m x x -=.则1212121144y y k k x x --+=+-- 122112(1)(4)(1)(4)(4)(4)y x y x x x --+--=--.1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+-- 1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0, 120k k ∴+=, 所以MEF ∆是等腰三角形. 14分考点:1、椭圆标准方程;2、直线和椭圆位置关系;3、韦达定理.6.(Ⅰ)22143x y +=;(Ⅱ)3([,3). 【解析】试题分析:(Ⅰ)椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3a c +=,且离心率为12,结合222a b c =+,求得,a b 的值,进而求椭圆方程;(Ⅱ)直线和圆锥曲线位置关系问题,往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立,根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件,同时要善于利用韦达定理对交点设而不求。

高二数学椭圆试题

高二数学椭圆试题

高二数学椭圆试题1.若点和点分别为椭圆的中心和右焦点,点为椭圆上的任意一点,则的最小值为A.B.C.D.1【答案】B【解析】设点,所以,由此可得,,所以【考点】向量数量积以及二次函数最值.2.已知椭圆的左,右两个顶点分别为、.曲线是以、两点为顶点,离心率为的双曲线.设点在第一象限且在曲线上,直线与椭圆相交于另一点.(1)求曲线的方程;(2)设、两点的横坐标分别为,,证明:.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】(1)由椭圆的左右顶点分别为可得,,又由双曲线是为顶点,故可设双曲线的方程为,再由条件中双曲线离心率为,可建立关于的方程,从而得到双曲线的方程为;(2)根据题意可设直线的方程为,将直线方程与椭圆方程联立求,,消去后可得:,解得或,因此,同理,将直线方程与双曲线方程联立,消去后可得,从而得证. .试题解析:(1)依题意可得,,∴设双曲线的方程为,又∵双曲线的离心率为,∴,即,∴双曲线的方程为;(2)设点,(,,),设直线的方程为,联立方程组,整理得:或,∴,同理可得,联立方程组,∴. .【考点】1.双曲线的标准方程;2.直线与圆锥曲线相交综合题.3.已知线段,的中点为,动点满足(为正常数).(1)建立适当的直角坐标系,求动点所在的曲线方程;(2)若,动点满足,且,试求面积的最大值和最小值.【答案】(1);(2)的最小值为,最大值为1.【解析】(1)先以为圆心,所在直线为轴建立平面直角坐标系,以与的大小关系进行分类讨论,从而即可得到动点所在的曲线;(2)当时,其曲线方程为椭圆,设,,的斜率为,则的方程为,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式),求得△AOB面积,最后求出面积的最大值即可,从而解决问题.(1)以为圆心,所在直线为轴建立平面直角坐标系.若,即,动点所在的曲线不存在;若,即,动点所在的曲线方程为;若,即,动点所在的曲线方程为.……4分(2)当时,其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上,且设,,的斜率为,则的方程为,的方程为解方程组,得,同理可求得,面积=令则令所以,即当时,可求得,故,故的最小值为,最大值为1.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.4.与椭圆有公共焦点,且离心率的双曲线方程是()A.B.C.D.【答案】C【解析】椭圆焦点为,又,则,所以,焦点在x轴上,故选C.【考点】椭圆与双曲线的标准方程与几何性质.5.已知椭圆:的离心率为,过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点(点在第一象限).(1)求椭圆的方程;(2)已知为椭圆的左顶点,平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称,并说明理由.【答案】(1);(2)对称.【解析】(1)由圆方程可知圆心为,即,又因为离心率为,可得,根据椭圆中关系式,可求,椭圆方程即可写出;(2)由椭圆方程可知,将代入椭圆方程可得,可得,设直线,设,,然后和椭圆方程联立,消掉(或)得到关于的一元二次方程,再根据韦达定理得出根与系数的关系,可得两直线的斜率.若直线是关于直线对称时两直线倾斜角互补,所以斜率互为相反数,把求得的两直线斜率相加若为0,则说明两直线对称,否则不对称.试题解析:(1)由题意得, 由可得, 所以所以椭圆的方程为. 4分(2)由题意可得点所以由题意可设直线,设由得由题意可得,即且6分因为 8分, 10分所以直线关于直线对称 12分.【考点】1.椭圆的基础知识;2.直线与椭圆的位置关系;3.二次方程根与系数的关系.6.如图,椭圆经过点,离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2).【解析】(1)将点代入椭圆的方程得到,结合离心率且,即可求解出,进而写出椭圆的标准方程即可;(2)依题意知,直线的斜率存在,先设直线的方程为,并设,联立直线的方程与椭圆的方程,消去得到,根据二次方程根与系数的关系得到,由直线及的方程确定点的坐标(含),进而得到,进而整理出(注意关注并应用共线得到),从而可确定的取值.试题解析:(1)由在椭圆上得,①依题设知,则②②代入①解得故椭圆的方程为(2)由题意可设的斜率为,则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设,则有④在方程③中令得,的坐标为从而注意到共线,则有,即有所以⑤④代入⑤得又,所以.故存在常数符合题意.【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的综合问题;3.二次方程根与系数的关系.7.如图,椭圆经过点,离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2).【解析】(1)将点代入椭圆的方程得到,结合离心率且,即可求解出,进而写出椭圆的标准方程即可;(2)依题意知,直线的斜率存在,先设直线的方程为,并设,联立直线的方程与椭圆的方程,消去得到,根据二次方程根与系数的关系得到,由直线及的方程确定点的坐标(含),进而得到,进而整理出(注意关注并应用共线得到),从而可确定的取值.试题解析:(1)由在椭圆上得,①依题设知,则②②代入①解得故椭圆的方程为(2)由题意可设的斜率为,则直线的方程为③代入椭圆方程并整理得设,则有④在方程③中令得,的坐标为从而注意到共线,则有,即有所以⑤④代入⑤得又,所以.故存在常数符合题意.【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与椭圆的综合问题;3.二次方程根与系数的关系.8.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的左焦点为F,直线x-y-1=0,x-y+1=0与椭圆分别相交于点A,B,C,D,则AF+BF+CF+DF=.【答案】8【解析】椭圆的左焦点为,右焦点为,所以直线x-y-1=0过右焦点,直线x-y+1=0过左焦点,由对称性得,因此【考点】椭圆定义9.如图,椭圆过点P(1, ),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=, M, N是直线x=4上的两个动点,且·=0.(1)求椭圆的方程;(2)求MN的最小值;(3)以MN为直径的圆C是否过定点?【答案】(1)=1;(2);(3)(4-,0)和(4+,0) .【解析】(1)因为:,且过点P(1, ),列出关于a,b的方程,解得a,b.最后写出椭圆方程即可;(2)设点M(4,m),N(4,n)写出向量的坐标,利用向量的数量积得到mn=-15,又|MN|=|m-n|=|m|+|n|=|m|+≥,结合基本不等式即可求得MN的最小值;(3)利用圆心C的坐标和半径得出圆C的方程,再令y=0,得x2-8x+1=0从而得出圆C过定点.试题解析:(1)由已知可得∴椭圆的方程为=1 4分(2)设M(4,m),N(4,n),∵F1(-1,0),F2(1,0)=(5,m),=(3,n),由=0mn=-15<0 6分∴|MN|=|m-n|=|m|+|n|=|m|+≥2∴|MN|的最小值为2 10分(3)以MN为直径的圆C的方程为:(x-4)2+(y-)=()2 12分令y=0得(x-4)2=-=-mn=15x=4±所以圆C过定点(4-,0)和(4+,0) 14分【考点】1.圆与圆锥曲线的综合;2.椭圆的简单性质.10.点P在椭圆上运动,Q、R分别在两圆和上运动,则的最小值为【答案】【解析】因为两圆和的圆心为,正好为椭圆的左右焦点,所以【考点】椭圆定义11.已知椭圆上一点到右焦点的距离是1,则点到左焦点的距离是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据椭圆的定义,点P到两个焦点距离和等于2a=即可.【考点】椭圆的定义.12.已知椭圆:()和椭圆:()的离心率相同,且.给出如下三个结论:①椭圆和椭圆一定没有公共点;②;③其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】设椭圆、的离心率分别为、,则依题意有即,所以,所以即,从而有,所以②正确;假设两椭圆有公共点,则方程组有解,两式相减可得,一方面由与可得,所以,从而,即不存在使得成立,所以假设不成立,故①正确;由与可得即,也就是,故③错误,综上可知,正确结论的序号是①②.【考点】椭圆的标准方程及其性质.13.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点为,且与轴垂直,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合.所以椭圆的c=1,又因为与轴垂直,所以交点T的坐标为(1,2)代入椭圆方程即可得,又因为c=1,所以(舍去).所以.通过计算四个选项可得应该选 B.本题由抛物线的焦点坐标,再列出一个关于的一个方程.即可求出e,但计算稍微复杂些,含根号式子的开方不熟练,可以通过把答案平方来求的结果.【考点】1.抛物线的知识.2.椭圆中三个基本量的方程.3.离心率的概念.4.双二次方程的解法.14.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵椭圆,∴且,直线恒过定点,欲使其与椭圆恒有公共点,只需让落在椭圆内或者椭圆上,即:,∴,选C.【考点】1、过定点的直线系;2、直线与椭圆的位置关系.15.设是椭圆的两个焦点,点M在椭圆上,若△是直角三角形,则△的面积等于()A.48/5B.36/5C.16D.48/5或16【答案】A【解析】由椭圆的方程可得 a=5,b=4,c=3,令|F1M|=m、|MF2|=n,由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①,Rt△中,由勾股定理可得n2-m2=36 ②,由①②可得m=,n=,∴△的面积是=故选A。

教学设计直线和椭圆的位置关系的教案

教学设计直线和椭圆的位置关系的教案

教学设计直线和椭圆的位置关系教学目标:1. 理解直线和椭圆的基本概念。

2. 掌握直线和椭圆的位置关系的判定方法。

3. 能够应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题。

教学内容:第一章:直线和椭圆的基本概念1.1 直线的定义和性质1.2 椭圆的定义和性质第二章:直线和椭圆的位置关系的判定2.1 直线与椭圆相交的判定2.2 直线与椭圆相切的判定2.3 直线与椭圆相离的判定第三章:应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题3.1 直线与椭圆的位置关系在几何中的应用3.2 直线与椭圆的位置关系在物理中的应用3.3 直线与椭圆的位置关系在计算机图形学中的应用第四章:直线和椭圆的位置关系的综合练习4.1 判断直线与椭圆的位置关系4.2 解决实际问题第五章:总结和复习5.1 直线和椭圆的位置关系的总结5.2 复习直线和椭圆的基本概念教学方法:1. 采用问题驱动的教学方法,引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。

2. 使用多媒体辅助教学,通过动画和图形来直观展示直线和椭圆的位置关系。

3. 提供丰富的练习题,让学生通过实践来巩固所学知识。

教学评估:1. 课堂参与度:观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。

2. 练习题完成情况:检查学生完成练习题的正确性和解题思路。

3. 综合练习:评估学生在综合练习中的表现,包括判断直线与椭圆的位置关系和解决实际问题。

教学资源:1. 教学PPT:提供直线和椭圆的基本概念、位置关系判定和应用实例。

2. 练习题:提供丰富的练习题,包括判断题、选择题和解答题。

3. 综合练习:提供实际问题案例,让学生应用直线和椭圆的位置关系进行解决。

教学安排:1. 第一章:2课时2. 第二章:3课时3. 第三章:3课时4. 第四章:2课时5. 第五章:1课时六章:直线和椭圆的位置关系的深入探究6.1 直线与椭圆的交点个数的判定6.2 直线与椭圆的交点坐标的计算方法七章:直线和椭圆的位置关系的几何性质7.1 直线与椭圆的切线性质7.2 直线与椭圆的割线性质八章:直线和椭圆的位置关系在实际问题中的应用8.1 直线与椭圆的位置关系在工程中的应用8.2 直线与椭圆的位置关系在设计中的应用九章:直线和椭圆的位置关系的综合练习9.1 判断直线与椭圆的位置关系及交点个数9.2 解决实际问题十章:总结和复习10.1 直线和椭圆的位置关系的总结10.2 复习直线和椭圆的基本概念及位置关系的判定方法教学方法:1. 采用问题驱动的教学方法,引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。

高二数学椭圆试题答案及解析

高二数学椭圆试题答案及解析

高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆上存在两点、关于直线对称,求的取值范围.【答案】.【解析】解题思路:利用直线与直线垂直,设出直线的方程,联立直线与椭圆方程,消去,整理成关于的一元二次方程,利用中点公式和判别式求出的范围.规律总结:涉及直线与椭圆的位置关系问题,往往采用“设而不求”的方法进行求解..试题解析:设直线方程为,联立得从而则中点是,则解得由有实数解得即于是则的取值范围是.【考点】1.直线与椭圆的位置关系;2.对称问题.2.已知椭圆:的离心率为,一条准线.(1)求椭圆的方程;(2)设为坐标原点,是上的点,为椭圆的右焦点,过点作的垂线与以为直径的圆交于两点.①若=,求圆的方程;②若是上的动点,求证:点在定圆上,并求该定圆的方程.【答案】(1);(2)或;(3)点在定圆上【解析】(1)设椭圆的方程,用待定系数法求出的值;(2)根据圆的圆心坐标和半径求圆的标准方程.(3)直线和圆相交,根据半径,弦长的一半,圆心距求弦长,圆的弦长的常用求法:(1)几何法:求圆的半径,弦心距,弦长,则(2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式.(4)与圆有关的探索问题:第一步:假设符合条件的结论存在;第二步:从假设出发,利用直线与圆的位置关系求解;第三步,确定符合要求的结论存在或不存在;第四步:给出明确结果;第五步:反思回顾,查看关键点.试题解析:解:(1)由题意可知:,解得,所以椭圆的方程为由①知:,设,则圆的方程:直线的方程:所以圆的方程:或②证明:设,由①知,化简得消去得:所以点在定圆上.【考点】(1)椭圆的标准方程;(2)圆的标准方程;(3)与圆有关的探索问题.3.已知双曲线的渐近线方程为,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于()A.B.C.D.1【答案】A【解析】双曲线的焦点在轴上,又渐近线方程为,可设,则,由题意知在椭圆中,所以该椭圆的离心率等于。

【考点】(1)椭圆、双曲线离心率的求法;(2)椭圆、双曲线中的三者关系。

椭圆的几何性质及其综合问答

椭圆的几何性质及其综合问答

椭圆的几何性质一、概念及性质1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”;2.椭圆的通经:3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式:4.椭圆的焦半径的概念及公式:主要用来求离心率的取值范围,对于此问题也可以用下列性质求解:c a PF c a +≤≤-1.5.直线与椭圆的位置关系:6.椭圆的中点弦问题:【注】:椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大,高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度:(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围; (2)由性质写椭圆的标准方程; (3)求离心率的值或范围.题型一:根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点)2,0(),0,3(--Q P ;(2)长轴长等于20,离心率等于53. 【典例2】求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例3】已知A ,P ,Q 为椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 上三点,若直线PQ 过原点,且直线AP ,AQ 的斜率之积为21-,则椭圆C 的离心率为( )A.22B.21C.42D.41【练习】(1)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为( )A .(-3,0)B .(-4,0)C .(-10,0)D .(-5,0)(2)椭圆x 29+y 24+k =1的离心率为45,则k 的值为( )A .-21B .21C .-1925或21D .1925或21(3)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________.【典例4】已知F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点,P 为椭圆上任意一点,且215PF PF =,则该椭圆的离心率的取值范围是练习:如图,把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则721PF PF PF +++Λ=【典例5】若 “过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点F 1,F 2的两条互相垂直的直线l 1,l 2的交点在椭圆的内部”,求离心率的取值范围.【典例6】已知椭圆C :x 29+y 24=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=________.【方法归纳】:1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时,总体原则是“先定位,再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时,其原则是“数形结合,定义优先,几何性质简化”,一定要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系,充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a ,b ,c 之间的关系,以减少运算量.3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时,结合图形,注意动点到两焦点距离的转化.4. 求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a ,b ,c 的等式(或不等式),利用a 2=b 2+c 2消去b ,即可求得离心率或离心率的范围;有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围.5.在探寻a ,b ,c 的关系时,若能充分考虑平面几何的性质,则可使问题简化,如典例5. 【本节练习】1.已知椭圆的长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是( )A .x 216+y 27=1B .x 216+y 27=1或x 27+y 216=1C .x 216+y 225=1D .x 216+y 225=1或x 225+y 216=12.设e 是椭圆x 24+y 2k =1的离心率,且e ∈(12,1),则实数k 的取值范围是( )A .(0,3)B .(3,163)C .(0,3)∪(163,+∞) D .(0,2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1,B 2,焦点为F 1,F 2,若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形,则这个椭圆的离心率e 等于( )A .22B .12C .32D .334.如图,焦点在x 轴上的椭圆x 24+y 2b 2=1的离心率e =12,F ,A 分别是椭圆的一个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点,则PF →·P A →的最大值为________.5.已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ,离心率为33,过F 2的直线l 交C 于A,B 两点,若△AF 1B 的周长为34,则C 的方程为( )A.12322=+y x B.1322=+y x C.181222=+y x D.141222=+y x6.已知F 1、F 2是椭圆x 2100+y 264=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且PF 1⊥PF 2,则△F 1PF 2的面积为________.7.设21,F F 是椭圆E :)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点,P 为直线23ax =上一点,12PF F ∆是底角为300的等腰三角形,则E 的离心率为( )A.21B. 32C.43D. 548.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若02160=∠PF F ,则椭圆的离心率为( )A.25B.33C.21 D.319.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ,右顶点为A ,上顶点为B ,若BA BF ⊥,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为10.已知1F 为椭圆的左焦点,A ,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点,当A F PF 11⊥,PO ∥AB (O 为椭圆中心)时,椭圆的离心率为11.已知方程x 22-k +y 22k -1=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是( )A .(12,2)B .(1,+∞)C .(1,2)D .(12,1)12.矩形ABCD 中,|AB |=4,|BC |=3,则以A ,B 为焦点,且过C ,D 两点的椭圆的短轴的长为( )A .2 3B .2 6C .4 2D .4 313.一个椭圆中心在原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,P (2,3)是椭圆上一点,且|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等差数列,则椭圆方程为( )A .x 28+y 26=1B .x 216+y 26=1C .x 28+y 24=1D .x 216+y 24=114.如图,已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F ,且这两条曲线交点的连线过点F ,则该椭圆的离心率为________.15.已知抛物线42x y =与椭圆)0(118222>=+a y ax 在第一象限相交于A 点,F 为抛物线的焦点,AB ⊥y 轴于B 点,当∠BAF =300时,a =16. 设F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为(6,4),则|PM |+|PF 1|的最大值为________.17.椭圆x 236+y 29=1上有两个动点P 、Q ,E (3,0),EP ⊥EQ ,则EP →·QP →的最小值为( )A .6B .3- 3C .9D .12-6 318.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是3,则这个椭圆方程为________.19.若一个椭圆长轴的长度,短轴的长度和焦距依次成等差数列,则该椭圆的离心率是________.20.已知圆锥曲线mx 2+4y 2=4m 的离心率e 为方程2x 2-5x +2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A .4B .3C .2D .114. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2,若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____设F 1(-c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点,P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点,且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则该椭圆的离心率为(A )316 (B )23 (C )22 (D )32若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上,过点(1,12)作圆22+=1x y 的切线,切点分别为A,B ,直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是21.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F 1,左焦点为F 2,若椭圆上存在一点P ,满足线段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF 1的中点,则该椭圆的离心率为( )A .53B .23C .22D .5922. 已知,,A P Q 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上三点,若直线PQ 过原点,且直线,AP AQ 的斜率之积为12-,则椭圆C 的离心率等于( )A B .12 C D .14题型二:直线与椭圆的位置关系的判定.【典例1】当m 为何值时,直线m x y l +=:与椭圆14416922=+y x 相切、相交、相离?【典例2】已知椭圆192522=+y x ,直线04054:=+-y x l ,椭圆上是否存在一点,它到直线l 的距离最小?最小距离是多少?反馈:(2012福建)如图,椭圆E :)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2,离心率21=e ,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程;(2)设动直线l :m kx y +=与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线x =4交于Q ,试探究:在坐标平面内,是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ,若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由.【方法归纳】:直线与椭圆位置关系判断的步骤: ①联立直线方程与椭圆方程;②消元得出关于x (或y )的一元二次方程;③当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线与椭圆相离.注:对比直线与圆的位置关系的判断,它们之间有何联系与区别?题型三:直线与椭圆相交(及中点弦)问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题,其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例1】已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点,交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长及1ABF ∆的周长、面积.【典例2】已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点(0,3),离心率为12,左,右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l :y =-12x +m 与椭圆交于A ,B 两点,与以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |=534,求直线l 的方程.【典例3】已知一直线与椭圆369422=+y x 相交于A ,B 两点,弦AB 的中点坐标为M (1,1),求直线AB 的方程.变式:过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为【典例4】(2015新课标文)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上.(I )求C 的方程;(II )直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【典例5】已知点A (0,-2),椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32,F 是椭圆的焦点,直线AF 23O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程;(Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程.【典例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l :m kx y +=与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 均不在左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.【方法归纳】:(1)解决直线与椭圆相交问题的原则有两个:一是数形结合;二是一条主线:“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换,以减少运算量.(2)如果题设中没有对直线的斜率的限定,一定要讨论斜率是否存在,以免漏解;这里又有两个问题需要注意:①若已知直线过y 轴上的定点P (0,b ),可将直线设为斜截式,即纵截距式,即y =kx +b ,但要讨论斜率是否存在;②若已知直线过x 轴上的定点P (a ,0),可以直接将直线方程设为横截距式,即x =my +a ,这样可避免讨论斜率是否存在,但此时求弦长时,需将下面弦长公式中的k 用m1替换. (3)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则|AB |=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=(1+1k2)[(y 1+y 2)2-4y 1y 2](k 为直线斜率).【本节练习】1.(2014·高考安徽卷)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2+y 2b2=1(0<b <1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________.2. (2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( )A .1B . 2C .32 D . 33.(2015·宜昌调研)过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为________.4.已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,右焦点为(22,0).斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).(1)求椭圆G 的方程; (2)求△P AB 的面积.5.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为2,离心率为12.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 经过点M (0,1),且与椭圆C 交于A ,B 两点,若AM →=2MB →,求直线l 的方程.5’.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23,右焦点到直线06=++y x 的距离为32. (1)求椭圆的方程;(2)过点)1,0(-M 作直线l 交椭圆于A ,B 两点,交x 轴于N 点,满足57-=,求直线l 的方程.6.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23,且长轴长为12,过点P(4,2)的直线l 与椭圆交于A,B 两点.(1)求椭圆方程;(2)当直线l 的斜率为21时,求AB 的值;(3)当点P 恰好为线段AB 的中点时,求直线l 的方程.7. 平面直角坐标系xoy 中,过椭圆M :)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 作直线03=-+y x 交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为21. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值.8. 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点,且22,,AF AB BF 成等差数列.(1)求E 的离心率;(2) 设点(0,1)p -满足PA PB =,求E 的方程.9. 设F 1 ,F 2分别是椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N . (I )若直线MN 的斜率为43,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |,求a ,b .10. 如图,点F 1(-c ,0),F 2(c ,0)分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左,右焦点,过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ,过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x =a 2c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆C 的方程; (2)证明:直线PQ 与椭圆C 只有一个交点.11.已知椭圆C :x 2+2y 2=4.(1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在直线y =2上,点B 在椭圆C 上,且OA ⊥OB , (文)求线段AB 长度的最小值.(理)试判断直线AB 与圆222=+y x 的位置关系.圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题;定点问题;定值问题;参数的取值范围问题;存在性问题”.一、 最值问题 【规律方法】:(1)最值问题有两大类:距离、面积的最值以及与之有关的一些问题;求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)两种常见方法:①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解题;②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法;若是分式函数则可先分离常数,再求最值;若是二次函数,可用配方法;若是更复杂的函数,还可用导数法. (3)圆锥曲线的综合问题要四重视: ①重视定义在解题中的作用;②重视平面几何知识在解题中的作用;③重视根与系数的关系在解题中的作用;④重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014江西文科考题,范围中的题6、7.1.已知椭圆C :1222=+y ax (a >0)的焦点在x 轴上,右顶点与上顶点分别为A 、B .顶点在原点,分别以A 、B 为焦点的抛物线C 1、C 2交于点P (不同于O 点),且以BP 为直径的圆经过点A .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若与OP 垂直的动直线l 交椭圆C 于M 、N 不同两点,求△OMN 面积的最大值和此时直线l 的方程.2.已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为(0,1),且离心率为23.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)证明:过椭圆)0(12222>>=+n m ny m x 上一点),(00y x Q 的切线方程为12020=+nyy m x x ; (Ⅲ)从圆1622=+y x 上一点P 向椭圆C 引两条切线,切点分别为A 、B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时,求MN 的最小值.3.已知动点P 到定点F (1,0)和到定直线x =2的距离之比为22,设动点P 的轨迹为曲线E ,过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ,B 两点,直线l :n mx y +=与曲线E 交于C 、D 两点,与线段AB 相交于一点(与A 、B 不重合). (Ⅰ)求曲线E 的方程;(Ⅱ)当直线l 与圆122=+y x 相切时,四边形ACBD 的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及相应的直线l 的方程;若没有,请说明理由.4. 已知点A (0,-2),椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,F 是椭圆的右焦点,直线AF ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程;(Ⅱ)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程.5.平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23,且点)21,3(在椭圆C 上,(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆144:2222=+b y a x E ,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线m kx y +=交椭圆E 于B A ,两点,射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求OPOQ 的值;(ⅱ)求ABQ ∆面积的最大值。

直线与椭圆

直线与椭圆

§8.6 直线与椭圆考试要求 1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题.知识梳理1.直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立,消去y (或x ),得到关于x (或y )的一元二次方程,则直线与椭圆相交⇔Δ>0;直线与椭圆相切⇔Δ=0;直线与椭圆相离⇔Δ<0. 2.弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则|AB |=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] 或|AB |=1+1k2|y 1-y 2|=⎝⎛⎭⎫1+1k 2[(y 1+y 2)2-4y 1y 2],k 为直线斜率且k ≠0. 常用结论已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0).(1)通径的长度为2b 2a.(2)过左焦点的弦AB ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2);过右焦点弦CD ,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则焦点弦|CD |=2a -e (x 3+x 4).(e 为椭圆的离心率)(3)A 1,A 2为椭圆的长轴顶点,P 是椭圆上异于A 1,A 2的任一点,则2122·PA PA k b k a=-.(4)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦,O 为原点,M 为AB 的中点,则k OM ·k AB =-b 2a 2.(5)过原点的直线交椭圆于A ,B 两点,P 是椭圆上异于A ,B 的任一点,则k P A ·k PB =-b 2a 2.(6)点P (x 0,y 0)在椭圆上,过点P 的切线方程为x 0x a 2+y 0yb 2=1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.( √ ) (2)直线y =x 与椭圆x 22+y 2=1一定相交.( √ )(3)直线y =x -1被椭圆x 22+y 2=1截得的弦长为 2.( × )(4)过椭圆上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的直线的斜率k =y 2-y 1x 2-x 1.( × )教材改编题1.直线y =x +1与椭圆x 25+y 24=1的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .无法判断答案 A解析 方法一 (通解)联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y =x +1,x 25+y 24=1,消去y 得9x 2+10x -15=0,Δ=100-4×9×(-15)>0,所以直线与椭圆相交.方法二 (优解)直线过点(0,1),而0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以可推断直线与椭圆相交.2.已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24+y 2=1的右焦点,交椭圆于A ,B 两点,则弦AB 的长为( )A.45B.65C.85D.135答案 C解析 由题意得,a 2=4,b 2=1,所以c 2=3, 所以右焦点坐标为(3,0), 则直线l 的方程为y =x -3, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x -3,x 24+y 2=1,消y 得,5x 2-83x +8=0, 则x 1+x 2=835,x 1·x 2=85,所以|AB |=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2×⎝⎛⎭⎫8352-4×85=85.即弦AB 的长为85.3.已知椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A (1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1,则椭圆方程为________. 答案 y 24+x 2=1解析 因为椭圆y 2a 2+x 2b 2=1的右顶点为A (1,0),所以b =1,因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1, 所以2b 2a =1,a =2,所以椭圆方程为y 24+x 2=1.题型一 直线与椭圆的位置关系例1 已知直线l :y =2x +m ,椭圆C :x 24+y 22=1.试问当m 取何值时,直线l 与椭圆C :(1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点.解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立,得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +m ,x 24+y 22=1,消去y 并整理得9x 2+8mx +2m 2-4=0. Δ=(8m )2-4×9×(2m 2-4)=-8m 2+144.(1)当Δ>0,即-32<m <32时,方程有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m =±32时,方程有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点,即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点. 教师备选(多选)直线y =kx -2k +62与椭圆x 24+y 23=1的位置关系可能为( )A .相交B .相切C .相离D .有3个公共点答案 AB解析 直线y =kx -2k +62=k (x -2)+62恒过定点⎝⎛⎭⎫2,62,又点⎝⎛⎭⎫2,62在椭圆上,故直线与椭圆可能相交也可能相切. 思维升华 判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系,一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 跟踪训练1 已知动点M 到两定点F 1(-m ,0),F 2(m ,0)的距离之和为4(0<m <2),且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3,12. (1)求m 的值;(2)若直线l :y =kx +2与曲线C 有两个不同的交点A ,B ,求k 的取值范围.解 (1)由0<m <2,得2m <4,可知曲线C 是以两定点F 1(-m ,0),F 2(m ,0)为焦点,长半轴长为2的椭圆,所以a =2,设曲线C 的方程为x 24+y 2b 2=1,把点N ⎝⎛⎭⎫3,12代入, 得34+14b2=1, 解得b 2=1,由c 2=a 2-b 2, 解得c 2=3, 所以m = 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24+y 2=1,联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24+y 2=1,y =kx +2,消去y 得⎝⎛⎭⎫14+k 2x 2+22kx +1=0, 则有Δ=4k 2-1>0,得k 2>14.所以k >12或k <-12,所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫-∞,-12∪⎝⎛⎭⎫12,+∞. 题型二 弦长及中点弦问题 命题点1 弦长问题例2 (2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系Oxy 中,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P (2,1),且离心率e =32. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线l 的斜率为12,直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若|AB |=5,求直线l 的方程.解(1)∵e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=34, ∴a 2=4b 2.又椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点P (2,1),∴4a 2+1b 2=1, ∴a 2=8,b 2=2.故所求椭圆方程为x 28+y 22=1.(2)设l 的方程为y =12x +m ,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立⎩⎨⎧y =12x +m ,x 28+y22=1,整理,得x 2+2mx +2m 2-4=0. ∴Δ=4m 2-8m 2+16>0,解得|m |<2. ∴x 1+x 2=-2m ,x 1x 2=2m 2-4. 则|AB |=1+14×(x 1+x 2)2-4x 1x 2=5(4-m 2)=5,解得m =±3.所求直线l 的方程为y =12x ±3.命题点2 中点弦问题例3 已知P (1,1)为椭圆x 24+y 22=1内一定点,经过P 引一条弦,使此弦被P 点平分,则此弦所在的直线方程为__________. 答案 x +2y -3=0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在,∴设其方程为y -1=k (x -1),弦所在的直线与椭圆相交于A ,B 两点,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y -1=k (x -1),x 24+y 22=1,消去y 得,(2k 2+1)x 2-4k (k -1)x +2(k 2-2k -1)=0, ∴x 1+x 2=4k (k -1)2k 2+1,又∵x 1+x 2=2, ∴4k (k -1)2k 2+1=2,解得k =-12. 经检验,k =-12满足题意.故此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在,∴设斜率为k ,弦所在的直线与椭圆相交于A ,B 两点, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 214+y 212=1,① x 224+y 222=1,② ①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)4+(y 1+y 2)(y 1-y 2)2=0,∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2, ∴x 1-x 22+y 1-y 2=0, 又x 2-x 1≠0,∴k =y 1-y 2x 1-x 2=-12.经检验,k =-12满足题意.∴此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0. 教师备选已知直线l 与椭圆x 24+y 23=1相交于A ,B 两点,且线段AB 的中点P (1,1).(1)求直线l 的方程; (2)求△OAB 的面积.解 (1)由斜率公式可知k OP =1, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 代入椭圆方程得到,⎩⎨⎧x 214+y 213=1,x 224+y 223=1⇒x 21-x 224+y 21-y 223=0,化简得到-34×x 1+x 2y 1+y 2=y 1-y 2x 1-x 2=k AB,∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2, ∴k AB =-34,∴直线方程为y -1=-34(x -1),∴直线l 的方程为3x +4y -7=0.(2)将直线方程与椭圆方程联立,可得21x 2-42x +1=0, Δ=422-4×21>0, ∴x 1+x 2=2,x 1x 2=121.由弦长公式得到 |AB |=1+k 2|x 1-x 2|=1+916×4-421=54×410521=510521, 再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB 的距离d =|-7|9+16=75, ∴△OAB 的面积S =12×510521×75=1056.思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路跟踪训练2 (1)(2022·济宁模拟)已知椭圆C :x 24+y 23=1,过点P ⎝⎛⎭⎫1,12的直线交椭圆C 于A ,B 两点,若P 为AB 的中点,则直线AB 的方程为( ) A .3x -2y -2=0B .3x +2y -4=0C .3x +4y -5=0D .3x -4y -1=0答案 B解析 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 22=1,y 1+y 22=12,所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=2,y 1+y 2=1,由⎩⎨⎧x 214+y 213=1, ①x 224+y223=1,②①-②得x 21-x 224+y 21-y 223=0,即y 21-y 22x 21-x 22=-34, 即y 1+y 2x 1+x 2·y 1-y 2x 1-x 2=12k AB =-34,所以k AB =-32,因此直线AB 的方程为y -12=-32(x -1),即3x +2y -4=0.(2)已知椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过原点的直线l 与E 交于A ,B 两点,且AF 1,BF 2都与x 轴垂直,则|AB |=________. 答案13解析 由题意得c 2=a 2-b 2=4-3=1,因为直线l 过原点,且交椭圆E 于A ,B 两点,所以A 与B 关于原点对称,又AF 1,BF 2都与x 轴垂直, 所以设A (-1,y 1),B (1,-y 1), 则|AB |=(-1-1)2+[y 1-(-y 1)]2=4+4y 21.又点A 在椭圆E 上, 所以14+y 213=1,得y 21=94, 则|AB |=4+4×94=13.题型三 直线与椭圆的综合问题例4 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32,短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点P (1,0)的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,若△ABO 的面积为35(O 为坐标原点),求直线l 的方程.解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a =32,2b =2,c 2=a 2-b 2,解得a 2=4,b 2=1.故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意可知直线的斜率不为0, 则设直线的方程为x =my +1,A (x 1,y 1), B (x 2,y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧x =my +1,x 24+y 2=1,整理得(m 2+4)y 2+2my -3=0,Δ=(2m )2-4(m 2+4)×(-3)=16m 2+48>0, 则y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-3m 2+4,故|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2 =⎝ ⎛⎭⎪⎫-2m m 2+42+12m 2+4=4m 2+3m 2+4, 因为△ABO 的面积为35, 所以12|OP ||y 1-y 2|=12×1×4m 2+3m 2+4=2m 2+3m 2+4=35, 设t =m 2+3≥3,则2t t 2+1=35, 整理得(3t -1)(t -3)=0,解得t =3或t =13(舍去),即m =±6. 故直线的方程为x =±6y +1,即x ±6y -1=0.教师备选(2020·天津)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,-3),右焦点为F ,且|OA |=|OF |,其中O 为原点.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C 满足3OC →=OF →,点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点),直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,且P 为线段AB 的中点.求直线AB 的方程.解 (1)由已知可得b =3,记半焦距为c ,由|OF |=|OA |可得c =b =3,又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=18,所以椭圆的方程为x 218+y 29=1. (2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ,所以AB ⊥CP .依题意,直线AB 和直线CP 的斜率均存在.设直线AB 的方程为y =kx -3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx -3,x 218+y 29=1,消去y 可得(2k 2+1)x 2-12kx =0,解得x =0或x =12k 2k 2+1. 依题意,可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2+1,6k 2-32k 2+1. 因为P 为线段AB 的中点,点A 的坐标为(0,-3),所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2k 2+1,-32k 2+1. 由3OC →=OF →,得点C 的坐标为(1,0),故直线CP 的斜率为-32k 2+1-06k 2k 2+1-1=32k 2-6k +1. 又因为AB ⊥CP ,所以k ·32k 2-6k +1=-1, 整理得2k 2-3k +1=0,解得k =12或k =1. 所以直线AB 的方程为y =12x -3或y =x -3, 即x -2y -6=0或x -y -3=0.思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时,常用到“设而不求”的方法,即联立直线和椭圆的方程,消去y (或x )得一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件,建立有关参变量的等量关系求解.(2)涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 跟踪训练3 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),短轴的两个端点分别为B 1,B 2.(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,且F 1P -→⊥F 1Q -→,求直线l 的方程.解 (1)由题意知,△F 1B 1B 2为等边三角形,所以c =3b ,又c =1,所以b =33, 又由a 2=b 2+c 2,可得a 2=43, 故椭圆C 的方程为3x 24+3y 2=1. (2)易知椭圆C 的方程为x 22+y 2=1, 当直线l 的斜率不存在时,其方程为x =1,不符合题意;当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -1),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 22+y 2=1, 得(2k 2+1)x 2-4k 2x +2(k 2-1)=0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k 22k 2+1,x 1x 2=2(k 2-1)2k 2+1, F 1P -→=(x 1+1,y 1),F 1Q -→=(x 2+1,y 2),因为F 1P -→⊥F 1Q -→,所以F 1P -→·F 1Q -→=0,即(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+x 2)+1+k 2(x 1-1)(x 2-1)=(k 2+1)x 1x 2-(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1=7k 2-12k 2+1=0, 解得k 2=17,即k =±77, 故直线l 的方程为x +7y -1=0或x -7y -1=0.课时精练1.直线y =x +2与椭圆x 2m +y 23=1有两个公共点,则m 的取值范围是( ) A .(1,+∞)B .(1,3)∪(3,+∞)C .(3,+∞)D .(0,3)∪(3,+∞)答案 B 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x +2,x 2m +y 23=1,得(m +3)x 2+4mx +m =0.由Δ>0且m ≠3及m >0,得m >1且m ≠3. 2.已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),过M 的右焦点F (3,0)作直线交椭圆于A ,B 两点,若AB 的中点坐标为(2,1),则椭圆M 的方程为( )A.x 29+y 26=1 B.x 24+y 2=1 C.x 212+y 23=1 D.x 218+y 29=1 答案 D解析 直线AB 的斜率k =1-02-3=-1, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入椭圆方程可得x 21a 2+y 21b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1, 两式相减,整理得2a 2-1b 2=0, 又c =3,a 2=b 2+c 2.联立解得a 2=18,b 2=9.所以椭圆M 的方程为x 218+y 29=1. 3.(多选)已知椭圆x 22+y 2=1与直线y =x +m 交于A ,B 两点,且|AB |=423,则实数m 的值为( )A .-1B .1C .-2D .2答案 AB解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22+y 2=1,y =x +m消去y 并整理, 得3x 2+4mx +2m 2-2=0.Δ=16m 2-12(2m 2-2)=-8m 2+24>0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4m 3,x 1x 2=2m 2-23. 由题意, 得|AB |=2(x 1+x 2)2-8x 1x 2=423, 解得m =±1,满足题意.4.已知直线y =kx +1,当k 变化时,此直线被椭圆x 24+y 2=1截得的最大弦长是( ) A .2 B.433 C .4D .不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0,1),且点(0,1)在椭圆上,可设另外一个交点为(x ,y ),则弦长为x 2+(y -1)2=4-4y 2+y 2-2y +1 =-3y 2-2y +5=-3⎝⎛⎭⎫y +132+163, 所以当y =-13时,弦长最大为433. 5.(多选)设椭圆的方程为x 22+y 24=1,斜率为k 的直线不经过原点O ,而且与椭圆相交于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是( )A .直线AB 与OM 垂直B .若点M 坐标为(1,1),则直线方程为2x +y -3=0C .若直线方程为y =x +1,则点M 坐标为⎝⎛⎭⎫13,43D .若直线方程为y =x +2,则|AB |=423答案 BD解析 对于A 项,因为在椭圆中,根据椭圆的中点弦的性质k AB ·k OM =-42=-2≠-1,所以A 项不正确;对于B 项,根据k AB ·k OM =-2,所以k AB =-2,所以直线方程为y -1=-2(x -1),即2x +y -3=0,所以B 项正确;对于C 项,若直线方程为y =x +1,点M ⎝⎛⎭⎫13,43,则k AB ·k OM =1×4=4≠-2,所以C 项不正确;对于D 项,若直线方程为y =x +2,与椭圆方程x 22+y 24=1联立, 得到2x 2+(x +2)2-4=0,整理得3x 2+4x =0,解得x 1=0,x 2=-43, 所以|AB |=1+12⎪⎪⎪⎪-43-0=423, 所以D 项正确.6.(多选)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右两焦点分别是F 1,F 2,其中|F 1F 2|=2c .直线l :y =k (x +c )(k ∈R )与椭圆交于A ,B 两点,则下列说法中正确的有( )A .△ABF 2的周长为4aB .若AB 的中点为M ,则k OM ·k =b 2a 2 C .若AF 1-→·AF 2-→=3c 2,则椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤55,12 D .若|AB |的最小值为3c ,则椭圆的离心率e =13答案 AC解析 由直线l :y =k (x +c )过点(-c ,0),知弦AB 过椭圆的左焦点F 1.所以△ABF 2的周长为|AB |+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=4a ,所以A 正确;设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 22,y 1+y 22, k OM =y 1+y 2x 1+x 2,k =y 1-y 2x 1-x 2, 所以k OM ·k =y 1+y 2x 1+x 2·y 1-y 2x 1-x 2=y 21-y 22x 21-x 22, 由⎩⎨⎧ x 21a 2+y 21b 2=1, ①x 22a 2+y 22b 2=1, ②①-②得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b2=0, 所以y 21-y 22x 21-x 22=-b 2a 2, 则k OM ·k =y 21-y 22x 21-x 22=-b 2a 2, 所以B 错误;AF 1-→=(-c -x 1,-y 1),AF 2-→=(c -x 1,-y 1),所以AF 1-→·AF 2-→=x 21-c 2+y 21=c 2a 2x 21+a 2-2c 2∈[a 2-2c 2,a 2-c 2], 则a 2-2c 2≤3c 2≤a 2-c 2,可得e =c a ∈⎣⎡⎦⎤55,12, 所以C 正确;由过焦点的弦中通径最短,则|AB |的最小值为通径2b 2a ,则有2b 2a=3c , 即2a 2-3ac -2c 2=0,解得a =2c ,所以e =c a =12,所以D 错误. 7.已知直线l :y =k (x -1)与椭圆C :x 24+y 2=1交于不同的两点A ,B ,AB 中点的横坐标为12,则k =________.答案 ±12解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2-8k 2x +4k 2-4=0,因为直线l 过椭圆内的定点(1,0),所以Δ>0,x 1+x 2=8k 24k 2+1, 所以x 1+x 22=4k 24k 2+1=12, 即k 2=14,所以k =±12. 8.与椭圆x 22+y 2=1有相同的焦点且与直线l :x -y +3=0相切的椭圆的离心率为________. 答案 55解析 因为所求椭圆与椭圆x 22+y 2=1有相同的焦点,所以可设所求椭圆的方程为 x 2a 2+y 2a 2-1=1(a >1), 联立方程组⎩⎨⎧ x 2a 2+y 2a 2-1=1,y =x +3⇒(2a 2-1)x 2+6a 2x +10a 2-a 4=0,因为直线l 与椭圆相切,所以Δ=36a 4-4(2a 2-1)(10a 2-a 4)=0,化简得a 4-6a 2+5=0,即a 2=5或a 2=1(舍).则a = 5.又c =1,所以e =c a =15=55. 9.已知椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ,B ,右焦点为F ,椭圆M 的离心率为12,且过点⎝⎛⎭⎫1,32. (1)求椭圆M 的方程;(2)若过点N (1,1)的直线与该椭圆M 交于P ,Q 两点,且线段PQ 的中点恰为点N ,求直线PQ 的方程.解 (1)∵e =c a =1-b 2a 2=12, 则3a 2=4b 2,将⎝⎛⎭⎫1,32代入椭圆方程得 1a 2+94b2=1, 解得a =2,b =3, ∴椭圆M 的方程为x 24+y 23=1. (2)设P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q ),∵线段PQ 的中点恰为点N ,∴x P +x Q =2,y P +y Q =2.∵x 2P 4+y 2P 3=1,x 2Q 4+y 2Q 3=1,两式相减可得 14(x P +x Q )(x P -x Q )+13(y P +y Q )(y P -y Q )=0, ∴y P -y Q x P -x Q=-34, 即直线PQ 的斜率为-34, ∴直线PQ 的方程为y -1=-34(x -1), 即3x +4y -7=0.10.设中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1,32,且离心率为32.F 为E 的右焦点,P 为E 上一点,PF ⊥x 轴,⊙F 的半径为PF .(1)求椭圆E 和⊙F 的方程;(2)若直线l :y =k (x -3)(k >0)与⊙F 交于A ,B 两点,与E 交于C ,D 两点,其中A ,C 在第一象限,是否存在k 使|AC |=|BD |?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解 (1)设E 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0), 由题设知1a 2+34b 2=1,a 2-b 2a =32. 解得a =2,b =1,故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1. 因此F (3,0),|PF |=12,即⊙F 的半径为12. 所以⊙F 的方程为(x -3)2+y 2=14. (2)由题设可知,A 在E 外,B 在E 内,C 在⊙F 内,D 在⊙F 外,在l 上的四点A ,B ,C ,D 满足|AC |=|AB |-|BC |,|BD |=|CD |-|BC |.设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),将l 的方程代入E 的方程得(1+4k 2)x 2-83k 2x +12k 2-4=0,则x 1+x 2=83k 24k 2+1, x 1x 2=12k 2-44k 2+1,|CD|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4k2+44k2+1=1+34k2+1>1,又⊙F的直径|AB|=1,所以|BD|-|AC|=|CD|-|AB|=|CD|-1>0,故不存在正数k使|AC|=|BD|.11.(2022·临沂模拟)过椭圆内定点M且长度为整数的弦,称作该椭圆过点M的“好弦”.在椭圆x264+y216=1中,过点M(43,0)的所有“好弦”的长度之和为()A.120 B.130C.240 D.260答案 C解析由已知可得a=8,b=4,所以c=43,故M为椭圆的右焦点,由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短,所以当x=43时,最短的弦长为2b2a =2×168=4,当弦与x轴重合时,弦长最长为2a=16,则弦长的取值范围为[4,16],故弦长为整数的弦有4到16的所有整数,则“好弦”的长度和为4+16+(5+6+7+…+15)×2=240.12.(2022·江南十校模拟)已知椭圆C:x2a2+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与椭圆交于M,N两点,若△MNF2的周长为8,则△MF1F2面积的最大值为()A.32 B. 3C.2 3 D.3 答案 B解析 由椭圆的定义可得△MNF 2的周长为|MN |+|MF 2|+|NF 2|=|MF 1|+|NF 1|+|MF 2|+|NF 2|=4a =8,∴a =2,则c =3,则△MF 1F 2面积的最大值为12·2c ·b =bc = 3. 13.(2022·兰州质检)已知P (2,-2)是离心率为12的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)外一点,经过点P 的光线被y 轴反射后,所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,则此条切线的斜率是( )A .-18B .-12C .1D.18答案 D解析 由题意可知e =c a =12, 又a 2=b 2+c 2,故b 2=34a 2, 设过点P 的直线斜率为k ,则直线方程为y +2=k (x -2),即y =kx -2k -2,则反射后的切线方程为y =-kx -2k -2, 由⎩⎪⎨⎪⎧ y =-kx -2k -2,x 2a 2+y 2b 2=1,得(3+4k 2)x 2+16k (k +1)x +16k 2+32k +16-3a 2=0,∵所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切,∴Δ=[16k (k +1)]2-4(3+4k 2)(16k 2+32k +16-3a 2)=0,化简得4a 2k 2+3a 2=16k 2+32k +16,即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2=16,3a 2=32k +16,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,k =-18. ∴此切线的斜率为18. 14.(多选)已知O 为坐标原点,椭圆T :x 24+y 23=1的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆T 于A ,B 两点,则下列结论正确的是( )A .|AB |的最小值为32B .若M (异于点F )为线段AB 的中点,则直线AB 与OM 的斜率之积为-34C .若AF →=-2BF →,则直线AB 的斜率为±52D .△AOB 面积的最大值为3答案 BC解析 对于A ,易知当直线AB 垂直于x 轴时,|AB |取得最小值,由椭圆T 的方程知F (1,0),当x =1时,y =±32, 所以|AB |的最小值为3,故A 错误;对于B ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),x 1≠x 2,x 0≠0,因为M 为线段AB 的中点,所以x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22, 又点A ,B 在椭圆T 上,所以x 214+y 213=1,x 224+y 223=1, 两式相减得y 1-y 2x 1-x 2=-34·x 1+x 2y 1+y 2 =-34·x 0y 0, 所以y 1-y 2x 1-x 2·y 0x 0=-34, 即直线AB 与OM 的斜率之积为-34,故B 正确;对于C ,易知直线AB 的斜率存在且不为零,设直线AB 的方程为x =my +1,代入椭圆T 的方程得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4, 因为AF →=-2BF →,所以y 1=-2y 2,所以y 1+y 2=-y 2=-6m 3m 2+4, 则y 2=6m 3m 2+4,y 1=-12m 3m 2+4, 所以y 1y 2=6m 3m 2+4·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12m 3m 2+4=-93m 2+4, 解得m =±255, 所以直线AB 的斜率为±52,故C 正确; 对于D ,△AOB 的面积S =12|OF ||y 1-y 2|=12|y 1-y 2| =12(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m 2+13m 2+4, 令m 2+1=t ,则t ≥1,S =6t 3t 2+1=63t +1t, 因为函数y =3t +1t在t ∈[1,+∞)上单调递增,所以当t =1,即m =0时,△AOB 的面积取得最大值,且最大值为32,故D 错误.15.(多选)已知F 1,F 2是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,M ,N 是左、右顶点,e 为椭圆C 的离心率,过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,若AF 1―→·BF 1―→=0,3AF 2―→=2F 2B ―→,|AF 1|=2|AF 2|,设直线AB 的斜率为k ,直线AM 和直线AN 的斜率分别为k 1,k 2,直线BM 和直线BN 的斜率分别为k 3,k 4,则下列结论一定正确的是( )A .e =55B .k =±12C .k 1·k 2=-45D .k 3·k 4=45答案 AC解析 ∵AF 1―→·BF 1―→=0,∴AF 1⊥BF 1,过点F 2作F 1B 的平行线,交AF 1于点E ,∴AF 1⊥EF 2.设|F 2A |=2t ,|F 1A |=4t ,又3AF 2-→=2F 2B -→,∴|AB |=5t ,∵AF 1⊥BF 1,∴|F 1B |=3t ,∴12t =4a ,∴a =3t .∴|BF 1|=|BF 2|=3t =a ,∴B (0,±b ).在△EF 1F 2中,|EF 1|=35|AF 1|=12t 5, |EF 2|=25|BF 1|=6t 5, |F 1F 2|=2c ,∵|EF 1|2+|EF 2|2=|F 1F 2|2,∴c =3t 5,b =a 2-c 2=6t 5, 椭圆离心率e =c a =55,故A 正确; k =±b c=±2,故B 错误;设A (x ,y ),易得M (-a ,0),N (a ,0),则k 1·k 2=y x +a ·y x -a =y 2x 2-a 2=b 2⎝⎛⎭⎫1-x 2a 2x 2-a 2=-b 2a 2=-45, 故C 正确;同理k 3·k 4=-b 2a 2=-45, 故D 错误.16.已知直线l 经过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点(1,0),交椭圆C 于点A ,B ,点F 为椭圆C 的左焦点,△ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线m 与直线l 的倾斜角互补,且交椭圆C 于点M ,N ,|MN |2=4|AB |,求证:直线m 与直线l 的交点P 在定直线上.(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ c =1,4a =8,∴⎩⎪⎨⎪⎧c =1,a =2,∴b 2=3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1. (2)证明 若直线l 的斜率不存在,则直线m 的斜率也不存在,这与直线m 与直线l 相交于点P 矛盾,∴直线l 的斜率存在.设l :y =k (x -1)(k ≠0),m :y =-k (x +t ),A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),M (x M ,y M ),N (x N ,y N ). 将直线m 的方程代入椭圆方程得,(3+4k 2)x 2+8k 2tx +4(k 2t 2-3)=0,∴x M +x N =-8k 2t 3+4k 2, x M x N =4(k 2t 2-3)3+4k 2,∴|MN |2=(1+k 2)·16(12k 2-3k 2t 2+9)(3+4k 2)2. 同理,|AB |=1+k 2·49k 2+93+4k 2 =12(1+k 2)3+4k 2. 由|MN |2=4|AB |得t =0,此时,Δ=64k 4t 2-16(3+4k 2)(k 2t 2-3)>0, ∴直线m :y =-kx ,∴P ⎝⎛⎭⎫12,-12k ,即点P 在定直线x =12上.。

高中数学直线与椭圆的综合问题训练题

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直线与椭圆的综合问题训练题A 级——保大分专练1.(2019·长春二检)椭圆4x 2+9y 2=144内有一点P (3,2),则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A .-23B .-32C .-49D .-94解析:选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),斜率为k ,则4x 21+9y 21=144,4x 22+9y 22=144,两式相减得4(x 1+x 2)(x 1-x 2)+9(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,又x 1+x 2=6,y 1+y 2=4,y 1-y 2x 1-x 2=k ,代入解得k =-23. 2.已知直线y =-x +1与椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,若椭圆的离心率为22,焦距为2,则线段AB 的长是( ) A .223B .423C . 2D .2解析:选B 由条件知c =1,e =c a =22,所以a =2,b =1,椭圆方程为x 22+y 2=1,联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫43,-13,所以|AB |=423.3.斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB |的最大值为( )A .2B .455C .4105D .8105解析:选C 设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为y =x +t ,由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+4y 2=4,y =x +t 消去y ,得5x 2+8tx +4(t 2-1)=0,则x 1+x 2=-85t ,x 1x 2=4t 2-5.∴|AB |=1+k 2|x 1-x 2| =1+k 2·x 1+x 22-4x 1x 2=2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-85t 2-4×t 2-5=425·5-t 2, 当t =0时,|AB |max =4105.4.(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的右焦点F ,与椭圆交于A ,B 两点,且AF ―→=2FB ―→,则该椭圆的离心率为( )A .32 B .23 C .22D .33解析:选B 由题可知,直线的方程为y =x -c ,与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b2=1,y =x -c ,得(b 2+a 2)y 2+2b 2cy -b 4=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1+y 2=-2b 2c a 2+b2,y 1y 2=-b4a 2+b 2,又AF ―→=2FB ―→,∴(c -x 1,-y 1)=2(x 2-c ,y 2),∴-y 1=2y 2,可得⎩⎪⎨⎪⎧-y 2=-2b 2c a 2+b2,-2y 22=-b4a 2+b2.∴12=4c 2a 2+b 2,∴e =23,故选B. 5.已知点P 是椭圆x 216+y 28=1上的动点,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,O 是坐标原点,若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点,且F 1M ―→·MP ―→=0,则|OM ―→|的取值范围是( )A .[0,3)B .(0,22)C .[22,3)D .(0,4]解析:选B 如图,延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→=0,∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F1PF 2的平分线,∴|PF 1|=|PG |,且M 为F 1G 的中点.∵O 为F 1F 2中点,∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |=||PF 2|-|PG ||=||PF 1|-|PF 2||, ∴|OM ―→|=12|2a -2|PF 2||=|4-|PF 2||.∵4-22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4+22, ∴|OM ―→|∈(0,22).6.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ,B 两点,且|AB |=3,则椭圆C 的标准方程为________.解析:由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上,且c =1,可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2a 2-1=1(a>1),由|AB |=3,知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32在椭圆上,代入椭圆方程得4a 4-17a 2+4=0,所以a 2=4或a 2=14(舍去).故椭圆C 的标准方程为x 24+y23=1.答案:x 24+y 23=17.已知焦点在x 轴上的椭圆C :x 2a2+y 2=1(a >0),过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ,B 两点,且|AB |=1,则该椭圆的离心率为________.解析:因为椭圆x 2a 2+y 2=1(a >0)的焦点在x 轴上,所以c =a 2-1,又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x =c ,将其代入椭圆方程中,得c 2a2+y 2=1,则y =±1-c 2a2,又|AB |=1,所以21-c 2a 2=1,得c 2a 2=34,所以该椭圆的离心率e =c a =32. 答案:328.已知P (1,1)为椭圆x 24+y 22=1内一定点,经过P 引一条弦,使此弦被P 点平分,则此弦所在的直线方程为________.解析:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k , 弦的端点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 214+y 212=1 ①,x 224+y 222=1 ②, ①-②得x 1+x 2x 1-x 24+y 1+y 2y 1-y 22=0,∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,∴x 1-x 22+y 1-y 2=0,∴k =y 1-y 2x 1-x 2=-12. ∴此弦所在的直线方程为y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0. 答案:x +2y -3=09.(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 2a 2+y 2=1(a >1,a ∈R)上,过O 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,F 为椭圆C 的左焦点.(1)若△FAB 的面积的最大值为1,求a 的值;(2)若直线MA ,MB 的斜率乘积等于-13,求椭圆C 的离心率.解:(1)因为S △FAB =12|OF |·|y A -y B |≤|OF |=a 2-1=1,所以a = 2.(2)由题意可设A (x 0,y 0),B (-x 0,-y 0),M (x ,y ),则x 2a 2+y 2=1,x 20a2+y 20=1,k MA ·k MB =y -y 0x -x 0·y +y 0x +x 0=y 2-y 20x 2-x 20=1-x 2a 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 20a 2x 2-x 20=-1a 2x 2-x 20x 2-x 20=-1a 2=-13,所以a 2=3,所以a =3,所以c =a 2-b 2=2, 所以椭圆C 的离心率e =ca=23=63. 10.(2019·成都一诊)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (3,0),长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程;(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ,N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上,求直线l 的方程.解:(1)由题可知c =3,a b=2,a 2=b 2+c 2, ∴a =2,b =1.∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时,不合题意.当直线l 的斜率存在且不为0时,设直线l 的方程为x =my +1,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧x =my +1,x 2+4y 2=4消去x ,可得(4+m 2)y 2+2my -3=0.Δ=16m 2+48>0,y 1+y 2=-2m 4+m 2,y 1y 2=-34+m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上, ∴BM ―→·BN ―→=0.∵BM ―→·BN ―→=(my 1+1,y 1-1)·(my 2+1,y 2-1)=(m 2+1)y 1y 2+(m -1)(y 1+y 2)+2=0, ∴(m 2+1)·-34+m 2+(m -1)·-2m 4+m 2+2=0,整理,得3m 2-2m -5=0,解得m =-1或m =53.∴直线l 的方程为x +y -1=0或3x -5y -3=0.B 级——创高分自选1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为12,点A 在椭圆C 上,|AF 1|=2,∠F 1AF 2=60°,过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,N 为线段P Q 的中点.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18,且MN ⊥P Q ,求线段MN 所在的直线方程. 解:(1)由e =12,得a =2c ,易知|AF 1|=2,|AF 2|=2a -2,由余弦定理,得|AF 1|2+|AF 2|2-2|AF 1|·|AF 2|cos A =|F 1F 2|2, 即4+(2a -2)2-2×2×(2a -2)×12=a 2,解得a =2,则c =1, ∴b 2=a 2-c 2=3,∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为y =k (x -1),P (x 1,y 1),Q(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y =k x -,x 24+y23=1,整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2k =-6k3+4k2,∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23+4k 2,-3k 3+4k 2.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,18,则k MN =18+3k3+4k 20-4k 23+4k2=-24k +3+4k 232k 2. ∵MN ⊥P Q ,∴k MN =-1k ,得k =12或32,则k MN =-2或k MN =-23,故直线MN 的方程为16x +8y -1=0或16x +24y -3=0.2.(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中,长为2+1的线段的两端点C ,D 分别在x 轴,y 轴上滑动,CP ―→= 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ,B 两点,OM ―→=OA ―→+OB ―→,当点M 在曲线E 上时,求直线l 的方程.解:(1)设C (m,0),D (0,n ),P (x ,y ).由CP ―→= 2 PD ―→,得(x -m ,y )=2(-x ,n -y ),所以⎩⎨⎧x -m =-2x ,y =2n -y ,得⎩⎨⎧m =2+1x ,n =2+12y ,由|CD ―→|=2+1,得m 2+n 2=(2+1)2, 所以(2+1)2x 2+2+22y 2=(2+1)2, 整理,得曲线E 的方程为x 2+y 22=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由OM ―→=OA ―→+OB ―→,知点M 的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2). 易知直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =kx +1,代入曲线E 的方程,得(k 2+2)x 2+2kx -1=0,则x 1+x 2=-2kk 2+2, 所以y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2.由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+y1+y222=1,即4k2k2+2+8k2+2=1,解得k2=2,即k=±2,此时直线l的方程为y=±2x+1.。

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解:将y=x+m代入 整理得5x2+2mx+m2-16=0
4m 2 20 (m 2 16 ) 16 m 2 16 20 16 (m 2 20 )
当Δ 0时, 即 2 5 m 2 5 时, 直线与椭圆相交
当Δ 0时,
即m 2 5 时,直线与椭圆相切
思考:
x2 y2 试确定实数 m 的取值范围 , 使得椭圆 1 4 3 上存在关于直线 y 2 x m 对称的点.
1 分析:存在直线y x b与椭圆交与两点, 2 且两交点的中点在直线y 2 x m上。
解 : 假设椭圆上存在关于直线y 2 x m对称的两点A, B
ex:中心在原点,一个焦点为 F (0,5 2 )的椭圆截直线 y 3x 2 所得弦的中点横坐标为 1 ,求椭圆的 2 方程.
直线与椭圆的位置关系(3)
x y ex1.已知F1 , F2是椭圆 1的左, 右焦点, k 2 k 1 1 弦AB过点F1,若ABF2的周长是8,求e.
的最大距离
直线与椭圆的位置关系(2)
二、弦长问题
设 因
A(x1,y1) B(x2,y2) 直线 l
的方程:y kx b
A(x1,y1)
A(x1,y1), B(x2,y2) 在直线
y1 kx1 b
l 上 y2 kx2 b
y1 y2 (kx1 b) (kx2 b)
直线与椭圆的位置关系(1)
忆一忆知识要点
1. 椭圆的定义: ① PF 1 PF 2 2a F 1 F 2 方程为椭圆;
② PF 1 PF 2 2a F 1 F 2 无轨迹;
③ PF 1 PF 2 2a F 1 F 2
B2 A1 F1 o B1
y
线段F1F2 .
P F2 A2 x
2
2
分析: 解:
设直线m平行于l, 则lm 可写成: 4x 5 y k 0
l m
.
P
o
x
思考:
2
x 2 已知椭圆 y 1上点P( x, y ), 求x 2 y的最值 2
小 结: 1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件: 当Δ=0时,直线与椭圆相切; 当Δ>0时,直线与椭圆相交; 当Δ<0时,直线与椭圆相离。 思考:如何判断点和椭圆的位置关系?
2
2
4 5 尝试遇到困难怎么办?
2 2
d
4 x0 5 y0 40
4 xLeabharlann 5 y0 40 41l

m
x0 2 25

y0 2 9
m
1
作出直线 m 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
.
P
x y 1 ,直线 4 x 5 y 40 0 ,椭圆 例 2.已知椭圆 25 9 上是否存在一点 , 到直线 l 的距离最小 ? 最小距离是多 少? y
x2 y2 6 例3.已知椭圆 2 2 1(a b 0)的离心率e , a b 3 3 过点A(0, b), B(a,0)的直线与原点的距离为 。 2 ( 1)求椭圆的方程 椭圆交于CD两点,问:是否存在 k的值,使以 CD为直径的圆过E点?请说明理由。
(2)已知定点E (1,0), 若直线y kx 2(k 0)与
一、
直线与椭圆的位置关系的判断
2 2
ex1.判断直线y=x+1与椭圆 4 x y 16 的位置关系?
x y 2、y=kx+1与椭圆 1 恰有公共点,则m的 5 m 范围( C )
A、(0,1) B、(0,5 ) C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ ) D、(1,+ ∞ )
2
2
例1:当m取何值时直线y=x+m与椭圆 4 x2 y 2 16 相交,相切,相离?
(3)椭圆的标准参数方程
x a cos [0, 2 ) y b sin
3. 两种类型椭圆的标准方程的比较 定义 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 |MF1| + |MF2| = 2a ( a >c )
x y 1(a b 0) a 2 b2
2 2
y M
F1
o
F2
x
x2 y2 变式. 设M点是椭圆 a 2 b 2 1上一点, F1、F2为
椭圆的左右焦点,如果∠MF1F2=600, ∠MF2F1=300, 求此椭圆的离心率
例.已知椭圆的焦点 F1 (3,0), F2 (3,0) , 且和直线
x y 9 0有公共点,求其中长轴最短的椭圆方程
是椭圆的焦点,∠F1PF2=θ ,则
A1 F1
y
B2 o B1
P F2 A2 x
( S△PF1F2 )max bc.
(3)当P为短轴端点时,∠F1PF2为最大.
(4)椭圆上的点A1距F1最近,A2距F1最远.
a c ≤| PF |≤ a c.
5. 几个重要结论: (5)过焦点的弦中,以垂直于长轴的弦为最短.
2
2
三、中点弦问题
例2:在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且 被这一点平分的弦所在的直线方程.
法1:联立直线与椭圆, 利用韦达定理建立k的方 程
y2 -4 M(2,1) 4
0
x
法2:点差法(将两个点代 -2 2 2 入椭圆再相减) x y 1 练 . 椭圆 例 1. 1, 设直线y x 1与椭圆交于 直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求 16 4 2 的思想方法. A、B两点,求线段AB的中点坐标。
2 2
x y ex4.已知椭圆 2 2 1(a b 0), F1,F2分别 a b 是它的左,右焦点,如 果在椭圆上存在一点
2 (0, ) 2
1 M ( x0 , y0 ),使得F1MF2 ,求e的范围。 [ , 1 ) 3 2

5. 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆 于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点 恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率 _________ 3 1
x 2 作业:1、已知椭圆 y 1 4
2
(1)当m为何值时,直线 l : y x m 与椭圆相交、相切、 相离? (2)直线 l : y x m 过椭圆的右焦点,交椭圆于A、B 两点,求弦AB的长。
x2 y2 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 2.求椭圆 16 4
x y ex2.已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左焦点为F , a b 右顶点为A, 点B在椭圆上,且 BF x轴,直线AB 交y轴于点P, 若 AP 2 PB, 求e
2 2
2
2
2
1 2
ex3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满 足 MF1.MF2 0的点M总在椭圆的内部,求 e的 范围。
1 则AB两点的直线可设为:y x b 2
1 y xb 2 由 2 2 x y 1 3 4
消y得 : x2 bx b2 3 0
2 b 2
b2 4(b2 3) 3b2 12 0 设两对称点A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
| CD | 2b a
2
y
(6)椭圆的准线
A1
C
F1
B2 o B1
P ( x0 , F2
y0 )
A2 x
D
直线与椭圆的位置关系
• 围绕直线与椭圆的公共点展开的,将直线方程与 椭圆方程组成方程组,消元后得到一个一元二次 方程, • 当Δ=0时,直线与椭圆相切; • 当Δ>0时,直线与椭圆相交; • 当Δ<0时,直线与椭圆相离。
x1 x2 b
1 3 y1 y2 ( x1 x2 ) 2b b 2 2 b 3b AB中点( , )在直线y 2 x m上 2 4 3b b b 4 m 2 m 4 2 1 1 m 2 4m 2 2 2
e c a
(b, 0), (-b, 0), (0, a), (0, -a) (0, c),(0, -c,) 半长轴长为a, 半短轴长为b.
e c a
b 1 e2 a
5. 几个重要结论: 2 2 y 设P是椭圆 x2 2 1 a b 0 上的点,F1,F2
a b
(1) S△ PF1F2 b2 tan . 2 (2) 当P为短轴端点时,
例4、如图,已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 于A、B两点, 斜率是 2 ,试求a、b的值。 2 y ax 2 by 2 1 2 消y得:(a b) x 2bx b 1 0 解: A x y 1 0
x y 1(a b 0) a 2 b2
2 2
2 y x 1(a b 0) 2 2 b a 2
|x|≤ a, |y|≤ b
|x|≤ b, |y|≤ a
关于x轴、y轴成轴对称;关于x轴、y轴成轴对称; 关于原点成中心对称 关于原点成中心对称
(a, 0), (-a, 0), (0, b), (0, -b) (c,0),(-c,0) 半长轴长为a, 半短轴长为b.
通 法
1 1 2 y1 y2 k
设而不求
练习1.已知直线y=x-
1 2
与椭圆x2+4y2=2 ,判断它们的位
置关系?若相交,求所得的弦长是多少,交点坐标?
解:联立方程组
因为
1 y x 2
消去y
x2+4y2=2
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