高中函数对称性总结
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
有关函数对称性的几个重要结论
有关函数对称性的几个重要结论函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一函数自身的对称性［重要结论1］函数y＝f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）＋f（2a－x）＝2b。
证明：（必要性）设点 P（x，y）是 y＝f（x）图像上任一点，∵点 P（x，y）关于点 A（a，b）的对称点P’（2a－x，2b－y）也在 y＝f（x）图像上，∴ 2b－y＝f（2a－x）。
即 y＋f（2a－x）＝2b，故 f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得证。
（充分性）设点 P（x0，y0）是 y＝f（x）图像上任一点，则 y0＝f（x0）。
∵f（x）＋f（2a－x）＝2b，∴f（x0）＋f（2a－x0）＝2b，即 2b－y0＝f（2a－x0）。
故点P’（2a－x0，2b－y0）也在 y＝f（x）图像上，而点 P与点P’关于点 A（a，b）对称，充分性得征。
推论 1：函数 y＝f（x）的图像关于原点 O对称的充要条件是 f（x）＋f（－x）＝0。
［重要结论 2］函数 y＝f（x）的图像关于直线 x＝a对称的充要条件是：f（a＋x）＝f（a－x），即 f（x）＝f（2a－x）（证明同上）推论 2：函数 y＝f（x）的图像关于 y轴对称的充要条件是 f（x）＝f（－x）［重要结论 3］（1）若函数 y＝f（x）图像同时关于点 A（a， c）和点 B（b，c）成中心对称（a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。
（2）若函数 y＝f（x）图像同时关于直线 x＝a和直线 x＝b成轴对称（a≠b），则 y＝f（x）是周期函数，且 2|a－b|是其一个周期。
高考专题 函数对称性
函数对称性一知识点精讲：I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-，00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数的图象上，从而函数的图象关于直线a b +对称.推论1推论2推论32、f (证明对称点为(Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数00000∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，在各个领域都有广泛应用。
理解和应用函数对称性有助于我们更好地理解和解决数学问题。
本文将对函数对称性的概念、性质和应用进行总结。
函数对称性的概念：在数学中，函数对称性是指函数具有某种变换性质，使得在一定的条件下，函数在变换前后保持不变。
具体来说，如果对于定义域上的任意一个元素x，都存在一个元素y，使得对称变换后的x，会得到y，在函数对称变换之后，函数的图像也会发生相应的变化。
函数对称性可以分为轴对称、中心对称和周期对称等。
1.轴对称：一个函数在平面上如果具有轴对称性，比如存在一个轴使得对称变换后的图像与变换前的图像完全重合，那么这个函数就是轴对称函数。
轴对称函数的图像具有左右对称的特点。
比如，y = x^2 就是一个轴对称函数，其图像关于y轴对称。
2.中心对称：一个函数在平面上如果具有中心对称性，比如存在一个点使得对称变换后的图像与变换前的图像完全重合，那么这个函数就是中心对称函数。
中心对称函数的图像具有上下左右对称的特点。
比如，y = sin(x) 就是一个中心对称函数，其图像关于原点对称。
3.周期对称：一个函数如果具有周期对称性，那么在一定的周期内，函数的变换可以形成循环。
即，在给定的周期内，函数的某个值与另一个值相等。
周期对称函数的图像在周期内具有相似的形状和变化趋势。
比如，y = sin(x) 就是一个周期对称函数，其周期为2π。
函数对称性的性质：1.对称轴或对称中心是函数对称性的重要特征。
通过找到函数的对称轴或对称中心，可以更好地理解函数的变化规律和性质。
2.函数对称性能够简化函数的分析和计算过程。
根据函数对称性的特点，我们可以通过分析对称图形的一部分，推断出对称图形的其他部分；通过对称性可以简化函数的复杂性，并提供更方便的计算方法。
3.函数对称性能够提供问题求解的启示。
函数对称性在实际问题中具有重要的应用价值，比如建筑设计中的对称线、电路中的交流信号分析等。
高一数学《函数的对称性》知识点总结
高一数学《函数的对称性》知识点总结高一数学《函数的对称性》知识点总结一、函数自身的对称性探究定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a－x)=2b证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。
推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0 定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)定理 3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2a－b是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：f(2b－x)+f2a－(2b－x)]=2c………………（*）又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：f(x)=2c－f2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f2(a－b)+x]=2c－f4(a－b)+x]代入（**）得：f(x)=f4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4a－b是其一个周期。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
知识点：函数的对称性总结
知识点：函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上， 2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵ f (x) + f (2a－x) =2bf (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
高中函数对称性的总结
高中函数对称性的总结
什么是函数的对称性？对称可以被定义为当某一对象被某种对
称变换（包括旋转，移动等）后，依然能够得到完全相同的对象。
函数的对称性指的是在函数的几何图像上，经过某种变换，图形的形状仍然不变。
在函数的对称性中，常见的有偶函数和奇函数。
偶函数是指函数图形以y轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过水平翻转得到的图形与原函数图形完全相同。
而奇函数是指函数图形以极点为中心对称，也就是说，把函数图形经过垂直翻转得到的图形与原函数图形完全相同。
此外，在函数的对称性中，还有可以定义为函数的X轴对称性和Y轴对称性。
X轴对称性是指函数图形以X轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过垂直翻转得到的图形与原函数图形完全相同。
而Y轴对称性是指函数图形以Y轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过水平翻转得到的图形与原函数图形完全相同。
除了以上这些，我们还可以从参数的角度来看函数的对称性，有时候我们会将函数的参数的取值范围改变，会发现函数的图形也会发生变化，比如函数形如y=f(x+a)的参数a的取值变化，会使得函数的图形发生水平移动的变化，当a的取值为负值时，可以使得函数的图形整体向左移动，当a的取值为正值时，可以使得函数图形整体向右移动。
综上所述，高中函数对称性主要有偶函数，奇函数，X轴对称函
数，Y轴对称函数，以及参数变换引起的函数对称性等。
这些函数的对称性都是高中函数的有趣的特点，并且这些特性也可以帮助我们更好地理解函数，从而更好地解决函数相关的数学问题。
函数对称的知识点总结
函数对称的知识点总结函数对称是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和分析等各个领域都有着重要的应用。
函数对称可以由函数的图像、函数表达式和函数的性质来描述。
在本文中，我们将探讨函数对称的各种类型和性质，并且将介绍函数对称在各种数学问题中的应用。
一、基本概念1.1 函数的对称性在数学中，函数的对称性是指函数图像相对于某个直线或者点的对称性质。
常见的对称性包括关于x轴的对称、关于y轴的对称、关于原点的对称以及关于直线y=x的对称等。
1.2 函数的图像和对称性根据函数的图像可以很直观地判断函数的对称性。
例如，当函数的图像关于y轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=f(-x)；当函数的图像关于x轴对称时，函数的表达式一般可以表示为f(x)=-f(-x)；当函数的图像关于原点对称时，函数的表达式一般可以表示为f(-x)=-f(x)。
1.3 函数的性质和对称性函数的对称性也可以由函数的性质来判断。
例如，奇函数具有关于原点对称的性质，即f(-x)=-f(x)；偶函数具有关于y轴对称的性质，即f(-x)=f(x)。
二、函数的对称类型2.1 奇函数奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
奇函数的图像关于原点对称。
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数、和函数等。
2.2 偶函数偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
常见的偶函数包括幂函数、指数函数、对数函数等。
2.3 周期函数周期函数是指函数f(x)满足f(x+T)=f(x)，其中T为正常数。
周期函数的图像在某个区间上有重复的规律。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、三角函数等。
2.4 对称关于y轴的函数函数关于y轴对称的性质是指f(x)=f(-x)。
常见的对称关于y轴的函数包括二次函数、幂函数、指数函数等。
2.5 对称关于x轴的函数函数关于x轴对称的性质是指f(x)=-f(-x)。
常见的对称关于x轴的函数包括一次函数、双曲函数、指数函数等。
函数的对称性
函数的对称性知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②2、; ;轴对称;|ln |y x =。
1、（1）轴对称①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ⇔)()(x a f x a f -=+ ⇔)2()(x a f x f -=②)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.（2）中心对称①)(x f y =的图象关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-。
②c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称.相邻对 x x =)有等根，则)(x f ＝ ．例2.（★★）已知函数)(x f 对一切实数x 满足条件)3()1(x f x f +=-，已知2≥x 时，x x x f -=2)(， 求2<x 时)(x f 的解析式. 巩固练习（自对称）1.（★★）已知函数()f x 定义域为R ，且对于任意实数x 满足(2)(6)f x f x -=-，当02x ≤≤时，2()235f x x x x =++++，则(1)(3)f f = .2. （★★）设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 （ ）3. （★★）设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，已知[]2,2-∈x 时，1)(2+-=x x f ，求[]2,6--∈x 时，)(x f 的解析式.例3. （★★）已知函数xy e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()xf x e x R =∈ B ． )0(ln 2ln )2(>⋅=x x x f C ．()22()xf x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> 例4. （★★）已知函数2()3f x x x =++，函数()g x 与()f x 的图像关于轴03x =对称，求函数()g x 在区间[]34，上的最值. 巩固练习1.（★★）若函数)(x g y =图像与函数)1()1(2≤-=x x y 的图像关于直线x y =对称，则(4)g =＿；2.在同一直角坐标系中，函数()y g x =的图像与x y e =的图像关于直线y x =对称，而函数()y f x =的图像与()y g x =的图像关于y 轴对称，若()1f a =-，则a 的值是（ ）A ．e -；B ．1e-； C ．1e ； D ．e ． 3.若函数)(x f 的图像与对数函数x y 4log =的图像关于直线0=+y x 对称，则)(x f 的解析式为4.（★★）函数()101x y a a =+<<的反函数的图象大致是（A ） （B ） （C ） （D ）关于点对称例5.（★★）已知函数()y f x =满足：(2)()4f x f x -+=，则函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(1,1)M 对称B ．关于点(0,1)M 对称C ．关于点(1,0)M 对称D ．关于点(1,2)M 对称例6.（★★）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a ay 的图像关于点)2,1(A 对称．求函数)(x f 的解析式．练习1.（★★★）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．7B ．3C ．4D ．52. （★★）已知函数f(x)＝a x a x -+-1的反函数的图象的对称中心是 (1，21)，则函数g(x)＝)2(log 2x x a -的单调递增区间是 ； 函数对称性与周期性的联系21，则x 21-=，1. 函数(1)y f x =-与函数()1y f x =-的图象关于关于__________对称。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
高中--函数的对称性
函数的对称性一．函数的轴对称定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2b a x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二．函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.三.函数周期性的一些结论：结论1：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-推论：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =结论2：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-推论：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =结论3：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =-推论：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a=1.设函数的定义域为R ，且满足，则的图象关于__________对称。
(完整版)对称性和周期性性质总结
函数の对称性和周期性一、几个重要の结论（一）函数图象本身の对称性（自身对称）1、函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
2、函数 )(x f y =满足 )2()(x T f x f -=（T 为常数）の充要条件是 )(x f y =の图象关于直线 T x =对称。
3、函数 )(x f y =满足 )()(x b f x a f -=+の充要条件是 )(x f y =图象关于直线 22)()(b a x b x a x +=-++=对称。
特殊地，如果a=0,b=0,则其关于x=0即关于y 轴对称，此时)()(x b f x a f -=+变为f(x)=f(-x),其实就是偶函数。
4、如果函数 )(x f y =满足 )()(11x T f x T f -=+且 )()(22x T f x T f -=+，（ 1T 和 2T 是不相等の常数），则 )(x f y =是以为 )(212T T -为周期の周期函数。
5、如果偶函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以2T 为周期の周期性函数。
6、如果奇函数 )(x f y =满足 )()(x T f x T f -=+（ 0≠T ），则函数 )(x f y =是以4T 为周期の周期性函数。
我当初の总结是：函数对称包涵两种：一是点对称，而是线对称，比如偶函数属于线对称，奇函数属于点对称，奇偶函数对称都是关于0.即偶函数关于x=0对称，奇函数关于（0,0）对称。
那么如果一个函数是双重对称，那么该函数就是周期函数，那么什么叫多重对称呢？且看下面列子你就明白了：1， 若函数关于两条线x=a 和x=b 对称（这就叫双重对称），那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
2， 若函数关于两个点（a,0）和（b,0）(注都是x 轴上の点)，那么该函数一定是周期函数，且周期为2|b-a|。
函数的对称性总结
函数的对称性总结函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。
函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。
本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数自身的对称性探究定理1.函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b。
（“若f (x) + f (2a－x) = 2b，则函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称”命题正确，且“若数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称，则f (x) + f (2a－x) = 2b成立”逆命题也正确，则称“函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b”。
）证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。
故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
推论：函数y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0定理2. 函数y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 。
函数对称性知识点梳理总结
函数对称性知识点梳理总结一、轴对称轴对称是最常见的一种函数对称性，它指的是函数图象关于某一条直线对称。
这条直线称为对称轴，通常用方程 x=a 来表示。
如果函数 f(x) 满足 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 轴对称。
对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,y) = f(a-x,y)，那么 f(x,y) 关于直线 x=a 对称；如果 f(x,a+y) = f(x,a-y)，那么 f(x,y) 关于直线 y=a 对称。
轴对称性在几何学中有着广泛的应用，许多平面图形都具有轴对称性，比如圆形、椭圆形等。
函数的轴对称性也有很多实际的应用，比如在电路分析中，对称性可以帮助简化复杂的电路分析问题。
另外，在数学建模和图像处理领域，轴对称性也经常被用来简化问题求解。
二、中心对称中心对称是指函数图象关于某一点对称，这一点称为中心。
对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 点对称。
对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,b+y) = f(a-x,b-y)，那么 f(x,y) 关于点 (a,b) 对称。
中心对称性在几何学中也有很多重要应用，比如圆形就是一个非常常见的中心对称图形。
在实际应用中，中心对称性也经常被用来简化问题求解，比如在物理学和工程学中，很多问题都具有中心对称性，通过利用中心对称性可以大大简化问题求解的复杂度。
三、旋转对称旋转对称是指函数图象关于某一点旋转一定角度后，与原图象完全重合。
对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(x-a)，那么 f(x) 关于点 x=a 有旋转对称性。
对于二元函数 f(x,y)，如果f(a+x,a+y) = f(x-a,y-a)，那么 f(x,y) 关于点 (a,a) 有旋转对称性。
旋转对称性在几何学中有着重要的应用，很多图形都具有旋转对称性，比如正方形、菱形等。
在实际应用中，旋转对称性通常被用来简化问题求解，比如在工程学和建筑学领域，很多结构都具有旋转对称性，通过利用旋转对称性可以简化结构分析和设计的复杂性。
高中数学对称知识点总结
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。
⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。
⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
高中数学总复习 函数的对称性
因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1).
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
对任意x∈R恒成立，则
√A.f(－1)<f(3)
C.f(－1)＝f(3)
B.f(0)>f(3) D.f(0)＝f(3)
因为f(x＋2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)， 由于f(x)在(－∞，2)上单调递增， 所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3).
思维升华
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝ f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 a＋2 b，2c 成中心对称.
跟踪训练2 (1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上 单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实 数x的取值范围是 A.(－1,2) B.(－∞，－1)∪(2，＋∞) C.(－2,1)
对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以 f(x－1)＝－f(－x－1)，
所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得 到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x －1)＋1过定点(1,2)，C正确； 对于 D，函数 y＝xx－－1b＝x－bx－＋bb－1＝1＋bx－－b1的图象关于点(3，c) 中心对称，
函数的对称性
函数的对称性一、有关对称性的常用结论（一）函数图象自身的对称关系1、轴对称(1))(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称；(2) 函数)(x f y =图象关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+⇔()(2)f x f a x =-⇔()(2)f x f a x -=+；（3）若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称。
2、中心对称（1）)(x f -=－)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点对称；.（2）函数)(x f y =图象关于(,0)a 对称⇔)()(x a f x a f --=+⇔()(2)f x f a x =-- ⇔)2()(x a f x f +=-；（3）函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称⇔b x a f x a f 2)()(=++-⇔b x f x a f 2)()2(=+-（4）若函数)(x f y = 定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2,2(c b a + 对称。
（二）两个函数图象之间的对称关系 1.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2a b x -=对称。
推论1：函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线0=x 对称。
推论2：函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
2.若函数)(x f y =定义域为R ，则两函数)(x a f y +=与)(x b f c y --=的图象关于点)2,2(c a b -对称。
推论：函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(a b -对称。
函数对称知识点高中总结
函数对称知识点高中总结一、函数对称的定义1. 函数对称轴函数对称轴是指当函数关于某个直线对称时，这条直线就是函数的对称轴。
对称轴可以是x轴、y轴，也可以是直线y=x或y=-x等。
2. 函数对称关系当函数关于某个直线对称时，函数图象在这条直线上的对应点互相关于对称轴对称。
具体地说，设函数为y=f(x)，对称轴为直线x=a，若对于任意点(x,y)，都有a-x对称点也在函数图象上，即有f(a-x)=f(x)。
3. 偶函数若函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即对于任意x，有f(x)=f(-x)，则称f(x)为偶函数。
偶函数的图象关于y轴对称。
4. 奇函数若函数f(x)满足f(x)=-f(-x)，即对于任意x，有f(x)=-f(-x)，则称f(x)为奇函数。
奇函数的图象关于原点对称。
二、函数对称的性质1. 对称关系的性质（1）关于y轴对称的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，即f(x)为偶函数；（2）关于原点对称的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数。
2. 函数对称轴的性质（1）当函数对称于y轴时，其对称轴为y轴，表现为f(x)=f(-x)；（2）当函数对称于x轴时，其对称轴为x轴，表现为f(x)=-f(-x)；（3）当函数对称于直线y=x时，其对称轴为y=x，表现为f(y)=f(x)；（4）当函数对称于直线y=-x时，其对称轴为y=-x，表现为f(-y)=f(-x)。
3. 对称函数的图象（1）偶函数的图象关于y轴对称；（2）奇函数的图象关于原点对称。
三、函数对称的分类1. 偶函数与奇函数（1）偶函数：满足f(x)=f(-x)的函数称为偶函数。
例如，y=x^2、y=cosx等都是偶函数。
（2）奇函数：满足f(x)=-f(-x)的函数称为奇函数。
例如，y=x^3、y=sinx等都是奇函数。
2. 关于坐标轴的对称函数（1）关于y轴对称：函数图象关于y轴对称，即f(x)=f(-x)的函数。
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高中函数对称性总结新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。
所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。
⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。
⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。
但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴，例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5)，我在教学时总是问学生：你可看见过老师将“√”两边画得一样齐？学生们立刻明白并记忆深刻。
⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。
前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。
二、函数的对称性猜测1、具体函数特殊的对称性猜测①一个函数一般是不会关于x轴的这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。
但我们在此略微引申，一个曲线是可能关于x轴对称的。
例1判断曲线y^2=4x的对称性。
②函数关于y轴对称例2判断函数y=cos(sin(x))的对称性。
③函数关于原点对称例3判断函数y=（x^3）×sinx的对称性。
④函数关于y=x对称例4判断函数y=1/x的对称性。
⑤函数关于y=-x对称例5判断函数y=-4/x的对称性。
我总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，如果（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；如果（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；如果（y,x）也在图像上，则该曲线关于y=x对称；如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。
2、抽象函数的对称性猜测①轴对称例6如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。
（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间2.5，从而该函数关于x=2.5对称）例7如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。
（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称）例8如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。
（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）②中心对称例9如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。
（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）例10如果函数y=f(x)满足f(-x)+f(x)=0，求该函数的所有对称中心。
（按上例一样的方法可以猜出对称中心为（0，0），可见奇函数是特殊的中心对称）例11如果f(x)为奇函数，并且f(x+1)+f(x+3)=0，求该函数的所有对称中心和对称轴。
（由周期性定义知周期为4，又f(x+1)=-f(x+3)，从而f(x+1)=f(-x-3)，按上例知x=-1为对称轴，所以x=-1+2n为对称轴，（2k，0）为对称中心，其中k∈Z）我总结为：①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主记结论，因为很容易与后面的结论相混淆。
②而当x前面的符号相同时告诉我们的是周期性。
例如f(x+1)=f(x-5)是告诉我们它以6为周期。
③当x前面的符号相同，同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性，因为奇偶性有制造负号的能力。
3、两个抽象函数之间的对称性猜测例12求y=f(x+2)与y=f(1-x)的对称轴方程。
（当第一个函数的x取0时，值为f(2),这时第二个函数的x必须取-1才也对应那么多，他们的正中间为-1.5，因而猜测对称轴为x=-1.5）我总结为：①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性，其中的对称为多少我们仍然可以用特殊值代入来猜测,这里仍然不主记结论，因为很容易与前面的结论相混淆。
②而当x前面的符号相同时告诉我们的是图像平移。
例如y=f(x+2)与y=f(x-1)，前者是由后者向左移三个单位得到。
三、对称性的证明如果在解答大题时仅仅猜测出结论是不够的，我们要辅以完整的证明才行。
1、一个函数的对称性证明例13证明如果函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则该函数关于直线x=(a+b)/2对称。
证明：在y=f(x)上任取点（m，n），则n=f(m)，而点（m，n）关于x=(a+b)/2的对称点为（a+b-m，n）,又因为f（a+b-m）=f（a+（b-m））=f（b-（b-m））=f（m）=n,这正表明（a+b-m，n）也在原函数图像上，从而原函数关于直线x=(a+b)/2对称。
我总结为：核心是间接法，即在函数上任取一点，对称点如果仍在函数图像上，我们就可以下结论该函数关于它对称。
2、两个函数之间的对称性的证明例14证明函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)关于直线x=(b-a)/2对称。
（注意不是(a-b）/2,证明的方法类似于上例方法）我总结为：仍是间接法，但是多一次，需在函数上任取一点，对称点如果在对方函数图像上，同时在对方函数上任取一点，对称点又在该函数图像上，我们才可以下结论该函数关于它对称。
取两次的原因是以免两个图像一个只是另一个对称过来图像的一部分。
3、特别地关于y=x对称性的证明例15证明y=（2x+1）/(3x-2)关于y=x对称。
（只需求出它的反函数是自己即可）我总结为：①一个函数自身关于y=x对称不需要用上面的间接法，只需要证明它的反函数是自己就可以了。
②两个函数关于y=x对称性证明也不需要用上面那么繁琐的方法，只需证明两个函数互为反函数，即求一个的反函数为另外一个就可以了。
③反过来这句话也成立，如果需要证明两个函数互为反函数，只需要证明它们的图像关于y=x对称即可。
四、对称性的运用1、求值例16已知f（x）=4^x/(4^x+1),求f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)的值。
（我们只需要考虑当两个自变量加起来为0时函数值的和是否为定值，验证果然。
而这里显然隐含的是函数的对称性）我总结为：“配对”，对称性主要是考查一对函数值之间的关系。
2、“对称性+对称性”可以推导出周期性例17如果函数y=f(x)满足f(x+3)=f(2-x)和f(4+x)=f(5-x)，求该函数的最小正周期。
（因为f(x+3)=f(2-x)=f(4+(-2-x))=f(5-(-2-x))=f(7+x)所以周期为4）我总结为：两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号，从而得出周期性。
3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性这在前面已经提到，还是因为奇偶性有制造负号的能力。
4、三角函数的奇偶性例18如果函数y=3sin(2x+θ+π/4)（其中0<θ<π）是奇函数，求θ的值。
(2x+θ+π/4=kπ,而x=0，所以θ+π/4=kπ，在要求的围上只有θ=3π/4)我总结为：几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用，先求出所有的对称轴，然后y轴是其中的一条（或者先求出所有的对称中心，然后原点是其中的一个）。
5、关于y=x对称的应用例19求函数f(x)=e^(x+1)与函数g(x)=ln(x+1)的对称轴方程。
（因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数，关于y=x 对称，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到，因而对称轴也跟着左移一个单位，即y=x+1）6、对称性的本义（既然关于x=π/4对称，则f(0)=f(π/2)例20如果y=asinx+bcosx关于x=π/4对称，求直线ax+by+3=0的直线的斜率。
代入求出a和b的关系即可）我总结为：对称性的本义就是关于对称中心（或对称轴）对称的两个自变量的函数值的紧密关系。
这就是我关于函数对称性的简单总结，难免挂一漏万，还请大家批评指正。
最后笔者建议新课标教材能类似于函数周期性，给对称性独立的一节，介绍它的概念和运用，同步练习上也给安排一节对它的独立的练习，这样教师在教学上就可以用适当引申的方法，而不是象现在这样，老师忙于查资料，学生忙于记笔记，耗时费力地试图尽可能系统而完整地补充。