初中数学知识点精讲精析平行线知识讲解

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初中数学知识点精讲精析两条直线的位置关系

第一节两条直线的位置关系要点精讲一、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种．1．平行线的定义：（1）如果在同一平面内的两条不相交的直线叫平行线．（2）平行线用“∥”来表示；强调要在同一平面内，若不在同一平面内的两条直线，又不平行，又不相交，叫异面直线；线段、射线的平行关系根据它所在的直线来决定，若它们所在的直线不相交，就平行，若所在的直线相交，就不平行．2．相交线的定义若两条直线只有一个公共点，我们称这两条线为相交线．三、特殊角余角和补角：两角之和为90°则两角互为余角，两角之和为180°则两角互为补角．等角的余角相等，等角的补角相等．对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角．两条直线相交，构成两对对顶角．互为对顶角的两个角相等．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．内错角：互相平行的两条直线直线，被第三条直线所截，如果两个角都在两条直线的四、两条直线互相垂直1．两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD 垂直于AB”）．2．垂线的性质：性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．3．点到直线的距离：过A点作l的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线l的距离．相关链接经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中非常重要的一部分．典型分析1．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是________．【答案】4【解析】由三角形全等或角平分线性质定理易得D 到AB 的距离就是D 到AB 的距离CD ．中考案例1. （2012重庆市4分）已知：如图，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 上，EF ∥AB ．若∠CEF=100°，则∠ABD 的度数为【】A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°【答案】B 。

中考数学复习资料专题5 平行线与三角形

初三数学总复习辅导资料5 平行线与三角形一、相关知识点复习：（一）平行线1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2. 判定：同位角相等，两直线平行。

内错角相等，两直线平行。

同旁内角相等，两直线平行。

垂直于同一直线的两直线平行。

3. 性质：(1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

(2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。

(3) 两直线平行，同位角相等。

两直线平行，内错角相等。

两直线平行，同旁内角互补。

（二）三角形4. 一般三角形的性质(1) 角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。

(2) 边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

(3) 边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。

(4)5. (1) 等腰三角形的特殊性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。

(2) 等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60°； ②等边三角形外心、内心合一。

(3) 直角三角形的特殊性质：①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（其逆命题也成立）； ④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

6. 三角形的面积一般三角形：S △ =21a h （ h 是a 边上的高）直角三角形：S △ = 21a b = 21c h （a 、b 是直角边，c 是斜边，h 是斜边上的高）等边三角形： S △ =43a 2（ a 是边长）等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。

初中数学平行线知识点

初中数学平行线知识点平行线是初中数学中的重要概念之一，它在几何学中具有广泛的应用。

通过学习平行线的相关知识，我们可以更好地理解和解决与平行线相关的问题。

本文将就初中数学中的平行线知识点进行详细介绍。

一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内，永不相交的两条直线。

简单地说，如果两条直线在同一个平面内，且不交于任何一点，我们就说这两条直线是平行线。

二、判定平行线的条件1. 同位角相等定理：如果两条平行线被一条横切线所截，那么同位角相等。

2. 内错角相等定理：如果两条平行线被一条横切线所截，那么内错角相等。

3. 首尾内角相等定理：如果两条平行线被一条横切线所截，那么首尾内角相等。

4. 平行线的性质：两条平行线分别与第三条平行线相交，那么这两个相交角相等。

5. 逆命题：如果两条线上的任意一对同位角或内错角或首尾内角相等，那么这两条线是平行线。

三、平行线的性质1. 平行线之间的距离始终相等，即两条平行线上的任意一对对应的线段之间的距离相等。

2. 平行线上的对应角相等，即两条平行线之间的任意一对对应角相等。

3. 平行线与横切线之间的夹角称为同位角。

同位角等于180度减去对应角。

4. 平行线与横切线之间的夹角称为内错角。

内错角相等。

5. 平行线与横切线之间的夹角称为首尾内角。

首尾内角相等。

四、平行线的应用1. 平行线的应用之一是在平面几何中的图形相似性判定中。

如果两个图形中的各对应边平行，则这两个图形是相似的。

2. 平行线的应用之二是在解决与直角三角形或等边三角形相关的问题时，可以通过构造平行线来辅助解题。

3. 平行线的应用之三是在解决与平移、旋转、缩放等几何变换相关的问题时，平行线起到了重要的作用。

五、实例分析例1：已知直线AB∥CD，角ABC=60度，求角CBD的大小。

解析：由于AB∥CD，所以∠ABC和∠CBD是同位角，因此∠CBD=∠ABC=60度。

例2：如图所示，AB∥DC，AD为横切线，∠BAC=40度，求∠CDA的大小。

中考数学考前知识点归纳：平行线

中考数学考前知识点归纳：平行线
2019中考数学考前知识点归纳：平行线
为了更有效地帮助学生梳理学过的知识，提高复习质量和效率，在2019中考中取得理想的成绩，下文为大家准备了2019中考数学考前知识点归纳：平行线。

1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。

2、平行线的判定：
(1)同位角相等，两直线平行。

(2)内错角相等，两直线平行。

(3)同旁内角互补两直线平行。

3、平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

(3)两直线平行，同旁内角互补。

说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。

4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_________________.
5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角_________________.。

初中数学知识归纳平行线与平行线的性质

初中数学知识归纳平行线与平行线的性质初中数学知识归纳：平行线与平行线的性质平行线是初中数学中重要的概念之一，它在几何学中具有广泛的应用。

平行线的性质也是我们在学习几何学中需要掌握的重要内容。

本文将对平行线及其性质进行归纳总结。

一、平行线的定义和判定1. 定义：平行线是在同一个平面上且不交叉的两条直线。

2. 判定：有三种常见的判定平行线的方法：a. 对应角相等法则：若两条直线被一条横线所截，且对应角相等，则这两条直线平行。

b. 同位角相等法则：若两条直线被两条平行线所截，同位角相等，则这两条直线平行。

c. 内错角相等法则：若两条直线被一条横线所截，内侧错角相等，则这两条直线平行。

二、平行线的性质1. 同位角性质：a. 同位角相等：当两条直线被一组平行线截断时，同位角相等。

b. 同位角互补：当一组平行线与一条横线相交时，同位角互为补角。

2. 内错角性质：a. 内错角互补：当两条平行线被一条横线所截，内侧错角互为补角。

3. 对应角性质：a. 对应角相等：当两条平行线被一条横线所截，对应角相等。

b. 对应角互补：当两条平行线被两条横线所截，对应角互为补角。

4. 平行线的传递性：若直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，则直线a与直线c平行。

这是因为平行关系具有传递性。

5. 平行线与垂直线的关系：若两条直线相互垂直，则它们互相平行。

6. 平行线与平面的关系：如果两条直线在同一个平面内且平行，则它们与该平面的任何直线都平行。

三、平行线的应用1. 平行线在平面图形中的应用：平行线的性质是解决平面图形中各种几何问题的基础。

通过利用平行线的性质，可以求解线段长度、角度大小等问题。

2. 平行线在实际生活中的应用：平行线除了在几何学中的应用外，在实际生活中也有很多应用。

例如，建筑工程中需要保证墙壁、地板等是平行的；道路规划中需要保持道路是平行的。

结论：初中数学中的平行线概念和性质是我们学习几何学的基础。

通过掌握平行线的定义和判定方法，以及其性质，可以运用它们解决各种几何问题。

平行线知识点+四大模型(基础资料)

平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系（用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。

七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳

七年级数学下《平行线的性质》知识点总结归纳一、平行线的性质1.同位角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的同位角相等。

2.内错角相等：两条平行线被一条横截线所截，形成的内错角相等。

3.同旁内角互补：两条平行线被一条横截线所截，形成的同旁内角互补，即角度和为180°。

二、性质的应用1.计算平行线的距离：利用平行线的性质，可以计算两条平行线之间的距离。

2.判断角度大小：利用平行线的性质，可以判断两条直线之间的角度大小。

3.解决实际问题：平行线的性质在实际生活中有广泛的应用，如建筑、机械制造等领域。

三、注意事项1.平行线的性质是在同一平面内，两条不相交的直线所具备的属性。

因此，确定两条线是否平行，首先需要确定它们是否在同一平面内。

2.平行线的性质需要通过横截线来体现，因此在证明或应用性质时，需要明确横截线的位置。

3.在实际应用中，需要根据具体情境判断两条线是否平行，并选择适当的方法来解决问题。

四、相关定理与概念1.平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等。

2.垂直线的性质：垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

五、易错点提醒1.学生在应用性质时，容易出现混淆，将判定定理和性质混淆使用。

需要明确的是，判定定理用于判断两条直线是否平行，而性质用于说明平行线之间的关系或推导其他结论。

2.对于同旁内角互补的理解，学生容易出现误区，认为同旁内角之和为90°而非180°。

需要强调的是，同旁内角互补是指它们的角度和为180°，不是90°。

3.在实际解决问题时，学生容易忽略题目中的限制条件或隐藏条件，导致解题错误。

需要提醒学生认真审题，注意细节，以免出现不必要的错误。

七年级第五章平行线知识点

七年级第五章平行线知识点在学习初中数学时，平行线的知识点是必须掌握的内容之一。

而在七年级第五章的数学课程中，同学们将开始进入平行线这一重要知识点的学习。

本篇文章将介绍七年级第五章平行线知识点的相关内容，供同学们参考学习。

一、平行线的定义和符号平行线是指在同一个平面内永远不相交的两条直线。

其中，符号“∥”表示两条直线平行，例如：AB∥CD。

需要注意的是，不在同一个平面内的两条直线并不是平行线。

此外，通过一条直线与另一条直线上的一点作垂线，若垂线与另一条直线的夹角为90°，那么这条直线与另一条直线就是平行线。

二、平行线的性质平行线有一些特殊性质，其中常用的性质包括三角形内角和定理、平行线截断定理、同位角定理等。

1. 三角形内角和定理对于任何一个三角形，三个内角的和等于180°。

对于平行线的情况，之间的夹角为通行角，则通行角的补角和为180°。

2. 平行线截断定理当有一对平行线被第三条直线所截断时，将产生许多相似的三角形。

其中，截割线段的比例相等，即AB/BC=DE/EF，其中AB、BC为被截断的平行线，DE、EF为截割线段。

3. 同位角定理在平行线之间，相对位置相同的夹角被称为同位角，它们互相之间的关系有同旁内角、同旁外角等。

同旁内角互补，同旁外角相等。

三、平行线的应用平行线的应用十分广泛，包括分形、地图导航等。

其中，平行线在地图导航中的运用尤为重要。

通过平行线的关系，我们可以快速而准确地找到目的地的位置和方向。

四、如何学好平行线知识点学好平行线知识点需要同学们具备扎实的基础，并且掌握好相关的定理和性质。

在学习平行线的过程中，需要注重理论和实践的结合。

同时，可以通过做一些有趣的平行线例题来提高对知识点的理解和掌握。

总之，平行线知识点是初中数学中非常重要的知识点之一。

通过不断学习、理解和掌握，同学们一定能够在考试中得心应手，取得优异的成绩。

初中数学知识点精讲精析平行线

5.2 平行线学习目标1. 理解在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种。

2. 能借助直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线。

3. 体会平行公理及其推论。

知识详解1. 平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”。

在同一平面内，两条不重合的直线的位臵关系只有两种：相交或平行。

平行线的性质：性质1（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；性质2（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.平行线的画法：（1）在方格纸上：在方格纸上画，一般有水平、垂直和斜画三种方式，斜画是过任意由若干相邻方格组成的矩形的对角线画一条直线，再按相同的方式画出另一条直线，就可以得到一组平行线；（2）用一副三角板画，其步骤可简记为：一落：用三角板一边落在已知直线上；二靠：用直尺紧靠三角板的一边；三移：沿直尺移动三角板，使三角板与已知直线重合的边过已知点；四画：沿三角板过已知点的边画直线。

2.平行线的判定在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。

3.平行线的性质【典型例题】例1：如图14，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而行，如果第一次拐的角是∠A为120°第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（）.A.120°B.130°C.140°D.150°【答案】D【解析】如图14，过B作BD//CF，根据AE//CF，可知BD//AE，根据“两直线平行，内错角相等，或同旁内角互补可得∠A=∠ABD，∠DBC+∠C=180°，因为∠A=120°，∠ABC=150°，所以∠DBC=30°，所以∠C=150°例2：三条直线a、b、c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是（）A.a⊥bB.a∥bC.a⊥b或a∥bD.无法确定【答案】B【解析】由于直线a、b都与直线c平行，依据平行公理的推论，可推出a∥b，故选B. 例3：下列命题中，真命题是（）A.互补两角若相等，则此两角都是直角B.直线是平角C.不相交的两条直线叫做平行线D.和为180°的两个角叫做邻补角【答案】A【解析】A、设两角大小为α，则2α=180°，必有α=90°，故正确；B、直线和平角是不同的两个概念，故错误；C、应在同一个平面内，故错误；D、邻补角应是特殊的补角，不仅数量上和为180°，且位置上应有一条公共边，另一边互为反向延长线，故错误.【误区警示】易错点1：平行公理1. 下列结论中，不正确的是（）A.两点确定一条直线B.两点之间，直线最短C.等角的余角相等D.两直线和第三条直线都平行，则这两直线也平行【答案】B【解析】A、两点确定一条直线，是直线的性质，故本选项正确；B、应为两点之间，线段最短，故本选项错误；C、等角的余角相等，是余角的性质，故本选项正确；D、两直线和第三条直线都平行，则这两直线也平行，是平行公理，故本选项正确.易错点2：两直线位置关系2. 若直线a与直线b都和直线c平行，那么直线a和直线b的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定答案】A【解析】直线a与直线b都和直线c平行，那么直线a和直线b的位置关系是平行【综合提升】针对训练1. 如图13，E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F 的关系，并说明理由.2. 如图12所示，直线a∥b，则∠A= .3. 如图11所示，∠1＝∠2.（1）再加上___________或____________条件时，DF∥BE；（2）再加上___________或____________条件时，DC∥BA.1. 【答案】∠A=∠F.理由：因为∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，所以∠DGF=∠EHF，所以BD∥CE，所以∠C=∠ABD，又∠C=∠D，所以∠D=∠ABD，所以DF∥AC，所以∠A=∠F.【解析】从图中可以猜测∠A=∠F，但题目没有告诉DF∥AC，所以需要根据已知条件说明DF ∥AC.2. 【答案】22°【解析】本题是一道稍有难度的试题，因为已知条件和平行线有关，要求∠A的度数，可以通过构造平行线，借助平行线的特征求解.如图12，作AD//a，因为a//b，可知AD//b，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=28°，∠DAC=50°，所以∠BAC=50°－28°=22°3. 【答案】（1）再加上∠CDB＝∠ABN或 AB∥CD的条件时，DF∥BE.（2）再加上∠MDF＝∠DBE或DF∥BE的条件时，DC∥BA.【解析】（1）要使DF∥BE，可考虑∠MDF＝∠EBM，当然，由于考虑这个条件就能直接判定两直线平行了，∠1＝∠2就成了多余条件，根据题意，这个显然无须考虑；我们还可考虑∠NDF＝∠EBN，由于∠1＝∠2，因此，我们只要加上∠CDB＝∠ABN这个条件就行了，而∠CDB＝∠ABN，又能知AB∥CD，因此加上AB∥CD的条件也能判定DF∥BE.（2）分析方法与（1）相同，只不过这时要考虑的同位角变成了∠MDC＝∠DBA而已.【中考链接】（2014年襄阳）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（）A.35°B.45°C.55°D.65°【答案】A【解析】∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°. 又∵∠B=55°，∴∠A=35°. 又CD ∥AB，∴∠1=∠B=35°课外拓展平行线是公理几何中的重要概念。

平行线及其判定知识点总结

平行线及其判定知识点1：平行线的定义及平面内两直线的位置关系定义:在同一平面内，的两条直线叫做平行线，直线a，b平行，记作。

在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系: 。

说明1(1)在同一平面内，两条直线的位置关系只有平行与相交两种，若没有特别说明，“重合”视为一条直线。

(2)平常所说的“两条射线平行，两条线段平行”都是指它们所在的直线平行(3)平行线的定义有三个特征：一是在同一平面内；二是两条直线；三是不相交。

三者缺一不可。

例题：下列说法中，正确的是（）A.两条不相交的直线叫做平行线B.一条直线的平行线有且只有一条C.若直线a∥b，b∥c，则a∥eD.若两条线段不相交，则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、平行公理的推论来判断【解析】A选项中缺少“在同一平面内”这个条件，故A选项错误。

若没有其条件限制，一条直线的平行线有无数条，故B选项错误。

平行于同一直线的两条直线平行，故C选项正确。

根据平行线的定义可知D选项错误.故选C知识点2：平行公理平行公理：经过一点.有且只有一条直线与这条直线平行。

（注意：①平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，它和垂线的性质不同②“有且只有＂强调直线的存在性和唯一性）如图，经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行·Pa例题：下列说法正确的是（）A.在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.经过一点有且只有一条线段与已知线段平行D.过一点有且只有一条直线与己知直线垂直【解析】A选项中“在同一平面内”这个条件，不影响后半向的对错。

“过直线外一点有一条直线与已知直线平行”说的是存在性，即过直线外一点肯定有一条直线与已知直线平行，故A选项正确。

B选项错误，因为若经过直线上一点，则没有直线与已知直线平行。

C选项错误，道理同B选项。

D选项错误，因为缺少“在同一平面内”这个大前提，D选项中结论不成立，如图，AB，BC，BD是正方体的三条棱，它们两两垂直，且都经过点B，若把AB看作已知直线，则经过点B有两条直线BC，BD与已知直线AB垂直知知识点3：平行公理的推论平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也。

初中数学之平行线知识点总结

初中数学之平行线知识点总结平行线知识要点梳理知识点一：平行线的概念及表示方法在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

通常用“∥”表示平行，如图1中，直线AB与CD平行，记作AB∥CD，如果用l，m表示这两条直线，那么直线l与直线m平行,记作l∥m。

要点诠释：(1)平行线必须满足两个条件：①同一平面内，②不相交，但要注意直线的特点是可以向两方无限延长，在平面内只能画出有限长，例如图2中直线a，b看上去不相交，但当把它们看作是无限长时，发现它们其实是相交的，因此直线a，b不平行，从平行线的定义中，我们还可以学习到这样的知识：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：①相交，②平行。

(2)今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行。

知识点二：平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

知识点三：平行线判定方法1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简称：同位角相等，两直线平行。

即，如图3。

∵∠1＝∠2(已知)∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简称：内错角相等，两直线平行。

即如图3，∵∠2＝∠3(已知)∴l1∥l2(内错角相等，两直线平行) 证明：∵∠1＝∠3(对顶角相等)又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2。

∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简称：同旁内角互补，两直线平行。

即如图3，∵∠2＋∠4＝180°(已知)，∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)证明：∵∠1＋∠4＝180°(邻补角定义)又∵∠2＋∠4＝180°∴∠1＝∠2。

∴l1∥l2(同位角相等，两直线平行)要点诠释：判定两直线平行的方法一般有五种：①平行线的定义。

七年级关于平行线的知识点

七年级关于平行线的知识点平行线是初中数学中重要的概念之一，也是一个较难理解的概念。

在初中阶段，学生需要通过系统学习来掌握平行线的知识。

本文将为您介绍平行线的知识点。

一、平行线的定义平行线是指在同一平面内没有交点的两条直线。

平行线的定义可以表述为：如果在同一平面内，两条直线没有交点，那么这两条直线是平行的。

二、平行线的判定方法1.欧几里得几何学公设法：如果在同一平面内，一条直线与另一条直线的某个内角的补角加起来等于直角，那么这两条直线是平行的。

2.平行线判定定理：如果在同一平面内，两条直线上的任意两个内角互补，那么这两条直线是平行的。

三、平行线的性质1. 平行线具有唯一性。

在同一平面内，通过一点可以有且只有一条直线与另一条直线平行。

2. 平行线所截直线的对应角相等。

即在同一平面内，被平行线所截的两条交线上，对应角相等。

3. 平行线所截平行线，对应角相等。

即在同一平面内，被两条平行线所截的两条交线上，对应角相等。

四、平行线与图形1. 平行四边形：在同一平面内，如果两对边平行，则为平行四边形。

2. 直角梯形：在同一平面内，如果一组对边都平行，且有一组对边垂直，则为直角梯形。

3. 等腰三角形：在同一平面内，如果两边分别相等的三角形中，底边的平行线相交，则为等腰三角形。

五、平行线问题解答步骤1. 读题分析，明确问题。

2. 画图，根据题意绘制图形。

3. 理解题意叙述，找出已知条件，根据已知条件寻找解题方法。

4. 解题，根据已知条件和解题方法求解未知数据。

5. 检查答案，用已知条件重新检验答案的正确性。

六、小结本文介绍了平行线的定义、判定方法、性质以及与图形相关的知识点，同时提供了平行线问题的解答步骤。

掌握平行线的基本知识，是数学学习的基础，也是后续几何学科的前提。

希望本文能为初中生的数学学习提供帮助。

初中数学知识归纳平行线的性质与判定

初中数学知识归纳平行线的性质与判定平行线是数学中最基础的概念之一，在初中数学中也占据了重要的地位。

平行线的性质和判定方法具有一定的规律性和逻辑性，掌握了这些知识，对于解题和推理都有很大的帮助。

本文将对初中数学中与平行线相关的性质和判定进行归纳和总结。

一、平行线的性质1. 平行线性质一：同位角性质同位角是指两条平行线被一条第三条线（称为横线）所切割所形成的内角和外角。

同位角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，同位角相等。

例如，图1中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B、C都是同位角。

根据同位角性质，可知∠A = ∠B = ∠C。

2. 平行线性质二：内错角性质内错角是指两条平行线被一条第三条线所切割所形成的内角。

内错角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，内错角相等。

例如，图2中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B是内错角。

根据内错角性质，可知∠A = ∠B。

3. 平行线性质三：同旁内角性质同旁内角是指两条直线与两条平行线相交所形成的内角。

同旁内角性质可以概括为：当两条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补。

例如，图3中的直线a、b与平行线m、n相交，角A和角B、C是同旁内角。

根据同旁内角性质，可知∠A + ∠B = 180°和∠A + ∠C = 180°。

二、平行线的判定方法1. 直线平行判定法一：同位角相等法如果一条直线与另外两条直线相交时，同位角相等，则这两条直线平行。

例如，图4中的直线l与线段AB、CD相交，∠1 = ∠2，则可判定线段AB与线段CD是平行的。

2. 直线平行判定法二：内错角相等法如果一条直线与两条平行线相交时，内错角相等，则这条直线与这两条平行线平行。

例如，图5中的直线l与平行线m、n相交，∠A = ∠B，则可判定直线l与平行线m、n是平行的。

3. 直线平行判定法三：同旁内角互补法如果一条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补，则这条直线与这两条平行线平行。

《平行线》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《平行线》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1. 熟练找出“同位角、内错角、同旁内角”；2. 区别平行线的判定与性质，能用性质和判定解决综合问题；3. 通过具体实例认识平移，理解平移的性质；4. 会运用平行线和平移的知识解决有关的简单问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行线的定义及三线八角1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．要点诠释：（1）平行线定义中包含三层含义：在同一平面内、不相交、两条直线．（2）基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2.三线八角：要点二、平行线的判定和性质1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离：两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 要点三、图形的平移定义：一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移．要点诠释：平移的性质：（1）平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等.【典型例题】类型一、平行线的定义及三线八角1. （乌兰察布校级期中）a、b、c是平面上任意三条直线，交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．都不对举一反三：【变式】如图，在正方体中：（1）找出与线段AB平行的线段：_________；（2）找出与线段AB相交的线段：______．2.如图，已知直线a、b被直线c所截. 图中八个角共有组同位角，组内错角，组同旁内角.举一反三：【变式】观察下图并填空：(1) ∠1 与是同位角；(2) ∠5 与是同旁内角；(3) ∠1 与是内错角.类型二、平行线的判定和性质3.如图，已知∠ADE = ∠B，∠1 =∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.举一反三：【变式】如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝( ).A．180°B．270°C．360°D．540°举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC+∠ACE+∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．类型三、图形的平移5.如图(1)，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．举一反三：【变式】（福州自主招生）如图，4根火柴棒形成象形“口”字，只通过平移火柴棒，原图形能变成的汉字是（）A． B． C． D．．类型四、综合应用6.如图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【巩固练习】一、选择题1．下列图中,∠1和∠2是对顶角的有()个.A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示是同位角关系的是()．A．∠3和∠4 B．∠1和∠4 C．∠2和∠4 D．不存在3．（春•鄂城区月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4 B．3 C．2 D．14．∠1和∠2是直线AB和CD被直线EF所截得到的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是()．A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定5．如图所示中，不能通过基本图形平移得到的是()．6．一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于()．A．75°B．105°C．45°D．135°7．下列说法中，正确的是()．A．过点P画线段AB的垂线.B．P是直线AB外一点，Q是直线AB上一点，连接PQ，使PQ⊥AB.C．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.D．过一点有且只有一条直线平行于已知直线.8．如果在同一平面内有两个图形甲和乙，通过平移，总可以完全重合在一起(不论甲和乙的初始位置如何)，则甲和乙是()．A．两个点B．两个半径相等的圆C．两个点或两个半径相等的圆D．两个能够完合重合的多边形二、填空题９．如图所示，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若∠1＝50°，则∠EGB＝________．10．（盐津县校级月考）平行用符号表示，直线AB 与CD 平行，可以记作为．11．每天小明上学时，需要先由家向东走150米到公共汽车站点，然后再乘车向西900米到学校，每天小明由家到学校移动的方向是________，移动的距离是________．12. （大庆校级自主招生）如图，点E 在AC 的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE ；（4）∠D+∠ABD=180°．能判断AB ∥CD 的有个．13．如图，已知AB ∥CD ，CE ，AE 分别平分∠ACD ，∠CAB ，则∠1+∠2=________.14．同一平面内的三条直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a________c ．若a ∥b ，b ∥c ，则a________c ．若a ∥b ，b ⊥c ，则a________c ．15. 如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西．16．如图所示，AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有条．三、解答题17．（滨湖区校级期末）把图中的互相平行的线写出来，互相垂直的线写出来：18．如图所示，已知∠1＝∠2，AC 平分∠DAB ，你能推断哪两条线段平行?说明理由．19.如图，在一块长为a 米，宽为b 米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其它部分都是草地．求草地的面积．北北甲乙20．如图所示，点P是∠ABC内一点．(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D；②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F．(2)∠EPF等于∠B吗?为什么?。

初中数学：平行线知识点归纳总结

初中数学：平行线知识点归纳总结初中数学：平行线知识点归纳总结
一、平行线的定义：在同一平面内,永不相交的两条直线叫做平行线. 如：AB平行于CD,写作AB∥CD
二、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
推论（平行线的'传递性）：平行同一直线的两直线平行.
∵a∥c,c∥b
∴a∥b.
三、平行线的判定
1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等,两直线平行.
2.两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等,两直线平行.
3.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补,两直线平行.
4.在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行.
5、平行线间的距离,处处相等.
6、如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.
四、平行线的性质
1.两条平行被第三条直线所截,同位角相等.
简单说成：两直线平行,同位角相等.
2.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
简单说成：两直线平行,内错角相等.
3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补. 简单说成：两直线平行,同旁内角互补.
今天的内容就介绍到这里了。

平行线的判定和性质知识点详解

平行线的判定和性质知识点详解平行线是在同一个平面上，永不相交的两条直线。

在平行线的判定和性质中，我们会涉及到直线和角的相关概念以及它们之间的关系。

1.同位角平行线判定：如果两条直线与一条横截线相交，且同位角相等，则这两条直线是平行线。

同位角是指两条直线被横截线所形成的内外两对相似角。

2.顶角平行线判定：如果两条直线被一条直线所截断，使得内侧的两个顶角互补，则这两条直线是平行线。

顶角是指两条直线被截断所形成的内外两个相交角。

3.对顶角平行线判定：如果两条直线被一条直线所截断，使得对顶角互补，则这两条直线是平行线。

对顶角是指两条直线被截断所形成的相对两侧的相交角。

平行线的性质如下：1.同位角性质：同位角是两条平行线被横截线所形成的内外两对相似角。

性质有：同位角相等；同位角的对应角相等；同位角的内外两个对顶角互补。

2.内错角性质：内部错位的两个角，分别在两对同位角之间，互为补角。

3.外错角性质：外部错位的两个角，分别在两对同位角之间，互为补角。

4.顶角性质：顶角是两条平行线被一条截断线所形成的内外两个相交角。

性质有：顶角相等；顶角的对应角相等；顶角的内外两个对位角互为补角。

5.对顶角性质：对顶角是两条平行线被一条截断线所形成的相对两侧的相交角。

性质有：对顶角互为补角。

6.互补角性质：互补角是指两个角的和为90度。

在平行线中，同位角和对位角都是互补角。

7.直角性质：如果一条直线垂直于一条平行线，则它与这条平行线的对位角都是直角。

8.平行线之间的距离性质：平行线之间的距离在任意两点之间是相等的。

总结起来，平行线的判定方法包括同位角平行线判定、顶角平行线判定和对顶角平行线判定。

而平行线的性质包括同位角性质、内错角性质、外错角性质、顶角性质、对顶角性质、互补角性质、直角性质以及平行线之间的距离性质等。

这些性质可以帮助我们在解决平行线相关问题时更加便捷地推导和证明结论。

初一数学平行线的知识点归纳(一)2024

初一数学平行线的知识点归纳（一）引言概述：数学中的平行线是重要的基础概念之一，对初中数学的学习具有重要意义。

本文将对初一数学中关于平行线的知识点进行归纳总结。

主要包括平行线的定义、平行线的判定方法、平行线与角的性质、平行线与三角形的性质以及平行线的应用等五个方面。

一、平行线的定义：1. 平行线是指在同一个平面内永不相交的直线。

2. 平行线具有相同的斜率，但不相交。

3. 平行线之间的距离是恒定的。

二、平行线的判定方法：1. 通过角的度量判定：若两条直线上的对应角或同位角相等，则这两条直线是平行线。

2. 通过直线的位置关系判定：若两条直线被一条横截线所截，且同侧内角为180度，则这两条直线是平行线。

3. 通过斜率判定：若两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行线。

三、平行线与角的性质：1. 同位角的性质：同位角相等的两条平行线与另一条直线所成的对应角、内错角、外错角性质相等。

2. 内错角与外错角的性质：内错角互补，外错角互补，即内错角和为180度，外错角和为180度。

3. 同旁内角的性质：同旁内角相等的两条平行线与割线所成的内角、外角性质相等。

四、平行线与三角形的性质：1. 对顶角的性质：平行线截三角形两边所得的对顶角相等。

2. 对边比例定理：若平行线截三角形两边所得的对边比例相等，则这两条平行线所在的直线对应的两边比例也相等。

五、平行线的应用：1. 计算与测量：通过已知平行线与一条割线的角度关系，可以计算未知角度或长度。

2. 几何证明：在几何证明过程中，平行线的应用广泛，常常用来推导出新的结论。

总结：平行线是初一数学中的重要概念，通过本文的归纳总结，我们了解到平行线的定义、判定方法、与角的性质、与三角形的性质以及应用等方面的知识点。

深入理解和掌握这些知识，将有助于我们在解决相关问题时更加得心应手。

在后续学习中，我们还将进一步扩展和应用这些知识，以完善我们的数学知识体系。

初中数学的解析平行线的性质与判定解析

初中数学的解析平行线的性质与判定解析解析平行线是初中数学中的一个重要概念，它在几何图形的性质与判定中扮演着关键的角色。

本文将对解析平行线的性质进行探讨，并介绍几种判定解析平行线的方法。

一、解析平行线的性质1. 定义：解析平行线是在坐标平面上，两条直线的斜率相等且不相交的直线。

若两条直线的斜率分别为k1和k2，且k1=k2，则这两条直线是解析平行线。

2. 性质1：解析平行线的斜率相等。

也就是说，如果两条线的斜率相等，那么它们是解析平行线。

3. 性质2：解析平行线的方向相同。

即两条解析平行线在平面上的指向是相同的，要么都是向上，要么都是向下。

4. 性质3：解析平行线不会相交。

如果两条直线的斜率相等且不相交，那么它们是解析平行线。

二、解析平行线的判定方法1. 判定一：使用斜率判定法。

如果两条直线的斜率相等，则它们是解析平行线。

2. 判定二：使用截距判定法。

如果两条直线的截距相等且斜率不相等，则它们是解析平行线。

3. 判定三：使用点判定法。

如果两条直线上的两个点对应的x坐标和y坐标比值相等且斜率不相等，则它们是解析平行线。

三、解析平行线的应用举例1. 例题一：已知直线L1的方程为y=2x+3，直线L2过点P(-1,4)且与L1平行，求L2的方程。

解：由于L1的斜率为2，根据性质1可知，L2的斜率也为2。

又L2过点P(-1,4)，代入直线方程y=2x+b中，得到4=2*(-1)+b，解得b=6。

因此，L2的方程为y=2x+6。

2. 例题二：已知直线L1的方程为2x-y+1=0，直线L2与L1平行，且L2经过点P(3,-1)，求L2的方程。

解：将直线L1的方程转换为斜率截距形式，得到y=2x+1。

由性质2可知，L2的斜率也为2。

又L2经过点P(3,-1)，代入直线方程y=2x+b 中，得到-1=2*3+b，解得b=-7。

因此，L2的方程为y=2x-7。

四、总结解析平行线是指在坐标平面上，两条直线的斜率相等且不相交的直线。