第一课时 对数函数的图象及性质

2.2.2 对数函数及其性质 第一课时 对数函数的图象及性质
课标要求 1.初步理解对数函数的 概念. 2.掌握对数函数的图象 和性质. 3.了解反函数的概念,知 道指数函数与对数函数 互为反函数. 4.通过类比思想,利用指 数函数探索对数函数的 图象及性质,学会研究函 数的方法.
学法指导
根据对数函数与指数函数互为 反函数,在学习中类比指数函 数的图象及性质来研究对数函 数的图象和性质.
题后反思
判断一个函数是对数函数必须
是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式,即必
须满足以下条件:
(1)系数为1; (2)底数为大于0且不等于1的常数; (3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练 1 1:函数 f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x 是对数函 数,则实数 a= .
解析:a2-a+1=1,解得a=0或a=1. 又a+1>0,且a+1≠1,
.(用区
解析:由x-1>0得x>1.
即f(x)定义域为(1,+∞). 答案: (1,+∞)
课堂小结
1.形如y=logax(a>0且a≠1)的函数为对数函
数,定义域为(0,+∞)、值域为R,当a>1时为增
函数,当0<a<1时为减函数.
2.底数不同的对数函数图象满足在第一象限
内底数越大图象越靠右侧. 3.知道对数函数y=logax与y=ax互为反函数.
2.对数函数的图象与性质 见附表
3.反函数 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0,且 a≠1)互为 反函数 . 思考2:函数y=log2x与y=2x的定义域与值域有什么关系? (函数y=log2x的定义域、值域分别是函数y=2x的值域、 定义域) 思考3:在第一象限内,对数函数的图象与底数有什么关系? (由y=logax与y=ax关于y=x对称,根据指数函数的图象在 第一象限满足“底大图高”的规律可得对数函数的图象 在第一象限满足“底大图右”的规律)
题后反思 由图象判断对数函数的底数大小的方法: (1)令 y=logax=1,则自变量 x 等于底数 a,由自变量大小确 定 a 的大小.
(2)根据对数函数在第一象限符合底大图右的规律判断.
跟踪训练 2 1:若 a>0 且 a≠1,则函数 f(x)=loga(5x-9) 恒过定点 P 的坐标是 .
【例 3】 已知集合 A={x|(x-2)(x-3a-1)<0},函数 y=lg
2a x 的定义域为集合 B. 2 x a 1
(1)若 a=2,求集合 B; (2)若 A=B,求实数 a 的值.
4 x 解:(1)当 a=2 时,函数 y=lg . x5 4 x 由 >0,得 4<x<5, x5
2a 3a 1, 又 A=B,所以 2 a 1 2,
解得 a=-1. 综上所述,a=-1.
达标检测——反馈矫正
及时总结
1.下列函数是对数函数的是 ( C ) (A)y=loga2x(a>0,a≠1) (B)y=loga(x2+1)(a>0,a≠1) (C)y= log 1 x(a>0,a≠1)
题型探究——典例剖析
题型一
2
举一反三
对数函数的概念
【例 1】 下列函数中,哪些是对数函数? ①y=logax (a>0,且 a≠1);②y=log2x-1; ③y=2log8x;④y=logxa(x>0,且 x≠1); ⑤y=log5x.
解:⑤为对数函数. ①中真数不是自变量 x,不是对数函数; ②中对数式后减 1,∴不是对数函数; ③中 log8x 前的系数是 2,而不是 1,∴不是对数函数; ④中底数是自变量 x,而非常数 a,∴不是对数函数.
解得 x>2 且 x≠3, ∴函数定义域为(2,3)∪(3,+∞).
16 4 x 0, (2)要使函数有意义,需满足 x 1 0, x 1 1,
解得-1<x<0 或 0<x<4, ∴函数定义域为(-1,0)∪(0,4).
题后反思 求与对数函数有关的函数的定义域时,有 如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意 对数的底数大于零且不等于 1,三是按底数的取值应 用单调性,有针对性地解不等式.
)
解析:法一 作直线 y=1 与四条曲线交于四点,由 y=logax=1, 得 x=a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小 的底数小,所以 C1、C2、C3、C4 对应的 a 值分别
4 3 1 为 3 、 、 、 ,故选 A. 3 5 10
法二 由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规
4 律,所以底数 a 由大到小依次为 C1、C2、C3、C4 即 3 、 、 3 3 1 、 .故选 A. 5 10
点击进入课后作业
2
想一想 实例中 y= log 1 x 应是什么函数.
2
知识探究——自主梳理
1.对数函数的概念
思考辨析
函数 y=logax(a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .
思考1: (1)对数函数的定义域为什么是(0,+∞)? (因为对数函数是由指数函数变化而来的,对数函 数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数 函数的定义域是(0,+∞)) (2)对数函数的解析式有何特征? (在对数函数的定义表达式y=logax(a>0且a≠1) 中,logax前面的系数必须是1,自变量x在真数的位 置上,否则不是对数函数)
解析:由题意知 loga(6+2)=3,得 a=2. 密文为“4”,即 y=4, 即 log2(x+2)=4, 得 x=14,即明文为“14”.
答案:14
【例 2】 已知 a>0 且 a≠1,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象可能是 ( )
解析:由 y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在 y 轴左侧,可排除 A、D 选项. 当 a>1 时,y=ax 应为增函数,y=loga(-x)应为减函数,可 知 B 项正确. 而对 C 项,由图象知 y=ax 递减⇒ 0<a<1⇒ y=loga(-x)应 为增函数.与 C 图不符.故选 B.
跟踪训练 3 1:求下列函数的定义域:
1 (1)y= ; log2 x 1 1
(2)y=ln(x+1)+
x 1 0, 解:(1)要使函数有意义,需满足 log 2 x 1 1 0,
3x 2 . 1 x
x 1, 即 x 1 2,
a
(D)y=2lg x
1 1 解析:∵a>0,a≠1,∴ >0, ≠1.故选 C. a a
2.函数 y=logax 的图象如图所示,则实数 a 的可能取值 是( A )
(A)5
1 (C) e 1 (B) 5 1 (D) 2
解析:因为图象过(1,0)点,且在(0,+∞)上函 数单调递增,故a>1,选A.
∴x>-1 且 x≠1, ∴函数的定义域为{x|x>-1 且 x≠1}.
x 1 0, (2)要使函数有意义,需满足 1 x 0,
解得-1<x<1, ∴函数的定义域为{x|-1<x<1}.
备选例题
【例 1】 为了保证信息安全传输,有一种称为密钥的密码系 统,其加密、解密原理如下: 明文 密文 密文 明文.现在加密 密钥码为 y=loga(x+2),明文“6”通过加密后得到密文“3”, 再发送,接收方通过解密密钥码解密得到明文“6”.若接收 方接到密文为“4”,则解密后得到明文为“ ”.
3.若函数y=f(x)的反函数过点(1,5),则函数 y=f(x)的图象必过点( A )
(A)(5,1)
(B)(1,5)
(C)(1,1)
(D)(5,5)
解析:因为互为反函数的图象关于直线y=x对称,
所以函数y=f(x)的图象必过点(5,1).故选A.
4.函数f(x)=lg(x-1)的定义域为 间表示).
新课导入 知识探究 题型探究
达标检测
新课导入——实例引领
思维激活
实例:庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”
若已知剩余长度的大小,你能知道经过了多长时
间吗?剩余长度与时间之间是函数关系吗?
1 y 解:设剩余长度为 x,经过的时间为 y,则( ) =x,由 2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
对数的定义可得 y= log 1 x,这里的 y 是 x 的函数.
故集合 B={x|4<x<5}.
(2)由题可知,B=(2a,a +1).
1 ①当 2<3a+1,即 a> 时,A=(2,3a+1), 3
2a 2, 又 A=B,所以 2 无解; a 1 3a 1,
2
②当 2=3a+1 时,显然不合题意;
1 ③当 2>3a+1,即 a< 时,A=(3a+1,2), 3
∴a=1.
答案:1
题型二 对数函数的图象特征
【例 2】 如图所示,曲线是对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象,已知 a
4 3 1 取 3 、 、 、 ,则相应于 C1、 C2、 C3、 C4 的 a 值依次为( 3 5 10 4 3 1 (A) 3 、 、 、 3 5 10
4 1 3 (B) 3 、 、 、 3 10 5 4 3 1 (C) 、 3 、 、 3 5 10 4 1 3 3 (D) 、 、 、 3 10 5
解析:令 5x-9=1,则 x=2,所以函数恒过定 点(2,0).
答案:(2,0)
题型三
与对数函数有关的定义域问题
【例 3】 求下列函数的定义域:
1 (1)f(x)=lg(x-2)+ ; x3
(2)f(x)=log(x+1)(16-4x).
x 2 0, 解:(1)要使函数有意义,需满足 x 3 0,