第五章第五节 圆周运动

第五章第五节 圆周运动

费县第二中学 编者:潘保兵 审阅: 赵磊

【北斗导航】

物体沿圆周的运动是一种常见的曲线运动，而在圆周运动中，最简单的是匀速圆周运动，了解并掌握圆周运动的有关知识对今后研究日常生产生活的许多实际问题及对天体的运动规律的研究等方面起到很重要的作用。本节主要学习圆周运动的线速度和角速度等概念。

【自学探究】

1. 形形色色的圆周运动

质点运动的轨迹是圆周的运动，我们称之为圆周运动。圆周运动是一种常见的运动。正如教材所述：日常生活中，电风扇工作时叶片上的点、时钟的分针和时针上的点、田径场弯道上赛跑的运动员等，都在做圆周运动。科学研究中，大到地球绕太阳的运动。小到电子绕原子核的运动。小到电子绕原子核的运动，也常用圆周运动的规律来讨论。除此之外，你还能举出一些物体做圆周运动的实例吗？

2. 如何描述圆周运动的快慢

本节教材在第一个“思考与讨论”栏目中提出了这

样的问题：如图1所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后

轮是相互关联的三个转动部分，行驶时，这三个轮子上

各点在做圆周运动。那么，哪些点运动得更快些？也许它们运动得一样快？

需要指出的是，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮上各点在做圆周运动的说法是有条件的。我们知道，当轮子的轴心（圆心）固定不动（如把自行车后轮架起停放在路面上），而轮子在转动时，轮子上各点确实是围绕它们的轴心（圆心）做圆周运动。但当自行车行驶时，轮子在转动的同时，轮子的轴心也在向前运动，轮子上各点相对轴心而言仍是在做圆周运动，而相对地面则不是在做圆周运动，它们的运动情况较为复杂。所以，这里所比较的运动快慢，实际上只是比较轮子上各点相对轴心的运动快慢。

我们经过仔细观察即可知道：三个轮子中后轮的半径最大，大齿轮的半径其次，小齿轮的半径最小；大齿轮和小齿轮通过链条相连，所以两齿轮上各点在相同时间内转过的弧长总是相等的；小齿轮和后轮是一起绕同一个轴心转动的，这两个轮子在相等的时间内转过的圈数（角度）是相等的。根据以上分析，你的回答可能有多种，如：后轮上的点运动得快些，大小齿轮上的点运动得一样快；后轮与小齿轮上的点转动得一样快，而大齿轮上的点转动得较慢等等。

上述这些说法其实都是有一定道理的。之所以有不同的结论，是因为到目前为止，关于圆周运动，还没有大家认可的描述方法。而在直线运动的研究中，则没有出现这种情况，这是因为在直线运动中，大家都认可用“速度”来描述物体运动的快慢，在一定时间内物体发生的位移越大，或发生一定大小位移所用的时间越短，就表明物体运动得越快，反之，就表明物体运动得越慢。

那么，我们如何来描述圆周运动的快慢呢？

描述圆周运动的快慢，主要可通过线速度、角速度等物理量。

3. 线速度的概念

我们知道，描述物体直线运动快慢，是通过定义“速度”这一概念实现的。速度可分为平均速度和瞬时速度，平均速度定义为物体发生的某一段位移x 与所用时间t 的比值，即t x v =；当时间间隔很小很小时，我们就可得到瞬时速度，记做t

x v ∆∆=（Δt →0）。

图1

我们尝试用平均速度来描述物体做圆周运动的快慢，如图2，设圆周半径为1m ，质点从A 出发，顺时针方向以一定的快慢转动（如钟表的指针针尖一般），经1s 到达B 点，经2s 到达C 点，经3s 到达D 点，经4s 回到A 点，则由平均速度定义式可得

质点由A 运动至B 的过程中，AB v ＝ 2 m/s ；

质点由A 运动至C 的过程中，AC v ＝1m/s ；

质点由A 运动至D 的过程中，AD v ＝13 2 m/s ； 质点转过一圈的过程中，v ＝0。 虽然，我们只是讨论了一些特殊情况，但明显可以看出，用平均速度来描述物体做圆周运动的快慢是不恰当的。

其实，我们还常用“速率”来描述物体运动的快慢。速率是物体经过的路程与时间的比值，表达式常写作t

l

v =（注意，这里的l 指路程），速率也有平均速率和瞬时速率之分，当时间间隔很小很小时，我们就得到了瞬时速率，记做t

l v ∆∆=

（Δt →0）。再看上面的问题，我们发现，不论选取哪一段过程讨论，物体的平均速率都是定值，等于2πm/s ，这一结果很好地描述了运动的实际情况。

所以，我们用物体通过的路程（圆周运动中就是弧长）与所用时间的比值来量度圆周运动的快慢。

设物体沿圆弧运动，时间t 内经过的圆弧长为l ，这样，比值t l 反映这一段时间内物体运动的平均快慢，记做t

l v =（注意，v 指平均速率）。 为描述物体经过某一位置（或某一时刻）运动的快慢，我们可从这时刻起，取一段很小很小的时间间隔Δt （即Δt →0），物体在这段时间内通过的弧长为Δl ，则比值

t l ∆∆就反映了物体在这一瞬间运动的快慢，我们称为线速度，记做 t

l v ∆∆= （注意，这里的v 指瞬时速率）。

其实，当Δt →0时，瞬时速率定义式中的Δl 与瞬时速度定义式中的Δx （前者指路程，后者指位移）大小已经没有差别，具体到圆周运动这一问题中，就是弧长与弦长已经没有差别，所以t

l v ∆∆=实际上就是瞬时速度的大小。为区别于角速度，我们将这个瞬时速度命名为线速度。 当然，之所以用线速度而不用瞬时速率来描述圆周运动，还有一个原因就是描述运动方向的需要。线速度是矢量，线速度的方向沿圆周的切线方向。 4. 角速度的概念 在对自行车的大、小齿轮及后轮上各点运动快慢的讨论中，“后

C A B 图2 M

N

A B O r

△l △θ

图3

轮上与小齿轮上的点转动得一样快，而大齿轮上的点转动得较慢”这一说法确有道理。原因是后轮与小齿轮围绕同一轴转动，它们转过相同圈数所需时间总是一样的。而大小齿轮相比较，它们转过相同圈数所需时间是不相同的，仔细观察易知，相同时间内小齿轮转过的圈数较多。但这一说法用“线速度”不易解释。为此，我们还需引入“角速度”这一概念，用来量度圆周运动的快慢。

如图3所示，物体在△t 时间内由A 运动到B ，半径OA 在这段时间内转过的角为△θ。它与所用时间△t 的比值，描述了物体绕圆心转动的快慢，这个比值称为角速度，用符号ω表示，

ω＝t

∆∆θ。 5. 角速度的单位

角的单位大家都熟知的是“度”，如周角为360°，平角为180°，直角为90°等，但是，“度”这个单位并不属于国际单位制。

在国际单位制中，角的单位为弧度。由于在半径一定时，圆弧的弧长l 与圆弧所对圆心

角θ成正比，因此，角的大小可用弧长l 与半径r 的比值 l r

来表示，即 θ＝ l r

。 对于周角，用角度量是360°，用弧度量是2π弧度；对于平角、直角，用角度量分别为180°、90°，用弧度量分别是多少呢？

半径为r 的整个圆周长是2πr ，其半圆周、14 圆周长分别为πr 、12

πr ，它们与半径r 之比就是用弧度表示的平角和直角，即平角是π弧度、直角是π2

弧度。 以弧度量度角、以秒量度时间，所以在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符

号是rad/s 或s －1。

在用弧度表示角时，经常出现字母π。要注意，π不是单位符号，而是一个数字：圆周率3.14……，所用的单位仍是弧度。

弧度不是通常意义上的单位，所以，带单位计算时，不要把“rad ”或“弧度”代到算

式中，这时角速度的单位应该写为s －1。

6. 线速度与角速度的关系

在图6－73中，设物体做圆周运动的半径为r ，由A 运动到B 的时间为△t ，AB 弧长为△l ，AB 弧对应的圆心角为△θ。当△θ以弧度为单位时，△θ＝△l r ，即

△l ＝r △θ。

由于△l ＝v △t ，△θ＝ω△t ，代入上式后得到

v ＝rω。

这表明，在圆周运动中，线速度的大小等于半径与角速度大小的乘积。但是，在半径不能确定的情况下，不能由角速度的大小判断线速度的大小，也不能由线速度的大小判断角速度的大小。

7. 转速与周期

描述物体做圆周运动的快慢，除了用线速度、角速度外，还可以用转速与周期。

① 转速 如果在一定时间内物体转过的圈数越多，我们就说物体转动得越快，所以技术上常用转速来描述圆周运动的快慢。转速是指物体单位时间内所转过的圈数，常用符号