北师大版数学九年级下册第三章3.3(1)垂径定理(导学案,无答案)(最新整理)
九年级数学下册 3.3 垂径定理教案 (新版)北师大版
垂径定理一、教学目标1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：1.垂径定理_____________________________________________________2.注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,⋂AC =______,⋂BD =________4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？【探究二】 1.，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.O E CBAO C DB A OCDE O CD BO DB AC2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例：4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,⋂AC =____⋂BD =____ (2)如果⋂AC =⋂BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂BD =____ （3）如果⋂AD =⋂BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，⋂AC =______ （三）典例讲解：1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？（四）巩固训练： 题组一1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。
北师大版九年级数学下册学案：3.3垂径定理
3.3垂径定理学习目标知识目标1．理解和掌握垂径定理的两个逆定理．2．会运用这两个逆定理解决有关弦、弧、•弦心距及半径之间关系的证明和计算．能力目标：通过画图探索垂径定理的逆定理，培养学生探究能力和应用能力．情感目标：经历垂径定理逆定理的探索过程，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质．学习重点难点重点：垂径定理的逆定理的探索及其应用．难点：利用垂径定理的逆定理解决有关实际问题．课堂教与学互动设计【创设情境，引入新课】1．垂径定理是指什么？你能用数学语言加以表达吗？2．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分AB，你能得到什么结论？3．若把上述已知条件CD⊥AB，改成CD平分弧AB，你又能得到什么结论？【合作交流，探究新知】一、自主探索1．垂直于弦的直径平分这条弦的逆命题是什么？它是真命题吗？为什么？2．平分弦的直径一定垂直于弧所对的弦吗？画图试一试．二、叙一叙定理1：_______弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分_______．定理2：平分弦的直径________平分弦所对的________．三、证一证已知：如图3-4-2，⊙O的直径交弦AB（不是直径）于点P，AP=BP．．求证：CD⊥AB，AC BC图3-4-2四、讲一讲1．定理1中为什么不能遗忘“不是直径”这个附加条件，你能举反例说明吗？2．概括成图式：直径平分弦（不是直径）..⎧⇒⎨⎩直径垂直于弦直径平分弦所对的弧直径平分弧..⎧⇒⎨⎩直径平分弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦3．表述：垂径定理及其逆定理可以概括为：直径垂直于弦；直径平分弦；直径平分弦所对的弧，这三个元素中由一推二．【例题解析，当堂练习】例1如图3-4-3，⊙O的弦AB，AC的夹角为50°，M，N分别是AB和AC的中点，•求∠MON的度数．图3-4-3 练一练（课内练习）已知：如图3-4-4，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD．求证：DN=CN．图3-4-4 例2（课本例3）节前语所示的赵州桥的跨径（弧所对的弦的长）为37.02m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥的桥拱半径（精确到0.01m）．练一练如图3-4-5，在直径为130mm的圆铁片上切下一块高32mm的弓形（圆弧和它所对的弦围成的图形）铁片，求弓形的弦AB的长．图3-4-5 课外同步训练【轻松过关】1．下列说法中正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于这条弦C．弧上一点到弦的距离叫做拱高 D．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦2．下列命题中，正确的是（）A．弦的垂线平分弦所对的弧B．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心C．过弦的中点的直线平分弦所对的弧D．平分弦的直径垂直于这条弦3．如图3-4-6，O是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA，OB分别交小圆于C，D，•则下列结论中正确的是（）= B．AB=CD C．AB∥CD D．∠OCD≠∠BA．AB CD图3-4-6 图3-4-7 图3-4-8 4．如图3-4-7，在⊙O中，弧CD与直径AB相交，且AB平分CD，则下列结论错误的是（• ）=A．AB⊥CD B．∠COE=∠DOE C．OE=BE D．AC AD5．如图3-4-8，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是半圆上一点，点E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为_____cm．6．已知⊙O的弦AB长为4cm，弦AB的弦心距为2cm，则⊙O的直径为______cm．7．如图3-4-9，AD是⊙O的直径，AB=AC，∠BAC=120°，根据以上条件写出三个正确的结论（OA=OB=OC=OD除外）：①__________________;②__________________；③__________________．8．如图3-4-10，大圆的半径为5，小圆的半径为4，弦AB=8，则AC=_______．图3-4-9 图3-4-109．如图3-4-11，已知AB为弓形AB的弦，半径OD所在直线垂直AB于点C．若3，OC=1，求弓高CD的长．图3-4-11 10．如图3-4-12，已知⊙O的半径长6cm，弦AB与半径OC互相平分，交点为M，求AB 的长．图3-4-12 11．如图3-4-13，BC是⊙O中的弦，点A是BC的中点，半径OA交BC于点D，且BC=8，AD=2，求⊙O的半径．图3-4-13 【适度拓展】12．储油罐的截面如图3-4-14所示，装入一些油，若油面宽AB=600mm，油罐直径为650mm，求油的最大深度．图3-4-14 13．如图3-4-15，AB是⊙O的直径，CD为弦，分别过A，B作弦CD的垂线，垂足为M，N，•求证：MC=DN．图3-4-15 【探索思考】14．如图3-4-16，点O为ADB的圆心，∠AOB=120°，弓形高ND=2cm，矩形EFGH的顶点E，F在弦AB上，点H，G在AB上，且EF=4HE，求EF的长．图3-4-16。
【北师大版】最新九年级数学下册3.3 垂径定理导学案
*3.3 垂径定理学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．学习重点:垂径定理及其应用．学习难点:垂径定理及其应用．学习方法:指导探索与自主探索相结合。
学习过程:一、举例：【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴．（2）平分弦的直径垂直于弦．【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．6． “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为米．三、课后练习：1、已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2、已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离3、已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4、已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB于F 求证：AE ＝BF6、已知：△ABC 内接于⊙O ，边AB 过圆心O ，OE 是BC 的垂直平分线，交⊙O于E 、D 两点，求证，⋂=⋂BC 21AE7、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF8、在⊙O 中，弦AB ∥EF ，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB9、已知如图等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，半径OB ＝5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求ABC 的长10、已知：⊙O 与⊙O ＇相交于P 、Q ，过P 点作直线交⊙O 于A ，交⊙O ＇于B 使OO ＇与AB 平行求证：AB ＝2OO ＇11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF。
(完整版)新版北师大数学九年级下第三章3.垂径定理导学案
中学导学案 时间：第4题图第5题图学科 数学 课题 3.垂径定理 主备者 参备者 执教者 班级 九、二 学生姓名 学习目标： 1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．重、难点： 垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．学前准备1、等腰三角形是轴对称图形吗？2、如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3、如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画 圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？互 动 课 堂探索合作：1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． 求证：AM =BM ；⌒AC =⌒BC ；⌒AD =⌒BD .垂径定理： 几何语言：∵ ∴注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦． 2、垂径定理逆定理的探索如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.垂径定理逆定理：例：达 标 检 测1、如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB 的距离为 _________ ．2、如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D.83、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8 4、如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5、如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cm B ．32cm C ．42cm D ．43cm 6、下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7、如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度ABD OBC A第3题图E BDOCA第2题第1题图。
九年级数学下册 3_3 垂径定理导学案(新版)北师大版
EAO CD B第3节 垂径定理【学习目标】1、理解圆的有关概念。
2、掌握垂径定理，并会运用垂径定理解决有关问题。
【学习重难点】重点：理解并掌握垂径定理及其推论 难点：运用垂径定理解决问题 【学习过程】 模块一 预习反馈 一、知识回顾1、圆是_________图形，其对称轴是_________________的直线，有 条。
2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦与 也 。
在同圆或等圆中，两个 ，两条 ，两条 ，两条 中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
二、自主学习看书74页—75页后，解答下列问题：1、如图， CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD⊥AB，垂足为E ， 观察并猜测：⑴相等的线段： ＝______（除半径外）⑵相等的弧_______ ＝_______, _______＝_______。
证明：2、反过来：CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径）且AE ＝BE ，求证： CD⊥AB, AC=BC ，AD=BD 证明：实践练习：如图, AB 是︵ ︵ ︵ ︵OCBA BAO MBACED O BA CEDOF⊙O 的直径,点C 在⊙O 上, CE ⊥AB 于D, 已知CE=8, OD=3, 求：AB 的长.模块二 合作探究探究1、如图所示，两个同心圆O ，大圆的弦AB 交小圆于C 、D .求证：BD AC =探究2、如图，A 、B 、C 在圆上，且AB=AC=5厘米，BC=8厘米，求圆的半径。
模块三、小结反思： 本课知识：1.垂径定理： 弦的直径 这条弦，并平分弦所对的 . 几何符号语言：∵CD 是⊙O 的直径 又∵CD AB ⊥∴ ， ， 。
2.推论： （不是直径）的直径 于弦，并 弦所对的两条弧 几何符号语言：∵CD 是⊙O 的直径 又∵AE BE =（AB 不是直径）∴ ， ， 。
模块四： 形成提升1、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 。
北师大版数学九年级下册第三章 3.3(2)垂径定理的应用(导学案,无答案)
3.3（2）垂径定理---垂径定理的应用一、教学目标运用垂径定理及其逆定理解决问题．二、教学重点和难点重点：运用垂径定理及其逆定理解决问题．难点：运用垂径定理及其逆定理解决问题，以及应用时如何添加辅助线三、教学过程（一）复习回顾：1. 复述垂径定理和推论垂径定理_____________________________________________________垂径定理的推论：______________________________________________________________2.概念辨析：①垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. （）②平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）③经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （）④圆的两条平行弦所夹的弧相等. （）⑤弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）（二）典型例题例1. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧,点O是这段弧的圆心,AB=300m,C是弧AB上一点,OC⊥AB,垂足为D,CD=45, 求这段弯路的半径。
解：连接OAA例3：如图，直径AB与弦CD交于E点，且E是CD中点，CD=8, AE=2,求直径AB（三）、课堂练习：1.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为多少米？2.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=800mm，则油的最大深度为多少mm？3.如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，则修理工应准备内直径是多少 cm的管道？4.如图是一单位拟建的大门示意图，上部是一段直径为10米的圆弧形，下部是矩形ABCD，其中AB=3.7米，BC=6米，则弧AD的中点到BC的距离是多少米？5. 一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：⑴桥拱半径⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？。
北师大版九年级数学下册3.3垂径定理学案
北师大版数学九年级下《3.3垂径定理》学案学习目标：1.理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．2.通过学习垂径定理及其逆定理的证明，培养类比分析、猜想探索的能力．3.在学习过程中让学生感受几何图形的对称美．进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．学习重点：运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理学习难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明学习过程：一、新知导入1.圆是轴对称图形吗？2.它的对称轴是什么?3.你能找到多少条对称轴？二、新知探究1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．2．垂径定理的内容：______________________________________________几何语言:∵CD是直径,∴_____________、________________、________________3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．4．垂径定理逆定理的探索如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.垂径定理的逆定理: 平分弦（不是直径）的直径________________________________5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？三、课堂练习1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中错误！未指定书签。
错误！未指定书签。
⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，已知CD = 20，CM = 4，求AB.四、拓展提高1.我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。
2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计
2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版数学九年级下册第3.3节的内容，本节课主要介绍垂径定理及其应用。
垂径定理是指：圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径把这条弦平分。
这个定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、性质以及一些基本的运算。
但是，对于证明一个定理，他们可能还不是很熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、推理等方法，逐步理解并证明垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，并掌握其证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和推理能力。
四. 教学重难点1.教学重点：垂径定理的内容及其证明过程。
2.教学难点：如何引导学生通过观察、思考、推理等方法，证明垂径定理。
五. 教学方法1.引导法：通过提问、引导，激发学生的思考，帮助他们理解垂径定理。
2.推理法：引导学生通过观察、推理，证明垂径定理。
3.实例法：通过具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：包括垂径定理的定义、证明过程以及应用实例。
2.教学素材：一些与圆有关的问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.黑板：用于板书重要的概念和证明过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的与圆有关的问题，引导学生复习之前学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。
首先，让学生观察一些与圆有关的几何图形，引导他们发现其中的规律。
然后，通过推理和论证，得出垂径定理的结论。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试用垂径定理解决一些与圆有关的问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）针对学生的讨论结果，进行讲解和分析，巩固他们对垂径定理的理解。
同时，通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。
北师大版九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理教案
课题垂径定理目标（三维目标）1．知识与技能（1）探索并理解垂径定理(2)熟练掌握垂径定理及其逆定理2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•理解定理的推导,掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．重点难点1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教法讲授法演示法学法示范指导法启迪思维法教学过程：（详案）讨论修改一、复习引入（学生活动）请同学口答下面问题（提问一、两个同学）复习上节课内容:包括圆的概念以及与圆相关的概念二、探索新知（实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．（2）AM=BM，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD，即直径CD平分弦AB，并且平分弧ACB和弧ADB．这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为MAM=B求证：M.，，分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、•OB或AC、BC即可．证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∴点A和点B关于CD对称∵⊙O关于直径CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴，三、学生活动（证明垂径定理的逆定理）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD、弦AB（除直径）且AM=BM求证：（1）CD⊥AB （2），四、例题讲解1、如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2cm，OC=1cm，则⊙O的半径长为______cm．2.在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB•与CD之间距离．解：如图所示，过O作OM⊥AB，∵AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．由垂径定理得BM=AB=×40=20cm，∴OM==15cm．同理可求ON==7cm，所以MN=OM-ON=15-7=8cm．以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上五、拓展训练例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．解：如图，连接OC设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m∵OE⊥CD∴CF=CD=×600=300（m）根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+（R-90）2解得R=545∴这段弯路的半径为545m．练习1.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．。
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计
北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。
本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。
垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。
2.难点：垂径定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。
3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。
六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。
2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。
3.练习题：巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。
引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。
3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。
学生分组讨论，分享解题方法。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。
3 3垂径定理导学案 北师大版九年级数学下册
第三章圆3.3 垂径定理【学习目标】：1．会证明垂径定理及其推论，；2．会利用垂径定理及其推论解决与圆有关的问题；【学习重点】：会利用垂径定理及其推论解决与圆有关的问题【学习难点】：理解垂径定理及其推论【学习过程】：一、预学：1、提出问题，创设情境[阅读课本P74第一段，完成下列问题]问题（1）：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.此图是轴对称图形吗？如果是,其对称轴是什么？问题（2）：你能发现图中有哪些相等线段和弧? 为什么?2、目标导引，预学探究（一）问题分析：问题（1）：已知如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M 求证：AM=BM , ⌒AC=⌒BC, ⌒AD=⌒BD问题（2）:下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？问题（3）：如图,AB是⊙O的一条弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD交AB于点M，你能发现图中有哪些等量关系？为什么？问题（X）：（预学后，你还有哪些没弄懂的问题，请列举在下面）：二、研学（合作发现，交流展示）探究一：利用垂径定理求直径或弦的长度1.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.2.如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB 的长是探究二：垂径定理的实际运用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.探究X：总结归纳：1、垂径定理的内容是什么？2. 垂径定理推论的内容是什么？3.涉及垂径定理时添加辅助线的一般方法和思想是什么？三、评学1、积累巩固：（1）⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .（2）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .2、拓展延伸：如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 . 【课堂小结】：通过本课学习，你掌握了哪些知识？获得了哪些技能？还存在什么疑问？。
北师大版数学九年级下册第三章 3.3(1)垂径定理(导学案,无答案)
3.3（1）垂径定理一、教学目标1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题． 二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线 三、教学过程 （一）情境引入：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：1.垂径定理_____________________________________________________2.注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,⋂AC =______,⋂BD =________4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？D【探究二】1.如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M . （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理 少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例：4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径， （1）如果AE=BE 那么CD____AB,⋂AC =____⋂BD =____ (2)如果⋂AC =⋂BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂BD =____ （3）如果⋂AD =⋂BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，⋂AC =______（三）典例讲解：1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？D（四）巩固训练：题组一1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。
第3章3.3垂径定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂径定理的基本原理。
5.培养学生养成良好的学习习惯，提高自主学习、探究学习的能力，形成终身学习的观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解垂径定理的概念：垂径定理是圆的基本性质之一，对于圆的认识具有重要意义。教学过程中应重点讲解垂径定理的定义，使学生明确垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
-掌握垂径定理的证明方法：通过运用勾股定理和圆周角定理，引导学生理解并掌握垂径定理的证明过程，培养学生严谨的逻辑推理能力。
此外，在总结回顾环节，学生们能够较好地掌握垂径定理的基本概念和应用。但我也注意到，部分学生在提问环节显得较为拘况，我将在课堂上鼓励学生大胆提问，充分表达自己的观点，同时给予他们更多的肯定和鼓励。
最后，针对本节课的教学，我认为以下方面需要改进：
a.引导学生观察图形，发现垂径定理的规律。
b.分步骤解释证明过程，强调勾股定理和圆周角定理的应用。
c.通过提问和互动，了解学生在证明过程中遇到的难点，并针对性地进行解答。
d.组织学生进行小组讨论，共同解决证明过程中的问题，培养学生的团队合作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到圆中某个点，使得从这个点到圆周上某点的距离最短的情况？”（例如：如何在一张纸上剪出一个最大的圆）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
九年级数学下册(北师大版)配套教学学案：3.3垂径定理
全新修订版教学设计
（学案）
九年级数学下册
老师的必备资料
家长的帮教助手
学生的课堂再现
北师大版
*3.3 垂径定理
学习目标:
经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．
学习重点:
垂径定理及其应用．
学习难点:
垂径定理及其应用．
学习方法:
指导探索与自主探索相结合。
学习过程:
一、举例：
【例1】判断正误：
（1）直径是圆的对称轴．
（2）平分弦的直径垂直于弦．
【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．
【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD 的长．
【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．。
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学设计
（一）教学重难点
1.重点：理解并掌握垂径定理及其证明过程，能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
2.难点：
（1）从具体实例中抽象出垂径定理，理解其几何本质。
（2）运用逻辑推理证明垂径定理，培养学生的逻辑思维和推理能力。
（3）将垂径定理应用于解决与圆相关的实际问题，提高学生的应用能力。
5.小组合作题：安排一道需要团队合作完成的题目，要求学生在小组内部分工合作，共同解决问题。这样的题目有助于提高学生的沟通协作能力，同时也能让学生在合作中发现问题、解决问题。
作业要求：
1.学生需独立完成作业，书写规范，保持卷面整洁。
2.对于提高拓展题和实践应用题，鼓励学生尝试不同的解题方法，注重解题过程的逻辑性和思维的创造性。
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生完成课后练习题中与垂径定理相关的前三题，旨在帮高拓展题：选择两道具有一定难度的题目，要求学生在理解垂径定理的基础上，结合其他几何知识，如圆周角定理、相似三角形等，解决问题。这样的题目旨在培养学生的综合解题能力和逻辑思维。
4.教学策略：
（1）注重分层教学，针对不同水平的学生，设计不同难度的教学任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达和倾听能力。
（3）关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，激发学生的学习兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习引入：首先，引导学生复习圆的基本概念，如半径、直径、弦、弧等。通过提问方式，让学生回顾这些概念的定义及性质，为新课的学习打下基础。
3.小组合作题需明确每个成员的责任，确保每个学生都能积极参与，共同完成任务。
北师大版数学九年级下册第三章 3.3 垂径定理
#北师大版数学九年级下册第三章 3.3 垂径定理1. 引言垂径定理是数学中的一个重要定理，它涉及到直角三角形的性质和垂线的特点。
通过研究垂径定理，我们可以更好地理解直角三角形的性质，并且在解题过程中可以运用这个定理来简化问题。
本文将详细介绍北师大版数学九年级下册第三章中的3.3节垂径定理。
2. 垂径定理的表述垂径定理是指：在直角三角形中，如果一条垂线分别与两个直角边相交，那么这条垂线与两个直角边的交点分别构成的两条线段的乘积相等。
具体地说，设直角三角形ABC中，∠B是直角，BD是BC边上的高，垂足为D，AD称为锐角边上的垂线，CD称为直角边上的垂线。
根据垂径定理可知：AD * CD = BD^2（即锐角边上的垂线与直角边上的垂线之积等于高的平方）。
3. 垂径定理的证明为了证明垂径定理，我们可以利用几何图形中的相似三角形性质来进行推导。
首先，我们假设直角三角形ABC中∠B是直角，BD是BC边上的高，垂足为D，AD为锐角边上的垂线，CD为直角边上的垂线。
由于∠B是直角，所以四边形ABCD是一个矩形，即∠A = ∠C = 90°。
根据几何图形中的相似三角形性质，我们可以得到三个相似三角形：△ADB与△CDB相似，△ABC与△ADC相似，△ABD与△CBD相似。
由于△ADB与△CDB相似，所以有：AD/BD = BD/CD，即AD * CD = BD^2。
由于△ABC与△ADC相似，所以有：AB/AD = AD/CD，即AB * CD = AD^2。
由于△ABD与△CBD相似，所以有：AB/BD = BD/CD，即AB * CD = BD^2。
通过以上三个等式，我们可以发现：AD * CD = BD^2 = AB * CD = AD^2。
综上所述，根据垂径定理的证明，我们得出结论：在直角三角形中，一条垂线分别与两个直角边相交，那么这条垂线与两个直角边的交点分别构成的两条线段的乘积相等。
4. 垂径定理的应用垂径定理在解题过程中有着广泛的应用。
北师大九年级数学下 3.3 垂径定理 导学案
*3.3 垂径定理学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．学习重点:垂径定理及其应用．学习难点:垂径定理及其应用．学习方法:指导探索与自主探索相结合。
学习过程:一、举例：【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴．（2）平分弦的直径垂直于弦．【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF 为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．6．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为米．三、课后练习：1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD2、已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm 和7cm 两部分，求：圆心O到弦AB 的距离3、已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4、已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于E DF ⊥CD 交AB于F 求证：AE ＝BF6、已知：△ABC 内接于⊙O ，边AB 过圆心O ，OE 是BC 的垂直平分线，交⊙O于E 、D 两点，求证，⋂=⋂BC 21AE7、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF8、在⊙O 中，弦AB ∥EF ，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF。
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O
C E D
O
一、教学目标
3.3（1）垂径定理
1. 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；
2. 运用垂径定理及其逆定理解决问题．
二、教学重点和难点
重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线三、教学过程 （一）情境引入：
1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD ，使 CD ⊥AB ，垂足为 M ．
（1） 该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2） 你能图中有哪些等量关系？
（3） 你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
（二）知识探究：
【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到： 1. 垂径定理 2. 注意：
①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
③定理中的两个条件缺一不可—— ， ． 3. 给出几何语言
⋂
如图，已知在⊙O 中，A B 是弦，C D 是直径，如果 CD⊥AB,垂足为 E, 那么 AE=
, AC
C
⋂
=
, B D =
4. 辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
B B
D
O C
C D A
A
E
B
O
B
O
A
【探究二】
1. 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD ，交 AB 于点 M . （1） 下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2） 图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
2. 垂径定理的推论：
3. 辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理
少了“不是直径”，是否也能成立？ 反例：
C
D
4. 如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径，
C
⋂
⋂
（1）如果 AE=BE 那么 CD
AB, AC = BD =
⋂
⋂
⋂
(2)如果 AC = BC 那么 CD
AB ，AE BE ， B D =
⋂
⋂
⋂
（3）如果 AD = BD 那么 CD AB ，AE
BE ， AC =
（三）典例讲解：
1. 例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中
⌒
,点 0 是⌒
所在圆的圆心），其中
CD
CD
CD =600m ，E ⌒ 为 上的一点，且 CD
OE ⊥CD ，垂足为 F ，EF =90m.求这段弯路的半径．
2. 如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
A
E B
O
O
C
D A
B
O
（四）巩固训练：
题组一
1. 如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC⊥AB 于 C ，若 AO=5,OC=3,求弦 AB 的长。
2. ⊙O 的弦 AB 为 5cm ，所对的圆心角为 120°，求圆心 O 到这条弦 AB 的距离。
题组二
3. 如图：将半径为 2 厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O ，则折痕 AB 的长为（
）
4. 如图，在⊙O 中，AB 为弦，C,D 是 AB 上两点，且 AC=BD,试判断 OC 与 OD 的数量关系，
并说明理由。
A
B
图2
5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 过弦 EF 的中点 G,∠EOD=60°，OE=5,求 EF 和 DF 的长
C
D
图3
6. 圆内一弦与直径相交成 30°且分直径为 1cm 和 5cm ，则圆心到这条弦的距离为
CM
O
E
G F
41 2 3 D
F
A
B
E
O
C
题组三
7. 已知⊙O 的半径为 5，圆心 O 到弦 AB 的距离为 3， 则⊙O 上到弦 AB 所在直线的距离为 2 的点有 （
）个。
A.1 B.2 C.3 D.4
8. 过⊙O 内一点 M 的最长弦长为 10cm ，最短弦长为 8cm ，那么 OM 长为（ ）
A. 3cm
B ．6cm
C ． cm
D ．9cm
变式:① 如图， P 是半径为 5 的圆 O 内的一点， 且 OP=3， 过点 P 且长度小于 8 的弦有
（ ）
A.0 条
B.1 条
C.2 条
D.无数条
②如图, P 是半径为 5 的圆 O 内的一点，且 OP=3，过点 P 且长度小于 10 且长度为整数的弦有 条.
8. 已知⊙O 的半径为 10，弦 AB∥CD，AB=12，CD=16，则 AB 和 CD 的距离为
9. 已知：⊙Ｏ的半径ＯＡ＝１，ＡＢ＝
,ＡＣ＝ ,求∠ＢＡＣ的度数.
10. 已知，如图 ，⊙O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E,AE=1,BE=5, ∠AEC=450
,求 CD 的长。
11. 如图，∠C=90°，⊙C 与 AB 相交于点 D ，AC=5，CB=12，则 AD=
B
C
A
O P
O
_ A
_ _B
D
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。