第21讲圆的基本性质(原卷版)

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六年级数学课件圆的基本性质

交通工具：汽车、自行车等车轮的设计都采用了圆形，因为圆形的车轮滚动摩擦力最小，行驶起来最省力。
建筑结构：桥梁、高架路等建筑结构中，也常常采用圆形作为受力结构，因为圆形的受力分布均匀，能够承受更大的重量。
数学中的圆的应用
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圆在几何学中的应用：圆是几何学中一个基本图形，可以用来研究图形的性质和特点，例如圆周长、圆面积、圆心角等。
圆的定义可以用来描述圆的特征和性质
圆的形成
圆的概念：圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合
圆的形成：通过绕一个固定点旋转直线来形成圆
圆的基本性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的应用：圆在生活和生产中有着广泛的应用，如车轮、钟表等
圆的基本属性
圆的概念：平面上所有与给定点（中心）距离相等的点的集合
周长的定义：图形边界的总长度
圆的面积公式推导
圆的面积公式：S=πr²
注意事项：在推导过程中，需要注意扇形的数量和大小，以确保推导结果的准确性。
拓展知识：除了圆的面积公式外，还可以推导出其他与圆相关的公式，如圆的周长公式、圆的半径公式等。
推导过程：通过将圆分割成若干个扇形，再将这些扇形重新组合成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。
圆的性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的基本元素：圆心、半径、直径
圆的面积和周长计算公式
03
圆的基本性质
圆心与半径
圆心的定义：圆心是圆的中心点，通过圆心的任意直线都可以将圆等分。
半径的定义：半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，是圆的特征之一。
半径的长度：半径的长度等于圆的直径的一半，可以通过测量或计算得出。
圆与对称轴的关系

圆的基本性质课件

圆与直线的位置关系
判定直线与圆的位置关系：直线与圆有三种可能的位置关系，相离（直线与圆没有交点），相切（直线与圆有一个切点），相交（直线与圆有两个交点）。
圆与圆的位置关系
判定两个圆的位置关系：两个圆之间有四种可能的位置关系，相离（两个圆没有交点），外切（两个圆相切于外面的一点），相交（两个圆相交于两个不重合的交点），内切（一个圆位于另一个圆的内部且相切于内面）。
切线和弧长
切线是与圆相切且只有一个交点的直线。弧长是弧上的一段弧的长度，它与整个周长之间的关系为弧长 = 圆心角度数 / 360° × 周长。
圆的判定定理
判定两个圆是否相交：两个圆的半径之和大于它们的圆心之间的距离即可。判定一点与圆的位置关系：如果点到圆心的距离小于半径，则该点在圆的内部；如果点到圆心的距离等于半径，则该点在圆上；如果点到圆心的距离大于半径，则该点在圆的外部。
圆的基本性质
欢迎来到本次PPT课件，我们将介绍圆的基本性质。让我们一起探索圆的定义、周长和面积公式，圆心角和圆周角，切线和弧长，圆的判定定理，以及圆与直线、圆与圆的位置关系。
圆的定义和元素
圆由一组等距离于圆心的点组成，圆心为圆的中心点。元素有半径（圆心到圆上任一点的距离）和直径（通过圆心而且两端落在圆上的线段）。
圆的周长和面积公式
圆的周长是圆上的一段弧的长度，它与圆的直径之间的关系为周长 = 直径 ×半径之间的关系为面积 = 半径²× π。
圆心角和圆周角
圆心角是以圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。圆周角是以圆上两点和圆心为顶点的角，它的度数等于对应的弧所夹的角度。

圆的基本性质课件

4、已知∠AOB＝110°，求：
B ∠ACB
O
A
C A
B C
• 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
• 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
推论
• 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？
• 什么时候圆周角是直角？反过来呢？
题设
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
结论
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB
想结换①③一论，③ ④想中情：的况如会5个果怎条② ④ ⑤将样① ② ⑤件题？适设②③当③⑤和互
①④④ ⑤
② ③ ⑤① ② ③
② ④
①① ④② ⑤④
①
C
③
⑤
A
E
O
D
B
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
• 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
• 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`， OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。
2、如图，在△ABC中，∠A＝40° A
O是△ABC的外心，则
∠BOC＝ 80° .
O
如果O为内心，∠BOC＝ 110° B
C
例题讲解
• 例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。

(江西人教)数学中考复习方案【第21课时】圆的基本性质(25页)

赣考解读
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第21课时
圆的基本性质
变式题
[2013·南昌模拟] 如图 21－8，AB 是⊙O 的直径，
CD 是弦，AB⊥CD，垂足为 E，连接 OD，CB，AC，如果∠DOB＝60 °，EB＝2，那么 CD 的长为( D )
A. 3 C．3
3
B．2 D．4
3 3
图21－8
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第21课时
探究二
圆的基本性质
圆心角、圆周角的相关计算
例2 [2014•南昌] 如图21－9所示，A，B，C，D四个点均在 ⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为( D ) A．40° B．45°
C．50°
D．55°
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第21课时
圆的基本性质
[解析] 如图所示，连接 OC，先求出∠AOC 的度数，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解． ∵AO∥DC，∴∠D＝∠AOD＝70°. ∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠D＝70°， ∴∠DOC＝40°，∴∠AOC＝110°， 1 ∴∠B＝ ∠AOC＝55°.故选 D. 2
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第21课时
圆的基本性质
(1)圆周角定理能有效地把圆心角与圆周角联系起来，即同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半； (2)圆中任意两条半径和弦组成的三角形都是等腰三角形．
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第21课时
圆的基本性质
变式题
[2014 •河池 ] 如图 21 － 10 ， BC 是⊙ O 的直径，AD⊥BC，若
相等⇔弦相等⇔弦心距在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧____

第21讲圆的基本性质

第六单元圆第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D 的度数为130°．。

圆的基本性质(解答题)

21．圆的基本性质（解答题）三、解答题85.（2009柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长．【关键词】圆证明：（1）连结AC，如图。

∵C是弧BD的中点∴∠BDC＝∠DBC又∠BDC＝∠BAC在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB∴ ∠BCE＝∠BAC∠BCE＝∠DBC∴ CF＝BF因此，CF＝BF．（2）证法一：作CG⊥AD于点G，∵C 是弧BD 的中点∴ ∠CAG＝∠BAC ，即AC 是∠BAD 的角平分线．∴ CE＝CG ，AE ＝AG在Rt△BCE 与Rt△DCG 中，CE ＝CG ， CB ＝CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE＝DG∴AE＝AB-BE ＝AG ＝AD+DG即 6-BE ＝2+DG∴2BE＝4，即 BE ＝2又 △BCE∽△BAC∴ 212BC BE AB ==·32±=BC （舍去负值） ∴32=BC（2）证法二：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB∴∠BEF＝︒=∠90ADB ，在Rt ADB △与Rt FEB △中，∵FBE ABD ∠=∠∴ADB △∽FEB △，则BF AB EF AD = 即BFEF 62=， ∴EF BF 3= 又∵CF BF =， ∴EF CF 3=利用勾股定理得：EF EF BF BE 2222=-=又∵△EBC∽△ECA则CE BE AE CE =，即则BE AE CE ⋅=2 ∴BE BE EF CF ⋅-=+)6()(2即EF EF EF EF 22)226()3(2⋅-=+∴22=EF ∴3222=+=CE BE BC .86.(2009年四川省内江市)如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E 、F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC.求证：（1）CD ⊥DF ；（2）BC ＝2CD【关键词】三角形全等的判定.【答案】证：（1）设∠DFC ＝θ，则∠BAD ＝2θ在△ABD 中，∵AB ＝AD ， ∴∠ABD ＝∠ADB∠ABD ＝12（180°-∠BAD ）＝90°-θ又∠FCD ＝∠ABD ＝90°-θ∴∠FCD+∠DFC ＝90°∴CD ⊥DF（2）过F 作FG ⊥BC 于G在△FGC 和△FDC 中，∠FCG ＝∠ADB ＝∠ABD ＝∠FCD∠FGC ＝∠FDC ＝90°,FC ＝FC∴△FGC ≌△FDC∴GC ＝CD 且∠GFC ＝∠DFC又∠BFC ＝2∠DFC∴∠GFB ＝∠GFC∴BC ＝2GC ， ∴BC ＝2CD.87．（2009年甘肃庆阳）（10分）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，延长AP 交圆于点E ．（1）∠E ＝度；（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；（3）求弦DE 的长．【关键词】圆周角和圆心角；相似三角形【答案】本小题满分10分解：（1）45．（2）△ACP∽△DEP．理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，∴ △ACP∽△DEP．（3）方法一： ∵ △ACP∽△DEP， ∴ .AP AC DP DE = 又 AP ＝522=+DP AD ，AC ＝2222=+DC AD ，∴ DE＝5102．方法二：如图2，过点D 作DF AE ⊥于点F ．在Rt ADP △中， AP 225,AD DP +又1122ADP S AD DP AP DF ==△， ∴ DF＝552．∴ 51022==DF DE ．88.(2009年衢州）如图，AD 是⊙O 的直径．(1) 如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是，∠B 2的度数是；(2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，分别求∠B 1，∠B 2， ∠B 3的度数；(3) 如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数(只需直接写出答案)．【关键词】开放性试题【答案】解：(1) 22.5°，67.5°(2) ∵ 圆周被6等分，∴ 11B C ＝12C C ＝23C C ＝360°÷6＝60°．∵ 直径AD ⊥B 1C 1，∴ 1AC ＝1211B C ＝30°，∴ ∠B 1m =121AC ＝15°． ∠B 2m =122AC ＝12×(30°＋60°)＝45°， ∠B 3m =123AC ＝12×(30°＋60°＋60°)＝75°． (3) 11360360[(1)]2222n B n n n ︒︒∠=⨯+-⨯(9045)n n-︒=． (或3604590908n B n n︒︒∠=︒-=︒-)89. （2009年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝∠BDC＝60°，AC ＝cm 32，（1）求∠BAC 的度数；（2）求⊙O 的周长【关键词】圆【答案】90.（2009年广西钦州）（2）已知：如图2，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 15．求⊙O 1的半径．B A O图2 x y A BO 1O【关键词】垂径定理、勾股定理、坐标系【答案】（2）解：过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ，则有AC ＝BC ． B A O图2 x yA BO 1O C由A （1，0）、B （5，0），得AB ＝4，∴AC ＝2．在1Rt AO C △中，∵O 15，∴O 1C 5．∴⊙O 1的半径O 1A 22221(5)2O C AC ++3．91．(2009年南充)如图8，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．P BCE A【关键词】圆的性质，三角形相似的性质【答案】解：AB 是半圆的直径，点C 在半圆上，90ACB ∴∠=°．在Rt ABC △中，22221068AC AB BC =-=-= （2）PE AB ⊥，90APE ∴∠=°．90ACB ∠=°，APE ACB ∴∠=∠．又PAE CAB ∠=∠，AEP ABC ∴△∽△，PE AP BC AC∴= 110268PE ⨯∴= 301584PE ∴==．92．（2009年哈尔滨）如图，在⊙O 中，D 、E 分别为半径OA 、OB 上的点，且AD ＝BE ．点C 为弧AB 上一点，连接CD 、CE 、CO ，∠AOC＝∠BOC．求证：CD ＝CE ．【关键词】圆的半径，圆心角【答案】此题证明△OCD 与△OCE 全等即可，给出了一对角相等，再利用半径相等的性质即可得证OA OB AD BE ==，，OA AD OB BE ∴-=-，即OD OE =．93．（2009年中山）（1）如图1，圆心接ABC △中，AB BC CA ==，OD 、OE 为O ⊙的半径，OD BC ⊥于点F ，OE AC ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC △的面积的13．（2）如图2，若DOE ∠保持120°角度不变，求证：当DOE ∠绕着O 点旋转时，由两条半径和ABC △的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC △的面积的13．【关键词】圆的内接三角形【答案】（1）如图1，连结OA OC ，，因为点O 是等边三角形ABC 的外心，所以Rt Rt Rt OFC OGC OGA △≌△≌△．2OFCG OFC OAC S S S ==△△，因为13OAC ABC S S =△△，所以13OFCG ABC S S =△．（2）解法一：连结OA OB ，和OC ，则AOC COB BOA △≌△≌△，12∠=∠，不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，3412054120AOC DOE ∠=∠+∠=∠=∠+∠=°，°，35∴∠=∠．在OAG △和OCF △中，1235OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， OAG OCF ∴△≌△，13OFCG AOC ABC S S S ∴==△△．解法二：不妨设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，作OH BC OK AC ⊥⊥，，垂足分别为H K 、，在四边形HOKC 中，9060OHC OKC C ∠=∠=∠=°，°，360909060120HOK ∴∠=-︒-︒=︒°-?，即12120∠+∠=°．又23120GOF ∠=∠+∠=°，13∴∠=∠．AC BC =， OH OK ∴=，OGK OFH ∴△≌△，13OFCG OHCK ABC S S S ∴==△．在ODC △ 和OEC △中，OD OE DOC EOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ODC OEC ∴△≌△．CD CE ∴=．94.（2009年广州市）如图，在⊙O 中，∠ACB ＝∠BDC＝60°，AC ＝cm 32，（1）求∠BAC 的度数；（2）求⊙O 的周长【关键词】圆【答案】95. （2009年株洲市）（本题满分10分）如图，点A 、B 、C 是O 上的三点，//AB OC .（1）求证：AC 平分OAB ∠.（2）过点O 作OE AB ⊥于点E ，交AC 于点P . 若2AB =，30AOE ∠=︒，求PE 的长．【关键词】与圆有关的综合题【答案】（1）∵//AB OC ， ∴C BAC ∠=∠；∵OA OC =，∴C OAC ∠=∠ ∴BAC OAC ∠=∠ 即AC 平分OAB ∠.（2）∵OE AB ⊥ ∴112AE BE AB === 又30AOE ∠=︒，90PEA ∠=︒∴60OAE ∠=︒∴1302EAP OAE ∠=∠=︒， ∴12PE PA =，设PE x =，则2PA x =，根据勾股定理得2221(2)x x +=，解得3x =tan PE EAP AE ∠=）即PE 397.(2009年潍坊)如图所示，圆O 是ABC △的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、．（1）求证：BD DC DI ==；（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=°，求BDC △的面积．（1）证明：AI 平分BAC ∠BAD DAC BD DC ∴∠=∠∴=，BI 平分ABC ABI CBI ∠∴∠=∠，BAD DAC DBC DAC ∠=∠∠=∠，BAD DBC ∴∠=∠，又DBI DBC CBI DIB ABI BAD ∠=∠+∠∠=∠+∠， DBI DIB BDI ∴∠=∠∴，△为等腰三角形 BD ID BD DC DI ∴=∴==，（2）解：当120BAC ∠=°时，ABC △为钝角三角形，∴圆心O 在ABC △外，连结OB OD OC 、、，2120DOC BOD BAD ∴∠=∠=∠=°， 60DBC DCB ∴∠=∠=°，∴BDC △为正三角形．又知10cm OB =，32sin 60210103cm BD OB ∴==⨯⨯=° 223(103)753cm BDC S ∴=⨯=△.答：BDC △的面积为7532．98.（09湖北宜昌）已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，BC CD DE ==，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？【关键词】圆的基本性质、圆周角和圆心角【答案】解：（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝∠BAE＝90°．∵ BC CD DE==，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE．∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°．∵在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝2sin30°＝1， AC＝2cos30°＝3．∴S△ACD＝1 2AC×CD ＝32．(2) 连BD，∵∠A BD＝90°，∠BAD＝＝60°，∴∠BDA＝∠BCA＝30°，∴BA＝BC.作BF⊥AC，垂足为F，（5分）∴AF＝12AC＝32，∴BF＝AFtan30°＝12，∴S△ABC＝12AC×BF ＝34，∴S ABCD＝334．∵S⊙O＝π ，∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝334π＝334π．（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M．∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD．∴四边形ABCD为等腰梯形．∵CM＝ACsin30°＝32，∴S ABCD＝12(BC+AD)CM＝334．∵S⊙O＝π，∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝334π＝334π．99.(2009年黄冈市)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C 作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：BFBGBC⋅=2.【关键词】圆周角性质【答案】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°又∵CD⊥AB于点D，∴∠BCD＝90°－∠ABC＝∠A＝∠F∵∠BCD＝＝∠F，∠FBC＝∠CBG∴△FBC∽△CBG∴CBFBBGBC=∴BFBGBC⋅=2100. （2009襄樊市）如图12，已知：在O中，直径4AB=，点E是OA上任意一点，过E作弦CD AB⊥，点F是BC上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD．（1）求证：ACH AFC△∽△；（2）猜想：AH AF与AE AB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E 位于何处时，14?AEC BOD S S =△△::并加以说明．证明：（1）∵直径AB CD ⊥ ∴AC AD = ∴F ACH ∠=∠ 又CAF FAC ∠=∠ ∴ACH AFC △∽△（2）答：AH AF AE AB =,连接FB ∵AB 是直径，∴90AFB AEH ==︒∠∠ 又EAH FAB =∠∠ ∴Rt Rt AEH AFB △∽△∴AE AHAF AB =∴AH AF AE AB =（3）当32OE =（或12AE =）时，14AEC BOD S S =△△．::∵直径AB CD ⊥ ∴CE ED =∵1122AEC BOD S AE EC S OB ED ==△△，∴14AEC BOD S AE S OB ==△△∵O 的半径为2∴2124OE -= ∴32OE =101.（2009湖北省荆门市）如图，半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．（1）求证：PA·PB＝PC·PD；（2）设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；（3）若AB＝8，CD＝6，求OP的长．解:（1）∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C．∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴AP PDCP PB=，∴PA·PB＝PC·PD；（2）∵F为BC中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂径定理：∴OM2＝（52－42＝4，ON2＝（52－32＝11又易证四边形MONP是矩形，2215OM ON+=.102. 44.（2009年泸州）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．【关键词】三角函数及切线的判定. 【答案】(1)如图,连结OD 、BD. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB ＝90°,∴BD ⊥AC. ∵AB ＝BC,∴AD ＝DC. ∵OA ＝OB,∴OD ∥BC, ∵DE ⊥BC,OD ⊥DE, ∴直线DE 是⊙O 的切线.(2)作DH ⊥AB,垂足为H,则∠EDH+∠E ＝90°, 又∵DE ⊥OD,∴∠ODH+∠EDH ＝90°,∴∠E ＝∠ODH, ∵AD ＝DC,AC ＝8,∴AD ＝4. 在Rt △ADB 中,3452222=-=-=AD AB BD ,由三角形面积公式得:AB ·DH ＝DB ·DA,即5DH ＝4×3,解得512=DH , 在Rt △ODH 中,cos ∠ODH ＝5.2512＝2524,∴cosE ＝2524.103. （2009年常德市）如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连接BE ，△ABE 与△ADC 相似吗？请证明你的结论．【关键词】圆【答案】△ABE 与△ADC 相似．理由如下：在△ABE 与△ADC 中∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ABE＝90o， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的高， ∴∠ADC＝90o， ∴∠ABE＝∠ADC．又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA＝∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．104.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝ 60︒，AB 与PC 交于Q 点．（1）判断△ABC 的形状，并证明你的结论；（2）求证：QBAQPB AP =；（3）若∠ABP ＝ 15︒，△ABC 的面积为43，求PC 的长．解:（1）证明:∵ ∠ABC ＝∠APC ＝ 60︒，∠BAC ＝∠BPC ＝ 60︒，∴ ∠ACB ＝ 180︒－∠ABC －∠BAC ＝ 60︒， ∴ △ABC 是等边三角形．（2）如图，过B 作BD ∥PA 交PC 于D ，则 ∠BDP ＝∠APC ＝ 60︒．又 ∵ ∠AQP ＝∠BQD ， ∴ △AQP ∽△BQD ，BDAPQB AQ =． ∵ ∠BPD ＝∠BDP ＝ 60︒， ∴ PB ＝ BD ． ∴PBAPQB AQ =．（3）设正△ABC 的高为h ，则 h ＝ BC · sin 60︒．∵21BC · h ＝ 43，即21BC · BC · sin 60︒ ＝ 43，解得BC ＝ 4．连接OB ，OC ，OP ，作OE ⊥BC 于E ．由△ABC 是正三角形知∠BOC ＝ 120︒，从而得∠OCE ＝ 30︒， ∴ 3430cos =︒=CE OC ．由∠ABP ＝ 15︒ 得 ∠PBC ＝∠ABC +∠ABP ＝ 75︒，于是 ∠POC ＝ 2∠PBC ＝ 150︒． ∴ ∠PCO ＝（180︒－150︒）÷2 ＝ 15︒．如图，作等腰直角△RMN ，在直角边RM 上取点G ，使∠GNM ＝ 15︒，则∠RNG ＝ 30︒，作GH ⊥RN ，垂足为H ．设GH ＝ 1，则 cos ∠GNM ＝ cos15︒ ＝ MN ． ∵ 在Rt △GHN 中，NH ＝ GN · cos30︒，GH ＝ GN · sin30︒．于是 RH ＝ GH ，MN ＝ RN · sin45︒，∴ cos15︒ ＝462+．在图中，作OF ⊥PC 于E ，∴ PC ＝ 2FD ＝ 2 OC ·cos15︒ ＝36222+．105.(2009年福建省泉州市)已知：直线y ＝kx(k ≠0)经过点（3，-4）.(1)求k 的值；(2)将该直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相离（点O 为坐标原点）,试求m 的取值范围.【关键词】直线与⊙O 相离【答案】解：（1）依题意得：-4＝3k ，∴k ＝34-（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线l 所对应的函数关系式为y ＝34-x+m(m ＞0) 设直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，（如图所示）当x ＝0时，y ＝m;当y ＝0时，x ＝43m. ∴A(43m,0),B(0,m)，即OA ＝43m ，OB ＝m 在Rt △OAB 中，AB ＝22OB OA + 2＝m m m 4516922=+ 过点O 作OD ⊥AB 于D ，∵S △ABO ＝21OD ·AB ＝21OA ·OB ∴21OD ·m 45＝21·43m ·m ∵m ＞0,解得OD ＝53m依题意得：53m ＞6，解得m ＞10即m 的取值范围为m ＞10.。

初三数学专题复习：圆的基本性质复习教案

6 4第六单元圆第21讲圆的基本性质一、教学目标: 1、认识圆，理解圆的本质属性，理解垂直于弦的直径的性质和推论、弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理及推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.2、灵活运用圆的性质定理解决有关圆的问题，提高分析问题、解决问题的能力；3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。

二、教学重难点:1、灵活运用圆的性质定理解决有关圆的计算和证明。

2、圆中常见题型的归纳总结，特别是多解问题的分析，提高学生解决问题的能力。

三、教学用具:PP、三角板、彩色粉笔四、学情分析：通过概念辨析提高学生对概念的理解，通过典型例题深化学生对圆的性质定理的理解运用。

五、教学方法：讨论、交流、讲练结合法。

六、教学资源：教学设计、教材、复习练习册七、教学过程：（一）圆的有关概念1、（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离 ,都等于（2）到定点的距离等于定长的点都在上．2、填空（1）到定点O的距离为2cm的点组成了以为圆心，为半径的圆。

（2)正方形的四个顶点在以为圆心，以为半径的圆上。

（3）下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（）个。

A、1 B、2 C、3 D、4（思政元素：感受圆的轴对称性和圆的旋转不变性，体会数学和生活中圆的魅力。

）（二）垂径定理和推论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.例1、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.例2、如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.练习1、如图a、b,一弓形弦长cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.练习2、已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .练习3、⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .（三）弧、弦、圆心角关系例1、如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.例2、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（）练习、如图，AB 是⊙O 的直径， BC = CD = DE ，∠COD=35°，∠AOE = ．（四）圆周角定理及推论例1 如图，AC是☉O的直径(1)若∠A=80°.求∠ACB的大小.（2）若AC为10cm，弦AD为6cm.求DC的长；（3）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．例2、如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．45° C．60° D．75方法总结：在圆中如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．例3、如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数.例4、（1）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .（2）⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D=例5、如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：弧BD=弧DE .（五）课堂小结:总结本课知识点和常规解法指导。

圆的基本性质.PPT

探究二
圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．
︵例 2 如图，已知 AB 是⊙O 的直径， BC ︵︵＝ CD ＝ DE . ∠ BOC ＝ 40 °，那么∠AOE ＝ ( B ) A．40° B．60° C．80° D．120°
考点聚焦
归类探究
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三直角三角形角形是________
考点聚焦
归类探究
考点5
圆内接多边形
圆内接多边形圆内接四边形的性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆
互补圆内接四边形的对角_________
圆的基本性质
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考点1 圆的有关概念及性质
定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径．定义 2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
考点聚焦
归类探究
弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
相等，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________ 圆周角定理一半都等于该弧所对的圆心角的________
推论 1 推论 2 推论 3
相等在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______ 直角；90°的圆周角所半圆(或直径)所对的圆周角是______ 直径对的弦是______
考点聚焦
归类探究
归类探究
探究一垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．

第01讲圆的基本概念和性质(知识解读)(原卷版)

第01讲圆的基本概念和性质1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.知识点1：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。

圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。

确定圆的条件：1）圆心；2）半径。

备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。

【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。

圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

知识点2 ：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。

直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。

备注：1）直径是同一圆中最长的弦。

2）直径长度等于半径长度的2倍。

⏜，读作圆弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB弧AB或弧AB。

等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。

【题型1 圆的定义及性质】【典例1】（2021秋•大同区校级期末）能决定圆的位置的是（）A．圆心B．半径C．直径D．周长【变式11】（2022秋•椒江区校级月考）下列图形为圆的是（）A．B．C．D．【变式12】（2022春•广饶县期末）画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的（）A．直径B．半径C．周长D．面积【变式13】（2022秋•巴东县期中）一个圆的面积为πcm2，则它的半径为（）cm．A．±1B．πC．0D．1【变式14】（2022秋•涪城区期中）下列结论正确的是（）A．半径相等的两条弧是等弧B．半圆是弧C．半径是弦D．弧是半圆【典例2】（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C 为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE 的度数．【变式21】（海口模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°【变式22】（崆峒区期末）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度数．（2）求∠EOD的度数．【典例3】（2022秋•公安县月考）已知⊙O的半径是4cm，则⊙O中最长的弦长是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【变式31】（2021秋•互助县期末）已知⊙O的直径为10cm，则⊙O的弦不可能是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm【变式32】（2021秋•玉林期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【题型2 圆的有关概念】【典例4】（2022秋•长顺县月考）下列4个说法中，正确的有（）①直径是弦②弦是直径③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴④弧是半圆A．1个B．2个C．3个D．4个【变式41】（2022秋•巧家县期中）下列说法中，正确的是（）A．过圆心的直线是圆的直径B．直径是圆中最长的弦C．相等长度的两条弧是等弧D．顶点在圆上的角是圆周角【变式42】（2022秋•下城区校级月考）下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等【变式43】（2022春•莘县期末）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1．（2023•怀宁县一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，则∠E等于（）A．42°B．29°C．21°D．20°2．（2023•增城区一模）如图，在半圆所对应圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A．C1＞C2B．C1＜C2C．C1＝C2D．不能确定3．（2022•南山区校级模拟）数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是（）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”4．（2022•路南区三模）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（）A．无数个B．3个C．2个D．1个5．（2022•潮安区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以点C 为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则⊙C的半径为（）A．B．8C．6D．5 6．（2022•广陵区二模）如图，在扇形AOB中，D为上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD＝OA，∠O＝75°，则∠A的度数为（）A．35°B．52.5°C．70°D．72°7．（2022•金沙县一模）下列说法中，不正确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆有无数条对称轴C．圆的每一条直径都是它的对称轴D．圆的对称中心是它的圆心8．（2022•南山区模拟）一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，则该圆的直径是（）cm cmcmcm D．3cm或9cm9．（2023•南关区一模）如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C 在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（）A．a B．b C．a+b D．a﹣b1．下列说法中，正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．在同圆或等圆中，等弦对等弧C．优弧一定比劣弧长D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等2．下列图形中表示的角是圆心角的是（）A．B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（）A．35°B．55°C．75°D．95°4．在⊙O中＝2，则弦AB与弦CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．AB＝CD 5．下列说法正确的是（）A．等弧所对的弦相等B．相等的弦所对的弧相等C．相等的圆心角所对的弧相等D．相等的圆心角所对的弦相等6．如图，半径OC⊥AB，弧BC的度数为70°，则∠AOC＝（）A．20°B．35°C．55°D．70°7．如图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是（）A．4πr B．2πr C．πr D．2r8．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1B．2C．3D．49．下列说法：①直径是弦②弦是直径③半圆是弧，但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，小明顺着大半圆从A地到B地，小红顺着两个小半圆从A地到B地，设小明、小红走过的路程分别为a、b，则a与b的大小关系是（）A．a＝b B．a＜b C．a＞b D．不能确定11．如图，⊙O的半径为1，分别以⊙O的直径AB上的两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．2π12．如图，在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦（）A．2条B．3条C．4条D．5条13．如图，在⊙O中，∠AOB＝45°，则∠COD＝（）A．60°B．45°C．30°D．40°二．填空题（共2小题）14．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）15．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于．。

圆的有关概念及性质复习课件

可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ④ OD=O′D′
4、圆周角定理及推论
D
C
C
B
E
●O A
●O
BA
●O
B
A
C
定理:一条弧所对的圆周角等于这弧所对的
圆心角的一半.
推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.
90°的圆周角所对的弦是直径 .
直径所对的圆周角是直角 .
三、【基本能力练习】
B． O．
．
C
B
．
O C
三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点. 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.
二. 圆的基本性质
圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
．
1、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且
平分这条弦所对的两条弧. C
A
B
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
重视：模型“垂径定理直角三角形”
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（） A．50°B．80° C．100°D．130°
五、【强化训练】
5.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点E在 CD的延长线上，
如果∠BOD=120°，那么∠BCE等于（）

圆的基本性质课件

同步练习
1.（1）直径的2倍。是圆中最长的弦，它是半径
（2）如图，图中有一条直径，二条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧 D 有四条。
O A F C
E B
同步练习 2、判断
（1）半圆是弧，但弧不是半圆。（
）
（2）过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径。（）
思考
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．
练习
1、填空：（1）根据圆的定义，“圆”指的是“ 圆周 ”，而不是“圆面”。（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的大小，半径决定圆的位置，二者缺一不可。
议一议
1.小明和小强为了探究 ⊙O中有没有最长的弦，经过了大量的测量，最后得出一致结论，直径是圆中最长的弦，你认为他们的结论对吗？试说说你的理由.
A
O
B
A
O
B
C
D
C
D
24.2.1圆的基本性质
投圈游戏一些学生正在做投圈游戏,他们呈 “一”字型排开, 这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形?
定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
线段OA以点O为中心旋转一周，点B的运动轨迹是什么形状？
O B
定义：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
E O D C
同步练习
4、在图中，找出两条弦，一条优弧，一条劣弧。 I 弦：GH 、CD；

第二十讲圆的基本性质(原卷版)

第二十讲圆的基本性质命题点1 圆周角定理及其推论有关的计算1．（2022•朝阳）如图，在⊙O中，点A是的中点，∠ADC＝24°，则∠AOB 的度数是（）A．24°B．26°C．48°D．66°2．（2022•阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（）A．35°B．55°C．60°D．70°3．（2022•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB ＝30°，AC＝2，则OE＝（）A．B．C．1D．2 4．（2022•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（）A．70°B．60°C．50°D．40°5．（2022•牡丹江）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC 的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．35°6．（2022•聊城）如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．10°7．（2022•营口）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（）A．4B．8C．4D．4 8．（2022•广元）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．65°命题点2 垂径定理及其推论类型一垂径定理及其推论有关的计算9．（2022•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（）A．B．C．D．19．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若P A＝4，PB＝6，则OP＝（）A．B．4C．D．5 11．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1B．C．2D．4 12．（2022•荆门）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（）A．36B．24C．18D．7213．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．14．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D 为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为．15．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．16．（2022•盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．类型二垂径定理的实际应用17．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为m．18．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为厘米．19．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．命题点3 圆内接四边形20．（2022•长春）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（）A．138°B．121°C．118°D．112°21．（2022•淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．100°C．140°D．160°22．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O 分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）A．115°B．118°C．120°D．125°23．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE ＝72°，那么∠BOD的度数为．24．（2022•威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．25．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE 交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．。

第21讲圆的基本性质

第六单元圆第21讲圆的基本性质一、自主预习：1、圆的有关概念2、圆的对称性3、圆周角由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦可以在圆心的同侧和异侧两种情况，所以利用垂径定理计算时，有时要分情况讨论，不要漏解．1．注意在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角和圆周角等量关系的互相转化；利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解．2．圆的性质的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件．二、例题及跟踪：例1、 (2015·黔西南改编)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝4，AE ＝1，求⊙O 的半径．点拨：连接OC ，由垂径定理得出CE ＝12CD ＝2，设OC ＝x ，由勾股定理列出方程，即可得出结果．利用垂径定理进行计算或证明时，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解．跟踪训练：1．(2015·遂宁)如图，在半径为5 cm 的⊙O 中，弦AB ＝6 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC ＝( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm2．(2015·东营)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m ，其中水面的宽AB 为0.8 m ，则排水管内水的深度为________m.3．(2014·金山一模)如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 在线段AB 上，OC ＝AC ＝4，CB ＝8.求⊙O 的半径．例2、如图，M 为⊙O 上一点，MA ︵＝MB ︵，MD ⊥OA 于D ，ME ⊥OB 于E ，求证：MD ＝ME.点拨：连接MO ，根据圆心角、弧、弦之间的关系，则∠MOD＝∠MOE，再由角平分线的性质，得出MD ＝ME.在圆中证明线段相等时，通常要考虑利用圆心角、弧、弦之间的关系进行证明．跟踪训练：1．(2014·贵港)如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A ．51° B．56° C．68° D．78°第1题图第2题图第3题图2．(2014·江北模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O，若BC ＝CD ＝DA ＝4 cm ，则⊙O 的周长为( )A ．5π cmB ．6π cmC ．9π cmD ．8π cm 3．(2015·丽水)如图，圆心角∠AOB＝20°，将AB ︵旋转n °得到CD ︵，则CD ︵的度数是________度． 4．(2015·武汉模拟)如图，AD ＝CB ，求证：AB ＝CD.例3、 (2013·湛江)如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝110°，则∠D＝( )A ．25°B ．35°C ．55°D ．70°点拨：连接AD ，因为AB 是直径，所以∠BDA＝90°，再根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可求得∠ADC 的度数．跟踪训练：1．(2015·巴中)如图，在⊙O 中，弦AC∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为( ) A ．25° B ． 50° C ． 60° D ．30°2．(2014·台州)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )3．(2015·娄底)如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD＝________度． 4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 为AC ︵上一点，∠ABC ＝∠BDC＝60°，AC ＝3 cm ，求△ABC 的周长．三、基础达标：1．(2013·柳州)下列四个图中，∠x 是圆周角的是( )2．(2014·湖州)如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( )A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°3．(2015·杭州)圆内接四边形ABCD 中，已知∠A＝70°，则∠C＝( )A ．20°B ．30°C ．70°D ．110° 4．(2015·牡丹江)如图，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点C 在⊙O 上，且∠ABD＝52°，则∠BCD 等于( )A ．32°B ．38°C ．52°D ．66°5．下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．(2015·玉林)如图，在⊙O 中，直径CD⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( )A ．AC ＝AB B ．∠C＝12∠BOD C ．∠C ＝∠B D ．∠A ＝∠BOD7．(2015·杭州模拟)某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20 cm 的砖塞在球的两侧(如图所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80 cm ，聪明的你，请你算出大石头的半径是( )A ．40 cmB ．30 cmC ．20 cmD ．50 cm8．(2014·重庆A 卷)如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC 的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°9．(2015·黑龙江)如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是( ) A ．60° B ．120° C ．60°或120° D ．30°或150° 10．(2015·黔西南)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，若∠AOC＝80°，则∠B＝________. 11．如图，AB 为⊙O 直径，点C 、D 在⊙O 上，已知∠BOC＝70°，AD ∥OC ，则∠AOD＝________°.12．(2015·绍兴)如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于________度．13．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠CAO ＝25°，∠BCO ＝35°，则∠AOB＝________°.14．(2015·青岛)如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E 、F ，且∠A＝55°，∠E ＝30°，则∠F＝________.15．如图，AB 、CD 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，BE 是⊙O 的直径．若AC ＝3，则DE ＝________.16．如图，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC＝54°，连接AE，求∠AEB的度数．17．(2014·天津改编)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.如图，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长．能力达标：1．(2015·南京)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝________.2．(2015·安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．3．(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数； (2)求证：∠1＝∠2.。

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