第21讲 圆的基本性质(原卷版)

第21讲圆的基本性质

1．圆的基本概念及性质

(1)基本概念

①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点叫圆心，定长叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.

②弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径

是最长的弦．

③圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角．

④圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角．

⑤等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧．

(2)性质：

①对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任一条直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

②旋转不变性：圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．

2．垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

垂径定理的推论：

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

3．弦、弧、圆心角的关系定理及推论

①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

4．圆周角定理及推论：

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．

圆周角定理的推论：

①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．

②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

注意：圆周角定理运用在“同圆或等圆”中，一条弦对应两条弧，对应两个互补的圆周角；一条弧只对应一个圆心角，对应无数圆周角．

5．四边形和圆

圆内接四边形的对角互补，如图，∠D＋∠B＝180°，∠A＋∠C＝180°.

考点1：垂径定理

【例题1】（2018·浙江衢州·3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC 于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）

A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm

考点2：圆周角定理及其推论

【例题2】．(2017·临沂)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点

E.

(1)求证：DE＝DB；

(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

考点3：圆内接四边形

【例题3】如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠DOR 的度数是（）

A．60 B．65 C．72 D．75

一、选择题：

1. （2017四川眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=5cm．

A．6B．4C．3D．5

2. （2018·山东青岛·3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）

A．70°B．55°C．35.5° D．35°

3. （2018·浙江临安·3分）如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）

A．63B．62C．33 D．32

4. （2018•山东菏泽•3分）如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）

A．64°B．58°C．32°D．26°

5. 已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）

A．25cm B．45cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm

二、填空题：

6. 如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．

7. （2018•济宁）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是.

8. （2018•南通模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为．

9. 已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD 之间的距离是cm．

三、解答题：

10. 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．

11. 已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且半径为4. (1)如图1，若∠A ＝30°，求BC 的长； (2)如图2，若∠A ＝45°： ①求BC 的长；

②若点C 是AB ︵

的中点，求AB 的长； (3)如图3，若∠A ＝135°，求BC 的长．

图1 图2 图3

12. （2017山东临沂）如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ， （1）求证：DE=DB ；

（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC 外接圆的半径．

13. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，且CD ⊥AB ，垂足为H. (1)如果⊙O 的半径为4，CD ＝43，求∠BAC 的度数； (2)若点E 为ADB ︵

的中点，连接OE ，CE.求证：CE 平分∠OCD ；

(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC 的距离为3的点有多少个？并说明理由．