电磁场与电磁波基础(第6章)..

与上一节中给出的三维波动方程形式相同
由于
1
0 0
c2
上式还可表示为
E 2 E 0 0 2 0 t
2
此式又被称为亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）。
关于磁波
亥姆霍兹磁场方程的导出
c B E / t
2
两边取旋度得
变化的电场产生磁场 2 c ( B) E / t
沿着 Z 方向传播的行波
以速度v向前传播的波
任何变量为(z-vt)的函数所描述的波是随时间变化沿着z轴正方向传播; 任何变量为(z+vt)的函数所描述的波则是随时间变化沿着z轴负方向传播
问 题
以
z vt 和 z vt 为变量的函数满足一维波动方程？
1 2 2 z v t 2
亥姆霍兹方程
在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复 复矢量
矢量的亥姆霍兹方程。 瞬时矢量
理想介质
6.4 自由空间中的均匀平面波
设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想 介质。均匀平面波沿 z 轴传播，则电场强度和磁场强度均不是 x 和 y 的函数，即
2 1 2 2 v t 2
满足三维波动方程
6.3 电波与磁波 关于电波 已知
E 0 E B / t
方程二两边取旋度得
B 0
2
c B E / t
( E) (B / t )
B 0
2
c B E / t
表明：变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的 电场，二者相互依存。
自由空间中存在着电波（ E 波）和磁波（ B 波）？
电场与磁场
λ(波长)
观看波形图
J
6.１ 波的数学描述
1. 波的数学形式
自变量为（z-vt）的函数f（z-vt）表示以速度 v 沿着 Z 方向传播的行波（Traveling wave）
（三个一维波叠加）
2 2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 X x vt Y y vt Z z vt
2 X x vt 2Y y vt 2 Z z vt 2 2 2 2 x y 2 z2
面上的一小部分可视为平面，该处的电磁波可
称为均匀平面电磁波。
三维波动方程：
2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x y z v t
或
1 2 2 v t
2 2
三个一维波叠加起来所得到结果也将会满足三维波动 方程 证明：
2
X x vt Y y vt Z z vt
X x vt Y y vt Z z vt
（代入三维波动方程）
类似地有
2 2 2 2 v X x vt v Y y vt v Z z vt 2 t
这样便证明了函数:
wk.baidu.com
X x vt Y y vt Z z vt
假设 E 是空间和时间无关的函数, 左边运用矢量三重积恒等式，有
2 c B B E t
2




2
与上一节相类似的推导，我们可以推断在自由空间中也存在着以 光速传播的磁波
亥姆霍兹磁场方程
B 2 B 0 0 2 0 t
第6章 自由空间中的 电磁波
J
自由空间是一个没有电荷因而也就
自由空间？
不存在电流的空间。 这并不是说在 整个空间中没有源存在，而只是指 在我们所感兴趣的区域不存在源，
这个区域应有=0和 J =0。
这样，一般形式的麦克斯韦方程式组就变得特别简单，即为：
E 0 E B / t
平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空间 传播过程中，对应于任意时刻t，在其传播空间具 有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波阵面 即波源发出的电磁波经相同时间到达的各点组成的 面。 ）为平面，于是就称其为平面波。
观看波形图
理解
均匀平面波是研究起来最简单同时也是最 容易理解的。 均匀（Uniform）:在任意时刻，在所在的 平面中场的大小和方向都是不变的。 在距离电磁波的激励源很远处，球面波阵
2 2
则表示一个随时间和空间变化的任意函数，例如，力、
v
位移或概率。 表示函数 的传播速度
试证
例：
f z vt g z vt
满足一维波动方程
证明： 首先考虑函数 f f z vt
则有
f z vt z
f z vt
2 2 f 1 f 2 2 v t z 2
这就是一维 波动方程
g 对于函数，
g z vt 也可以得出类似的结果。
根据叠加定理，我们就证明了 f z vt g z vt 满足一维波动方程。
6.2 均匀平面波与三维波动方程
定义
假设 B 是空间和时间无关的函数,那么我们就可以将上式右边的运
算顺序交换,并在其左边运用矢量三重积恒等式，有
2 ( E )－ E － （ B ) t
1 E 2 E 2 2 c t
2
1 E － 2 E － （ 2 ) t c t
二阶导数
2 f z
2
f z vt
函数 f f z vt 对时间的导数则为 f z vt v f z vt t 2 f 2 2 f z vt v f z vt 2 并且 t t 2 所以有