杆梁结构的有限元分析原理[详细]

以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于复杂结构，其 求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备标准化和规范性的特征， 所以可以在计算机上编程而自动实现。
讨论1：对于一个单元的势能取极值，所得到的方程为节点的位移和节 点力之间的关系，也称为单元的平衡关系，由此可以求出每一个单元 所受的节点力。
EA1 l1
EA2 l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
F3
l2
6）求解节点位移 将结构参数和外载荷代入上式有
3EA2
l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
F3
l2
2E4
3 1
1
1
u2 u3
0 10
求解得（单位m）
u2 u3
EA2 l2
0
EA2 l2
EA2
u1 u2 u3
R1
0
u1
F3
u2
u3
l2
4）边界条件的处理
处理边界条件是获取可能位移场，将左端的约束条件，即u1=0代入 上式可以得到简化的势能表达式
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2
讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚度矩阵按照节 点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边界条件之前，先形成整 体刚度矩阵。
Kq P
其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述的总体平衡 关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就可以求解，这样与先 处理边界条件再求系统势能的最小值所获得的方程完全相同。
2.5E 7.5E
4 4
7）计算单元应变
1 Niu
N
ju
ui u j
1
1 l1
1
1
uu12
2.5E 3
2 Niu
N
ju
2
ui u j
2
1 l2
1
1
uu32
5E 3
8）计算单元应力
1 E Niu
N
ju
ui u j
1
E l1
1
1
uu12
0.05Mpa
1 2
u1
EA1
u2
l1 EA1
l1
EA1
l1
EA1
u1 u2
R1
l1
0
u1 u2
1 2
u2
EA2
u3
l2 EA2
l2
EA2
l2
EA2
u2 u3
0
l 2
F3
u2 u3
EA1
l1
1 2
u1
u2
u3
EA1 l1
0
EA1 l1
EA1 l1
EA2 l2
N
ju
ui u j
E le
1
1
ui u j
Sqe
节点位移列阵
应力矩阵或者是应力转换矩阵
势能的表达
e U e W e
1 2
e ij ij d
P1u1 P2u2
1 2
le 0
Bq e
T
Sqe
Aedx
P1u1
P2u2
1 2
le qeT BT EBqe Aedx
0
2 E Niu
N
ju
2
ui u j
2
E l2
1
1
uu32
0.1Mpa
9）计算支反力 对于单元势能的表达，对其取极值有
K eqe Pe
具体地对于单元1，有
EA1 1 l1 1
1
1
u1 u2
R1
P2
其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单元2对该节
点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式可得支反力大小。
本章主要内容
4.1有限元分析的完整过程 4.2有限元分析的基本步骤及表达式 4.3杆单元及其坐标变换 4.4梁单元及其坐标变换
4.1有限元分析的完整过程
E1=E2=2E7Pa A1=A2=2cm2 l1=l2=10cm
P3为10N作用下二杆结构的变形。
问题的解题思路： 1）用标准化的分段小单元来逼近原结构 2）寻找能够满足位移边界条件的许可位移场 3）基于位移场的最小势能原理来求解
1 2
u2
u3
EA1 l1
EA2 l2
EA2 l2
EA2 l2
EA2
u2 u3
0
l 2
F3
u2 u3
5）建立刚度方程 由于上式是基于许可位移场的表达的系统势能，这是由全部节点位
移分段所插值出的位移场为全场许位移场，且基本未知量为节点位 移，根据最小势能原理（即针对未知位移求一阶导数）有
形函数矩阵
根据几何方程可得应变的表达
x
du dx
a1
1 le
u j ui
写成矩阵形式为
Niu
简记为
N ju
ui u j
1 le
1
1
ui u j
Bqe
几何函数矩阵或者是应变转换矩阵
根据物理方程可得应力的表达
x
E
du dx
E le
u j ui
写成矩阵形式为
E Niu
简记为
单元节点条件：u(0)=u1， u(l)=u2
从而得
a0 ui ,
a1
uj
le
ui
i
1,
j
2
回代得
u(x) a0 a1x
ui
u j ui le
x
1
x le
ui
x le
u
j
Niui N ju j
其中Ni，Nj是形函数。
写成矩阵形式为
q Niu Nqe
N
ju
ui u jห้องสมุดไป่ตู้
基本变量为：
节点 位移
(1)
内部各 点位移
(2)
应变
(3)
应力
完整的求解过程
1）离散化 该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。
假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出 节点编号和单元编号。
单元1：i=1，j=2 单元2：i=2，j=3
2）单元分析
单元位移模式：u(x)=a0+a1x
第4章 杆系结构的有限元分析原理
杆梁单元概述
讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统. 从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件 承受轴力或扭矩的杆件成为杆 杆梁问题都有精确解 承受横向力和弯矩的杆件称为梁 平面桁架 平面刚架 连续梁 空间刚架 空间桁架等 承受轴力或扭矩的杆件称为杆 将承受横向力和弯矩的杆件称为梁 变截面杆和弯曲杆件
P1u1 P2u2
1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
写成矩阵形式为
e 1 qeT BT EBqe Aele
2
P1u1 P2u2
1 2
u1
u2
1 le
1
1
EAel e
1 le
1
1
u1 u2
P1
P2
u1 u2
1 2
u1
EAe
u2
le EAe
le
EAe
le
EAe
u1 u2
P1
le
P2
u1 u2
1 qeTK eqe PeTqe 2
刚度矩阵
节点力列阵
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以
求出整个系统的总势能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 q1T K1q1 q2T K 2q2 P1Tq1 P2Tq2 2