11一次函数-函数基本概变量与常量

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《变量与函数》一次函数(第1课时变量与常量)

导入新课：回顾旧知识，引出新知识
回顾初中数学中关于方程和函数的知识，为引入变量和常量概念
做铺垫。
引导学生思考方程和函数中是否有一些基本的元素或“字母”，这些元素或“字母”在方程和函
数中扮演着重要的角色。
引出变量和常量的概念，并介绍它们在数学中的重要地位。
讲解新课
详细解释变量的定义：变量是数学中用来表示某个未知数或量，它可以在同一个方程或函数中变化。
变量的表示方法包括在字母上方加一横线表示未知数，或用
具体的数值代替字母。
理解常量的概念及表示方法
常量是指在某一过程中数值始终不变的量。
常量的表示方法是在数字上方加一个圆点，以示与变量的区别。
在数学中，常量通常用数字表示，如3 、5、7等。
了解一次函数的概念及表示方法
一次函数是指形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，其中x是自变量， y是因变量。
通过具体例子，阐述一次函数的概念及表示方法。
常量的概念及表示方法：常量是在同一个方程或函数中保持不变的数值。
强调变量和常量在方程和函数中的重要性和作用。
巩固练习：出一些练习题，让学生回答并讲解
出一些关于变量和常量的练习题，让学生回答并讲解。通过练习题，检验学生对变量和常量概念的掌握情况，及时发现和纠正错误。
b是常数项，它控制函数值y与x无关时的上下平移。当b>0时，函数图象向上平移；当b<0时，函数图象向下平移。
k是比例系数，它控制函数值y随x的变化趋势，k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小。
一次函数的表示方法是在函数表达式后面加上括号，括号内注明自变量x的取值范围。

一次函数——变量常量

八年级数学
第十一章函数
11.1.2 函数
1、进一步理解函数的概念； 2、会求函数的关系式 3、能求函数自变量的取值范围 4、会求函数值
八年级数学
第十一章函数
11.1.3 函数的图象
观察思考
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化。你从图象中得到了哪些信息？
O
4
-3
14
24 t/时
八年级数学
第十一章函数
11.1.3 函数的图象
观察思考问题
正方形的边长为x,面积为s,面积s是
不是边长x的函数,它们的函数关系式怎样表示? 面积s与边长x的函数关系式为: s = x2
(X＞0)
从式子s = x2来看,边长x越大,面积 s 也越大。能不能用图象直观的反映出来呢？
11.1.2 函数
练一练
1、下面各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？为什么？如果能，请写出它们的关系式。
（1）每一个同学购一本代数书，书的单价为2元，则 x 个同学共付 y 元。解: y 是 x 的函数.其关系式为: y = 2x (x ≥0) （2）计划购买50元的乒乓球，则所购的总数 y（个）与单价 x （元）的关系。 50 (X>0) 解: y 是 x 的函数,其关系式为: y = x （3）一个铜球在0 ℃的体积为1000cm3，加热后温度每增加 1℃，体积增加0.051cm3，t ℃时球的体积为 V cm3 。解: v是 t 的函数,其关系式为: v = 0.051t+1000
圆的半径
r=
s
s
八年级数学
第十二章函数

(完整版)一次函数知识点复习总结

5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
6、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
一次函数
（1）函数
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式y=kx (k不为零) k不为零 x指数为1 b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的
平移
b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.
6、直线（）与（）的位置关系
（3）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

一次函数知识点总结初中数学

变量与函数要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，s=60t，速度60千米/时是常量，时间t和里程s为变量.要点二、函数的定义一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量x的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量x的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量x的取值范围有时容易忽视，这点应注意.要点三、函数值y是x的函数，如果当x＝a时x＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一y 中，当函数值为4时，自变量x的值为±个函数值对应的自变量可以是多个.比如：2x2.要点四、自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.要点五、函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.要点六、函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.正比例函数（基础）要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如kx y =（k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）y 是x 的正比例函数；（2）kx y =（k 为常数且k ≠0）；（3）若y 与x 成正比例；（4）k xy =（k 为常数且k ≠0）；. 要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数kx y =（k 为常数，且k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线kx y =.当k ＞0时，直线kx y =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线kx y =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的y 增大反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数kx y =（k 为常数，且k ≠0)中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.一次函数的图象与性质（基础）要点一、一次函数的定义一般地，形如b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b ＝0时，b kx y +=即kx y =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k,b 的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线；当b ＞0时，直线b kx y +=是由直线kx y =向上平移b 个单位长度得到的；当b ＜0时，直线b kx y +=是由直线kx y =向下平移|b |个单位长度得到的.2.一次函数b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k ,b 对一次函数b kx y +=的图象和性质的影响：k 决定直线b kx y +=从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k ,b 一起决定直线b kx y +=经过的象限．4. 两条直线l 1：11b x k y +=和l 2：22b x k y +=的位置关系可由其系数确定：（1）k 1≠k 2l 1与l 2相交；（2）k 1=k 2，且b 1≠b 2l 1与l 2平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）中有两个待定系数k,b ，需要两个独立条件确定两个关于k,b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x,y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数b kx y +=中有k,b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k,b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.⇔⇔一次函数与一次方程（组）（基础）要点一、一次函数与一元一次方程的关系一次函数b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0=+b kx ，此时自变量x 的值就是方程0=+b kx 的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线b kx y +=（k,b 为常数，且k ≠0），确定它与x 轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与二元一次方程组每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数42+-=x y 与21323-=x y 图象的交点为(3，－2)，则⎩⎨⎧-==23y x 就是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=2132342x y x y 的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组⎩⎨⎧+=-=1353x y x y 无解，则一次函数53-=x y 与13+=x y 的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.要点三、方程组解的几何意义1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标．2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况：根据交点的个数，看出方程组的解的个数；根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解．3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数．一次函数与一元一次不等式（基础）要点一、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为b ax +＞0或b ax +＜0或b ax +≥0或b ax +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数b ax y +=的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式b ax +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数b ax y +=的值大于0？从“形”的角度看，确定直线b ax y +=在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点二、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点三、如何确定两个不等式的大小关系d cx b ax +>+（a≠c ，且ac ≠0）的解集⇔b ax y +=的函数值大于d cx y +=的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线b ax y +=在直线d cx y +=的上方对应的点的横坐标范围．x x。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解11 一次函数 (解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题11 一次函数【知识要点】考点知识一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。

常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。

【注意】1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。

2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。

函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

【函数概念的解读】1、有两个变量。

2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。

3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。

函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。

函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

画函数图像的一般步骤：1、列表2、描点3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。

2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。

函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

一次函数的知识点总结

一次函数的知识点总结一次函数，又称为线性函数，是高中数学中非常重要的一个概念。

它的表达式为y = kx + b，其中k和b是常数，x为自变量，y为因变量。

本文将从不同角度总结一次函数的知识点，包括定义、图像、斜率、截距、特殊情况以及在实际问题中的应用等。

定义一次函数的定义是y = kx + b，其中k和b为常数。

k称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；b称为截距，表示函数图像与y轴的交点。

图像特征一次函数的图像是一条直线，具有以下特征：1. 当k > 0时，函数图像从左下到右上倾斜；当k < 0时，函数图像从左上到右下倾斜；当k = 0时，函数图像平行于x轴。

2. 当b > 0时，函数图像与y轴的交点在y轴上方；当b < 0时，函数图像与y轴的交点在y轴下方；当b = 0时，函数图像与y轴相交于原点。

3. 函数图像的趋势取决于k的正负值和斜率的绝对值大小。

斜率越大，图像的斜率越陡峭；斜率越小，图像的斜率越平缓。

斜率斜率是一次函数图像的重要特征，它表示自变量每变化一个单位时，因变量的变化量。

一次函数的斜率可以计算为两个点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。

例如，已知函数图像上两点A(x₁, y₁)和B(x₂,y₂)，则斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。

截距截距是一次函数图像与y轴的交点坐标，用常数b表示。

当x = 0时，根据一次函数的定义，y = b，所以截距b就是函数图像与y轴的交点纵坐标。

特殊情况在一次函数中，存在一些特殊情况：1. 斜率为零的情况下，函数图像是水平的，与x轴平行。

2. 斜率不存在的情况下，函数图像是垂直的，与y轴平行。

这种情况发生在分母为零的情况下，即当x₂ - x₁ = 0时。

3. 斜率为1的一次函数是一条直角45度倾斜的直线，称为单位斜率直线。

4. y = x是一次函数的特殊形式，称为恒等函数，是自变量和因变量相等的特殊情况。

应用一次函数在实际问题中有广泛的应用，例如：1. 财务管理中的成本函数和收入函数可以用一次函数来表示，帮助企业决策者进行成本和收入的分析和规划。

第11课时常量与变量、一次函数的概念

第11课时常量与变量、一次函数的概念知识点函数及其相关概念1．常量与变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；在某一变化过程中保持数值不变的量叫做常量．2．函数：在某一变化过程中的两个变量x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么y 就叫做x 的函数，其中x 做自变量，y 是关于x 的函数．3、函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值．4、函数常用的表示方法：(1)图象法：(2)列表法：(3)解析法：5、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。

特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。

这时，y 叫做x 的正比例函数。

范例讲解1．设路程为s ，时间为t ，速度为v ，当v =60时，路程和时间的关系式为，这个关系式中，是常量，是变量，是的函数。

2．圆的周长c ＝2πr （π表示圆周率，r 表示圆的半径，c 表示圆的周长）中，变量是，常量是。

3．某种经营中润是销售额的30%，设销售为x 万元，利润为y 万元，其中常量是，变量是，y 关于x 的关系式是。

4．函数5y x =-中自变量x 的取值范围是___________.5．一次函数y=-2x+4，当函数值为正时，x 的取值范围是______6．若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（） A.0 B.23 C.23- D.32- 7．当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数；8．某地出租车收费标准是：起步价10元，可乘3千米，以后每增加1千米，收费1.8元（不足1千米的按1千米计），某位乘客乘坐了x 千米（x ＞3）的路程，他应支付的路费y 元。

（1）这一过程中，常量是，变量是。

一次函数所有知识点讲解

一次函数所有知识点讲解一次函数是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。

在学习一次函数时，我们需要掌握以下知识点：一、函数的概念函数是一种数学关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。

一般地，我们用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

二、一次函数的定义一次函数是指函数f(x) = kx + b，其中k和b是常数，且k不等于0。

一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。

三、一次函数的图像一次函数的图像是一条直线，可以通过斜率k和截距b来确定。

当k>0时，直线向上倾斜；当k<0时，直线向下倾斜；当k=0时，直线水平。

当b>0时，直线与y轴正向平移；当b<0时，直线与y轴负向平移。

四、一次函数的性质1. 斜率k表示函数的变化率，即函数值的增量与自变量增量的比值。

当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减；当k=0时，函数为常函数。

2. 截距b表示函数与y轴的交点，当x=0时，函数的值为b。

因此，截距b可以用来确定函数的位置。

3. 一次函数的定义域为全体实数，值域为全体实数。

五、一次函数的应用1. 一次函数可以用来描述直线运动的速度和位置关系。

例如，当一辆车以匀速v行驶时，它的位置与时间的关系可以表示为f(t) = vt + b，其中b为初始位置。

2. 一次函数可以用来描述经济问题中的成本和收益关系。

例如，当一家公司生产x件产品时，它的成本和收益可以表示为f(x) = kx + b，其中k为单位成本或单位收益，b为固定成本或固定收益。

3. 一次函数可以用来描述物理问题中的速度和加速度关系。

例如，当一个物体以初速度v0加速a时，它的速度与时间的关系可以表示为f(t) = v0 + at。

一次函数是数学中的重要内容，它不仅具有理论意义，还有广泛的应用价值。

一次函数基本知识点总结

一次函数基本知识点总结一次函数是数学里的重点知识之一，那么一次函数知识点有哪些呢?快来和小编一起看看吧。

下面是由小编为大家整理的“一次函数基本知识点总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。

一次函数基本知识点总结一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。

当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。

1.一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式。

2.当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数。

3.当k=0，b≠0时，它不是一次函数。

4.正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数。

一次函数的图像及性质1.在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

2.一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)。

3.正比例函数的图像总是过原点。

4.k，b与函数图像所在象限的关系：当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小。

当k>0，b>0时，直线通过一、二、三象限;当k>0，b<0时，直线通过一、三、四象限;当k<0，b>0时，直线通过一、二、四象限;当k<0，b<0时，直线通过二、三、四象限;当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

一次函数的图象与性质的口诀一次函数是直线，图象经过三象限;正比例函数更简单，经过原点一直线;两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减;k为负来左下展，变化规律正相反;k的绝对值越大，线离横轴就越远。

拓展阅读：一次函数的解题方法理解一次函数和其它知识的联系一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。

一次函数知识点详解

知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。

坐标原点既属于x 轴，也属于y 轴。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

坐标平面内的点与有序实数对存在一一对应关系。

知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x 2、坐标轴上的点点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上的点点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等（一、三象限角分线即y=x ）点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数(二、四象限角分线即y= -x ） 4、和坐标轴平行的直线上点位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

5、对称点关于x 轴对称⇔横等纵反关于y 轴对称⇔横反纵等关于原点对称⇔横反纵反6、距离（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x + （4）若()2211,),(y x B y x A则线段AB 的长：()()22122y y x xAB -+-=7、中点坐标：若()2211,),(y x B y x A则线段AB 中点C ⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x8、点的平移左右平移横标变…左减右加，上下平移纵标变…上加下减知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一次函数的知识框架

一次函数的知识框架一、引言一次函数，也称为线性函数，是数学中最基本的函数之一。

它的形式可以表示为y = kx + b，其中k和b为常数。

一次函数在数学和实际生活中都有广泛的应用，本文将从定义、图像、性质和应用等方面介绍一次函数的知识框架。

二、定义和图像一次函数的定义是y = kx + b，其中x和y分别表示自变量和因变量，k表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。

通过改变k和b 的值，可以得到不同的一次函数。

其图像为一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的位置。

三、性质1. 斜率：一次函数的斜率决定了直线的倾斜程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜，斜率为零表示直线水平。

2. 截距：一次函数的截距决定了直线与y轴的位置，截距为正表示直线与y轴的交点在正方向，截距为负表示直线与y轴的交点在负方向。

3. 平行和垂直：两条一次函数的直线平行，当且仅当它们的斜率相等；两条一次函数的直线垂直，当且仅当它们的斜率的乘积等于-1。

4. 零点：一次函数的零点是指函数取零值的点，即y = 0时的x值。

零点可以通过解一次方程得到，即kx + b = 0。

5. 最值：一次函数在定义域内存在最大值和最小值，当且仅当斜率为正时，最小值在定义域的最左侧，最大值在定义域的最右侧；当斜率为负时，最小值在定义域的最右侧，最大值在定义域的最左侧。

四、应用一次函数在实际生活中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 货币兑换：一次函数可以用来描述不同货币之间的兑换关系，其中斜率表示兑换比率，截距表示兑换时的手续费或汇率差。

2. 速度和时间：一次函数可以用来描述物体在匀速直线运动中的速度和时间的关系，斜率表示速度，截距表示起点位置。

3. 成本和产量：一次函数可以用来描述企业的成本和产量之间的关系，斜率表示单位产量的成本，截距表示固定成本。

4. 温度和时间：一次函数可以用来描述物体的温度随时间的变化关系，斜率表示温度的变化速率，截距表示初始温度。

一次函数说课稿常量变量

各位老师：大家好！我今天说课地内容是***版八年级上册第七章第三节《一次函数》第课时，下面我将从教材分析、教法学法分析、教学过程分析和设计说明等几个环节对本节课进行说明.个人收集整理勿做商业用途一、教材分析、教材地位和作用本节课是在学生学习了常量和变量及函数地基本概念地基础上学习地，学好一次函数地概念将为接下来学习一次函数地图象和应用打下坚实地基础，同时也有利于以后学习反比例函数和二次函数，所以学好本节内容至关重要.个人收集整理勿做商业用途、教学目标分析根据新课程标准，我确定以下教学目标：知识和技能目标：理解正比例函数和一次函数地概念，会根据数量关系求正比例函数和一次函数地解析式.过程和方法目标：经历一次函数、正比例函数地形成过程，培养学生地观察能力和总结归纳能力.情感和态度目标：运用函数可以解决生活中地一些复杂问题，使学生体会到了数学地使用价值，同时也激发了学生地学习兴趣.个人收集整理勿做商业用途、教学重难点本节教学重点是一次函数、正比例函数地概念和解析式，由于例地问题情境比较复杂，学生缺乏这方面地经验，是本节教学地难点.个人收集整理勿做商业用途二、教法学法分析八年级地学生具备一定地归纳总结和表达能力，所以本节课采用创设情境，归纳总结和自主探索地学习方式，让学生积极主动地参与到学习活动中去，成为学习地主体，同时教师引导性讲解也是不可缺少地教学手段.根据教材地特点，为了更有效地突出重点，突破难点，采用了现代教学技术多媒体和实物投影.个人收集整理勿做商业用途三、教学过程分析本节教学过程分为：创设情境，引入新课→归纳总结，得出概念→运用概念体验成功→梳理概括，归纳小结→布置作业，巩固提高.个人收集整理勿做商业用途为了引入新课，我创设了以下四个问题情境，请学生列出函数关系式：()梨子地单价为元千克，买千克梨子需元钱，则与地函数关系式为＝ .()小明站在广场中心，记向东为正，若他以千米时地速度向正西方向行走小时，则他离开广场中心地距离与之间地函数关系式为＝.个人收集整理勿做商业用途()小芳地储蓄罐里原来有元钱，现在她打算每天存入储蓄罐元钱，则天后小芳地储蓄罐里有元钱，那么与之间地函数关系式为＝ .个人收集整理勿做商业用途()游泳池里原有水立方米，现以每小时立方米地速度将水放出，设放水时间为时，游泳池内地存水量为立方米，则关于是地函数关系式为＝.个人收集整理勿做商业用途然后请学生观察这些函数，它们有哪些共同特征？＝；＝；＝；＝学生们各抒己见，最后由教师引导学生得出：它们中含自变量地代数式都是整式，并且自变量地次数都是一次.然后再问：你们能否用一条一般式来表示它们地共同特点？学生可能用两条一般式来表示：＝与＝（因为这节课我已上过）.教师对两条都进行肯定，同时追问；这两条能否选择一条呢？经过讨论，最后确定式子＝为能代表共同特征地解析式，我们称之为一次函数，今天这节课我们就来学习一次函数.个人收集整理勿做商业用途这样通过创设问题情境，让学生通过比较函数解析式地具体特征，引出一次函数，提出了课题，让学生感受到一次函数存在于生活中，与我们并不陌生，增强了学生学好本节课地信心，同时也为一次函数概念地落实打下基础.个人收集整理勿做商业用途提出课题后，教师说明：一般地，函数＝就叫做一次函数.然后问学生：作为一次函数地解析式＝，在、、、中，哪些是常量，哪些是变量？哪一个是自变量？哪个是自变量地函数？很明显，、是变量，其中自变量是，是地函数，、是常量.那么对于一般地一次函数，自变量地取值范围是什么？、能取任何值吗？很明显，可取全体实数，、都是常数，但≠，因为如果＝，那么＝，就不是一次函数了，所以一次函数地一般式后面应添上、都是常数，且≠，这里地叫做比例系数.那么可以等于吗？当然可以，＝就是引例中前条式子地一般式，由此可知，当＝时，函数就成了＝，，它是特殊地一次函数，我们称之为正比例函数，其中地常数也叫做比例系数.个人收集整理勿做商业用途由于一次函数和正比例函数地概念是本节课地重点，所以得出概念后，教师还应对概念进行强调：一次函数地一次指地是自变量地指数是次；比例系数不能为，但既可取正数，也可取负数；可以为任何实数，当它取时为正比例函数，也可以这样说：所有形如＝(≠)地函数都是一次函数，反过来，所有地一次函数都可以写成＝地形式.同理，所有形如＝(≠)地式子都是正比例函数，反过来，所有地正比例函数都可以写成＝形式.个人收集整理勿做商业用途为了及时巩固概念，教师以快速抢答地形式让学生完成书上做一做：做一做：下列函数中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？系数和常数项地值各是多少？①＝π；②＝；③＝；④＝()；⑤＝()做完此题教师应强调：①中π为常数，所以比例系数为π；④、⑤应先化，简，巩固了一次函数地概念，此时出示例，学生就显得比较轻松.个人收集整理勿做商业用途例：求出下列各题中与之间地关系式，并判断是否为地一次函数，是否为正比例函数？①某农场种植玉米，每平方米种玉米株，玉米株数与种植面积()之间地关系.②正方形周长与面积之间地关系.③假定某种储蓄地月利率是，存入元本金后，本息和(元)与所存月数之间地关系.例应由学生口答，教师板书，判断是否属于一次函数应严格按照概念中地一般式，通过本例还让学生弄清楚了正比例函数都是一次函数，而一次函数不一定都是正比例函数.同时也体会到了根据题中地数量关系可直接列出一次函数解析式.如果班里学生比较优秀，也可请大家模仿例自己编一个例子，写出函数关系式，并判断写出地函数关系式属于哪种类型.这种编写具有一定地难度，教师对于学生地一点点闪光点都要予以肯定.个人收集整理勿做商业用途接着教师出示练习：已知正比例函数＝，当＝时，＝，求这个正比例函数地解析式.此题是书上课内练习改编过来地，书上地原题是求比例系数，但我认为求函数解析式层次更高一些，同时为下节课地待定系数法打下基础.个人收集整理勿做商业用途此题可以这样分析：要想求这个正比例函数解析式，必须求出地值，只要把一组、地值代入＝，得到一条以为未知数地一元一次方程，即可求出地值，然后就可写出解析式，建议教师板书过程，如果班里学生比较优秀，教师也可提到：如何求＝地解析式呢？同理可得只要求出、地值就可以了，、是两个未知数，只要两组、地值代入，联立二元一次方程组即可求出、地值，然后就可写出解析式，具体地操作下节课再学.个人收集整理勿做商业用途以上设计使学生明白了如何求一次函数解析式及判断某条函数关系式是否为一次函数地方法，但大家都知道，学习了新知识，就是为了解决实际问题.个人收集整理勿做商业用途由于例是本节课地教学难点，里面地问题情景比较复杂，学生一下子难以适应，于是我对例进行这样处理：先请同学们看屏幕：教师用多媒体出示一份国家年月日起实施地有关个人所得税地有关规定地材料，同时还附上一份税率表.个人收集整理勿做商业用途然后问学生：哪位同学知道什么叫全月应纳税所得额，如果有学生讲出来更好，如果没人讲出来，教师自己介绍：应纳税所得额是指月工资中，扣除国家规定地免税部分元后地剩余部分.个人收集整理勿做商业用途为了提高学生地学习兴趣，教师说：你想知道我们班数学老师和科学老师每月应缴个人所得税多少吗？老师们地隐私同学们是最想知道地，于是急着解决问题.个人收集整理勿做商业用途我班数学教师地工资为每月元，科学老师地工资为每月元，问他俩每月应缴个人所得税多少元？相信学生很快就有答案（因为这节课我上过），并且方法几乎一致，都是用直接列算式地方法.教师对学生们地结果表示肯定，接着问：如果要计算个工资均在元—元之间地教师每月应缴地个人所得税呢？还用直接列算式地方法吗？如果工资均在元以上呢？个人收集整理勿做商业用途经过思考、讨论，发现工资额越大，计算应缴个人所得税地累计越麻烦，于是讨论有没有一种比较简单方法，如果有类似于计算公式地，把工资额直接代入就可求出地，那该多好啊！个人收集整理勿做商业用途此时教师出示例：按国家年月日起实施地有关个人所得税地规定，全月应纳税所得额不超过元地税率为，超过元至元部分地税率为.个人收集整理勿做商业用途（）设全月应纳税所得额为元，且<≤,应纳个人所得税为元，求关于地函数解析式和自变量地取值范围；个人收集整理勿做商业用途（）小明地妈妈地工资为每月元，小聪妈妈地工资为每月元，问她俩每月应缴个人所得税多少元？个人收集整理勿做商业用途有了刚才地铺垫，学生对此题有了深入地理解，就不再害怕了，教师可先由学生回答，再自己补充.可以这样分析：由于＜≤，所以纳税地税率有两部分：一部分是，有元，另一部分是，有（）元，于是×()×－(＜≤(),如果地取值超过，那么还要继续累加.对于（）题，学生有了前面地铺垫，很自然地会把地值代入（）中地解析式.但需要强调地是这里地表示应纳税所地额，两位地工资要先减掉元，此题可归结为已知自变量地值求函数地值.如果要求很多人地应缴个人所得税，只要他们地应纳税所地额在这个范围内，都可以代入这条解析式，无须通过直接列算式一条一条地算.并且得出：人数越多，越大，先求出解析式再代入比直接列算式计算要简单得多.个人收集整理勿做商业用途此题地设计使学生体会到了运用函数模型解决实际问题地重要性，但某些爱动脑筋地同学可能会问：虽然运用函数可以解决一些实际问题，但方程也是解决实际问题地重要数学模型，它们有什么区别吗？怎样区别？拿到一道题怎么会想到用函数来解决，简单地说，如果没有特殊说明，能用方程解决地问题就用方程来解决，不能用方程来解决地问题就马上想到用函数来解决.但如何建立函数模型，具体地方法我们下节课再学习.个人收集整理勿做商业用途本例地设计使学生既了解了国家地政策法规，又学会了用函数来解决实际问题，通过计算老师们地应缴个人所得税，让学生初步体会了个人所得税地计算方法，再假设要求多数人地所得税，激发了学生探求好方法地欲望，使学生体会到了函数地作用.个人收集整理勿做商业用途为了使学生学有所用，就来完成书上课内练习.最后在教师提问地基础上，让学生对本节内容进行归纳总结.本节课地作业是分层布置：组、组、组分别由班里地三个不同层次地同学完成.三、设计说明本节课通过创设问题情境，归纳总结得出一次函数地概念，同时利用一次函数解决了生活中地实际问题.整节课没有大量地练习为基础，而是以提高学生地数学素质为指导思想，以学生积极参与教学活动为目标，以概念讲解为载体，以展开思维分析为主线，在课堂教学中，教师充分调动一切因素，让学生在和谐，愉悦地氛围中获取知识，掌握方法！整个教学既突出了学生地主体地位，又发挥了教师地指导作用.个人收集整理勿做商业用途。

一次函数的基本概念

一、基本知识点：1、变量和常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，那么数值始终不变的量称之为常量．2、自变量和因变量在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x•的每个确定的值，y•都有唯一确定的值与其对应，•那么我们就说x•是自变量，y是x的函数．如果当x=a时，y=b，那么b•叫做当自变量的值为a时的函数值．3、函数是表示两个变量之间的一种关系。

【基本练习】1．购买一些铅笔，单价0．2元／支，总价y元随铅笔支数x变化，指出其中的常量与变量，并写出关系式．2．一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩．写出面积Ｓ随h变化关系式，并指出其中常量与变量．3、一辆汽车油箱现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（L）随行驶里程x（km）的增加而减少，平均耗油量为0．1L/km．（1）．写出表示y与x的函数关系式．（2）．指出自变量x的取值范围．（3）．汽车行驶200km时，油桶中还有多少汽油？4．若球体体积为Ｖ，半径为Ｒ，则Ｖ＝43Ｒ3．其中变量是_______、_______，常量是________．5．夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低0．7℃，已知山脚下温度是23℃，则温度y 与上升高度x之间关系式为__________．6．汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，•则油箱内余油量Ｑ升与行驶时间t小时的关系是_________．7、下图是一种古代计时器──“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，•水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．用x•表示时间，y表示壶底到水面的高度．下面的哪个图象适合表示y 与x的函数关系？8、a是自变量x取值范围内的任意一个值，过点（a，0）画y轴的平行线，•与图中曲线相交．下列哪个图中的曲线表示y是x的函数？为什么？9、小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家．下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s （米）与散步所用时间t （分）之间的函数关系．请你由图具体说明小明散步的情况．【基础知识点】1、图像的表示方法：三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法．2、图像的表示方法的优缺点：【针对性练习】1．用列表法与解析式法表示n 边形的内角和m 是边数n 的函数．2．用解析式与图象法表示等边三角形周长L 是边长a 的函数．3、甲车速度为20米／秒，乙车速度为25米／秒．现甲车在乙车前面500米，设x 秒后两车之间的距离为y 米．求y 随x （0≤x ≤100）变化的函数解析式，并画出函数图象．【基础知识点】1、正比例函数：一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．2、若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。

一次函数及其图像知识点总结

11、反比例有关的面积问题（图7三角形AOB的面积有多种方法）
12、函数与方程、不等式之间的关系
指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作x轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。
例1：画出函数的图像，根据图像，指出：
（1）取什么值时，函数值等于0
（2）取什么值时，函数值大于0
备注：上下平移（即值不变，值的变化），我们可以从函数与轴交点的变化更容易观察出结论。
向左平移1个单位______________；向右平移2个单位_________________
备注：左右平移（即值不变，值的变化），我们可以从函数与轴交点的变化更容易观察出结论。
7、直线之间的位置关系
已知直线：
思考：如何解决点关于y=x，y=-x对称，以及点旋转90°之后的坐标。
5、点的平移：向上平移2格______；向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）
6、两点之间的距离
在同一条水平上线上的时候：求A、B两点之间的距离
例、如图所示：直线与、轴轴分别交于点、，其中点E的坐标为点A的坐标。点P为直线上的一动点。
（1）、求的值
（2）、若点是第二象限内，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积与轴的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
（2）、探究：当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由。
例2、如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与轴的交点的坐标及△ 的面积；

一次函数知识点

一次函数知识点一次函数知识点一、函数与变量在现实生活中，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，有的数值会发生变化的两个量相互依赖、密切相关。

在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。

在某一变化过程中，有两个量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，其中x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。

如果一个量的取值始终保持不变，我们称之为常量。

例如：圆的面积S与圆的半径r存在相应的关系：S=πr²，这里π表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S是因变量。

y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数。

判断两个变量是否有函数关系，不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系。

x取不同的值，y的取值可以相同。

例如：函数y=(x-3)²中，x=2时，y=1；x=4时，y=1.函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系。

数学上表示函数关系的方法通常有三种：解析法、列表法和图象法。

解析法是用数学式子表示函数的方法，例如S=30t，S=πR²。

列表法是通过列表表示函数的方法。

图象法是用图象直观、形象地表示一个函数的方法。

关于函数的关系式(即解析式)的理解：函数关系式是等式。

例如y=4x就是一个函数关系式。

函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数。

通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数。

例如：y=2x-4+x是自变量，y是x的函数。

函数关系式在书写时有顺序性。

例如：y=-3x+1是表示y是x的函数，若写成x=1-y就表示x是y的函数。

求y与x的函数关系时，必须是只用变量x的代数式表示y，得到的等式右边只含x的代数式。

自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围。

例如y=x-1中，自变量x受到开平方运算的限制，有x-1≥0，即x≥1.当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s与时间t的关系式为s=80t。

一次函数知识点大全

一次函数知识点大全一变量：自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量．常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量．函数：被变量是自变量的函数．函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值．被变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是被变量．二一次函数和正比例函数的概念1．概念：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.★判断一个等式是否是一次函数先要化简（3）当b=0，k≠0时，y= kx仍是一次函数.(正比例函数)（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.2. 函数的表示方法：１）解析法，２）列表法，３）图象法．列表法直观但不完全解析法准确完全但不直观图象法直观形象但不够准确也不太完全图象的画法：一列表二描点三连线（顺次用平滑的曲线）解析式的列法：一）实际问题，确定自变量的取值二）符合题意三函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一b，般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-k 0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.四一次函数性质1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．（5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．2. 正比例函数y=kx （k ≠0）的性质（1）正比例函数y=kx 的图象必经过原点；（2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；（3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小．点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上．例如：点P（1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P′（2，1）不在直线y=x+l的图象上．确定正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．五一次函数与方程1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变，量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba 0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．2. 坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示．3. 一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系．4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解（1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2． 5. 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入（1）设函数表达式为y=kx+b ；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k 与b 的值；（4）将k 、b 的之带入y=kx+b ，得到函数表达式。

《变量与函数》一次函数(第1课时常量与变量)

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学习新课，讲解一次函数的定义和形式，并通过实例进行
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要点一
要点二
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详细描述
掌握一次函数的定义和形式
一次函数是函数的一种最简单形式，一般形式为 y=kx+b(k,b为常数，k≠0)。在讲解过程中，需要强调一次函数中变量的系数、常数以及它们所代表的含义。例如，k是斜率，表示函数图像的倾斜程度；b是截距，表示函数图像与y轴的交点。通过实例演示，让学生了解如何根据实际问题建立一次函数模型。
图像演示
通过图像演示，展示常量与变量之间的关系，帮助学生理解变化规律。
强调重点
重点演示常量与变量的实际应用，加深学生对概念的理解。
练习法
基础练习
提供基础练习题，要求学生掌握常量与变量的基本概念和性
质。
进阶练习
提供稍有难度的练习题，要求学生运用常量与变量的知识解决实际问题。
综合练习
提供综合练习题，要求学生综合运用常量与变量的知识，解决较复杂的问题。
03
教学难点与重点
难点：理解常量与变量的区别和联系。
常量与变量的定义
常量是指在某一过程中数值保持不变的量，而变量是指在某一过程中数值可以取到不同的值的量。
常量与变量的关系
常量与变量之间存在密切的联系，常量是相对不变的量，而变量是变化的量，当变量取不同的值时，常量保持不变。例如，在速度为常量的匀速直线运动中，速度是一个常量，而位移是一个变量，随着时间的变化而变化。
03
常量和变量的表示方法
常量通常用大写字母来表示，而变量通常用小写字母来表示。例如，
如果A是一个常量，x是一个变量，则可以表示为A = x + 5。

11一次函数-函数基本概变量与常量

一次函数函数基本概念变量与常量【基础练习】1．甲、乙两地相距S千米，某人行完全程所用的时间t（时）与他的速度v（千米/时）满足vt=S，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（）A.s是变量B.t是变量C.v是变量D.s是变量2.在△ABC中，它的底边是a，底边上的高为h，则三角形的面积12s ah=，当h为定长时，在在此关系式中（）A.s、a是变量，h、12是常量 B. s、a、h是变量，12是常量C. h、a是变量，s、12是常量 D. s是变量，a、h、12是常量3.已知圆柱的体积公式是V=πr2h，若h为常数，则在这个公式中，变量是（）A.V、πB. V、π、rC. V、rD. V、h4.用20m长的绳子围成矩形，则矩形的面积S(m2)与矩形的一边长x（m）之间的关系式为（）A.S=x(20-x)B. S=10xC. S=x(10-x)D. S=x(x-10)5.已知a=3b-4，若用a表示b，则（）A.变量为a和b，常量为3和-4B.变量不是a和bC.变量为13和43D. 变量为13-和43-6.八年级2班计划用150元买乒乓球，所购买的乒乓球个数m（个）与单价n（元）的关系式为150mn=，其中（）A.150、m是常量，n是变量B. 150、n是常量，m是变量C.150是常量，m、n是变量D.无法确定D.7. 圆柱的体积公式是V=πr2h，下列说法正确的是（）A.v、r2、h是变量，π是常量B. v、r、h是变量，π是常量C. v、r是变量，π、h是常量D. 式中的字母都是是变量，数字是常量二、填空题（每小题3分，共24分）8．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，则x与y之间的关系_________________．9．长方形相邻两边长分别为x、△y△，面积为30，则用含x△的式子表示y△为____________，则这个问题中，____________常量；____________是变量．10.设圆的半径为R，周长为L，那么周长L与半径r之间的关系是__________，其中常量是____________，变量是________.11.学校广播室每天的投稿数y和星期数n的关系式为y=-n2+12n+15，这个问题中，变量是__________，常量是_________。

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