第09讲 冲量定理

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质量分别为m1、m2和m3。的三个质 点A、B、C位于光滑的水平桌面上，用 已拉直的不可伸长的柔软轻绳AB和BC连 接，∠ABC为π-α，α为一锐角，如图所 示．今有一冲量为J的冲击力沿BC方向作 用于C点，求质点A开始运动时的速度.
解：设受冲击后A、B、c三个质点的速度分别为 根据质点系动量定理有 J = m1v A + m2 vB + m3vC
一条质量为m，长度为 l的柔软链条竖直悬挂，下 端恰好触地。悬点突然脱 落，求上端落下h时链对 地的压力？
解：研究 ∆t 时间内触地的一小段链条
F ⋅ ∆t = ∆m ⋅ v, F = 2mgh / l
再加上已落地的重量 总压力为 当
m v = 2 gh , ∆m = v ⋅ ∆t ⋅ l
mgh / l
解：人以θ角起跳，经时间t，重心由A到B，这时质 量为M的人的速度水平与竖直分量分别为：vx=v0cosθ， vy=v0sinθ-gt．重心升高
g H1 = S0 tan θ − ( S0 / v0 cos θ ) 2 2 脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人的向上动量增加
= ∑ µ N (t )∆t = µ ∑ N (t )∆t N (t ) 为人与墙面间的正压力，F (t ) 为由 N (t )
v A , vB , vC
因为软绳作用力的方向一定是沿绳的，所以vA必然沿AB方向， vc必然沿BC方向，可以设vB。的方向与BC方向成口角．将上述 矢量式分解成沿BC方向(x方向)和垂直于BC方向(y方向)的两个分 量式(也可取其它的正交方向)． X 方向 Y方向
J = m1vA cos α + m2 vB cos θ + m3vC 0 = −m1vA sin α + m2 vB sin θ
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一块大平板以在光滑地面上匀速 运动，一小球自h高处落下，球和板 之间的摩擦系数为μ，球反弹到h’高。 求：球反弹速度和板的夹角α？
解：对球在y方向用动量定理
( 2 gh + 2 gh ') ⋅ m = N ⋅ ∆t
X方向：
N ⋅ µ∆t = m ⋅ ∆vx
∆vx = ( 2 gh + 2 gh ') ⋅ µ
F = 200 + 40 = 240W
（3）
P = P1 + P2 = 1840W
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地上盘着一盘均匀 软绳，如图所示。绳的 线密度为λ,用F力提着绳 的一端A以速度v匀速上 升。求：当A端离地高 度为h时，F力多大?
解： F=λhg+F'， 对即将运动起来的一小段水平绳用动量定 理 F'Δt=Δmv=vΔtλv， F'=λv2， 所以 F=λhg+λv2。 讨论：有同学认为此题还有另外一种解法：对即将运动 起来的一小段水平绳用动能定理。 1 2 1 F ' v∆t = ∆ mv = v∆t λ v 2 , 2 2 1 2 1 2 F ' = λv , F = hλ g + λ v . 2 2 两种解法的答案不一样，到底哪一种对呢?我们应注意 到。下面一小段绳子由静到动实际上是一个范性过程， 这个过程中会有一部分机械能转化为内能。
( F − mg )∆t = p(t +∆t ) − p( t )
1 = λ ( v ∆x + x ∆ v − l ∆ v ) 2
两边除以 ∆t ，并注意
可得
∆x ∆v = v = 2 gR , =g ∆t ∆t 1 F = mg + λ (v 2 + xg − lg) 2
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一根直径为d的管中 喷出一股水柱托住一个 小球，水的出口速度u,水 的密度ρ,小球的质量m都 已知。求小球的高度h。
1 ∆h = la / g=0.2m 2
3）下图，取水银球φ的一小条来研究
v r = a r t1 = 1.93(m / s) t 2 = ∆L /(v r / 2)
动量定理 [Px − (P0 + P水 )]∆S ⋅ t 2 = ∆L ⋅ ∆S ⋅ ρ Hg ⋅ v r 其中 P水 = 可得
ρ水 g(h+∆h)
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一根均匀的柔软绳 长为l、质量为m，对 折后两端固定在一个钉 子上. 其中一端突然从 钉子上脱落，求下落的 绳端点离钉子的距离为 x时，钉子对绳子另一 端的作用力是多少？
解：当左边绳端离钉子的距离为x时，左边绳长为 l+x 1 − x = (l − x ) 2 2 1 速度 v = 2 gx ，右边绳长为 (l + x) ，又经过一段很短的时间 2 ∆t 以后，左边绳子又有长度为 1 v∆t 的一小段转移到右边去了，
并以此为初速度，继续升高： 人体重心总升高
2 H = H1 + H 2 = v0 ( µ cos θ + sin θ ) 2 / 2 g − µ S0
上式可改写成
2 v0 H = ( )(1 + µ 2 )[( µ / 1 + µ 2 ) cos θ + (1/ 1 + µ 2 ) sin θ ]2 − µ S 2g
解：由对称性可知，C点的速度也必沿CA方向，设其大小为vC．D 的速度可以分解为平行于v的分速度和垂直于v的分速度，其大小 分别设为vD1和vD2．同样，B的速度也类似地分解为平行和垂直于 v的二个分速度，其大小设为vB1和vB2．根据对称性，必有
产生的最大静摩擦力。由题意知正压力 冲量恰可使人的水平分动量变为零，即
∆( Mv竖直 ) = M ∆v竖直 = ∑ F (t )∆t
∑ N (t )∆t = Mv
故
水平
∆v竖直 = µ v水平
人的重心在B点时，蹬墙后，其重心的竖直向上速度为
v竖直 + ∆v竖直 = v竖直 + µ v水平
H 2 = (v竖直 + µ v水平 ) 2 / 2 g
试பைடு நூலகம்计飞机撞大雁的冲击力.
解：飞机起降速度
v = 360km / hr = 100m / s
大雁m=10kg, d=0.5m原速忽略
∆t = d /(v / 2) = 0.01s F = ∆mv / ∆t = 10 × 100 / 0.01 = 10 5 N
如图，水缸里有一个水银球，l=2m, h=1m,P0=105Pa ，l’=1m,水缸以加速度 a=2m/s2向右运动 求：1）水银球何时与缸壁相撞？ 2）水银球撞击左壁的压强为多少？
如果 如果
v0 > ∆vx , α = tan ( 2 gh ' / ∆vx )
−1
v0 ≤ ∆vx , α = tan −1 ( 2 gh ' / v0 )
(后者f作用时间<
∆t
)
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军训中，战士距墙S0以速度v0起跳， 如图所示。再用脚蹬墙面一次，身体变 为竖直向上的运动以继续升高，墙面与 鞋底之间的静摩擦系数为µ。求能使人体 重心有最大总升高的起跳角θ。
解：1）如果在Hg球处是一水球，肯定也有a的加速度；换成Hg球 受力不变，还是 V ⋅ ρ水 ⋅ a 。在水缸系中
∑ F=Va（ρ − ρ ）=ma=Vρ a = ∑ F / m = a(1 − ρ / ρ )
Hg 水
r 水 Hg
水
a
1 2 l ' = a r t1 2
t1 = 2l '/ a r = 1.04s
解：h高处水速
v12 = u 2 − 2 gh
对 ∆t 时间内与球接触的水用动量定理
F ⋅ ∆t = ρ ⋅ S ⋅ v1 ⋅ ∆t ⋅ v1
d2 其中 S = π R 2 , π R 2 ⋅ v1 = π u , F = mg 4 u2 m 2 h= − 8( ) g 2 2g ρπ d u
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Px = 1.37 ×105 Pa
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一枚质量为M的火箭，依靠向 正下方喷气在空中保持静止，如果 喷出气体的速度为v，那么火箭发 动机的功率是多少?
选取在Δt时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力 为F，根据动量定理，有 F△t=△m·v 因为火箭静止在空中， 所以根据牛顿第三定律有F=Mg得
1 2 T = v λ = gxλ 2
1 1 3x 因为钉子对右边绳端的作用力 F = (l + x)λ g + T = mg (1 + ) 2 2 l
此题也可以分析整根绳子，整根绳子受到两个力：重力mg和钉 子的拉力F。在t时刻（即左端下落了x的时刻），全绳的动量 1 p( t ) = − (l − x)λ v 在 t + ∆t 时刻，全绳的动量为 2 1 在
2
我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两个力：上面绳子对 它的拉力T和它本身的重力 1 v∆t λ g 式中 λ = m / l
2
根据动量定理，设向上方向为正：
由于 ∆t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于T来说是很 小的，可以忽略，所以有
（
1 1 (T − v∆t λ g ) ∆t = 0 − ( − v∆t λ ⋅ v) 2 2
第九讲 冲量定理
直径为d=10cm的面团，m=1kg，从h=20m高 处落下，在硬地上摔成薄片，试估计平均冲力
解：
v = 2 gh = 20m / s
d / 2 = v∆t = (v / 2)∆t
质心前进0.05m后v=0
∆t = d / v = 0.005( s )
冲力
F = ∆mv / ∆t = 4000 N
3mgh / l
时，F
h=l
= 3mg
！！
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如图所示的传送带，传送带的速度 v=lm／s，位于传送机底部的料斗每分钟 向传送机输送2.4×103kg的煤屑，传送带 将煤屑送到h=4m高处，α=300．求传送带 电动机的功率P(不包括传送带空转时所 需的功率，设煤屑落到传送带上后立即 随传送带运动)．
Mg ∆t = ∆mv
1 W = ∆mv 2 2
.
∆t = ∆mv / Mg
1 ∆mv 2 W 1 2 P= = = Mgv ∆t (∆mv / Mg ) 2
对同样这一部分气体用动能定理
*这个问题容易犯的错误是直接套用功率的公 式P=Fv=Mgv 这种做法错在忽略了从火箭中喷出来的是逐 渐加速的气体，且其平均速度为v/2。
有一块质量和线度足够大的水平板，绕竖 直轴以匀角速度ω转动．在板上方h高处有一 群相同的小球(可视为质点)，它们以板的旋转 轴为中心，R为半径均匀地在水平面内排成一 个圆圈．现让这群小球同时由静止开始自由下 落，设每个球与平板发生碰撞的时间非常短， 而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不 变，仅是方向反向，而在水平方向上则会产生 滑动摩擦，动摩擦因数为µ． (1)试求这群小球第二次和第一次与平板碰 撞时，单位长度上小球个数之比k1； (2)如果R<µg／ω2(g为重力加速度)，而且 k1=1／ ，试求这群小球第三次和第一次与平 2 板碰撞时，单位长度上小球个数之比k2．
解：电动机做的功又两个作用：1）将一定量的煤送到4m高。2） 使一定量的煤获得一个速度 （1）
2400 P = mgh = × 10 × 4 = 1600W 1 60
（2）对1s内落下的煤用动量定理
∆mv = ∑ F ⋅ ∆t , ∑ F = 40 N F − ∆mg ⋅ sin α = ∆m ⋅ v = 40 N
vA = vB cos(α + θ )
由于绳不可伸长，所以又有 联列以上四个方程，可解得
vC = vB cos θ
(其方向沿 AB方向)
Jm2 cos α vA = m2 (m1 + m2 + m3 ) + m1m3 sin 2 α
如图所示．四个质量均为m的质点，用同 样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD， 静止放在水平光滑的桌面上．若突然给质点A 一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的 时刻，质点A的速度为v，∠BAD=2α(α<π／ 4)．求此质点系统受冲击后所具有的总动量和 总能量
2 2）计算液面形状 方法一：在液面上取一小块，受到N, mg, f0三力平衡
N cos α = mg a ⇒ tan α = = 0.2 g N sin α = ma
1 ∆h = ltanα =0.2m 2
方法二：在缸底取截面为 ∆S 的一条 液体，它加速的力源自两边液柱的压 力差
2ρ水 g∆h∆S=l∆Sρ水 a
1 1 pt +∆t − pt = − (l − x − ∆x)λ (v + ∆v) + (l − x )λ v 2 2 1 1 1 = ∆xλ v − (l − x)λ∆v + ∆xλ∆v 2 2 2 忽略高阶小量 ∆x ⋅ ∆v ，再用动量定理
∆t 时间内全绳动量的增量为
p(t +∆t ) = − (l − x − ∆x)λ (v + ∆v) 2