08《运筹学》(第四版)非线性规划最优性条件
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用最优化在航空航天、生命科学、水利科学、地球科学、工程技术等自然科学领域和经济金融等社会科学领域有着广泛和重要的应用, 它的研究和发展一直得到广泛的关注. 最优化的研究包含理论、方法和应用.最优化理论主要研究问题解的最优性条件、灵敏度分析、解的存在性和一般复杂性等.而最优化方法研究包括构造新算法、证明解的收敛性、算法的比较和复杂性等.最优化的应用研究则包括算法的实现、算法的程序、软件包及商业化、在实际问题的应用. 这里简介一下线性和非线性最优化理论、方法及应用研究的发展状况.1. 线性最优化线性最优化, 又称线性规划, 是运筹学中应用最广泛的一个分支.这是因为自然科学和社会科学中许多问题都可以近似地化成线性规划问题. 线性规划理论和算法的研究及发展共经历了三个高潮, 每个高潮都引起了社会的极大关注. 线性规划研究的第一高潮是著名的单纯形法的研究. 这一方法是Dantzig在1947年提出的,它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划达三十多年. 随着60年代发展起来的计算复杂性理论的研究, 单纯形法在七十年代末受到了挑战. 1979年前苏联数学家Khachiyan提出了第一个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法--椭球法, 曾成为轰动一时的新闻, 并掀起了研究线性规划的第二个高潮. 但遗憾的是广泛的数值试验表明, 椭球算法的计算比单纯形方法差.1984年Karmarkar提出了求解线性规划的另一个多项式时间算法. 这个算法从理论和数值上都优于椭球法,因而引起学术界的极大关注, 并由此掀起了研究线性规划的第三个高潮. 从那以后, 许多学者致力于改进和完善这一算法,得到了许多改进算法.这些算法运用不同的思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列,因此统称为解线性规划问题的内点算法. 目前内点算法正以不可抗拒的趋势将超越和替代单纯形法.线性规划的软件, 特别是由单纯形法所形成的软件比较成熟和完善.这些软件不仅可以解一般线性规划问题, 而且可以解整数线性规划问题、进行灵敏度分析, 同时可以解具有稀疏结构的大规模问题.CPLEX是Bi xby基于单纯形法研制的解线性和整数规划的软件, CPLEX的网址是/. 此外,这个软件也可以用来解凸二次规划问题, 且特别适合解大规模问题. PROC LP是SAS软件公司研制的SAS商业软件中OR模块的一个程序.这个程序是根据两阶段单纯形法研制的,可以用来解线性和整数规划问题并可进行灵敏度分析, 是一个比较完善的程序.用户可以根据需要选择不同的参数来满足不同的要求。
【精品】最优性条件(非线性规划)kuhn-tucker条件
iI
如果在x* , g i ( x)可微，i。那么，
m f ( x ) u g ( x )0 i i i 1 ui* 0 i 1, 2, , m u g ( x ) 0 i 1, 2, , m(互补松弛条件) i i 满足K T 条件的点x*称K T 点。
二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 可能的K-T点出现在下列情况： ①两约束曲线的交点：g1与g2,g1与g3,g1与g4,g2与g3,g2与g4,g3与 g4。 ②目标函数与一条曲线相交的情况： g1，g2, g3, g4 对每一个情况求得满足(1)~(6)的点(x1,x2)T及乘子u1,u2,u3,u4,验 证当满足可得，且ui≥ 0时，即为一个K-T点。 下面举几个情况： ● g1与g2交点：x=(2,1)T∈S ,I={1,2} 则u3=u4=0 解
定理
如果 f(x)在点 x 处可微，这 f(x)在点 x 处沿任何非
f ( x ) d f ( x )T e, e d d
零向量 d 的方向导数存在，且
。
定理
如果 f(x)在点 x 处沿非零向量 d 的方向导数存在，且 f ( x )T d 0 （成锐角），则 d 是 f(x)在点 x 处的上升方向。如 果 f ( x )T d 0 （成钝角），则 d 是 f(x)在点 x 处的下降方向
二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 定理（最优性必要条件）： （K-T条件） 问题(fg), 设S={x|gi(x) ≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集，设f, gi(x) ,i ∈I在x*点可微， gi(x) ,i I在x*点连续。 向量组{▽gi(x*), i ∈I}线性无关。 如果x*----l.opt. 那么， u*i≥0, i ∈I使
运筹学中的非线性规划问题-教案
教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。
1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。
1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。
1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。
1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。
1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。
1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。
1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。
1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。
1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。
1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。
1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。
二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。
2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。
2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。
2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。
2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。
Lecture4-5 最优性条件
令f ( x) 0, 解得驻点x (2,1) .
T
12 x1 2 2 2 4 2 4 2 2 f ( x) f (x ) 4 8 4 8 2 f ( x )半正定，但在x的邻域内半正定，
所以x 是局部极小点。
定义: 对 min f ( x)，设x E n是任给一点， n
xE
d 0，若存在 0，使得对任意的 (0, ), 有f ( x d ) f ( x )，则称d为f ( x)在点x 处的 下降方向(descent direction)。
点x处的下降方向集：
F0 d f ( x ) d 0
1
定理4：设f ( x)是定义在E n上的可微凸函数， E n , x 则x为整体极小点的充要条 件是f ( x ) 0.
证明：只证充分性。 设f ( x ) 0. f ( x)是E n上的可微凸函数， 对任意的x E n，有 f ( x) f ( x ) f ( x )T ( x x ) f ( x ) x 为整体极小点。
例：考虑如下约束优化问题：
min f ( x) x1 x2
2 s.t. g ( x) 1 x12 x2 0
x2
g ( x) 0
x2
x1
x1
f(x)=0
对于任意内点x1，可行方向锥D R2 .
对于边界点x 2 (1, 0)T , 可行方向锥 D {d R 2 | d1 0}.
定理3'：设函数f ( x)在点x的邻域内二次可微，若梯度 f ( x ) 0, 且Hessian矩阵 2 f ( x)在该邻域内半正定， 则x 是局部极小点。特别地，对于邻域内的任意点x x， 若 2 f ( x)是正定矩阵，则x 是一个严格的局部极小点.
运筹学——非线性规划
非线性规划
0.618法（近似黄金分割法）
函数 (t ) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个t * [a, b] ，使得 (t ) 在[a, t * ] 上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为 (t ) 的单 谷区间。
非线性规划
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ; 第 2 步 计算最初两个探索点
第3步
计算 t k1
tk
(tk (tk
) )
，如果
t k 1
tk
，停止迭代，输出 t k1 。否则
k : k 1，转第 2 步。
非线性规划
基本思路：迭代
给定初始点x0
根据x0,依次迭代产生点列{xk}
{xk}有限
{xk}无限
{xk}的最后一点为最优解
{xk}收敛于最优解
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关于凸函数的一些结论
定理: 设S Rn是非空凸集
(1)若f是S上的凸函数， 0，则f是S上的凸函数；
(2)若f1, f2是S上的凸函数, f1 f2是S上的凸函数。 定理: 设S Rn是非空凸集, f是凸函数,cR1,则集合
HS ( f ,c)xS| f ( x) c 是凸集。
f ( x1 )（f ( x1 ),f ( x1 )）T是函数在点x1处的梯度。
x1
xn
（2）f是S上的严格凸函数的充要条件是
f ( x1 )T ( x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ), x1, x2S, x1 x2
n=1时几何意义：可微函数是凸的等价于切线不在函数图 像上方。
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管理运筹学讲义 第14章 非线性规划
s.t. 2x1 - 3x2 +6 0
x1, x2 0
25
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管理科学与工程学院
MATLAB 程序如下：
• • • • • fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; x0=[0,0]; A=[-2,3]; b=6; [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,[],[],[],[])
7 石家庄经济学院 管理科学与工程学院
建立模型：
max Q = 4x1 + 2x2 0.5x12 0.25x22 s.t. 8x1 + 5x2 40 x1, x2 0
8
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引例14.2.3 供应与选址问题。某公司有 6 个 建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐 标系 a，b 表示，距离单位：千米）及水泥日用 量 d （吨）由下表给出。目前有两个临时料场 位于 A(5, 1)，B(2, 7)，日储量各有 20 吨。假设 从料场到工地之间均有直线道路相连。
20 石家庄经济学院 管理科学与工程学院
§14.4 用 Matlab 求解非线性规划
用 Matlab 求解非线性规划时，要求的标准形式为： min F(X) s.t. AX b Aeq· X = beq C(X) 0 Ceq(X) = 0 VLB X VUB 其中 X 为 n 维变元向量，C(X) 与 Ceq(X) 均为非线性 函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划中相同。
6 石家庄经济学院 管理ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学与工程学院
引例14.2.2 生产计划问题。某化学公司合成了 一种新肥料，只用两种可互相替换的基本原料 来制造。公司想利用这个机会生产尽可能多的 这种新肥料，公司目前有资金 40000 美元，可 购买单价分别为 8000 美元和 5000 美元的原料。 当用数量为 x1 和 x2 两种原料合成时，肥料的数 量Q 由下式给出： Q = 4x1 + 2x2 0.5x12 0.25x22 试确定购买原料的计划。
运筹学非线性规划
二 、模型的解及相关概念
1.可行解与最优解
★可行解：约束集D中的X。
★最优解：如果有 X * D，对于任意的 X D ， 都有 f ( X *) f ( X ) ，则称 X *为（NLP）的最优
解，也称为全局最小值点。
★局部最优解：如果对于 X 0 D ，使得在 X 0的邻 域 B(X 0, ) {X |P X X 0 P } 中的任意 X D 都有f (X 0 ) f (X ) ，则称 X 0 为（NLP）的局部最
: 风险系数；ij : 第i种与第j种股票收益的协方差
n
nn
max f (x) j xj
xi x j
j 1i1 j1源自s.t.n j 1Pj x j
B
x
j
0
2.模型
min f ( X )
(
NLP
)s.t.
hi
g
( X ) 0,i j ( X ) 0,
1,L , j 1,L
f
(X
)＝f
(X0
)
f
(X0
)（T X－X0）
1 2
(X
X0
)T
H
( X0 )(
X
X0)
o(P X－X 0 P2)
其中：o(P X
X0
P2 )是当X
X
时
0
PX
X0
P2
的高阶无穷小。
例2：写出 f ( X ) 3x12 sin x2 在X 0 [0, 0]T 点的二阶泰勒展开式
解: f ( X ) [6x1 cos x2 ]T , f ( X 0 ) [0 1]T
0
解得：＝－f (Xk )T Pk
PkT H ( X k )Pk
非线性规划
非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。
非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。
非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。
以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。
它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。
常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。
2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。
常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。
3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。
它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。
4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。
它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。
以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。
在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。
非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。
运筹学-非线性规划(四)(名校讲义)
1．外点法（又称惩罚法）
其思路是在目标函数中增加一项使之变为无约束问题，同时 对破坏约束项需付出高昂代价，该法的起始点在可行域外， 一旦进入可行域内便得到最优解。
§1 多维有约束寻优方法 （9）
①思路 设原问题为min：f[X] 约束：XS S是En中一个约束子集，即X的可行域为S，
则将其变成无约束问题： min：f[X]+ p(X)
p(x) =1 =10 =100
=100
b
=10
=1
图4-19
x
a
§1 多维有约束寻优方法 （11）
②求解过程
令{k }（k=1，2，…，）是一无穷序列，且k≥0，k＋1 >k，定义函数q(，X)=f(X)+Xk，若原问题有解，则当k→∞，
§1 多维有约束寻优方法 （2）
一、库恩-塔克（简称库塔）条件
1．可行方向和起作用约束 ①可行方向：
设X(0)是可行点，即X(0) R，若对于某一方向D，存在一 个数 0>0,使对于任意 （0≤≤0 ）均有下式成立：X(0) +DR，则称方向D是点X(0)处的可行方向。 ②下降方向：对于f(X)的台劳级数展开，若▽f[X(0)]T· D<0, 则称D方向为f[X]的下降方向。
第二十四讲 非线性规划（四）
§1 多维有约束寻优方法
§1 多维有约束寻优方法 （1）
非线性规划的一般形式
min f(X) hi(X)=0 i=1，2，…，m (1)
gi(X)≥0 j=1，2，…，l
下面，先阐述非线性规划的重要理论成果——库恩-塔克 条件(Kuhn-Tucker),然后介绍比较重要的几种有约束的寻 优方法。
0 1 2 x1
第七章最优性条件
代入(1.3.1)得
1 T 2 o( 2 ) s f ( x* ) s + 2 0 2
再令 0 ，则利用 lim
o ( 2 )
0
2
=0 得 s f ( x ) s 0。最后由 s 的任意性证得 2 f ( x * ) 半正定。证毕。
3
只有 f ( x ) 正定，其他均非半正定。根据定理 1.3.2， x 是原问题的唯一最优解。
2 4 4
§2 约束问题的最优性条件
本节首先给出约束优化问题的可行方向和序列可行方向的概念，然后分析约束非线性规划问题的一 阶和二阶最优性条件，并讨论二次规划问题的最优性条件。
2.1
可行方向
本子节先引进可行方向的概念，并建立 S 由线性约束组成时的可行方向的等价条件，以及 S 由一般
1.1
下降方向
定义 1.1.1 设函数 f : R n R 1 ， x R n ， s R 是非零方向。若存在 >0，使
n
f ( x s ) f ( x ) ， (0, )
则称 s 是 f 在 x 处的下降方向。 注 1.1.1 设 x 是(UNP)的局部最优解，则 f 在 x 处不存在下降方向。 定理 1.1.1 设 f ( x ) 在 x 处可微， s R 是非零方向。若 f ( x ) s <0，则 s 是 f 在 x 处的下降方向。
n
f ( x* s) f ( x* )
2
2
s T 2 f ( x * ) s o ( 2 ) f ( x * )
2
2
[ s T 2 f ( x * ) s o ( 2 ) / 2 ]
非线性规划在运筹学中的应用
非线性规划在运筹学中的应用非线性规划是运筹学中的重要领域之一，广泛应用于各种实际问题的优化过程中。
本文将介绍非线性规划在运筹学中的应用，并探讨其在实际问题求解中所面临的挑战以及解决方案。
一、非线性规划的定义与特点非线性规划是指目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划需要通过数值计算的方法来获取最优解。
非线性规划的特点在于问题的复杂性和多样性，涉及到的数学模型通常更加抽象和复杂，求解过程也更加困难。
二、非线性规划在生产调度中的应用生产调度是运筹学中的一个重要问题，旨在合理安排生产资源，提高生产效率。
非线性规划可以用于求解生产调度问题，通过优化生产资源的分配和利用，实现生产效益的最大化。
例如，在一家制造业企业中，存在多个订单需要完成。
每个订单的生产时间、生产成本、交货时间等因素都不同，而且相互之间存在约束条件。
通过建立一个非线性规划模型，可以考虑各种因素，如生产时间、物料需求、生产能力等，利用数学求解方法求得最佳生产调度方案。
三、非线性规划在物流配送中的应用物流配送是一个典型的优化问题，旨在合理安排货物的运输路线、运输方式，以降低物流成本，并保证货物按时到达目的地。
非线性规划可以用于解决物流配送中的路径规划、运输负荷、车辆调度等问题。
例如，在一家快递公司中，需要合理安排快递员的路线，使其能够尽可能地在规定时间内完成配送任务。
非线性规划可以考虑诸如快递员工作时间、路况、配送点的距离等因素，通过求解最优化问题，找到最佳的配送路线，提高配送效率，降低物流成本。
四、非线性规划在金融投资中的应用在金融投资领域，非线性规划也得到了广泛的应用。
通过构建非线性规划模型，可以考虑投资收益、风险、投资期限等多方面因素，以优化投资组合并降低风险。
例如，在一家投资公司中，需要选择一个最佳的投资组合，使得收益最大化的同时，风险最小化。
非线性规划可以考虑不同资产的收益率、投资额度限制等因素，通过求解最优化问题，找到最佳的投资配置方案。
非线性规划方案山大刁在筠运筹学讲义
非线性规划方案山大刁在筠运筹学讲义那天，阳光透过窗户洒在我的书桌上，我翻看着山大刁在筠教授的运筹学讲义，非线性规划这一章节引起了我的兴趣。
思绪如泉水般涌出，我决定以意识流的方式，写下这篇非线性规划方案。
一、问题的提出非线性规划是运筹学中的一个重要分支，它研究的是在一组约束条件下，如何找到使目标函数取得最优解的问题。
这类问题在实际应用中广泛存在，如生产计划、资源分配、投资决策等。
山大刁在筠教授的讲义中，以一个具体的生产问题为例，引导我们深入探讨非线性规划的方法。
二、方案的构建1.确定目标函数我们要明确目标函数。
在生产问题中，我们通常追求的是最大化利润或最小化成本。
以最大化利润为例，我们可以将目标函数表示为：maxf(x)=p1x1+p2x2++pnxn其中，x1,x2,,xn分别表示各种产品的产量，p1,p2,,pn表示相应产品的单位利润。
2.构建约束条件我们要构建约束条件。
约束条件通常包括资源约束、技术约束、市场约束等。
以资源约束为例，我们可以将其表示为：a11x1+a12x2++a1nxn≤b1a21x1+a22x2++a2nxn≤b2am1x1+am2x2++amnxn≤bm其中，a11,a12,,amn表示各种资源消耗系数，b1,b2,,bm表示各种资源的总量。
3.确定求解方法构建好目标函数和约束条件后，我们需要选择合适的求解方法。
非线性规划问题的求解方法有很多，如拉格朗日乘子法、KKT条件、序列二次规划法等。
在实际应用中，我们需要根据问题的特点选择合适的方法。
三、方案的实施1.确定初始解在实际操作中，我们通常需要先确定一个初始解。
这个初始解可以是任意一个满足约束条件的解。
我们可以通过观察目标函数和约束条件的图形，或者使用启发式算法来找到一个合适的初始解。
2.迭代求解3.分析结果求解完成后，我们需要对结果进行分析。
我们要检查最优解是否满足所有约束条件。
如果满足，那么我们可以将最优解应用于实际问题中。
非线性最优化.pptx
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1.4 凸规划
非线性规划的数学模型
Minf(X)
(1.1)
hi(X)=0 i=1,2, … ,m
(1.2)
gj(X) ≥ 0 j=1,2, … ,l
(1.3)
满足约束条件(1.2)和(1.3)的点称为可行点
(可行解)，所有可行点的集合称为可行域.
若某个可行解使目标函数(1.1)最小，就称
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• 例5. 求解非线性规划
x2 g2(x) 0
g1(x) 0
A
min f (x) x12 x22 4x1 4 O s.t. g1(x) x1 x2 2 0
2
4
x1
g2 (x) x12 x2 1 0
x1 0, x2 0
最优点A(0.58,1.34), min f 3.8
f(X)在S上的局部极小点, f(X* )为局部极小值。 严格局部极小点(值)：对于所有X≠X* 且
与X*的距离小于ε的X∈S,f(X)>f(X* ),则称 X* 为f(X)在S上的严格局部极小点， f(X* )为
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严格局部极小值。 全局极小点(值)：对于所有的X ∈S，都
有f(X)≥f(X* ),则称X* 为f(X)在S上的全局 极小点，f(X* )为全局极小值。
则称f(X)为定义在S上的严格凸函数. 将(1.5)和(1.6)中的不等号反向,即可得到凹函数
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凸函数的性质
• 性质1 设f(X)为定义在凸集S上的凸函数, 则对 任意实数b≥ 0,函数bf(X)也是定义在S上的凸 函数.
• 性质2 设f1(X)和 f2(X)为定义在凸集S上的两 个凸函数,则其和f(X)= f1(X)+f2(X)仍为定义 在S上的凸函数.
最优性条件(非线性规划)kuhn-tucker条件
ㄡ ▽h(ㄡ )
最优性条件即：
▽h(x*)
f ( x*) *h j ( x*) j
j 1
h
二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： 考虑问题 min f(x) (fg) s.t. gi(x) ≤0 i=1,2, …,m 设 x*∈S={x|gi(x) ≤0 i=1,2, …,m} 令 I={i| gi(x*) =0 i=1,2, …,m} 称I为 x*点处的起作用集（紧约束集）。 如果x*是l.opt. ,对每一个约束函数来说，只有当它是起作用约 束时，才产生影响，如：
二、不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件： （续） 定理（最优性必要条件）： （K-T条件） 问题(fg), 设S={x|gi(x) ≤0},x*∈S,I为x*点处的起作用集，设f, gi(x) ,i ∈I在x*点可微， gi(x) ,i I在x*点连续。 向量组{▽gi(x*), i ∈I}线性无关。 如果x*----l.opt. 那么， u*i≥0, i ∈I使
Байду номын сангаас
问题
min f(x) (fgh) s.t. g(x) ≤0 h(x)=0 约束集 S={x|g(x) ≤0 , h(x)=0}
一、等式约束问题的最优性条件： 考虑 min f(x) (fh) s.t. h(x)=0 回顾高等数学中所学的条件极值： 问题 求z=f(x,y)极值 min f(x,y) 即 在ф(x,y)=0的条件下。 S.t. ф(x,y)=0 引入Lagrange乘子：λ Lagrange函数 L(x,y;λ)= f(x,y)+ λ ф(x,y)
一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使 fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况： min f(x) 分量形式： s.t. hj(x)=0 j=1,2, …,l 若x*是(fh)的l.opt. ,则存在υ*∈ Rl使
运筹学课件 解的最优性检验
0
0
c ij YP ij c ij ( u 1 , u 2 , u 3 ,... u m , v1 ,... v n )( 1 ) 0
1
c ij ( u i v j )
第i个 第m+j
Ui,Vj对偶变量，也称为位势变量。
11
运筹学教程
以上例初始调运方案为例，设置位势变量 u i 和 v j ，在初始调运方案表的基础上增加一行和
u i v j c ij
st . i 1 , 2 ,... m
j 1 , 2 ,... n
u
i
,
v
j
符号不限
10
运筹学教程
对偶变量向量Y
Y u 1 , u 2 , u 3 ,... u m , v1 ,... v n
变量
x
的检验数
j
ij c ij z ij c ij C B B 1 Pij c ij YP ij
σ24=c24-（u2+v4）=9-（0+10）=-1，x24 换入变量,对应的闭回路。
19
运筹学教程
计算调整量，闭回路偶数顶点，找运输量最小 的顶点：ε=Min（x14，x23）= Min（6，2）= 2。 按照下面的方法调整调运量：
闭回路上，奇数次顶点的调运量增加ε，偶数 次顶点（包括起始顶点）的调运量减去ε；闭 回路之外的变量调运量不变。 得到新的调运方案：
2、当迭代得到最优解，如果有某非基变量的检验数 等于零，则说明问题有无穷多解。
3、在迭代过程中，如果划去某行的同时，也划去某 一列，出现退化解，退化时应保证基变量的个数为 m+n-1，在划去某列或行中的某个空格填入数字0。
27
运筹学教程
运筹学 — 无约束非线性规划,约束非线性优化解析
则 x是 f (x) 的R上的最小点（全局极小点）
• 凸规划：
定义：若 R En 为凸集， f ( x) 是R上的凸函数， 则称规划：
min f (x) s.t. x R
为凸规划
定义：若规划问题：
min f (x) s.t. gi (x) 0 i 1, 2, m
其中 f (x) 为凸函数， gi (x) 为凹函数（或 gi (x) 为凸函数） ，则该规划问题为凸规划。
x
k+1
=x +k P
k
k
检查得到的新点x是否为极小值点或近似极小值点。若是， 停止迭代。否则，令 k：=k+1，回2步继续迭代。
• 确定最优步长
k： min f (x +P )
k k
求以 为变量的一元函数 f (xk +Pk ) 的极小值点 （一维搜索）
一维搜索重要性质：在 搜索方向上所得最优点 处的梯度和该搜索方向 正交。
t
(t1 ) 0.2082 (t2 ) 0.0611
b-t1=1.146-0.438>0.5
0 t1
t2
1.416
t
4、第四轮：
a = 0.438, t1=0.708, t2=0.876, b=1.146
(t1 ) 0.0611 (t2 ) 0.0798
b-t1=1.146-0.708<0.5 0
第四章非线性规划
凌翔 龙建成 交通运输工程学院
凸函数定义：
设 f (x) 为定义在n维欧氏空间E中某个凸集R上的函数，若 对任何实数 0 1 以及R中的任意两点 x1 和 x2 ，恒有：
f ( x1 (1 )x2 ) f (x1 ) (1 ) f (x2 )
08非线性规划最优性条件(上)
f ( X * ) f ( X * ) f ( X * ) … 0 x1 x2 xn (6 10)
或 上式中
f ( X * ) 0
f ( X * ) f ( X * ) * f ( X ) , , x2 x1
18
莫 莉
一、什么是凸函数
凸函数和凹函数的几何意义
19
莫 莉
第二章 非线性规划(nonlinear programming)
主讲人：莫 莉
moli@
2011 年 3 月
莫 莉
一、什么是凸函数
提问
1、非线性规划的通常形式是什么？ 2、非线性规划问题若存在最优解，其最优解在可 行域的哪里？ 3、局部极值点存在的必要条件是什么？充分条件
(6 14)
16
莫 莉
四、极值问题
T T d H ( x)d R2 ( x) Taylor展开：f ( x d ) f ( x) f ( x) d 1 2
n 下降方向：对x S , d R , 若存在 0 0, 使对任意的 0 0 ,
2.3 一维搜索
2.4 无约束优化问题解法
2.5 约束优化问题最优性条件
2.6 罚函数法
4
莫 莉
引言……
在科学管理和其他领域中，很多实际问题的目标函数和 (或)约束条件很难用线性函数表达。如果目标函数或约 束条件中含有非线性函数，就称这种问题为非线性规划 问题。 解这类问题需要用非线性规划方法。目前，非线性规划 已成为运筹学一个重要分支，在最优设计、管理科学、 系统控制等许多领域得到越来越广泛的应用。 一般说来，由于非线性函数的复杂性，解非线性规划问 题要比解线性规划问题困难得多。非线性规划目前还没 有适于各种问题的一般性算法，各个方法都有自己特定 的适用范围。
《运筹学》第四版线性规划模型
决策变量的意义
决策变量的具体含义应该与实际 问题相关，例如生产计划、资源 分配等。
确定目标函数
目标函数
01
线性规划的目标函数是用来衡量问题优化的标准，通
常是一个或多个决策变量的线性函数。
目标函数的优化方向
02 根据问题的实际需求，目标函数可以是最大化或最小
化。
目标函数的数学表达式
03
目标函数通常由决策变量和相应的系数组成，表示为
a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
线性规划模型的表示形式
标准形式
标准形式的线性规划模型通常由目标 函数和约束条件组成，表示为 max/min f(x) s.t. a11x1+a12x2+...+a1nxn<=b1, a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2,...。
详细描述
在资源分配问题中，线性规划模型用于确定 最佳的资源分配方案。通过构建包含资源种 类、需求量、效益等变量的线性规划模型， 可以找到在满足资源需求和效益约束下的最 优资源分配方案。这有助于企业或组织实现 资源的合理配置和效益的最大化。
05
线性规划模型的扩展与展望
多目标线性规划
多目标线性规划是线性规划的一个重要扩展，它考虑了多个相互冲突的目 标函数，并寻求在所有目标之间找到最优的平衡。
THANK YOU
非标准形式
如果线性规划模型的目标函数或约束 条件不符合标准形式，可以通过引入 松弛变量或剩余变量将其转化为标准 形式。
03
线性规划模型的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种迭代算法，用于求解 线性规划问题。
在每次迭代中，算法会检查当前解是 否满足最优条件，如果不满足，则通 过一定的规则转换到另一个解，直到 找到最优解或确定无解。
08《运筹学》(第四版)非线性规划最优性条件
单纯形法
对偶问题 算法复杂性
无约束优化
约束优化 凸规划
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莫 莉
前节回顾
线性规划的灵敏度分析也称为敏感性分析，它 是研究和分析参数（cj，bi，aij）的波动对最优解的
影响程度，主要研究下面两个方面：
（1）参数在什么范围内变化，原最优解不变？ （2）当参数已经变化时，最优解有何变化？
h( X ) x1 x2 6 0 代替原约束，
X (2,2) ，即图中的
则非线性规划的最优解是 C点，此时
f ( X ) 0。由于最优点位于可行域
的内部，故事实上约束
h( X ) x1 x2 6 0 并未
发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。
水电与数字化工程学院 莫 莉
充分条件等价于：若函数f (X)在X*点的梯度为零且 海赛矩阵正定，则X*为函数f (X)的严格局部极小点。
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第二章 非线性规划
1 2 3 4 5 6
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基本概念 最优性条件 凸函数和凸规划★ 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
莫 莉
3.1 凸函数的定义
（2）全局极值
对于X,X* ∈R均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ，则 X*为 f (X)在 R上的全局极小点，f (X*)为全
局极小值；
对于X,X* ∈R均有不等式f (X) > f (X*) ，则 称X*为f (X)在R上的严格全局极小点， f (X*) 为严格全局极小值。
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决 胜
非线性规划
千 里 之 外
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f (X (1) (1 ) X ( 2) ) f ( X (1) ) (1 ) f ( X ( 2) )
则称 f (X)为定义在R上的凸函数；若上式为严格不 等式，则称 f (X)为定义在R上的严格凸函数。
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2.2 充分条件
充分条件 设R是En上的一个开集，f (X)在R上具有二
阶连续偏导数，对于 X
对任何非零向量有：
T *
R ，若
f ( X ) 0 且
Z H ( X )Z 0
则X*为 f (X)的严格局部极小点。 H ( X * ) 称为
f (X)在点X*处的海赛（Hesse）矩阵。
hi ( X ) 0 ; 个不等式：
hi ( X ) 0 ,因此非线性
规划的数学模型也可以表示为：
min f ( X ), X E n
g j ( X ) 0, ( j 1,2,, l )
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1.3 图示
min f ( X ) ( x1 2) 2 ( x2 2) 2
充分条件等价于：若函数f (X)在X*点的梯度为零且 海赛矩阵正定，则X*为函数f (X)的严格局部极小点。
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第二章 非线性规划
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基本概念 最优性条件 凸函数和凸规划★ 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
莫 莉
3.1 凸函数的定义
为函数 f (X)
在 X*点处的梯度。
f ( X )
的方向为X*点处等值面（等值线
的法线方向，沿这一方向函数值增加最快， 如图所示。
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2.1 必要条件
f ( X )方向
f (X )
X
*
满足
f ( X ) 0
的点称
为平稳点或驻点。极 值点一定是驻点；但 驻点不一定是极值点。
第二章 非线性规划(Nonlinear Programming)
主讲人：莫 莉
moli@ 2015 年 5 月
水电与数字化工程学院 莫 莉
前节回顾
线性规划
线性规划模型 线性规划解
非线性规划
最优性条件 一维搜索
动态规划
动态规划概念 离散动态规划 动态规划求解 动态规划应用
则必有
f ( X ) x1
f ( X ) x2 Nhomakorabea
f ( X ) xn
0
或
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f ( X ) 0
莫 莉
2.1 必要条件
f ( X
f ( X ) f ( X ) ) ( x , x , 1 2 f ( X ) T , x ) n
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莫 莉
前节回顾
灵敏度分析
分析bi , c j , aij变化对最优解的影响
最优性条件 : N C N C B B 1 N 0 C C B B 1 A 0 j c j C B B 1 p j 0, j 1,2, , n
故
非线性问题
知
基本概念
新
线性规划建模
最优性条件 凸函数和凸规划
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莫 莉
第二章 非线性规划
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基本概念★ 最优性条件 凸函数和凸规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
莫 莉
运 筹 帷 幄 之 中 Non-linear Programming
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S X X R , f ( X )
是凸集。
莫 莉
（Sβ称为水平集）。
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第二章 非线性规划
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基本概念 最优性条件★ 凸函数和凸规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
莫 莉
2.1 必要条件
必要条件
设R是En上的一个开集，f (X)在R上有一阶
X 连续偏导数，且在点 R取得局部极值，
可行性条件 : X B B 1b 0
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前节回顾
(1) 资源bi的变化
(2) 价值系数c j的变化
1 非基变量价值系数ck的变化
2 基变量价值系数cr的变化
(3) 技术系数ai j的变化
分析非基变量技术系数的变化
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莫 莉
前节回顾
温
单纯形法 对偶问题
（2）全局极值
对于X,X* ∈R均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ，则 X*为 f (X)在 R上的全局极小点，f (X*)为全
局极小值；
对于X,X* ∈R均有不等式f (X) > f (X*) ，则 称X*为f (X)在R上的严格全局极小点， f (X*) 为严格全局极小值。
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改变不等号的方向，即可得到凹函数和严格凹函
数的定义。
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3.1 凸函数的定义
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莫 莉
3.2 凸函数的性质
凸函数的性质
性质1 设f(X)为定义在凸集R上的凸函数，则对任 意实数β≥0，函数β f(X)也是定义在R上的凸函数。 性质2 设f1(X)和f2(X)定义在凸集R上的凸函数， 则其和f(X)=f1(X)+f2(X)仍为定义在R上的凸函数。 性质3 设f(X)为定义在凸集R上的凸函数，则对任 意实数β，集合
h( X ) x1 x2 6 0 代替原约束，
X (2,2) ，即图中的
则非线性规划的最优解是 C点，此时
f ( X ) 0。由于最优点位于可行域
的内部，故事实上约束
h( X ) x1 x2 6 0 并未
发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。
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1.3 图示
[注] 线性规划存在最优解，最优解只能在
可行域的边缘上（特别在可行域的顶点） 得到；非线性规划的最优解（如果存在） 则可能在可行域的任意一点上得到。 线性规划
最优解
全局最优解
非线性规划
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局部最优解
未必全局最优
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1.4 基本概念
（1）局部极值
对于X-X* <
2
2
1.3 图示
h( X ) x1 x2 6 0
由左图可见,等值线 f (X)=2和约束条件直 线x1+x2-6=0相切，切 点D即为此问题的最 优解，X*=(3, 3)，其 目标函数值 f (X*)=2。
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1.3 图示
在此例中，约束 h( X ) x1 x2 6 0对最优解发生 了影响，若以
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2.2 充分条件
2 f ( X * ) 2 x1 2 * f ( X ) H ( X * ) x2 x1 ... 2 f ( X * ) x x n 1 2 f ( X * ) 2 f ( X * ) ... x1x2 x1xn 2 * 2 * f (X ) f (X ) ... 2 x2 xn x2 ... ... 2 * 2 * f (X ) f (X ) ... 2 xn x2 xn
h( X ) x1 x2 6 0
若令其目标函数f (X)=c,目标函数成为一 条曲线或一张曲面；通常称为等值线或等 值面。此例，若设f (X)=2和f (X)=4可得两 个圆形等值线，见下图：
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min f ( X ) ( x1 2) ( x2 2)
x1 x h
3
x2
max V (1 a / 3)x12 x 2 2 2 2 2 s . t . x x a x 2 x x x 1 1 2 1 2 1 S x 1 0, x 2 0
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1.1 引例
例3 某单位拟建一排厂房， 厂房建筑平面如图所示。由 于资金及材料的限制，围墙
D中的点称为可行解或可行点
模型也可写成 min f ( x)
xD
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1.2 数学模型
（1）线性规划：目标函数和约束条件皆为x的线 性函数。
（2）非线性规划：目标函数和约束条件中至少 有一个是x的非线性函数。
本章讨论非线性规划。 （1）当p=0,q=0 ,即可行域D=Rn 时， (P)可 写成 min f ( x)
其中x=(x1,x2,...,xn )T∈Rn ， f ( x ), hi ( x ), g j ( x )为x的实值函数
g ( x) 0, i 1,..., p n i D x R h ( x ) 0 , j 1 ,..., q j
约束集或可行域
决 胜
非线性规划
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莫 莉
1.1 引例
例1 曲线的最优拟合问题
已知某物体的温度 与时间 t 之间有如 下形式的经验函数关系： c1 c 2 t e c3 t (*) 其中 c1 ，c 2 ，c 3 是待定参数。现通过测 试获得 n 组 与 t 之间的实验数据( t i , i ) ， c3 ， c1 ， c2 ， i=1，2，…,n。试确定参数 使理论曲线(*)尽可能地与 n 个测试点 ( t i , i ) 拟合。