08《运筹学》(第四版)非线性规划最优性条件

设 f (X)为定义在En中某一凸集R上的函数，若对于 任何实数（0<<1）以及R中的任意两点X(1)和 X(2) ，恒有：
f (X (1) (1 ) X ( 2) ) f ( X (1) ) (1 ) f ( X ( 2) )
则称 f (X)为定义在R上的凸函数；若上式为严格不 等式，则称 f (X)为定义在R上的严格凸函数。
x1
x2
及隔墙的总长度不能超过80
米。为使建筑面积最大，应 如何选择长宽尺寸？ 分析：设长为 x1米，宽为 x2 米，则有
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max f ( x ) x1 x 2 2 x1 5 x 2 80 x1 , x 2 0
f(x)为非线性函数
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1.2 数学模型
min f ( x) 模型的一般形式 ( P) s.t. gi ( x) 0, i 1,..., p h j ( x) 0, j 1,..., q
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2.2 充分条件
2 f ( X * ) 2 x1 2 * f ( X ) H ( X * ) x2 x1 ... 2 f ( X * ) x x n 1 2 f ( X * ) 2 f ( X * ) ... x1x2 x1xn 2 * 2 * f (X ) f (X ) ... 2 x2 xn x2 ... ... 2 * 2 * f (X ) f (X ) ... 2 xn x2 xn

均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ，
则称 X*为 f (X)在 R上的局部极小点，f (X*)
为局部极小值；
对于X-X*<

均有不等式 f (X) > f (X*) ，
则称 X*为 f (X)在 R上的严格局部极小点， f (X*)为严格局部极小值；
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1.4 基本概念
改变不等号的方向，即可得到凹函数和严格凹函
数的定义。
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3.1 凸函数的定义
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3.2 凸函数的性质
凸函数的性质
性质1 设f(X)为定义在凸集R上的凸函数，则对任 意实数β≥0，函数β f(X)也是定义在R上的凸函数。 性质2 设f1(X)和f2(X)定义在凸集R上的凸函数， 则其和f(X)=f1(X)+f2(X)仍为定义在R上的凸函数。 性质3 设f(X)为定义在凸集R上的凸函数，则对任 意实数β，集合
单纯形法
对偶问题 算法复杂性
无约束优化
约束优化 凸规划
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前节回顾
线性规划的灵敏度分析也称为敏感性分析，它 是研究和分析参数（cj，bi，aij）的波动对最优解的
影响程度，主要研究下面两个方面：
（1）参数在什么范围内变化，原最优解不变？ （2）当参数已经变化时，最优解有何变化？
（2）全局极值
对于X,X* ∈R均有不等式 f (X) ≥ f (X*) ，则 X*为 f (X)在 R上的全局极小点，f (X*)为全
局极小值；
对于X,X* ∈R均有不等式f (X) > f (X*) ，则 称X*为f (X)在R上的严格全局极小点， f (X*) 为严格全局极小值。
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决 胜
非线性规划
千 里 之 外
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1.1 引例
例1 曲线的最优拟合问题
已知某物体的温度 与时间 t 之间有如 下形式的经验函数关系： c1 c 2 t e c3 t (*) 其中 c1 ，c 2 ，c 3 是待定参数。现通过测 试获得 n 组 与 t 之间的实验数据( t i , i ) ， c3 ， c1 ， c2 ， i=1，2，…,n。试确定参数 使理论曲线(*)尽可能地与 n 个测试点 ( t i , i ) 拟合。
1.3 图示
[注] 线性规划存在最优解，最优解只能在
可行域的边缘上（特别在可行域的顶点） 得到；非线性规划的最优解（如果存在） 则可能在可行域的任意一点上得到。 线性规划
最优解
全局最优解
非线性规划
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局部最优解
未必全局最优
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1.4 基本概念
（1）局部极值
对于X-X* <
故
非线性问题
知
基本概念
新
线性规划建模
最优性条件 凸函数和凸规划
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第二章 非线性规划
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基本概念★ 最优性条件 凸函数和凸规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
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运 筹 帷 幄 之 中 Non-linear Programming
2
2
1.3 图示
h( X ) x1 x2 6 0
由左图可见,等值线 f (X)=2和约束条件直 线x1+x2-6=0相切，切 点D即为此问题的最 优解，X*=(3, 3)，其 目标函数值 f (X*)=2。
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1.3 图示
在此例中，约束 h( X ) x1 x2 6 0对最优解发生 了影响，若以
则必有
f ( X ) x1

f ( X ) x2

f ( X ) xn
0
或
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f ( X ) 0
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2.1 必要条件
f ( X
f ( X ) f ( X ) ) ( x , x , 1 2 f ( X ) T , x ) n
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前节回顾
灵敏度分析
分析bi , c j , aij变化对最优解的影响
最优性条件 : N C N C B B 1 N 0 C C B B 1 A 0 j c j C B B 1 p j 0, j 1,2, , n
1.4 基本概念
min f ( x1 , x2 ) x x
2 1 2 2
来自百度文库x2
1 x1 x2 0 s .t . x1 1 0 x 1 0 2
全局最优解为x*=(1/2,1/2)T , 全局最优值为f(x*)=1/2。
1
x*
1
x1
2 2 2 2 若目标函数改为： min f ( x1 , x 2 ) ( x1 ) ( x 2 ) 3 3 其最优解和最优值如何？
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第二章 非线性规划
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基本概念 最优性条件★ 凸函数和凸规划 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
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2.1 必要条件
必要条件
设R是En上的一个开集，f (X)在R上有一阶
X 连续偏导数，且在点 R取得局部极值，
h( X ) x1 x2 6 0
若令其目标函数f (X)=c,目标函数成为一 条曲线或一张曲面；通常称为等值线或等 值面。此例，若设f (X)=2和f (X)=4可得两 个圆形等值线，见下图：
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min f ( X ) ( x1 2) ( x2 2)
称为无约束非线性规划或无约束最优化问题。 （2）若可行域D≠Rn ，(P)称为约束非线性规划或 约束最优化问题。
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1.2 数学模型
由于，max f ( X ) min[ f ( X )] ,“≤”不等式仅乘
“-1”即可转换为“≥”不等式；因此上述
数学模型具有一般意义。又因为等价于两
其中x=(x1,x2,...,xn )T∈Rn ， f ( x ), hi ( x ), g j ( x )为x的实值函数
g ( x) 0, i 1,..., p n i D x R h ( x ) 0 , j 1 ,..., q j
约束集或可行域
hi ( X ) 0 ; 个不等式：
hi ( X ) 0 ,因此非线性
规划的数学模型也可以表示为：
min f ( X ), X E n
g j ( X ) 0, ( j 1,2,, l )
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1.3 图示
min f ( X ) ( x1 2) 2 ( x2 2) 2
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S X X R , f ( X )
是凸集。
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（Sβ称为水平集）。
x1 x h
3
x2
max V (1 a / 3)x12 x 2 2 2 2 2 s . t . x x a x 2 x x x 1 1 2 1 2 1 S x 1 0, x 2 0
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1.1 引例
例3 某单位拟建一排厂房， 厂房建筑平面如图所示。由 于资金及材料的限制，围墙
t
min
c3 t i 2 [ ( c c t e )] i 1 2i i 1
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n
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1.1 引例
例2 构件容积问题 设计一个右图所示的由圆锥和圆柱 面围成的构件，要求构件的表面积 为S，圆锥部分的高h和圆柱部分的 高x2之比为a。确定构件尺寸，使其 容积大。
可行性条件 : X B B 1b 0
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前节回顾
(1) 资源bi的变化
(2) 价值系数c j的变化
1 非基变量价值系数ck的变化
2 基变量价值系数cr的变化
(3) 技术系数ai j的变化

分析非基变量技术系数的变化
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前节回顾
温
单纯形法 对偶问题
为函数 f (X)
在 X*点处的梯度。
f ( X )
的方向为X*点处等值面（等值线
的法线方向，沿这一方向函数值增加最快， 如图所示。
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2.1 必要条件
f ( X )方向
f (X )
X
*
满足
f ( X ) 0
的点称
为平稳点或驻点。极 值点一定是驻点；但 驻点不一定是极值点。
h( X ) x1 x2 6 0 代替原约束，
X (2,2) ，即图中的
则非线性规划的最优解是 C点，此时
f ( X ) 0。由于最优点位于可行域
的内部，故事实上约束
h( X ) x1 x2 6 0 并未
发挥作用，问题相当一个无约束极值问题。
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充分条件等价于：若函数f (X)在X*点的梯度为零且 海赛矩阵正定，则X*为函数f (X)的严格局部极小点。
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第二章 非线性规划
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基本概念 最优性条件 凸函数和凸规划★ 一维搜索方法 无约束最优化方法 约束最优化方法
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3.1 凸函数的定义
第二章 非线性规划(Nonlinear Programming)
主讲人：莫 莉
moli@hust.edu.cn 2015 年 5 月
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前节回顾
线性规划
线性规划模型 线性规划解
非线性规划
最优性条件 一维搜索
动态规划
动态规划概念 离散动态规划 动态规划求解 动态规划应用
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2.2 充分条件
充分条件 设R是En上的一个开集，f (X)在R上具有二
阶连续偏导数，对于 X
对任何非零向量有：
T *

R ，若
f ( X ) 0 且
Z H ( X )Z 0
则X*为 f (X)的严格局部极小点。 H ( X * ) 称为
f (X)在点X*处的海赛（Hesse）矩阵。
D中的点称为可行解或可行点
模型也可写成 min f ( x)
xD
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1.2 数学模型
（1）线性规划：目标函数和约束条件皆为x的线 性函数。
（2）非线性规划：目标函数和约束条件中至少 有一个是x的非线性函数。
本章讨论非线性规划。 （1）当p=0,q=0 ,即可行域D=Rn 时， (P)可 写成 min f ( x)