坡印廷定理

I
• 根据电磁场的力与能量守恒推导 场的能量密度设为 ： w r ,t
( )
设有一闭合介质空间区域V，其内 存在时变的电荷、电流和电磁场。
V
t 能量流密度矢量 ： S(r， )
−
∫∫
S
S(r , t ) ⋅ ds =
∫∫∫
V
∂w (r , t ) dV + ∂t
J
∫∫∫ f (r, t )⋅ vdV
§2.7 时变电磁场的能量
1. 坡印廷定理 2. 电磁场能量的传播
1 Poynting定理 时变电磁场具有能量已被大量的事实所证明。时变电磁场可以脱离电荷 或电流而在空间存在，且随时间的变化在空间以波动形式传播。那么时 变电磁场的能量又以何种形式存在于空间，它是否随电磁波的传播而在 空间传播？
we =
V
ρ
表示通过界 面在单位时 间内进入V 内电磁场的 能量
表示单位 时间内空 间区域电 磁场能量 的增量
区域内 场对荷 电系统 所作的 功率
f(r， 表示场对荷电系统作用力密度 t)
v 为荷电系统运动速度
由于时变电磁场的波动特点， 闭合空间内部的电磁场有可能 传播到外部，外部空间的电磁 场也有可能传播到空间内部， 闭合空间的内外有可能存在电 磁场能量的交流。
恒定电流或低频交流电的情况下， 场量往往是通过电流、电压及负载的 阻抗等参数表现，表面上给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。
如能量真是通过电荷在导线内传输， 如能量真是通过电荷在导线内传输，常温下导体 中的电荷运动速度约10 中的电荷运动速度约 -5m/s，电荷由电源端到负 ， 载端所需时间约是场传播时间的亿万倍。 载端所需时间约是场传播时间的亿万倍。 负载只需经过极短（ 为光速） 负载只需经过极短（t=L/c，其中 为光速）的时 ，其中c为光速 间就能得到能量的供应。 间就能得到能量的供应。
− ∫ ( E × H ) ⋅ ds =
s
∂ 1 2 1 εE + µH 2 dv + ∫ E ⋅ Jdv V ∂t ∫V 2 2
例
一段长直导线l, 半径为a, 电导率为σ。设沿线通过直流I, 试求其表
面处的坡印廷矢量, 并证明坡印廷定理。 直流导线段
［解］ E =
J
σ
ˆ =z
导体内的热损耗功率为
∫
V
Pσ dv = ∫ σE dv = ∫
2 V
J2
V
I2 l dv = 2 ⋅ Al = I 2 = I 2R σ σA σA
2
电路理论中的焦耳定理. 其微分形式为
Pσ = E ⋅ J = σE =
J2
σ
2 电磁场能量的传播 Poynting定理给出了时变电磁场能量传播的一个新图像，电磁场能量通过电 定 磁场传播。这对于广播电视、无线通信和雷达等应用领域是不难理解的.
I I ˆ ,H =ϕ σA 2πa
I2 ˆ S = E × H = −ρ 2σπ
故表面处坡印廷矢量为
它的方向垂直于导体表面, 指向导体里面。为证明坡印廷定理, 需将S沿圆 柱表面积分:
I2 I2 2 l 2 − ∫ S ⋅ ds = ∫ ds = ⋅ 2πal = I =I R s s 2σπaA 2σπaA σA
wm =
1 1 D ⋅ E = εE 2 2 2
—电场能量密度, 单位: (F/m) (V2/m2)=J/m3;
1 1 B ⋅ H = µH 2 2 2
—磁场能量密度, 单位: (H/m) (A2/m2)=J/m3;
—传导电流引起的热损耗功率密度, 单位: (S/m)
pσ=E·J=σE2
(V2/m2)=W/m3。
表示闭合空间区域V内电磁场能量守恒和转化的关系式，称为Poynting 定理，其中 称为Poynting Poynting矢量描述电磁场能量流动 Poynting 的物理量。代表单位时间内流出封闭面S S r, t = E r, t × H r, t 的能量, 即流出S面的功率。坡印廷矢量 的大小表示单位时间内通过垂直于能量 传输方向的单位面积的电磁能量。坡印 廷矢量的方向即为电磁能量传播方向。
∂ w (r , t ) − ∇ ⋅ S (r , t ) ∂t
∂B ∂D ∇ ⋅ ( E × H ) = −f ⋅ v − H ⋅ + E⋅ ∂t ∂t
代表能量对时间的变化率
∂B ∂D − ∫∫ ( E × H ) ⋅ dS = ∫∫∫ H ⋅ +E⋅ dV + ∫∫∫ f ⋅ vdV ∂t ∂t S V V
∂B ∂D − ∫ ( E × H ) ⋅ ds = ∫ H ⋅ +E⋅ + E ⋅ J dv S V ∂t ∂t
E⋅ ∂E y ∂E ∂D ∂E ∂E = εE ⋅ = ε Ex x + E y + Ez z ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t
2 1 ∂E x2 1 ∂E y 1 ∂E z2 ∂ 1 2 = εE = ε + + 2 ∂t 2 ∂t 2 ∂t ∂t 2
( )
( )
( )
• 利用麦克斯韦方程组进行纯数学推导
∇ ⋅ ( E × H ) = H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ (∇ × H ) ∂B ∂D ∇ ⋅ ( E × H ) = H ⋅ (− ) − E ⋅ ( J + ) ∂t ∂t ∂B ∂D − ∇ ⋅ (E × H ) = H ⋅ +E⋅ +E⋅J ∂t ∂t
f⋅v = −
∂D ∂D ∂B ∂D f ⋅ v = E ⋅∇×H − − ∇ ⋅ (E × H ) = − H ⋅ + E⋅ − ∇ ⋅ (E × H ) = H ⋅ (∇ × E ) − E ⋅ ∂t ∂t ∂t ∂t
∂D f ⋅ v = (ρ E + ρ v × B ) ⋅ v = ρ E ⋅ v = E ⋅ ρ v = E ⋅ J = E ⋅ ∇ × H − ∂t