流体力学

第十一讲流体力学

我们通常所说的流体包括了气体和液体。流体具有形状和大小可以改变的特征，这一点和弹性体是类似的，然而，流体仅仅具备何种压缩弹性，例如，用力推动活塞可以压缩密闭气缸中的气体，在撤消外力后，气体将恢复原状，将活塞推出；但流体不具备抵抗形状改变的弹性，在力的作用下，流体因流动而发生形状的改变，，撤消外力后，流体并不恢复原来的形状，流体的这种性质称为流动性。流体力学的任务在于研究流体流动的规律以及它与固体之间的相互作用。

一、理想流体

无论是气体还是流体都是可以压缩的，只不过在通常的情况下，气体较容易被压缩，而液体难以被压缩。但是，在一定的条件下，我们常常把流动着的流体看着是不可压缩的，这一点对于液体是比较好理解的，因为在对液体加压时，其何种的改变是极其微小的，是可以忽略的；我们之所以把流动着的气体也看作是不可压缩的，是因为气体的密度小，即使压力差不大，也能够迅速驱使密度较大处的气体流向密度较小的地方，使密度趋于均匀，这样使得流动的气体中各处的密度密度不随时间发生明显的变化，这样，气体的可压缩性便可以不必考虑。不过，当气流的速度接近或超过声速时，因气体的运动造成的各处的密度不均匀的差别不及消失，这时气体的可压缩性会变得非常的明显，不能再看作是不可压缩的。总之，在一定的问题中，若可不考虑气体的可压缩性，便可将它抽象为不可压缩的理想模型，反之，则需看作是可压缩的液体。

液体都的或多或少的粘性，在静止液体中，粘性无法表现，在流体流动时，，将明显地表现出粘性。所谓粘性，就是当流体流动时，层与层之间有阻碍相对运动的内摩擦力，如河流中心的水流速度较快，由于粘性，靠近河岸的水几乎不动。在研究流体时，若流体的流动性是主要的，粘性居于次要地位时，可认为流体完全没有粘性，这样的理想模型叫做非粘性流体，若粘性起着重要的作用，则需将流体看作粘性流体。

如果在流体的运动过程中，流体的可压缩性和粘性都处于极为次要的地位，就可以把流体看作是理想流体。理想流体是不可压缩又无粘性的流体。

二、静止流体内的压强

1．静止流体内一点的压强

首先，我们可以证明：在重力场中，过静止流体内一点的各不同方位无穷小的截面上的压强的大小都是相等的。这是流体内压强的一条重要的性质。基于这一点，我们对静止流体内的一点的压强作如下的定义：静止流体内的压强等于过此点任意一假想的微小截面上的压力与该截面的面积之比。

2．静止流体内压强的分布

a．在重力场中，静止流体内各等高点的压强相等。

b．沿直方向的压强的分布

在重力作用下，静止流体内的压强随流体高度的增加而减小。如果液体具有自由的表面，且自由表面处的压强为p0，则液体内部深度为h处的压强为

p=p0+ρgh (式中ρ为液体的密度)

对于气体来说，因密度很小，若高度范围不是很大，则可认为气体内各部分的压强

相等。

三、帕斯卡原理和阿基米德原理

1．帕斯卡原理

作用于密闭容器中的流体压强等值地传到流体各部分和器壁上去。

2．阿基米德原理

物体在流体中所受到的浮力等于该物体的流体的重量。

四、描述流体运动的基本概念

1．流迹、流线和流管

研究流体的运动有两种方法，一种是将流体分为许多无穷小的流体微团，并追踪每个流体微团，并求出它们各自的运动规律。一定流体微团运动的轨迹叫做该微团的流迹。研究流体的另一种方法则是把注意力转移到各个空间点，观察各个流体微团经过这些空间点的流速。事实上，对流体而言，空间

每一点均有一定的流速矢量，为了形象地

描述流体的运动情况，我们可在流体中画

出许多曲线，使得曲线上每一点的切线方

向和位于该点处的流体微团的速度方向一致，这种曲线便是流线，如图所示。一般说来，流线并不与流迹重合，并且空间各点的流速是随时间改变的，因此，流线的走向和分布也是随时间改变的，流线的分布与一定的瞬时相对应。此外，值得注意的是，流线是不会相交的，因为两流线相交，就意味着相交处有两种流速，这是与流线的定义相矛盾的，也是毫无意义的。

在流体内部画微小的封闭，通过封闭曲线上各点的流

线所围成的细管叫做流管，如图所示。

2．定常流动

流体内各空间点的流速通常是随时间而变化的。在特殊的情况下，尽管各空间点的流速不一定相同。但在任意空间点的流速不随时间而改变，我们把这样的流动叫做定常流动。

3．流量和不可压缩性流体的连续性方程

单位时间内通过某横截面的流体的何种就叫做该横截面上的流量。

如图，我们在流管中任意两点画垂直于流线的假想截面ΔS1和ΔS2，与它们之间的流管壁面共同围成封闭体积。根据流管的性质，流体不能通过壁面出入流管，只能顺流管进入封闭体积并通过ΔS2排出。又由于讨论的

通过ΔS

流体是不可压缩的，所以封闭体积内流体的质量恒定，

根据质量定恒定律，由ΔS1进入封闭体积的质量和通过

ΔS2排出的质量相等；同样，由于不可压缩，密度保持

恒定，通过不同截面的质量相等，这表示进出流管的流

量相等，即

v1ΔS1=v2ΔS2

因选择ΔS1、ΔS2时未加任何附加条件，，故上式对任意两个与流线垂直的截面都正确的，一般可写作

v ΔS =恒量

即对于不可压缩的流体，通过流管各横截面的流量都相等，叫做不可压缩流体的连续原理，上述两式叫做不可压缩流体的连续性方程。

五、伯努利方程

伯努利方程是流体力学的基本规律之一，它研究的是理想流体在做定常流动时，流体中的压强和流速之间的关系。

首先，对于无粘性运动的流体，它的内部任一点各处不同方位无穷小的面积上的压强的大小是相等的。然后，在此前提下，应用功能原理，

借助图所示的流管，我们可以推得：

21

ρv 2+ρgh +p =恒量

上式即为伯努利方程。它表明，在惯性系中，当理想流

体在重力作用下作定常流动时，一定流线上(或细流管

内)各点的量2

1ρv 2+ρgh +p 为一恒量。 流体水平流动时，或者高度差不显著时(如气体的

流动)，伯努利方程可表达为

21

ρv 2+ p =恒量

显然，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v 大的地方压强p 小，流速v 小的地方压强p 大.

六、粘性流体的运动

1．粘滞定律

前面关于流体力学的讨论，未考虑流体的粘性，对粘性不起主要作用的现象，能够做出一些令人满意的解释。然而，在另一些情况下，流体的粘性起着主要作用，甚至某些现象从本质上讲是由于粘性所引起的。这时就不得不考虑流体的粘性。

在粘性流体中取一假想截面，截面两侧流体沿截面以不同的速度运动，即截面两侧的流体具有沿截面的相对速度，则两侧流体间将互相作用沿截面的切向力，较快层流体对较慢层流体施加向前的“拉力”，较慢层流体对较快层流体施加“阻力”，这一对力相当于固体间的“动摩擦力”，因它是流体内部不同部分间的摩擦力，故称为内摩擦力，又称为粘滞力。

图为粘滞流体内部的某一点附近的流动情况，两

部分以不同的速率v 1和v 2运动在坐标中以，y 轴与流

速v 1和v 2的方向垂直，且用Δy 表示以速率v 1和v 2运

动的两层流体间的距离，我们用比值

y

v v y v ∆-=∆∆12 描述在y 至y +Δy 间流速对空间的变化率。

实验表明：流体内某一面积(ΔS )两侧相互作用的