高中数学学案：平面向量的有关概念及其线性运算

高中数学学案:平面向量的有关概念及其线性运算
1. 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.
2. 掌握向量的加、减运算和数乘运算；理解其几何意义；理解向量共线定理.
3. 了解向量的线性运算性质及其几何意义.
1. 阅读:必修4第59～73 页.
2. 解悟:①向量的相关概念；②向量的线性运算；③第71 页例4中两个不共线的向量OA →,OB →可
以表示平面内任意一向量吗？④第71页例4你能得到什么结论吗？ 3. 践习:在教材空白处,完成第72～73页习题第11、13、14、15、16题.
基础诊断
1. 给出下列命题:①若AB →∥CD →,则AB →与CD →共线；②若AB →＝CD →,则AB →∥CD →；③若AB →＝CD →,
则BA
→＝DC →；④若AB →∥BC →,则A,B,C 三点共线.其中,正确的命题是 ①②③④ .(填序号) 解析:①根据向量平行的定义可知,平行即共线,所以若AB
→∥CD →,则AB →与CD →共线正确；②根
据相等向量的定义可知,若AB
→＝CD →,则AB →与CD →的方向相同,故AB →∥CD →正确；③若AB →＝CD →,则
－AB
→＝－CD →,即BA →＝DC →,故③正确；④若均不为零向量,若AB →∥BC →,则A,B,C 三点共线显然成立.若有一个为零向量,则其中有两个点重合,三点共线依旧成立,故④正确.故选①②③④.
2. 化简:AB
→－CB →＋EF →－EC →＝ AF → .
解析:原式＝AB
→＋BC →＋EF →＋CE →＝AC →＋CF →＝AF →.
3. 若O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,则△ABC 的形状
是 直角三角形 .
解析:因为|OB
→－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|,所以|CB →|＝|AB →＋AC →|.以线段AB 和AC 为邻边画出
平行四边形ABDC,则AB
→＋AC →＝AD →.因为|CB →|＝|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|,所以平行四边形的两条
对角线相等,所以平行四边形是矩形,所以∠BAC ＝90°,所以△ABC 是直角三角形.
4. 如图所示,在△ABC 中,O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若AB
→＝mAM →,AC →＝nAN →,则m ＋n 的值为 2 .
解析:因为O 是BC 的中点,所以AO
→＝12(AB →＋AC →).又因为AB →＝mAM →,AC →＝nAN →,所以AO →＝m
2AM →＋n 2AN →
.因为M,O,N 三点共线,所以m 2＋n 2＝1,所以m ＋n ＝2.
范例导航
考向❶ 平面向量的加减法
例1 如图所示,OA
→＝a,OB →＝b,OC →＝c,OD →＝d,OE →＝e,OF →＝f.试用a,b,c,d,e,f 表示:
(1) AD
→－AB →； (2) AB →＋CF →＋BE →； (3) BF
→－BD →－DE →.
解析:(1) 因为OB
→＝b,OD →＝d, 所以AD
→－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b.
(2) 因为OA
→＝a,OB →＝b,OC →＝c,OE →＝e,OF →＝f,
所以AB →＋CF →＋BE →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＋(OE →－OB →)＝(b －a)＋(f －c)＋(e －b)＝e ＋f －a －c.
(3) 因为OE
→＝e,OF →＝f,
所以BF
→－BD →－DE →＝BF →－(BD →＋DE →)＝BF →－BE →＝EF →＝OF →－OE →＝f －e.
如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC 与BD 交于点O ,则BA
→－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝ CA → .
解析:BA
→－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－OA →＋(OD →＋DA →)＝CA →－OA →＋OA →＝CA →. 考向❷ 平面向量的线性运算
例2 如图,以向量OA
→＝a,OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ,其中BM →＝13BC →,CN →＝13CD →,试用a,b
表示OM
→,ON →,MN →.
解析:因为BA
→＝OA →－OB →＝a －b,BM →＝16BA →＝16a －16b,
所以OM
→＝OB →＋BM →＝16a ＋56b.
又因为OD
→＝a ＋b,
所以ON
→＝OC →＋CN →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b, 所以MN
→＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b.
综上可知,OM
→＝16a ＋56b,ON →＝23a ＋23b,
MN
→＝12a －16
b.
如图所示,在△ABC 中,AN
→＝13NC →,P 是BN 上的一点,若AP →＝mAB →＋211AC →,则实数m 的值为
3
11 Ｗ.
解析:因为AN
→＝13NC →,所以AC →＝4AN →,所以AP →＝mAB →＋811AN →.因为B ,P ,N 三点共线,所以m ＋8
11
＝1,即m ＝3
11.
考向❸ 三点共线向量式
例3 在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的点,OP
→＝xOA →＋yOB →.
(1) 若BP
→＝3PA →,求x ＋y 的值； (2) x ＋y 是否为定值？请证明你的结论. 解析:(1) 因为BP
→＝3PA →,
所以BO
→＋OP →＝3PO →＋3OA →,即4OP →＝OB →＋3OA →, 所以OP
→＝34OA →＋14OB →, 所以x ＝34,y ＝1
4,所以x ＋y ＝1.
(2) x ＋y 为定值1,证明如下:
因为P 为线段AB 上的一点,所以BP →与PA →共线,
即存在实数λ使得BP →＝λPA →(λ≥0),
所以BO →＋OP →＝λPO →＋λOA →, 即OP
→＝λ1＋λOA →＋11＋λ
OB →. 又OA
→,OB →不共线,所以x ＝λ1＋λ,y ＝11＋λ,
从而x ＋y ＝1.
已知M 是△ABC 所在平面内一点,且满足:AM
→＝34AB →＋14AC →,N 为AB 的中点,AM 与CN 交
于点O,设BO →＝xBM →＋yBN →,则x ＝ 47 ,y ＝ 67
.
解析:由AM →＝34AB →＋14AC →可知M,B,C 三点共线,令BM →＝λBC →
.
因为AM
→＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →, 所以λ＝14,所以BM →
＝14BC →. 因为BO
→＝xBM →＋yBN →, 所以⎩⎪⎨⎪⎧BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4
BC →＋yBN →.
由O 、M 、A 三点共线及O 、N 、C 三点共线,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4
7，
y ＝67.
自测反馈
1. 在正六边形ABCDEF 中,BA
→＋CD →＋EF →＝ CF → .
解析:根据正六边形的性质得BA
→＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝BF →＋CB →＝CF →.
2. 若a 与b 反向,且|a|＝|b|＝1,则|a －b|＝ 2 . 解析:由题意可得,a ＝－b,所以|a －b|＝|－2b|＝2|b|＝2.
3. 已知平面上不共线的四点O,A,B,C.若OA →－4OB →＋3OC →
＝0,则|AB →||BC →|
＝ 3 .
解析:因为OA →－4OB →＋3OC →＝0,所以OA →－OB →－3(OB →－OC →)＝0,所以BA →＝3CB →,即AB →＝3BC →,
所以|AB →||BC →|
＝3.
4. 已知在△ABC 中,点M,N 满足AM →＝2MC →,BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
,则xy ＝ －112 .
解析:由题意得,MC →＝13AC →,NC →＝12BC →.因为MN →＝MC →＋CN →
＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →,所以x ＝12,y ＝－16,所以xy ＝－112.
1. 向量是自由向量,可以任意平移,方向和大小是决定向量的两个要素.
2. 注意向量运算中的三角形法则,加法需首尾相连,减法需共起点.
3. 你还有哪些体悟,写下来:。