第三章 线性代数建模
数学建模第三章线性代数方法建模--3.3 Hill密码的数学模型
A
， 由
的两个分量反查字母表值得到的两个字母即为密文 字母。 以上 4 步即为 Hill 密码的加密过程。
例 明文为 YI CHU FA。
1 A 0 2 3 ，
求这段明文的 Hill 密码。 将明文相邻 2 个字母分为一组：YI CH UF AA。 最后一个字母是哑字母，它是为使最后一组的字母数 为 2 而添加的，无实际意义。查出每对字母的表值， 并构造 2 维列向量：
A
=3 没有 2 与 13 这两个素数因子， 所以 A 模 26 可逆。
A
1
(mod 26 ) 2 (mod 26 ) 1 2 (mod 26 ) 1 18 1 9 0 8 9
3 3 0
1
3 9 0 27 0
（2）
在反查这 4 个向量对应的字母时，遇到了问题：第 1 个向量与第三个向量中的 43 与 33 不是表值，处理的 办法是加减 26 的整数倍，使其化为 0—25 之间的一 个整数，这称为模 26 运算，记为：
43 27 17 (mod 26 ) , 1 33 7 (mod 26 ) 18 18
R 18 3 C 2 A 2 2 S 19 15 O
在模 26 意义下，
det ( 1 , 2 ) 21 3 18 19 (mod 26 ) 345 (mod 26 ) 7
27 26 52 (mod 26 ) E 27
定义 2 对 Z 的一个整数 a，若存在 Z 的一个整数 b， 使得 ab=1（mod m） ，称 b 为 a 的模 m 倒数，记作
线性代数在数学建模中的应用举例
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中,对各种群体的基因的频率进行了研究;如果我们把四种等位基因A 1,A 2,B,O 区别开,有人报道了如下的相对频率,见表;表基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何换句话说,就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度;解 有人提出一种利用向量代数的方法;首先,我们用单位向量来表示每一个群体;为此目的,我们取每一种频率的平方根,记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ,所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记 .444342414,343332313,242322212,141312111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中,这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上.现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ,那么由于| a 1|=| a 2|=1,再由内只公式,得21cos a a ⋅=θ 而故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式,我们可以得到表.表基因间的“距离”由表可见,最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”,而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积这个问题是由Euler 欧拉提出的. 解 建立如图所示坐标系,设A ,B ,C 三点的坐标分别为a 1,b 1,c 1, a 2,b 2,c 2和a 3,b 3,c 3,并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道,该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时,以它们为棱的平行六面体的体积V 6的错误!.而于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方,得根据向量的数量积的坐标表示,有于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅=由余弦定理,可行 同理将以上各式代入式,得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石,量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则代入式,得 于是即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体,因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁,将其分成三个年龄组：第一组,0～5岁；第二组,6～10岁；第三组,11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为错误!和错误!.假设农场现有三个年龄段的动物各100头,问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段,故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量k =1,2,3；i =1,2,3.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量,所以有又因为某一时间周期,第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量,所以有于是我们得到递推关系式： 用矩阵表示 则 其中则有结果分析 15年后,农场饲养的动物总数将达到16625头,其中0～5岁的有14375头,占%,6～10岁的有1375头,占%,11～15岁的有875头,占%.15年间,动物总增长16625-3000=13625头,总增长率为13625/3000=%.注 要知道很多年以后的情况,可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限比如5年分成若干年龄组,同时假设各年龄段的田、女人口分布相同,这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化,一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距如先例的5年,令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的女性人口,i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组,用n 表示最高年龄组,这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形,那么在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是,实际上必须考虑到死亡率,因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是,这一转移过程可由下述议程简单地描述：其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率,因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的,他们是后面的周期内成员的后代,因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x这里),,2,1(n i a i =是第i 个年龄组的出生率,它是由每时间周期内,第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的,通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型,用矩阵表示便是 或者简写成.)1()(-=k k Lx x矩阵称为Leslie 矩阵.由式递推可得 这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业,一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤,煤矿要支付元的电费及元的运输费.生产一元钱的电力,发电厂要支付元的煤费,元的电费及元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付元的煤费及元的电费.在某一周内,煤矿接到外地金额为50000元的定货,发电厂接到外地金额为25000元的定货,外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值,x 2为电厂本周的总产值,x 3为铁路本周内的总产值,则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x 即 即矩阵A 称为直接消耗矩阵,X 称为产出向量,Y 称为需求向量,则方程组为 即Y X A E =-)(,其中矩阵E 为单位矩阵,E-A 称为列昂杰夫矩阵,列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=1,1,1C.矩阵B 称为完全消耗矩阵,它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵,它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量,它的元素是矩阵C 的对应列元素之和,分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C,向量Y ,X 和D,可得投入产出分析表.表 投入产出分析表 单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿电厂 铁路总投入计算求解 按式解方程组可得产出向量X ,于是可计算矩阵C 和向量D,计算结果如表.表 投入产出计算结果 单位：元煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出煤矿 0 50000 电厂 25000 铁路 0 0总投入5 交通流量的计算模型问题 图给出了某城市部分单行街道的交通流量每小时过车数.假设：1全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；2全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设,所给问题满足如下线方程组： 系数矩阵为增广矩阵阶梯形最简形式为 其对应的齐次方程组为取x 5,x 8为自由取值未知量,分别赋两组值为1,0,0,1,得齐次方程组基础解系中两个解向量其对应的非齐次方程组为赋值给自由未知量x 5,x 8为0,0得非齐次方程组的特解于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1,k 2为任意常数,x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量,它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道,他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系,在两坐标轴上取天文测量单位一天文单位为地球到太阳的平均距离：×1011m.在5个不同的时间对小行星作了5次观察,测得轨道上5个点的坐标数据如表.表 坐标数据由Kepler 开普勒第一定律知,小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究注：椭圆的一般方程可表示为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时,他的依据是轨道上五个点的坐标数据：x 1, y 1, x 2, y 2, x 3, y 3, x 4, y 4, x 5, y 5.由Kepler 第一定律知,小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线,二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数,将五个点的坐标分别代入上面的方程,得这是一个包含五个未知数的线性方程组,写成矩阵求解这一线性方程组,所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下: 所以,椭圆长半轴:CD a 1λ=;椭圆短半轴: C Db 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵 使用计算机可求得 从而C C ,3081.0=的特征值.0005.1,3080.021==λλ于是,椭圆长半轴1834.19=a ,短半轴9045.5=b ,半焦距2521.18=c .小行星近日点距和远日点距为.4355.37,039313=+==-=c a H c a h 最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少两年以后呢十年以后呢最终呢解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00111009910002510011000975z y z y . 两年以后,有.100991000251001100097510099100025100110009750021122⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z y z y z y . 十年以后,有事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先k 年之后的分布将A 对角化:这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态 总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的或称A 为显性基因,a 为隐性基因.下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形我们假设),2,2,0(,, =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a先考虑第n 代中的AA 型,第1-n 代AA 型与AA 型相结合,后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa型与和与AA 相结合,后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合,后代不可能是AA 型;因此,我们有.0211111---•++•=n n n n c b a a 同理,我们有,2111--+=n n n c b b .0=n c将,,式相加,得.111---++=++n n n n n n c b a c b a将式递推,并利用式,易得我们利用矩阵表示,及式,即,2,1,)1()(==-n Mx x n n其中这样,式递推得到.)0()1(2)1()(x M x M Mx x n n n n ====--M.式即为第n代基因分布与初始分布的关系.下面,我们计算n对矩阵M做相似变换,我们可找到非奇异矩阵P和对角阵D,使其中这样,经得到最终有显然,当+∞n时,由上述三式,得到→即在足够长的时间后,培育出的植物基本上呈现AA型.通过本问题的讨论,可以对许多植物动物遗传分布有一个具体的了解,同时这个结果也验证了生物学中的一个重要结论:显性基因多次遗传后占主导因素,这也是之所以称它为显性的原因.。
线性代数中的数学模型(数学建模必看 姚江淮)
1 上述连分数可以看作是 x 中，把 1 x
x
x
1 1 1 1 x
反复迭代，就得到上述连分数。
x 1 1
1 1 1 1 1 1
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
通常，求连分数的值，如同求无理数的值
一样，我们常常需要求它的近似值。
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且
在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
解：
先直接推算。在第0月有1对兔子；第1月也只有1对兔子； 第2月这对兔子生了1对小兔，共有两对兔子； 第3月，老兔子又生了1对小兔，共有3对兔子； 第4月:老兔子和第2个月出生的小兔各生了一对小兔，共5对兔子； 第5月，第3个月的3对兔子各生了一对小兔，共有8对兔子； 第6月，第4个月的5对兔子各生了一对小兔，共有13对兔子…。
55或89个花瓣。
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
海棠（2）
铁兰（3）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
洋紫荊（5）
黃蝉（5）
蝴蝶兰（5）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
雏菊（13）
雏菊（13）
2）树杈的数目
13 8
5 3 2 1 1
3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数
松果种子的排列
松果种子的排列
斐波那契数列中的任一个数，都叫 斐波那契数。斐波那契数是大自然的 一个基本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子。
武汉大学《线性代数》03 第三章
3 x2 3 x3 4 x4 3, ④
2020/11/2
a
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
2
③ 5②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2 x3 x4 4, ①
④1③
2
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
00
12 16
9 12
7 8
1121
a
40
1 6 4 1 4
r3 3r2
0
4
3
1 1
r44r2 0 0 0 4 8 0 0 0 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
2020/11/2
a
6
定义1：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:
1 对 调 i, j 两 行 ， ri rj
2 以 数 k 0 乘 以第 i 行 的 所 有 元 素, ri k
3 把第 j 行所 有元 素的k 倍加 到第 i 行
对 应 的 元 素 上 去. ri krj
同样可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成 “c”)．初等行变换和初等列变换统称初等变换。
0 0
1 0
0 1
2 1
3， 3
3 2
X
A1B
2 1
3 3
.
2020/11/2
a
32
§3 矩阵的秩
定义3：在矩阵 A中，任取 k 行、k 列所得的 k2个 元素不改变它们的相对位置而得的 k 阶行列式， 称为 A的一个 k 阶子式。
线性代数建模案例
有下面的线性方程组
5 x1 + 4 x2 + 7 x3 + 10 x4 = 100 20 x1 + 25 x2 + 10 x3 + 5 x4 = 200 2 x + 2 x + 10 x + 6 x = 50 2 3 4
15
【模型求解】
• 对该 线 性方 程 组的增 广矩阵 进行初 等行变 换 ，
1 2 1 r2 × 5 r1 ↔ r3 r3 ×
使之变为行阶梯型矩阵。
5 4 7 10 100 4 → 20 25 10 5 200 5 2 2 10 6 50
r2 − r1 × 4 r3 − r1 ×5
1 1 5 5 2
25 40 4 7 10 100 3 1
200m比赛后各个队的得分与奖金表为
9 5 6 A100 B + A200 B = 8 7 1 120 8 120 17 240 70 8 110 13 180 100 7 90 13 190 + = 110 4 60 12 170 90 9 120 16 210 0 0 1 10 10
电厂 36505.96 2808.15 2808.15 42122.27
案例3 案例3 最佳食谱
• 一个兽医推荐狗的每天食谱中应该包含100个单位的 蛋白质，200个单位的卡路里，50个单位的脂肪。一个商 店的宠物食物部有四钟食品A,B,C,D。每1kg的这四种食品 所包含的蛋白质、卡路里和脂肪的量（单位）如下。
4
200m成绩对应的矩阵为
A200
线性代数第三章课件,数学
不是一个向量空间。 证 （1）显然集合V1非空，对任意 α=(0, a2, …, an), β=(0, b2, …, bn)∈ V1及任 ∈ 意实数k，有
α + β = (0, a 2 + b2 ,L , a n + bn ) ∈ V1 kα = (0, ka 2 , L , ka n ) ∈ V1
k1β 1 + k 2 β 2 + L + k m β m
= ( β 1 , β 2 ,L , β = (α
1
m
)α
m
,α
2
,L , α
)P α = 0
这意味着β1 β2 …,βm线性相关。 前面我们已经指出，同一向量在不同 基底下的坐标一般是不同的，那么坐标之 间的关系如何呢？
定理3.4.1 设 α1, α2 , …,αm与β1 定理3.4.1 β2 …，βm是向量空间V的两组基, 由α1, α2 , …,αm到β1 β2 …，βm的过渡矩阵为P，如果 V中任意元素α在这两组基下的坐标分别为 (x1,x2, …,xm)T与 (y1,y2, …,ym)T，则
同理可证 L(β1 β2 …，βr) ⊂ L(α1, α2 , …,αs) 故 L(α1, α2 , …,αs)=L(β1 β2 …，βr)
3.4.2 基、维数与坐标 定义3.4.3 定义3.4.3 设V是数域p上的向量空间， 向量α1, α2 , …,αm∈V，如果 ， (1) α1, α2 , …,αm线性无关； (2) V中任一向量都能由α1, α2 , …,αm 表示出， 则称 α1, α2 , …,αm为空间V的一组基（或 基底），m称为向量空间V的维数 维数，记 维数 dimV＝m为，并称V是数域p上的m维向量 维向量 空间。 空间 零空间的维数规定为零。
第三章 线性代数建模
对于（4-30）式中的M，易求得其特征值和 特征向量分别为 1 2 1 1 3 0 2
1 e1 0 0
1 e2 1 0
1 e3 2 1
33
因此
1 D 0 0
根据假设（1），有
an bn cn a0 b0 c0 1.
30
将（4-27），（4-28）和（4-29）式联立得
1 an an1 bn1 2
1 bn bn1 cn1 ,Hale Waihona Puke 2cn 0. Mx
1 2 1 2 0 0 1 0
用矩阵形式表示为
x
(n)
( n 1) （n 1,2, ）
（4 30）
1 其中 M 0 0
x
(n)
a n bn c n
31
由(4-30)式进行递推，便得到第n代基因 型分布的数学模型
x ( n) Mx( n1) M 2 x ( n2) M n x ( 0) （4 31）
四、常染色体遗传模型
1、亲体基因遗传方式与问题
1）遗传方式 在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的 基因对中各继承一个基因，形成自己的基因 对，基因对也称基因型。如果所考虑的遗传 特征是由两个基因A和a控制的，那么就有三 种基因对，记为AA，Aa，aa。例如，金鱼草 是由两个遗传基因决定它的花的颜色，基因 型是AA的金鱼草开红花，Aa型开粉红色花， 而aa型的开白花。
欧氏距离定义： 欧氏距离（ Euclidean distance）也称欧几里得 距离，它是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间 的真实距离。 在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的 公式是 d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^) 三维的公式是 d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+(z1-z2)^) 推广到n维空间，欧式距离的公式是 d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..n xi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标 n维欧氏空间是一个点集,它的每个点可以表示为(x(1),x(2),...x(n)), 其中x(i)(i=1,2...n)是实数,称为x的第i个坐标,两个点x和 y=(y(1),y(2)...y(n))之间的距离d(x,y)定义为上面的公式. 欧氏距离看作信号的相似程度。 距离越近就越相似，就越容易相 互干扰，误码率就越高。
线性代数 第3章 主要学习内容
求解线性方程组 首先要判断线性 方程组是否有解
若无解则结束
若有解则利用高斯消 元法化简方程组并求 得全体未知数的取值
实际上，高斯消元法通过对线性方程 组进行行变换，将其转化为三角形方 程组，然后再通过回代法求解出未知 数的值，由以下例题加以说明。
3.1 高斯消元法求解线性方程组
例1.《九章算术》第八章中介绍“方程术”的案例为：
方程组（3-11）的解为：
3.3 高斯消元法求逆矩阵
思考：可逆矩阵的乘积矩阵是否可逆？
3.3 高斯消元法求逆矩阵
解：由题意 根据例8的结果知
3.3 高斯消元法求逆矩阵
3.3 高斯消元法求逆矩阵
3.3 高斯消元法求逆矩阵
回顾与小结
1.逆矩阵的定义； 2.用逆矩阵的定义求方阵的逆矩阵； 3.用高斯消元法求方阵的逆矩阵。
“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉， 实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何?”
将其翻译过来就是：现有上等谷子3捆，中等谷子2捆，下等谷子1捆，果实共计39斗； 上等谷子2捆，中等谷子3捆，下等谷子1捆，果实共计34斗；上等谷子1捆，中等谷子2捆， 下等谷子3捆，果实共计26斗，问上等、中等、下等谷子1捆分别是几斗？
3.1 高斯消元法求解线性方程组
解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：
求解线性方程组首先要 判断线性方程组是否有 解，若无解则结束；若 有解，则利用高斯消元 法化简方程组并求得全 体未知数的取值
3.1 高斯消元法求解线性方程组
例3 求解线性方程组
3.1 高斯消元法求解线性方程组
解：利用高斯消元法从上往下消元依次为：
《线性代数》课件第3章
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
线性代数数学建模案例PPT课件
2021/7/24
20
2021/7/24
21
Matlab实验题
蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养, 但 过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消 耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每 100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟 消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表。
3
网络流的基本假设是（1）网络中流入与流 出的总量相等；（2）每个节点上流入和流出 的总量也相等。例如，上面两图（a）、（b）。 流量在每个节点守恒。 在类似的网络模式中， 每个结点的流量都可以用一个线性方程来表示。
网络分析要解决的问题是：在部分信息(如 网络的输入量)已知的情况下，确定每一分支中 的流量。
【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.
2021/7/24
24
【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表
产出(1元)
产出
煤
电
运
煤0
0.6 0.5
x
分配 0.6y + 0.5z
订单 60000
消 电 0.3 0.1 0.1
y
耗
运 0.2 0.1
0
z
0.3x + 0.1y + 0.1z 100000
理? 。
2021/7/24
8
【模型假设】： （1） 每条道路都是单行线 （2） 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.
【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④ 四个路口进出车辆数目分别满足：
研究生数学建模：线性代数教案
研究生数学建模：线性代数教案引言欢迎来到今天的课堂！在我们的数学建模课程中，我们将学习一项非常重要且实用的数学工具：线性代数。
线性代数在各个学科领域都有广泛的应用，特别是在研究生数学建模中。
在本次课程中，我们将深入探讨线性代数的基本概念、理论及其在数学建模中的应用。
什么是线性代数？在开始深入研究线性代数之前，我们先来了解一下线性代数是什么。
线性代数是一门研究向量、矩阵和线性变换的学科。
它的基本目标是研究向量空间、线性变换和矩阵的性质及其相互之间的关系。
通过线性代数的学习，我们可以更好地理解和解释现实世界中的各种现象和问题。
为什么线性代数对研究生数学建模很重要？在研究生数学建模中，线性代数是一个非常有用的工具。
无论是在实际问题的建模过程中还是在解决建模问题时，线性代数都有着重要的作用。
首先，线性代数为我们提供了一种描述和处理多变量关系的方法。
在研究生数学建模中，我们经常会遇到多个变量之间的复杂关系。
通过线性代数的技巧，我们可以将这些复杂的关系转化为线性方程组，从而更好地理解和分析问题。
其次，线性代数也为我们提供了一种刻画线性变换的工具。
在研究生数学建模中，我们往往需要对数据进行变换和处理，以便更好地理解和分析问题。
线性代数的理论可以帮助我们理解和应用线性变换，从而更好地处理和分析数据。
最后，线性代数还为我们提供了一种求解优化问题的方法。
在研究生数学建模中，我们经常会遇到需要求解最优化问题的情况。
线性代数的技术可以帮助我们求解线性规划问题，从而获得最优解。
这对于实际问题的解决具有重要的意义。
因此，学好线性代数对于我们在研究生数学建模中的学习和应用都非常重要。
线性代数基本概念在深入研究线性代数的应用之前，我们先来了解一些线性代数的基本概念。
向量空间向量空间是线性代数的核心概念之一。
它是由一组向量组成的集合，具有一些特定的性质。
在向量空间中，我们可以进行向量的加法和数量乘法运算。
向量在线性代数中，向量是一个有方向和大小的量。
02我的线性代数模型介绍
2 x1 x2 6 x3 10 x1 4 x1 5 x2 x3 10 x1 4 x 4 x 3 x 10 x 2 3 1 1
线性代数模型（8/59）
求解
计算
>>A=[-8 1 6;4 -5 1;4 4 -7] >>rref(A)
ans = 1 0 0
线性代数模型介绍
线性代数的思想已经渗透到数学的每个分 支。当我们研究多变量函数及其微分时，矩 阵便成为不可缺少的工具，计算机更为线性 代数的应用开拓了广泛的天地。 有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感 觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩 展到线性空间，利用线性代数的基本知识建 立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测 其发展趋势。
线性代数模型（10/59）
构建模型
设P表示番茄的收获的价格， 2表示玉米的收获 P 1 价格，3表示茄子的收获价格，据题意，得收入— P 支出矩阵（或称交换矩阵）为
1 2 1 E 3 1 6
1 3 1 3 1 3
1 4 1 4 1 2
E0
线性代数模型（11/59）
线性代数模型（24/59）
排名 132456 合理吗
循环比赛的结果——竞赛图
每对顶点间都有边相连的有向图
2 2
3个顶点 的竞赛图 名次
4个顶点 的竞赛图
4 1
1
(1)
3
1
(2)
3
{1，2，3}
1 1
{(1,2,3)}并列
1
2
3
(1)
2
4
(2)
2
3 4
(3)
2
3 4 3
(4)
名次
《线性代数》课件第3章
定理3.2.4 设
αj
a1 j
a2
j
arj
, β j
a1 j
a2 j
arj ar 1,
j
( j 1,2,, m)
证 此定理的两个部分互为逆否命题，故只证明前一部
分。设
a11x1 a12 x2 a1m xm 0
3.1.2
n维向量可如同矩阵一样进行运算。 设λ是实数，α，β是n维向量
a1
α
a2
,
an
b1
β
b2
bn
则
α
β
a1 a2
b1 b2
,
α
a1 a2
an bn
an
分别是向量α与β的和以及数λ与向量α的乘积.向量加法以
及向量的数乘两种运算统称为向量的线性运算。
解 A的二阶子式为
2 3
D
30 0
2 12
A的三阶子式共有4个，且都等于零，可见二阶子式D是A的 最高阶非零子式，R(A)=2.由定理3.3.2 知，A的列向量组的秩 为2
2 3 α1 2,α2 12 1 3
例3.3.5 求向量组
α4 2
称-α
a1 a2
为α的负向量。
an
例3.1.2 已知β=(1，0，1)T，γ=(3，2，-1) T，且
2x+3β=γ+4x，求x
解
x
1 2
(3β
γ)
1 2
1 3 0 1
0 1 2
3.1.3
定义3.1.2 给定向量组A: α1，α2，…，αm，向量k1α1+k2α2+…+kmαm称为向量组A 的一个线性组合，k1，k2，…，km称为这个线性组合的系数。 如果向量β
数学建模第三章线性代数方法建模--3.6 CT图像重建
然后，将 X 射线源与检测器在观测平面内不断同步改变位置 （平移或旋转） ，得到关于 X 射线强度 I 的若干组数据（可以是 几万组甚至几十万组） 如果物体是均匀的， 。 物体对 X 射线的衰 减系数为常数。设强度为 I 的射线在物体中行进距离 x 后衰减 至 I ，由 Beer 定理：
0
I I0e
§6 CT图像重建
CT 是 Computed Tomography 的简称，即计算机断层成 像技术，也称为计算机辅助断层扫描 CAT—Scanner。为什么 通过 CT 扫描能够比较清楚地了解被扫描物体断层的组织结 构呢？它与数学又有什么样的联系？ 拍 X 光片是将三维对象（立体）显示在二维的胶片或荧 光屏上，待检测物体与胶片平行，X 射线垂直投射到胶片上， 这样，在深度方向的信息重叠在一起，混淆不清。另外，由 于胶片的密度分辩力低，不能区分软组织的细节，只能区分 密度差别大的内脏器官，影响了诊断的效力。CT 的创立，解 决了这个问题。它不同于传统的 X 射线，它的 X 射线束则位 于待检测物体的横截面内，X 射线源发射出极细的笔束 X 射 线，在其对面放置一检测器，测量出 X 射线源发出的射线的 强度 I 0 ，以及经过物体衰减后达到检测器的 X 射线强度 I ，
x
I0 ( 或 x ln ) I
（1）
但若物体在待检测的 xy 平面内是不均匀的，则 ( x , y ) 。此时 X 射线在某一方向沿某一路径 L 的总衰减可以用线积分表示：
I0 L dl ln I
（2）
称（2）为射线投影。若未指明路径，只指明方向，即 dl ，称为 投影，投影是一组射线投影的集合。 （1）与（2）中的 I 0 和 I 可由 实验测得。 我们的任务是：根据测得的一系列 I 和 I 来求
数学建模案例分析第三章-线性代数模型
易验证，D 加法和数乘封闭，且构成一线性空间。 记 M ={所有的4×4数字方} ，则其维数为16。
而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。 根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，
则任一个Durer方均可由这组基线性表示。
28.09.2020
数学建模
由 0,1 数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。 共有8 个，记为Qi, i=1,2,…,8。
r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 0 0 0 0
r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 = 0 0 0 0
r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6
0000 0000
r 1 r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 0
Q1,Q2,,Q7 线性无关。任一Durer方可由它 们线性表示。
线性代数模型
• Durer 魔方 • 植物基因的分布 • 常染色体的隐性疾病 • 森林管理问题 • 马氏链简介
28.09.2020
数学建模
线性代数模型
有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难 以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空 间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以 掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。
0100
Q6= 0 0 1 0
1000 0001
0100
Q8= 0 0 0 1
0010 1000
28.09.2020
数学建模
易知 Q 1 Q 4 Q 5 Q 8 Q 2 Q 3 Q 6 Q 7 0
则 Q1,Q2,,Q8 线性相关。
而由 r 1 Q 1 r 2 Q 2 r 3 Q 3 r 4 Q 4 r 5 Q 5 r 6 Q 6 r 7 Q 7 0
线性代数建模及应用
第7章 线性代数建模及应用一． 行列式1. 面积：1122a b a b 的绝对值是由向量()()1122,,,u a b v a b ==为邻边构成的平行四边形的面积。
1221AOBC BDEO BCD AEO ACDE BDEO ACDE S S S S S S S a b a b =+--=-=- 2. 体积：111222333a b c a b c a b c 的绝对值是由向量()111,,u a b c =，()222,,v a b c =，()333,,w a b c =为邻边构成的平行六面体的体积。
二． 矩阵1. 图的邻接矩阵节点i c ，单向通路，邻接矩阵A （连通表，1ij a =表示由节点i 到节点j 有单向通路，0ij a =表无）（课本p35）12341234 0 1 0 10 0 1 11 0 000 1 10c c ccc c A c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦4210121111001011011ik kj k A AA a a =⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，2A 的(),i j 元表示()i k all j →→的通路数，即i j →经1次中转的总通路数量。
同理，3A 表示i j →经2次中转的总通路数量。
2. 加密与解密（课本p33） 三． 向量1. 情报检索（课本p129，稍有改动）数据库包含m 个文件，搜索关键词n 个，符合表A （1ij a =表示文件i 有关键词j ，0ij a =表无），关键词搜索向量x ，匹配结果向量y 。
课本p129. 4个文件：1F ：线性代数；2F ：线性代数及应用；3F ：线性代数与解析几何；4F ：矩阵代数及其应用； 5个关键词：1K ：代数；2K ：几何；3K ：矩阵；4K ：线性；5K 应用12341234 1001010011 1101010101K KKKKF F A F F ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1234510100K K x K K K ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122334411001010100111 111010*********F F F F y Ax F F F F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦Y 的各分量表示各本书与搜索关键词匹配的个数（程度） 2.配方问题（上机课件） 四．线性方程组1. 交通流量（课本片p89）2.化学方程式配平 光合作用：12223246126CO H O O C H O x x x x +=+14241234C :6H :212O :226x x x x x x x x ==+=+解之：12346x x x x ===3. 多项式拟合（上机课件）4. 。
§2.8 线性代数法建模
二、投入产出模型
背 景 介 绍
投入产出分析是线性代数理论与方法在经济分析与 管理中的一个重要应用，它从数量上考虑经济系统 内部各部门间生产和分配的线性关系.投入产出分析 方法也称为投入产出法或投入产出技术，这一方法 是美国经济学家、哈佛大学行政管理学院列昂节夫 教授于20世纪30年代首先提出的.列昂节夫也因提出 此方法获得了1973年的诺贝尔经济学奖.
an , bn , cn )T M n x(0) PDn P1x(0) （
1 0 0 1 1 n 1 ( ) 0 2 2 a 0 1 n ( ) 0 b0 2 1 1 n 1 c0 ( ) 1 2 2
得属于1 0的特征向量为 1 2,1 T （， ）
0 0 x1 1 / 2 1 对于2 ，对应的方程组为： 1 0 0 x2 0 2 0 1 / 2 1 / 2 x3
得属于2的特征向量 (0,1,1)T
物相结合的方案培育植物后代，求经过若干 年后，这种植物任一后代的三种基因型AA, Aa,aa的概率分布.
模型假设
①记an , bn , cn分别表示第n代的植物中基因型为AA, Aa, aa 的植物所占的百分率（ 概率），且记x ( n )为第n代植物的 基因型分布：x ( n ) (an , bn , cn )T , n 0,1,2, 这里x ( 0) (a0 , b0 , c0 )T 表示植物的初始分布， 且满足 : a0 b0 c0 1
0 0 1 n 1 1 n ( ) ( ) 2 2 1 ( 1 ) n 1 1 ( 1 ) n 2 2 0 a0 0 b0 c 0 1
线性代数建模案例
这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些 案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、 理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.
案例一. 案例一. 交通网络流量分析问题
城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善 城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置 单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
{
第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按 7:12 的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T, α2 = (1, 2, 1, 1)T, β = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性 模型分析 模型分析 方程组 Ax = b 是否有解”, 也等价于“β 能否由α1, α2 线性表示”. (2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理. (3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设 x 克第一种规格的 佐料与 y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表
0 1 0 0
0 0 1 0
−1 −100 1 600 −1 −300 0 0
x1 = x4 − 100 x2 = − x4 + 600 . x = x − 300 4 3
2
为了唯一确定未知流量, 只要增添 x4 统计的值即可. 当 x4 = 350 时, 确定 x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50. 若 x4 = 200, 则 x1 = 100, x2 = 400, x3 = −100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改 为“③→④”才合理. 【模型分析】(1) 由(A, b)的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余 模型分析 模型分析 的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计. x1 = x4 − 100 x2 = − x1 + 500 x1 = − x2 + 500 x1 = x3 + 200 (2) 由 x2 = − x4 + 600 可得 x3 = x1 − 200 , x3 = − x2 + 300 , x2 = − x3 + 300 , 这 x = x − 300 x = x + 100 x = − x + 600 x = x + 300 4 3 4 1 4 2 4 3 就是说 x1, x2, x3, x4 这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确 定出其他三个未知量的值. 参考文献 陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17. Matlab 实验题 某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小 时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开 的车数相等, 整个图中进入和离开的车数相等.
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二、问题分析与模型建立
因年龄组为 5 岁一段，故将时间周期也取为 5。15 年后就
(k ) 经过了 3 个周期。 设 xi 表示第 k 个时间周期第i 组年龄阶
段的动物数量（ k 1,2,3; i 1,2,3）
因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上 一时间周期上一年龄组存活的动物的数量，所以有：
第一节 基因间“距离”的表示
在ABO血型的人群之中，对各种群体的基因的 频率进行了研究。假设我们用A、B、AB、O来表 示这四种基因型，研究得到的数据如下表：
基因的相对频率
基因型 爱斯基摩人 f1i 班图人 f2i 英国人 f3i 朝鲜人 f4i
A B AB O 合计
0.6670 0.2914 0.0000 0.0316 1.0000
于是我们得到递推关系式：
(k ) ( k 1) ( k 1) 3x3 x1 4 x2 ( k ) 1 ( k 1) (k 1,2,3) x2 x1 2 x ( k ) 1 x ( k 1) 3 4 2
即：
其中
x(k ) Lx(k 1) (k 1,2,3)
0 4 3 1000 1 ( 0 ) L 0 0 , x 1000 2 1000 1 0 0 4 x ( n ) PDn P 1 x ( 0 )
三、模型求解(MATLAB)
四、结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0~5岁 的有14375头，占86.47%；6~10岁的有1375头，占8.27%； 11~15岁的有875头，占5.226%。15年间动物总增长为13625 头，总增长率为454.16%。
x31 x 3 32 x33 x34
x41 x 4 42 x43 x44
现在用两个向量的夹角来表示两个对应群体间 的‘ ‘距离’ ’似乎是很合理的。
如果我们记 1 和 2 夹角为12 。由 cos12 1 2 得 cos12 0.9187 故 12 23.2 。 基因间的距离
量来表示每一个群体。我们取每一种频率的平
方根，记为 xki f ki 。由于对这四种群体的每 4 2 一种有 xki 1。
i 1
这意味着下列四个向量的每个都是单位向量。 记
x11 x 1 12 x13 x14
x21 x 2 22 x23 x24
0.6900 0.1034 0.0866 0.1200 1.0000
0.6602 0.2090 0.0612 0.0696 1.0000
0.5723 0.2208 0.2069 0.0000 1.0000
问题 一个群体与另一个群体的接近程度如何？换
句话说，怎样来表示基因间的 ‘ ‘距离’ ’的合 宜的量度。 解 有人提出利用向量代数的方法。首先用单位向
根据假设（1），有
an bn cn a0 b0 c0 1.
21
将（4-27），（4-28）和（4-29）式联立得
1 an an1 bn1 2
1 bn bn1 cn1 , 2
cn 0.
1 2 1 2 0 0 1 0
用矩阵形式表示为
对于（4-30）式中的M，易求得其特征值和 特征向量分别为
1 1
1 2 2
3 0
1 e1 0 0
1 e2 1 0
1 e3 2 1
24
因此
1 D 0 0
18
x
当n=0时
(n)
an bn c n x
(0)
表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分 布）。 显然有
a0 b0 c0
a0 b0 c0 1.
19
（2）第n-1代与第n代的基因型分布关系是通过 表2-3确定的。
0 1 2 0
0 0 0
1 1 1 P (e1e2 e3 ) 0 1 2 1 0 0
通过计算，得P--1=P，因此有
x
(n)
M x
n
( 0)
PD P x
n
1 ( 0 )
25
1 1 1 0 1 2 1 0 0
即 x ( n)
an 1, bn 0, cn 0,
即在极限情况下，培育的植物都是AA型。
27
4、模型讨论 若在上述问题中，不选用基因型AA的植物 与每一其它基因型植物相结合，而是将具有相 同基因型植物结合，那么后代具有三种基因型 的概率由下表2-4给出：
28
表2-4 相同基因型结合的后代基因型的概率分布
15
又如人类眼睛的颜色也是通过常染色体遗传控制 的，基因是AA或Aa的人，眼睛为棕色；基因是aa型 的人，眼睛是蓝色。这里Aa和AA都表示了同一外部 特征，我们认为基因A支配基因a，也可以认为基因a 对于A是隐性的，当一个新体的基因型为Aa，而另 一个亲体的基因为aa，那么后代可以从aa型中得到 基因a，从Aa型中或得到A，或得到a，且是等可能 性的得到。这样，后代基因型为Aa或aa的可能性相 等。
1 n 1 n1 1 1 ( ) 1 ( ) 2 2 a n 1 n 1 n1 bn 0 ( ) ( ) 2 2 cn 0 0 0
1 0 1 n 0 ( ) 2 0 0
第八节
常染色体遗传模型
1、亲体基因遗传方式与问题
1）遗传方式 在常染色体遗传中，后代是从每个亲体的基因 对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对 也称基因型。如果所考虑的遗传特征是由两个基因 A和a控制的，那么就有三种基因对，记为AA，Aa， aa。例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的 颜色，基因型是AA的金鱼草开红花，Aa型开粉红 色花，而aa型的开白花。
16
下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，使其 后代形成每种基因的概率，如表1 - 2所示。
基因型的概率分布
父体 – 母体（n-1代）基因型 后代 基因型 AA - AA AA - Aa AA - aa Aa - Aa Aa - aa aa - aa
AA
1
1 2 1 2
0
0
1 4
0
0
Aa
0
1
1 2
第三章 线性代数 在数学建模中的应用举例
内容提要
线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学 的各个领域都有应用。本书是一本优秀的现代教材，给出 最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助学 生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学 习和工作实践奠定基础。主要内容包括线性方程组、矩阵 代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性和 最小二乘法、对称矩阵和二次型等。此外，本书包含大量 的练习题、习题、例题等，便于读者参考。 本书内容深入浅出，论述清晰，适合作为高等院校理工科 线性代数课程的教材，还可作为相关研究人员的参考书。
26
所以有
n 时, ( ) n 0, 从(4 32)式中可得到 2
1 n 1 n 1 an 1 ( 2 ) b0 ( 2 ) c0 , 1 n 1 n 1 （4 32） bn ( ) b0 ( ) c0 , 2 2 cn 0 1
（4 31 ）
它表明历代基因型分布可由初始分布和矩阵M 确定。 3、模型求解 为 了计算Mn，将M对角化，即求出可逆 矩阵P和对角阵D，使
M PDP
因而有
n
1
M PD P
n
1
23
其中
1 Dn 0
0 2 3
n
0 n 1 n 2 n 3 0
分成三个年龄组：第一组，0~5岁；第二组，6~10岁；第三组， 11~15岁。动物从第二年龄组开始繁殖后代，经过长期统计， 第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三年龄组 的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄 组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。 假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农 场三个年龄段的动物各有多少头？
x
其中
(n)
Mx
( n 1)
（n 1,2,） （4 30 ）
1 M 0 0
x
(n)
an bn cn
22
由(4-30)式进行递推，便得到第n代基因型分 布的数学模型
x ( n) Mx( n1) M 2 x ( n2) M n x (0)
0 0 0
1 1 1 0 1 2 1 0 0
a0 b0 c 0
a 0 b 0 Байду номын сангаас0
1 n 1 n 1 a0 b0 c0 ( 2 ) b0 ( 2 ) c0 1 n 1 n 1 ( ) b0 ( ) c0 2 2 0
1 4
1 2 1 2
0
aa
0
0
1
17
2）问题 农场的植物园中某种植物的基因型AA，Aa和 aa。农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相 结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这 种植物的任一代的三种基因型分布如何？ 2、模型构造 1）假设
（1）设an，bn和cn分别表示第n代植物中基因型 为AA，Aa和aa的植物总数的百分率，n=0，1， 2，… x(n)为第n代植物的基因型分布：
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