空间直角坐标系和向量的基本知识

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空间直角坐标系与向量解析

空间直角坐标系与向量解析空间直角坐标系是对三维空间中点的位置进行描述的一种方法。

它采用三个相互垂直的坐标轴来表示点的位置，分别为x轴、y轴和z轴。

这种坐标系广泛应用于物理学、几何学、工程学等领域中。

一、空间直角坐标系空间直角坐标系中的每个点都可以用一个有序的三元组(x, y, z)来表示，其中x、y、z分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。

通过这种方式，我们可以方便地表示三维空间中任意点的位置。

在空间直角坐标系中，我们可以定义向量。

向量可以看作是由起点和终点组成的线段，它具有大小和方向。

在表示向量时，我们通常使用箭头来表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的终点表示向量的终点。

二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。

1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

即对于向量a、b、c，有：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)2. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上该向量的负向量。

即对于向量a、b，有：a -b = a + (-b)3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个标量相乘。

即对于向量a和标量k，有：k * a = (k * a1, k * a2, k * a3)三、向量解析向量解析是一种用数学方法描述物理量变化的工具。

在空间直角坐标系中，我们可以使用向量解析来描述物体的运动、力学问题等。

1. 向量的模向量的模表示向量的大小，也称为向量的长度。

对于向量a，它的模可以通过以下公式计算：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)2. 向量的点积向量的点积可以通过以下公式计算：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b33. 向量的叉积向量的叉积可以通过以下公式计算：a ×b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)通过向量解析，我们可以计算出向量的模、向量之间的夹角、向量的投影等物理量，进而解决一些实际问题。

空间解析几何知识点

空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。

- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。

- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。

2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。

- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。

- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。

- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。

- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。

- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。

- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。

- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。

3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。

- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。

- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。

4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。

- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。

- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。

向量公式知识点总结

向量公式知识点总结一、向量的定义在空间直角坐标系中，向量是一个由起点和终点确定的有向线段。

向量常用a、b、c等字母表示，一般写作a = (a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x、y、z轴的投影。

二、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作|a|，计算公式为|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。

2. 向量的方向向量的方向由向量的起点指向终点的方向确定。

3. 零向量零向量是模为0的向量，通常表示为0。

4. 向量的方向余弦向量a的方向余弦分别表示为cosα、cosβ、cosγ，其中α、β、γ为向量a与x、y、z轴的夹角。

三、向量的运算1. 向量的加法向量a和向量b的和记作a + b，计算公式为a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。

2. 向量的数乘向量a和标量k的乘积记作ka，计算公式为ka = (ka1, ka2, ka3)。

3. 向量的减法向量a和向量b的差记作a - b，计算公式为a - b = a + (-1)b。

四、线性相关性1. 线性相关对于n个向量a1、a2、...、an，存在一组不全为0的实数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，则称这n个向量线性相关。

2. 线性无关如果向量a1、a2、...、an不线性相关，则称它们线性无关。

五、内积1. 内积的定义向量a和向量b的内积记作a·b，计算公式为a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。

2. 内积的性质(1) 对称性：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 数乘结合：(ka)·b = k(a·b)(4) 对于非零向量a和b，a·b = 0当且仅当a与b垂直六、外积1. 外积的定义向量a和向量b的外积记作a×b，计算公式为a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

空间向量复习课

解：①思路一：几何法 ① 作、证、求
思路二：代数法
② 等体积法
③ 点的迁移
空间向量的应用：二、空间量的计算
解：②思路一：几何法
① 作、证、求
② 转化为“点到面距离”
思路二：代数法转化为“方向向量”与“法向量”夹角
空间向量的应用：二、空间量的计算
解：③思路一：几何法 ① 作、证、求思路二：代数法转化为“法向量”与“法向量”夹角
知识点梳理：一、空间点的坐标：
1. 空间直角坐标系.
知识点梳理：二、空间向量概念：
1. 定义：在空间，具有大小和方向的量. 模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量
2. 向量的坐标表示
终点减起点
知识点梳理：二、空间向量概念：
1.定义：在空间，具有大小和方向的量. 共线向量
②直线的方向向量：向量与直线平行
解：② 思路二：代数法利用“向量共面”证明“线面平行” 利用“向量垂直”证明“线面平行”
空间向量的应用：一、位置关系的判断
解：③思路一：几何法线线垂直：共面用“勾股定理”、异面用“三垂线定理”、线面垂直思路二：代数法
空间向量的应用：二、空间量的计算
空间距离
空间的角
空间向量的应用：二、空间量的计算
③共面向量：向量与平面平行向量共面：平行于同一个平面的向量
知识点梳理：三、空间向量基本定理：
基向量、基底
基向量、基底
知识点梳理：三、空间向量基本定理：
基向量、基底
位移
知识点梳理：三、空间向量基本定理：重要推论
知识三角形法则，平行四边形法则减法：三角形法则数乘：数量积：
空间向量的应用：一、位置关系的判断

空间向量的直角坐标及其运算

证：（1）∵ AP AB 1,2,12,1,4 0， AP AD 1,2,14,2,0 0 ，
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量；解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角，则（或的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平

高二数学空间向量的坐标运算知识精讲

高二数学空间向量的坐标运算【本讲主要内容】空间向量的坐标运算空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，空间向量平行，垂直的坐标表示形式。

【知识掌握】【知识点精析】1. 空间直角坐标系（1）单位正交基底，空间直角坐标系，右手直角坐标系（2）坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使OA xi yj zk =++，则实数组（x ，y ，z ）叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标。

2. 向量的直角坐标运算设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则a b a b a b a b +=+++()112233，，a b a b a b a b -=---()112233，，a b a b a b a b ⋅=++112233a b a b a b a b R //⇔===∈112233λλλλ，，，或a b a b a b 112233==a b a b a b a b ⊥⇔++=11223303. 夹角和距离公式（1）夹角公式：设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则cos <>=++++⋅++a b a b a b a b a a a b b b ，112233122232122232（2）距离公式：设A x y z B x y z ()()111222，，，，，则d x x y y z z AB =-+-+-()()()122122122（3）平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。

如果 a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。

【解题方法指导】1. 在证明线线平行时，利用a b a b //⇔=λ即()()a a a b b b 123123，，，，=λλλ，在证明线面平行或面面平行时，需转化为线线平行问题。

课件1：1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系

核心素养 1．通过空间向量的直角坐标运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 2．通过对空间直角坐标系的学习，提升数学抽象素养．
【新知初探】
1．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3 都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果 p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组 (x，y，z) 为向量 p 的坐标，记作__p_＝__(x_，__y_，__z_)_．其中 x，y，z 都称为 p 的坐标分量．
(2)已知空间四点 A，B，C，D 的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)， (0，－1,4)，(2，－1，－2)．若 p＝A→B，q＝C→D．求①p＋2q； ②3p－q；③(p－q)·(p＋q)． [解] 由于 A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以 p＝A→B＝(2,1,3)，q＝C→D＝(2,0，－6)． ①p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)； ②3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)； ③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26．
(4)空间直角坐标系的画法：在平面内画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般把 x 轴、y 轴画成水平放置，x 轴正方向与 y 轴正方向夹角为 135°(或45°) ， z 轴与 y 轴(或 x 轴)垂直． (5)空间中一点的坐标：空间一点 M 的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，其中 x 叫做点 M 的横坐标(或坐标)，y 叫做点 M 的纵坐标(或坐标) ，z 叫做点 M 的竖坐标(或坐标) ．

《空间直角坐标系与向量的概念》课件

B
| AB | ， | a | 等表示。
A
0
a
长度为1的向量称为单位向量，用 AB ，a 0等表示。始点和终点重合的向量称为零向量，用O表示，其方向任意。
2 向量的关系和运算
（1）向量的相等方向相同，模相等的两个向量a、b称为相等，记作 a=b。向量仅与模、方向有关，而与始点的位置无关。（2）向量的加法——平行四边形法则
2 坐标面和空间的划分
Ⅲ
z
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
y
Ⅵ
Ⅶ
x
Ⅴ
Ⅷ
3 空间点的坐标
一一对应有序数组（x，y，z）空间任意一点A
z
z
A
y
x
x
O
y
二、空间两点的距离
设M1（x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)是空间两点，如图，如何求|M1M2|？
z
z2
z1 M1 P
O
M2
N y1 y2
y
x1 x2
b
a+b a
或三角形法则：
b a+b a b
运算律交换律结合律 a+b=b+a （a+b）+c=a+（b+c）
（3）向量的减法 ★负向量：与向量a模相等而方向相反的向量称为a 的负向量，记作-a。向量a减去向量b，可以看成向量a加上向量b的负向量-b，即a-b=a+（-b）。如图所示
b a-b
a
（4）数与向量的乘积
定义：数量λ与向量a的乘积记为λ a，它是一个向量。模| λa|=| λ||a|；方向：如果λ<0，则与向量a的方向相反；

空间直角坐标系与向量的概念

合律、交换律和数乘分配律。
向量的分解与表示
总结词
向量的分解是将一个向量表示为其他两个或多个向量的和或差。
详细描述
向量的分解是向量表示的一种方式，它将一个向量表示为其他两个或多个向量的和或差。例如，向量$vec{a}$可以表示为$vec{b} + vec{c}$或$vec{b} - vec{c}$，其中 $vec{b}$和$vec{c}$是其他向量。这种表示方法有助于理解和操作向量的几何意义。
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
VS
详细描述
向量的模也称为向量的长度或大小，它是衡量向量“大小”的唯一标准。向量的模可以通过欧几里得距离公式计算得出，即 $sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，其中$x, y, z$ 分别表示向量在三个坐标轴上的分量。向量的模具有传递性、三角不等式等性质，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
齐次性
向量的模与向量的标量
倍数成正比，即
$|kvec{a}|
=
|k||vec{a}|$，其中k是
标量，$vec{a}$是向量。
三角不等式
对于任意两个向量 $vec{a}$和$vec{b}$，有$|vec{a} + vec{b}| leq |vec{a}| + |vec{b}|$。
06
向量的向量积与向量的混合积
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字描述、坐标表示和箭头表示等。
详细描述
文字描述是向量的基本表示方式，它通过起点和终点的位置和方向来描述一个向量。坐标表示则是将向量与直角坐标系相结合，通过起点和终点的坐标来表示向量。在数学中，向量通常用箭头表示，箭头的长度代表向量的模，箭头的指向代表向量的方向。

空间直角坐标系中的向量

空间直角坐标系中的向量在空间直角坐标系中，向量是一种既有大小又有方向的量，常用箭头来表示。

本文将讨论空间直角坐标系中向量的基本概念、表示方法以及向量运算等内容。

向量的基本概念在空间直角坐标系中，一个向量可以由起点和终点确定。

向量的模表示向量的大小，用 ||a|| 或 |AB| 表示，其中a为向量AB的模，AB为向量的名称。

向量的方向表示向量的朝向，可以用箭头表示。

向量既有大小，也有方向，所以向量是有向线段。

向量的表示方法向量的表示方法有两种：点表示法和分量表示法。

- 点表示法：用向量的起点和终点表示向量。

例如，向量AB用A 点和B点表示。

- 分量表示法：用向量在坐标轴上的投影表示向量。

空间直角坐标系中的向量可以表示为三个有序数对，即(x,y,z)。

其中x、y、z分别为向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

向量的运算在空间直角坐标系中，向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和数量除法。

- 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即将一个向量平移后与另一个向量首尾相接，用结果向量的起点和终点表示。

向量的加法满足交换律和结合律。

- 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算，即将减去的向量取负。

例如，向量AB-向量AC可以表示为向量CB。

- 数量乘法：向量与实数的乘积，即将向量的模与实数相乘后保持方向不变。

- 数量除法：向量除以实数，即将向量的模除以实数后保持方向不变。

向量的坐标表示在空间直角坐标系中，向量的坐标表示为(x,y,z)，其中x为向量在x 轴上的分量，y为向量在y轴上的分量，z为向量在z轴上的分量。

向量的数量乘法和数量除法的性质向量的数量乘法和数量除法满足以下性质：- 量的分配律：a(向量BC + 向量CD) = a向量BC + a向量CD，(a+b)向量AB = a向量AB + b向量AB。

- 量的结合律：a(b向量AB) = (ab)向量AB。

- 一对称性：-1向量AB = -向量AB。

空间向量基本知识点

空间向量基本知识点空间向量是三维空间中的一个概念，它能够表示位移、速度、加速度等物理量。

本文将介绍空间向量基本知识点，包括向量的定义、表示方法、向量的加法和减法、数量积与向量积等内容。

一、向量的定义向量是具有大小和方向的物理量，它可以表示位移、速度、加速度等量。

在三维空间中，向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、向量的表示方法向量可以使用坐标表示法或者分量表示法来表示。

1. 坐标表示法：根据直角坐标系，将向量的起点放在坐标系原点，通过终点的坐标值来表示向量。

例如，向量A可以表示为A(ax, ay, az)，其中ax，ay，az分别表示向量A在x轴、y轴、z轴的分量。

2. 分量表示法：将向量在各个坐标轴上的分量表示出来。

例如，向量A可以表示为A = ax * i + ay * j + az * k，其中i，j，k分别表示x轴、y轴、z轴的单位向量，ax，ay，az分别表示向量A在x轴、y轴、z轴上的分量。

三、向量的加法和减法向量的加法和减法可以通过分量表示法来进行。

1. 向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

例如，向量A和向量B相加可以表示为A + B = (ax + bx) * i + (ay + by) *j + (az + bz) * k。

2. 向量的减法：将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

例如，向量A和向量B相减可以表示为A - B = (ax - bx) * i + (ay - by) * j+ (az - bz) * k。

四、数量积与向量积数量积和向量积是两种常见的向量运算。

1. 数量积：数量积也称为点积或内积，是两个向量的乘积再乘以它们的夹角的余弦值。

数量积的结果是一个标量值。

例如，向量A和向量B的数量积可以表示为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的大小，θ表示向量A和向量B的夹角。

第六节空间直角坐标系及空间向量的线性运算(知识梳理)

第六节空间直角坐标系及空间向量的线性运算复习目标学法指导1.会确定空间点的坐标.2.会求直线方向向量及平面法向量.3.会进行空间向量的几何运算及代数运算.4.会进行空间向量的数量积及坐标运算. 1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个数组成的有序数组.2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量,平面的法向量与平面上的任何直线都垂直.3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量类似.4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达直线、平面位置关系.一、空间直角坐标系及空间向量的有关概念1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x 轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点M 的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标. 2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式①设点A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则②点P(x,y,z)与坐标原点O 之间的距离为 .(2)中点公式设点P(x,y,z)为线段P 1P 2的中点,其中P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则有121212,2,2.2x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩3.空间向量的有关概念向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作 a∥b共面向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量概念理解(1)空间直角坐标系的建立原则是:合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直;尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.(2)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称ABu u u r为直线l的方向向量,与ABu u u r平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(3)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为0,0.n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ (4)共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R,使a=λb,不要忽视b ≠0. (5)一个平面的法向量有无数个,但要注意它们是共线向量,不要误认为是共面向量. 二、数量积与坐标运算 1.数量积及相关概念(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA u u u r =a,OB u u u r=b,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π].若<a,b>=π2,则称向量a 与b 互相垂直,记作a ⊥b.若<a,b>=0,则称向量a 与b 同向共线,若<a,b>=π,则称向量a 与b 反向共线. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b 的数量积,记作 a ·b,即a ·b=|a||b|cos<a,b>. 2.两个向量数量积的性质和结论已知两个非零向量a 和b.(1)a ·e=|a|cos<a,e>(其中e 为单位向量). (2)a ⊥b ⇔a ·b=0. (3)cos<a,b>=a b a b⋅.(4)a 2=a ·a=|a|2,|a|=.(5)|a ·b|≤|a||b|.3.空间向量数量积的运算律 (1)数乘结合律:(λa)·b=λ(a ·b).(2)交换律:a ·b=b ·a.(3)分配律:a ·(b+c)=a ·b+a·c. 4.向量坐标的定义设i,j,k 为空间三个两两垂直的单位向量,如果OP u u u r=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量OP u u u r的坐标. 5.空间向量运算的坐标表示设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),那么(1)加、减运算:a ±b=(x 1±x 2,y 1±y 2,z 1±z 2). (2)数量积:a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. (3)夹角公式:cos<a,b>=121212222222111222x y z x y z ++++.(4)模长公式:|a|=a a ⋅=222111x y z ++.(5)数乘运算:λa=(λx 1,λy 1,λz 1)(λ∈R).(6)平行的充要条件:a ∥b ⇔x 1=λx 2,y 1=λy 2,z 1=λz 2(λ∈R). (7)垂直的充要条件:a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.1.概念理解(1)探求两向量的夹角时, 必须从两向量共起点来看.(2)空间向量的数量积运算律与平面向量数量积运算律保持一致. (3)向量OP u u u r的坐标是终点坐标减去起点坐标.(4)立体几何中的平行或共线问题一般可以用向量共线定理解决,求两点间距离可以用向量的模解决;解决垂直问题一般可化为向量的数量积为零;求角问题可以转化为两向量的夹角.2.与数量积及坐标运算相关联的结论(1)aa表示单位向量.(2)|a|2=a·a.(3)空间向量不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG u u u r=2xABu u u r+3yBCu u u r+3zHDu u u r,则x+y+z等于( D )(A)76(B)23(C)56(D)12解析:因为AG u u u r=AB u u u r+BC u u u r-HD u u u r,所以21,31,31,xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以1,21,31,3xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以x+y+z=12.故选D.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB u u u r,AD u u u r,1AAu u u r两两的夹角均为60°,且|AB u u u r|=1,|AD u u u r|=2,|1AAu u u r|=3,则|1ACu u u u r|等于( A )(A)5 (B)6 (C)4 (D)8解析:设AB u u u r=a,AD u u u r=b,1AAu u u r=c,则1ACu u u u r=a+b+c,21ACu u u u r=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|1ACu u u u r|=5.故选A.3.在空间四边形ABCD中,AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r +AD u u u r·BC u u u r等于( B )(A)-1 (B)0(C)1 (D)不确定解析:如图,令AB u u u r=a,AC u u u r=b,AD u u u r=c,则AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r+AD u u u r·BC u u u r=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.考点一空间直角坐标系[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,2),则|OA|= ;点A到坐标平面yOz的距离是.解析:根据空间直角坐标系中两点间的距离公式,得|OA|=()()()222-+-+-=3.102020因为A(1,2,2),所以点A到平面yOz的距离为|1|=1.答案:3 1(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)坐标平面xOy (x,y,-z)坐标平面yOz (-x,y,z)坐标平面zOx (x,-y,z)(2)两点间距离公式的应用①求两点间的距离或线段的长度;②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.设点M(2,1,3)是直角坐标系Oxyz中一点,则点M关于x轴对称的点的坐标为( A )(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)解析:点M关于x轴对称的点与点M的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以对称点为(2,-1,-3).故选A.考点二空间向量的线性运算[例2] 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重u u u u r.心,用基向量OA u u u r,OB u u u r,OC u u u r表示OG u u u r,MG解:OG u u u r =OA u u u r +AG u u u r=OA u u u r +23AN u u u r=OA u u u r +23(ON u u u r -OA u u u r)=OA u u u r+23[12(OB u u u r +OC u u u r )-OA u u u r]=13OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. MG u u u u r =OG u u u r -OM u u u u r=OG u u u r -12OA u u u r=13OA u u u r +13OB u u u r +13OC u u u r -12OA u u u r=-16OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示OG u u u r ,MG u u u u r等,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.(2)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N 分别是对边OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且分MN 所成的比为2,现用基向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示向量OG u u u r ,设OG u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r+z OCu u u r ,则x,y,z 的值分别是( D ) (A)x=13,y=13,z=13(B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=13解析:设OA u u u r =a,OB u u u r =b,OC u u u r=c, 因为G 分MN 所成的比为2,所以MG u u u u r =23MN u u u u r, 所以OG u u u r=OM u u u u r +MG u u u u r =OM u u u u r +23(ON u u u r -OM u u u u r) =12a+23(12b+12c-12a) =12a+13b+13c-13a =16a+13b+13c, 即x=16,y=13,z=13. 考点三空间向量的数量积与坐标运算[例3] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB u u u r ,b=AC u u u r,(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b 与ka-2b 互相垂直,求k 的值.解:因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=AB u u u r,b=AC u u u r,所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2). (1)cos θ=a b a b⋅=10025-++⨯=-1010,所以a 和b 的夹角θ的余弦值为-1010.解:(2)因为ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b),所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 解得k=-52或k=2. (1)求空间向量数量积的方法①定义法.设向量a,b 的夹角为θ,则a ·b=|a||b|cos θ; ②坐标法.设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. ③基向量法.将所求向量用基向量表示,再进行运算. (2)数量积的应用①求夹角.设非零向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a b a b⋅,进而可求两异面直线所成的角;②求长度(距离).运用公式|a|2=a ·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;③解决垂直问题.利用a ⊥b ⇔a ·b=0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.如图,在棱长为2的正四面体A-BCD 中,E,F 分别为直线AB,CD 上的动点,且3若记EF 中点P 的轨迹为L,则|L|等于 .(注:|L|表示L 的测度,在本题,L 为曲线、平面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积)解析:为了便于计算,将正四面体放置于如图的正方体中,可知,正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,设E(0,y 1,y 1),F(2,y 2,2-y 2),P(x,y,z),|EF|=()()()222121222yy y y +-+-+=3,即(y 1-y 2)2+(y 1+y 2-2)2=1,又12122,22x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩即121222,2x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪+-⎪⎪⎩代入上式得2222=1,即2)22)2=14,即P 的轨迹为半径为12的圆,周长为|L|=2πr=π. 答案:π2.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,M为BC 的中点,则△AMD 是( C )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定解析:因为M 为BC 的中点, 所以AM u u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r).所以AM u u u u r·AD u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r )·AD u u u r=12AB u u u r·AD u u u r +12AC u u u r ·AD u u u r=0.所以AM ⊥AD,即△AMD 为直角三角形. 考点四易错辨析[例4] 如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是(32,12,0),点D 在平面yOz 内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求OD u u u r的坐标;(2)设AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,求cos θ的值.解:(1)如图所示,过D 作DE ⊥BC,垂足为E.在Rt △DCB 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=3.所以DE=CDsin 30°3.OE=OB-BDcos 60°=1-12=12.所以D 点坐标为(0,-12,3),即OD u u u r的坐标为(0,-12,3).解:(2)依题意,OA u u u r=(3, 12,0), OB u u u r =(0,-1,0), OC u u u r=(0,1,0),所以AD u u u r =OD u u u r -OA u u u r=(-3,-1,3),BC u u u r =OC u u u r -OB u u u r=(0,2,0).由AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,得 cos θ=AD BC AD BC⋅u u u r u u u ru u u r u u u r=()()2222223301202233102022-⨯+-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫-+-+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-10.所以cos θ=-10.解答空间向量的计算问题时,以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误. (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.类型一空间直角坐标系1.在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,设OA u u u r=a, OB u u u r=b,OC u u u r =c,则OD u u u r可表示为(A )(A)a+c-b (B)a+2b-c(C)b+c-a (D)a+c-2b 解析:因为OA u u u r=a,OB u u u r=b,OC u u u r=c,在▱ABCD 中,BA u u u r =OA u u u r -OB u u u r =a-b,OD u u u r - OC u u u r =CD u u u r =BA u u u r=a-b, 所以OD u u u r=OC u u u r+CD u u u r =a-b+c.故选A.2.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OP u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r +z OC u u u r(x,y,z ∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的( B ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当x=2,y=-3,z=2时, 即OP u u u r=2OA u u u r-3OB u u u r+2OC u u u r.则AP u u u r -AO u u u r =2OA u u u r -3(AB u u u r -AO u u u r )+2(AC u u u r -AO u u u r), 即AP u u u r=-3AB u u u r +2AC u u u r,根据共面向量定理知,P,A,B,C 四点共面; 反之,当P,A,B,C 四点共面时,根据共面向量定理, 设AP u u u r =m AB u u u r +n AC u u u r(m,n ∈R), 即OP u u u r-OA u u u r=m(OB u u u r-OA u u u r)+n(OC u u u r-OA u u u r), 即OP u u u r=(1-m-n)OA u u u r+m OB u u u r+n OC u u u r,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件.故选B.3.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a ⊥b,则|b|= . 解析:因为a ⊥b,所以-8+6+x=0,解得x=2, 故|b|=()222422-++=26.答案:26类型二空间向量线性运算4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r化简后的结果是( A )(A)1BD u u u u r (B)1D B u u u u r (C)1B D u u u u r (D)1DB u u u u r解析:根据空间向量加法的平行四边形法则,把向量平移到同一起点,得1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r =BA u u u r +BC u u u r +1BB u u u r =1BD u u u u r,故选A.类型三空间向量数量积及坐标运算5.点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA u u u r·1PC u u u u r 的取值范围是(D )(A)[-1,-14] (B)[-12,-14] (C)[-1,0] (D)[-12,0] 解析:如图,以D 1为原点,以D 1C 1,D 1A 1,D 1D 方向为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,1),C 1(1,0,0),P(x,y,0), PA u u u r=(-x,1-y,1),1PC u u u u r=(1-x,-y,0), PA u u u r ·1PC u u u u r =(x-12)2+(y-12)2-12,(其中0≤x ≤1,0≤y ≤1),所以PA u u u r ·1PC u u u u r的取值范围是[-12,0].故选D.6.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点E,F 分别是BC,AD 的中点,则AE u u u r ·AF u u u r 的值为( C )(A)a 2 (B)12a 2 (C)14a 2(a 2解析:AE u u u r ·AF u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r)·12AD u u u r =14(AB u u u r ·AD u u u r +AC u u u r ·AD u u u r)=14(a 2cos 60°+a 2cos 60°)=14a 2.故选C. 7.在四棱锥P-ABCD 中,AB u u u r =(4,-2,3),AD u u u r=(-4,1,0),AP u u u r=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于( B )(A)1 (B)2 (C)13 (D)26解析:设平面ABCD 的法向量为n=(x,y,z),则,,n AB n AD ⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r ⊥⊥⇒4230,40,x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令y=4,则n=(1,4,43), 则h=n AP n⋅u u u r=326833-+-=2.故选B.8.OA u u u r=(1,2,3),OB u u u r=(2,1,2),OP u u u r=(1,1,2)(其中O 为坐标原点),点Q 在OP 上运动,当QA u u u r ·QB u u u r取最小值时,点Q 的坐标为( C )(A)( 12,34,13) (B)( 12,23,34) (C)( 43,43,83) (D)( 43,43,73) 解析:设OQ u u u r =λOP u u u r=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ), 则QA u u u r=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB u u u r=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA u u u r ·QB u u u r=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10 =6(λ-43)2-23.当λ=43时,QA u u u r ·QB u u u r取得最小值,此时Q(43,43,83).故选C.9.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,则△BCD是( B )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定解析:BC u u u r ·BC u u u r =(AD u u u r -AB u u u r )·(AC u u u r -AB u u u r) =AD u u u r ·AC u u u r -AD u u u r ·AB u u u r -AB u u u r ·AC u u u r +2AB u u u r =2AB u u u r >0,所以cos ∠DBC>0,∠DBC 为锐角, 同理∠BDC,∠BCD 为锐角. 所以△BCD 为锐角三角形,故选B.。

空间直角坐标系空间向量及其运算

【名师说“法”】
空间共线向量定理、共面向量定理的应用
三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面
P→A＝λP→B
M→P＝xM→A＋yM→B
对空间任一点 O，O→P＝对空间任一点 O，O→P＝O→M＋
O→A＋tA→B
xM→A＋yM→B
三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面
[解析] 因为 α⊥β，所以两个平面的法向量也垂直，因此 (－1,3,4)·(x,1，－2)＝0，即 x＝－5.
[答案] －5
5．已知空间三点 A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则A→B
与C→A的夹角 θ 的大小是________．
[解析] 由题意知A→B＝(－2，－1,3)，C→A＝(－1,3，－2)，故
[答案] C
角度二利用数量积求长度 2．如图，在 60°的二面角 α、l、 β 的棱上有两点 A，B，点 C，D 分别在 α，β 内，且 AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝AB＝1，则 CD 的长度为 ______________．
2
O→M)＝12(O→B＋O→C－O→A)＝12(b＋c－a)．
[答案]
12(b＋c－a)
3．如图所示，已知空间四边形 OABC，其
对角线为 OB、AC，M、N 分别为 OA、BC 的中
点，点 G 在线段 MN 上，且M→G＝2G→N，若O→G＝
x
→ OA
＋
y
→ OB
＋
z
→ OC
，
则
x，y，z
的值分别为
平行于同一个__平__面____的向量
0
a＝b a的相反向量为－a
a∥b

空间几何

2i j k ；
(3) d ( AB ) | AB | 2 2 12 ( 1) 2 6 .
5. 坐标表示下的向量运算
设 a a1i a2 j a3 k , b b1i b2 j b3 k ,则有 (1) a b ( a1 b1 ) i ( a2 b2 ) j ( a3 b3 ) k ; (2) a a1i a2 j a3 k ; (3) a b ( a1 b1 ) i ( a2 b2 ) j ( a3 b3 ) k ; (4) a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ; (5) a // b
P 就确
定了惟一的一组有序的数组 x, y , z ,用 ( x, y, z ) 表示.
z R z
P(x, y, z) y P' N y
M x
x
O
根据上面的法则,建立了空间一点与一组有序数（ x , y , z ）之间的一一对应关系. 有序数组 ( x, y , z ) 称为点 P 的坐标, x , y , z 分别称为x坐标, y 坐标和z坐标.
M 1M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k
或= x2 x1 , y2 y1 , z 2 z1

3.向量 a a1i a2 j a3k 的模
任给一向量 a a1i a2 j a3 k , 都可将其视为以点
向量减法的三角形法则：把 a 与 b 的起点放在一起, 即 a b 是以 b 的终点为起点,以 a 的终点为终点的方向向量 .
三、向量的坐标表示
1. 向径及其坐标表示
a-b b

空间直角坐标系与向量

空间直角坐标系与向量在数学中，空间直角坐标系与向量是两个重要的概念。

空间直角坐标系是一个三维坐标系，用于表示三维空间中的点，而向量则是空间中的量，具有大小和方向。

一、空间直角坐标系空间直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，通常分别用x、y 和z表示。

x轴和y轴在平面上垂直，z轴垂直于二维平面，形成一个直角坐标系。

通过坐标轴上的刻度，我们可以确定空间中任意一点的位置。

在空间直角坐标系中，每一个点都可以用一个三元组(x, y, z)表示，其中x、y和z分别表示与x轴、y轴和z轴的距离。

这样，每一个点都有唯一的坐标表示。

空间直角坐标系具有以下特点：1. 三个坐标轴相互垂直，形成直角；2. 坐标轴上的刻度是相等的，表示长度单位；3. 任意一点在空间中都有唯一的坐标表示。

二、向量向量是空间中的量，具有大小和方向。

在空间直角坐标系中，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量通常用字母加上一个箭头表示，比如AB。

这表示从点A指向点B的有向线段。

向量还可以用坐标表示，比如向量AB可以表示为(ABx, ABy, ABz)，其中ABx、ABy和ABz分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

向量的加法和减法可以通过各个分量的加法和减法来进行，比如向量AB加上向量CD可以表示为(ABx + CDx, ABy + CDy, ABz + CDz)。

向量还有一些重要的性质，比如向量的模、向量的单位向量、向量的点积和叉积等，这些性质在解决空间几何问题中非常有用。

三、空间直角坐标系与向量的应用空间直角坐标系和向量在数学和物理中有广泛的应用。

在几何中，我们可以通过空间直角坐标系来描述和计算点、线、面的性质，比如两点之间的距离、直线的方程和平面的方程等。

在物理中，空间直角坐标系和向量也被广泛应用于描述物体的运动、受力和力的合成等问题。

通过向量的运算，我们可以求解物体的加速度、速度和位移等物理量。

此外，空间直角坐标系和向量还在计算机图形学、工程和导航等领域有着重要的应用。

向量与坐标知识点

向量与坐标知识点一、向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，常用于表示物理量（如力、速度等）。

向量一般用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

1.1 向量的定义向量的定义是一个标量（向量的大小）与一个方向的组合。

向量通常用大写字母表示，如A、B等。

1.2 向量的性质- 向量相等：当且仅当它们的大小和方向完全相同时，两个向量才相等。

- 零向量：大小为0的向量，表示没有方向。

零向量通常用0或O表示。

- 相反向量：大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量。

- 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。

- 单位向量：大小为1的向量称为单位向量。

1.3 向量的表示方法向量的表示方法有多种，常见的有：- 数字表示法：使用坐标表示向量的分量，如A(2,3)表示向量A的坐标为(2,3)。

- 点表示法：以线段的终点表示向量的方向和大小。

- 三角形法：以线段的起点表示向量的起点，线段的终点表示向量的终点和方向。

二、向量的运算向量有多种运算，包括向量的加法、减法、数乘运算等。

2.1 向量的加法向量的加法满足以下规则：- 向量的加法满足交换律，即A + B = B + A。

- 向量的加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。

- 零向量是加法的单位元，即A + O = A，其中O表示零向量。

2.2 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘运算来实现。

假设向量B是向量A的相反向量，则A - B = A + (-B)。

2.3 数乘运算向量的数乘运算是将向量的每个分量乘以一个常数。

常见的数乘运算有：- 数乘的交换律：k(A + B) = kA + kB，其中k为常数。

- 数乘的结合律：(k1k2)A = k1(k2A)，其中k1、k2为常数。

三、坐标系与坐标变换坐标系是用于表示向量的框架，常见的坐标系包括直角坐标系和极坐标系。

3.1 直角坐标系直角坐标系是由两个互相垂直的坐标轴组成，通常用x轴和y 轴表示。

空间直角坐标系,向量的坐标表

向量的坐标表示
空间直角坐标系
由三个互相垂直的坐标轴$x, y, z$构成的坐标系，每个轴上的单位长度为1。
向量的坐标表示
在空间直角坐标系中，任意向量$overrightarrow{a}$可以表示为$(x, y, z)$，其中$x, y, z$分别表示向量在$x, y, z$轴上的投影。
向量的模长与夹角
分配律
$(vec{A} + vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot vec{C} + vec{B} cdot vec{C}$
交换律
$vec{A} cdot vec{B} cdot vec{C} = vec{B} cdot vec{A} cdot vec{C}$
结合律
$(vec{A} cdot vec{B}) cdot vec{C} = vec{A} cdot (vec{B} cdot vec{C})$
向量的模长
向量的模长可以通过坐标表示计算，即$|overrightarrow{a}| = sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。
向量的夹角
两个向量的夹角可以通过余弦公式计算，即$costheta = frac{overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}||overrightarrow{b}|}$，其中 $theta$为两个向量的夹角，$overrightarrow{a} cdot overrightarrow{b}$表示两个向量的点积。
向量的模长
表示向量的大小，记作$|overrightarrow{AB}|$或$|overrightarrow{a}|$，计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。