用力法解超静定结构
用力法求解超静定结构
用力法求解超静定结构概述超静定结构是指结构中的支座和约束条件多于结构自由度的情况。
用力法是一种经典的结构分析方法，常用于求解超静定结构。
本文将介绍用力法求解超静定结构的基本原理和步骤，并通过实例加以说明。
一、基本原理用力法的基本原理是根据平衡条件和变形约束，通过假设未知力的大小和方向，建立力的平衡方程和变形方程，解出未知力和结构的变形。
用力法适用于各种类型的结构，包括梁、柱、桁架等。
二、步骤用力法求解超静定结构的步骤如下：1. 选择合适的剖面根据结构的几何形状和约束条件，选择合适的剖面，将结构分割为若干个部分。
2. 假设未知力的方向和大小根据结构的特点和约束条件，假设未知力的方向和大小。
通常，未知力的方向可以根据结构的几何形状和外力的作用方向来确定，而未知力的大小则需要通过力的平衡方程来求解。
3. 建立力的平衡方程根据假设的未知力和结构的几何形状，建立力的平衡方程。
平衡方程包括力的平衡条件和力的矩平衡条件。
4. 建立变形方程根据结构的变形情况和约束条件，建立变形方程。
变形方程可以根据结构的刚度和约束条件来确定。
5. 解方程将力的平衡方程和变形方程联立，解方程组得到未知力和结构的变形。
6. 检验结果将求解得到的未知力和结构的变形代入原平衡方程和变形方程中，检验结果的准确性。
如果结果符合平衡和变形的要求，则求解成功；如果结果不符合要求，则需要重新假设未知力并重新求解。
三、实例分析为了更好地理解用力法求解超静定结构的步骤和原理，下面以一个简单的梁结构为例进行分析。
假设有一根悬臂梁，在梁的自重和外力作用下，需要求解支座反力和梁的变形。
1. 选择合适的剖面选择悬臂梁的剖面，将梁分割为两个部分：悬臂部分和支座部分。
2. 假设未知力的方向和大小假设支座反力的方向向上，大小为R。
3. 建立力的平衡方程根据力的平衡条件，可以得到悬臂部分的平衡方程：R - F = 0，其中F为梁的自重。
4. 建立变形方程根据梁的几何形状和约束条件，可以建立悬臂部分的变形方程，得到悬臂部分的弯矩和挠度。
材料力学-力法求解超静定结构
力法求解超静定结构时，可以根据计算结果优化结构设计，提高结构的强度和稳定性。
结论与总结
力法是求解超静定结构的有效方法，通过合理应用材料力学基础和力法的原理，我们能够准确求解反力分布并 分析结构的应力情况。
样例分析
结构：桥梁
使用力法求解桥梁上的悬臂梁，计算主梁的支座反 力和悬臂梁的应力分布。
结构：楼房
将力法应用于楼房结构，确定楼板的支座反力并分 析楼梯的受力情况。
实用提示和技巧
1 标定自由度
在应用力法时，正确标定结构的自由度是成功求解反力的重要步骤。
2 验证计算结果
对计算得到的反力进行验证，确保结果的准确性，避免错误的设计决策。
材料力学-力法求解超静 定结构
超静定结构的定义
超静定结构是指具有不止一个不可靠支持反力的结构。它们挑战了传统的结构分析方法，需要使用力法进行求 解。
材料力学基础
材料力学研究材料的受力和变形规律，包括弹性力学、塑性力学和损伤力学。 这些基础理论为力法求解超静定结构提供了必要的工具。
力法的原理
力法是一种基于平衡原理和支座反力法则的结构分析方法。它通过对超静定结构施加虚位移，建立受力平衡方 程，求解未知反力。
超静定结构应用力法求解的步骤
1
确定结构类型
了解结构是否为超静定结构，并确定不
计算反力
2
可靠支持反力的个数。
根据力法原理，建立并求解受力平衡方
程，计算未知反力。
3
验证平衡
通过检查受力平衡方程是否满足等式的
确定应力分布
4
要求，验证计算的反力是否正确。
பைடு நூலகம்
根据已知反力和结构的几何特性，计算 并绘制应力分布图。
超静定结构的受力分析及特性
超静定结构的受力分析及特性一、超静定结构的特征及超静定次数超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。
结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。
通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。
即去除结构的全部多余约束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。
去除约束的方法有以下几种：(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。
(二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。
(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束;切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。
(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束;将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。
去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。
去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。
再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。
二、力法的基本原理(一)力法基本结构和基本体系去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力Xi (i=1、2、…、n)，Xi 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。
去除多余约束后的结构称为力法基本结构。
力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。
选取力法基本结构应注意下面两点：1.基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。
有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。
2.选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。
力法的计算步骤和举例
q a2
a
3 4
a
19qa4 4 8Ε Ι
2F
1 1.5ΕΙ
1 2
q a2
a
1 2
a
q a4 6ΕΙ
4）解方程求多余未知力。
5 6
Χ1
1 3
Χ2
19 qa 48
0
12 1 3 Χ1 9 Χ2 6 qa 0
Χ1
7 16
qa
Χ2
3 32
qa
5）绘制内力图。利用叠加公式M M1X1 M2 X2 MF
Ι1 Ι2
Χ 2
ql2 8
0
4）解方程求多余未知
力。令
Ι 2 /Ι1 k
Χ1
ql2 4
k2 3k 4
Χ2
ql 4
k 3k
4
负号表示未知力
和
1
的实际方向与所设方向相
2
反。
5）绘制弯矩图。由叠加公式 M M1X1 M2X2 MF 计 算各控制截面上的弯矩值,用叠加法绘制最后弯矩图， 如图5.14（f）所示。
４.解力法方程求多余未知力。 ５.绘制原结构的内力图。
一、超静定梁和超静定刚架
1.超静定梁
【例5.1】 图5.13(a)所示为一两端固定的超静定梁,全 跨承受均布荷载q的作用,试用力法计算并绘制内力图。
【解】 1）选取基本结构。如图5.13(b)所示。
q
A
EI
B
l
X1
q
X2
X3
A
B
l
(a)原结构
(b)基本结构
【解】1）选取基本结构。如图 5.15（b）所示。 2）建立力法方程。C点的水 平和竖向位移为零
二建：建筑结构与建筑设备讲义. 第五章第五节 超静定结构(二)及第六节 压杆稳定
四、用力法求解超静定结构步骤：(1)确定基本未知量——多余力的数目n。
(2)去掉结构的多余联系得出一个静定的基本结构，并以多余力代替相应多余联系的作用。
(3)根据基本结构在多余力和原有荷载的共同作用下，在去掉多余联系处(B点)的位移应与原结构中相应的位移相同的条件，建立力法典型方程：式中、、分别表示当=1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示当 =1单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示当荷载单独作用于基本结构时，B点沿、和方向的位移。
、、分别表示去掉多余联系处(B点)沿、和方向的总位移。
其中各系数和自由项都为基本结构的位移，因而可用图乘法求得，如：为此，需要作出基本结构的单位内力图、……和荷载内力图。
(4)解典型方程，求出各多余力。
(5)多余力确定后，即可按分析静定结构的方法，给出原结构的内力图（最后内力图），按叠加原理：。
例5-26如图5-73（a）所示梁超静定次数n=l，力法典型方程：图5-73 (c)中，式中所以而图5-73例2-27如图5-74所示图5-74超静定次数n=l力法方程：因为所以五、利用对称性求解超静定结构图5-75（a）、(b)对称结构受正对称荷载作用。
图5-75 (c)、(d)对称结构受反对称荷载作用。
不难发现，对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的，且在对称轴上反对称的多余力为零；对称结构在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的，且在对称轴上对称的多余力为零。
注意：轴力和弯矩是对称内力，剪力是反对称内力。
图5-75实际上，如果结构对称、荷载对称，则轴力图、弯矩图对称，剪力图反对称，在对称轴上剪力为零。
如果结构对称、荷载反对称，则轴力图、弯矩图反对称，剪力图对称，在对称轴上轴力、弯矩均为零。
例5-28如图5-76（a）所示为3次超静定结构。
依对称性取一半为研究对象，如图5-76 (b)所示，其中反对称力。
图5-76用表示切口两边截面的、水平相对线位移，表示其铅垂相对线位移，表示其相对转角，由于，则力法方程化简为由图5—76(c)、(d)、(e)所示、、的图形，可得：代回力法方程，得解出由可得到最后弯矩图M，如图5-76(f)所示；根据荷载图与弯矩图可知位移变形图，如图5-76 (a)中虚线所示。
用力法解超静定结构
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1 X1 n2 X 2 nn X n np 0
（三）力法典型方程中系数和自由项的计算
1、主系数δii — 表示基本结构由于 Xi 1的单独作用，在Xi 的作用点并沿Xi的方向产生的位移； 图A
ii
M
2 i
dx
EI
2、副系数δij —iiijijip表的示作基MMM用EM本EEIiii2E点MMiIIMd结Ix并jjpd构dx沿dxx由Xi于的X方j 向 1产的生单的独位作移用；，图在B Xi
例2：试用力法计算图示超静定刚架，并绘内力图。
解： 1.选择基本体系
2.建立力法方程
d11X1+D1P=0
3.计算系数和自由项，绘 M1和MP图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
2
2l 3 3EI
1P
1 EI
1
2
l ql 2
2 3
l2
2 3
l
ql 2 8
l
2
17ql 4
24EI
4.计算X1 5.绘内力图
=1
结构称为力法基本结构
基本结构
力法基本方程 — 利用基本体系的变形状态与原结构
一致的条件所建立的确定多余未知
力的方程
BACK
11X1 1P 0
11
M1M1 dx 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M1M p dx 1 (1 l 1 ql 2 3 l) ql 4
ql3
24EI l
1 ql2 8
3EI
5、绘内力图 M M1X1 M p V V1 X1 Vp
力法求解超静定结构
力法求解超静定结构
超静定结构是指其支反力个数大于等于结构模式自由度的结构，
也就是说，该结构中的支撑点不够，会产生多余的支反力，这就导致
了该结构的解题难度非常大。
但是，采用力法求解可以有效地解决这
个问题。
首先，可以采用静力平衡方程来确定结构中的支反力。
静力平衡
方程是通过平衡结构中的所有受力和力矩，来确定支反力的方程。
它
的基本形式为ΣF=0和ΣM=0，其中ΣF表示所有力的总和，ΣM表示
所有力的总力矩。
然后，要使用结构分析的基本原理，即支点位移法。
支点位移法
通过改变结构中某些支点的位置，并计算相应的支反力和位移量，来
求解结构中的位移和反力。
在计算反力时，要注意支点位移前后对结
构的影响，以及反力大小的变化等因素。
此外，在解决超静定结构时，还要注意结构中梁、柱等构件的弹
性变形。
这些变形对结构的位移和反力也会产生影响，因此需要考虑
其中的因素。
最后，要注意力法求解的精度问题。
由于超静定结构中存在多余
的支反力，因此求解过程中难免会产生误差。
为了提高计算精度，可
以采用迭代的方法，在多次迭代中逐步优化计算结果，提高求解精度。
总之，采用力法求解超静定结构需要掌握一定的理论基础和实践技巧，同时要注意结构中的弹性变形、支点移动等因素，并采用迭代的方法进行计算，以提高计算精度。
这些掌握了的技巧和方法将在实际工程中具有指导意义。
结构力学 力法计算超静定结构
子项目一 力法计算超静定结构
情景一 超静定结构的基本特征
学习能力目标
1. 能够解释力法的基本概念。 2. 能够确定超静定的次数，得到静定的基本结构。 3. 了解超静定结构的特点。
项目表述
试分析如图 3 – 1 所示超静定结构，确定它的超静定次数。
情景一 超静定结构的基本特征 学习进程
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
② 去掉一个固定铰支座（图 3 – 6a）或拆去一个单铰相当于去掉两个约束（图 3 – 6b），可用两个多余未知力代替。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
③ 去掉一个固定支座（图 3 – 7b）或切断一刚性杆（图 3 – 7c），相当于去掉 三链接
③ 超静定结构的内力和各杆的刚度比有关，而静定结构则不然。在计算超静定 结构时，除了用静力平衡条件外，还要用到结构的变形条件建立补充方程。而 结构的变形条件与各杆的刚度有关，在各杆的刚度比值发生变化时，结构各部 分的变形也相应变化，从而影响各杆的内力重新分布。利用在超静定结构中， 刚度大的部分将产生较大的内力，刚度较小的部分内力也较小的特点，可以通 过改变杆件刚度的方法来达到调整内力数值的目的。 ④ 在局部荷载作用下，超静定结构与静定结构相比，具有内力分布范围大，内 力分布较均匀，峰值小，且变形小、刚度大的特点。如图 3 – 9a 所示是三跨连 续梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于梁的连续性，两边跨也产生内 力和变形，最大弯矩在跨中为 0.175Fl。图 3 – 9b 所示是多跨静定梁在荷载 F 作用下的弯矩图和变形曲线，由于铰的作用，两边跨不产生内力和变形，最大 弯矩在跨中为 0.25Fl，约为前者的 1.4 倍。
情景一 超静定结构的基本特征 知识链接
用力法解超静定结构时,可选取的基本结构
用力法解超静定结构时,可选取的基本结构
在使用力方法解超静定结构时，常常需要选择一个基本结构来进行分析。
以下是一些常见的基本结构选择：
1. 杆件结构：对于较简单的结构，如桁架、梁等，可以选择杆件结构作为基本结构。
2. 桁架结构：对于复杂的结构，如大跨度桥梁、支撑塔等，通常选择桁架结构作为基本结构进行分析。
3. 刚架结构：对于多层建筑或桥梁等结构，可以选择刚架结构作为基本结构，进行整体稳定性或刚度分析。
4. 平面网格结构：对于平面或曲面结构，可以选择平面网格结构作为基本结构进行分析。
5. 龙骨槽钢结构：对于柱墙体系、屋架等结构，可以选择龙骨槽钢结构作为基本结构。
6. 钢筋混凝土框架结构：对于房屋、厂房等建筑结构，可以选择钢筋混凝土框架结构作为基本结构。
在选择基本结构时，需要考虑结构的特点、材料、受力情况以及所需分析的目的，以确保分析结果的准确性和可靠性。
用力法计算超静定结构在支座移动和温变化时的内力
l
M1 图
X1=1
得
l3 3EI
X 1 q l a
由此求得
X1
3EI l2
(q
a) l
弯矩叠加公式为：
M M1X1
3EI (q a )
l
l
M图
X1
q
A
C q
B a
l/2
l/2
l
q
q
X1 a
基本体系之一
q
q
D1c
FRA 1
l
M1 图
X1=1
(2)第二种解法
取支座A的反力偶作为多余未知力X1， 其力法方程为
计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为
n
ij X j Δic Ci
j 1
ij为柔度系数
Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移
Dic，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移
【例7-9】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数，左端支座转动角度为q ，
右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。
)
10
(
1 2
1
l
)
2.5
(1 l
l)
10
(
2 l
l)
100 22.5 77.5
代入典型方程，可得
77.5EI/l
A
B
X1
Δ1t
11
77.5EI
l
()
最后弯矩图M M1 X1 ，如图所示。
77.5EI/l 77.5EI/l
C
D
77.5EI/l
M图
由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降 温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高 温一侧受压）。
超静定结构的位移计算
建筑力学
谢谢观看！
最后需要说明的是，在计算超静定结构的过 程中，经过的计算步骤和数学运算较多，比较容 易发生错误。为保证最后结果的正确性，校核工 作是十分重要的。最后内力图的校核，应从平衡 条件和变形条件两个方面进行：
正确的内力图首先要满足平衡条件。平衡条 件的校核 出结构的一部分都应满足平衡条件。
建筑力学
超静定结构的位移 计算
超静定结构的位移计算
超静定结构的位移计算和静定结构的位移计 算方法相同，即采用单位荷载法。由力法计算可 知，当多余未知力解出后，静定的基本结构在多 余未知力和荷载共同作用下的内力和变形是与原 结构的受力与变形完全一致的。因此，超静定结 构的位移计算问题可以转化为基本结构的位移计 算问题，即静定结构的位移计算问题。
正确的内力图还应该满足变形条件。因为计算 超静定结构内力时，除平衡条件外，还应用了变形 条件。特别是在力法中，多余未知力是由变形条件 求得的，因此，校核工作应以变形条件为重点。校 核变形条件的一般作法是，任意选取基本结构，任 意选取一个多余未知力Xi，然后根据最后的内力图 算出沿Xi方向的位移△i，并检查△i是否与原结构 中的相应位移(给定值)相等。
(a)
【解】 1）用力法求解，作出最后弯矩图如
图（b）所示。
2) 选取悬臂刚架为基本结构，将单位力施加
在基本结构上，绘出
M
图如图（c）所示。
1
(b)M图(kN m)
(c) M1图
3）按图乘法求结构的位移。
由M图与
M
图相乘，可得
1
1
11
21
ΔDV
EI
(10 2
2 2
10 2 2
3
2
2
20 4 2
结构力学作业参考-知识归纳整理
知识归纳整理结构力学课程作业答案第一章 绪论1、按照不同的构造特征和受力特点，平面杆件结构可分为哪几类？平面杆件结构根据其组成特征和受理特点可以分成如下几种类型梁、(刚架) 、( 桁架)、拱以及组合结构。
2、何为静定结构和超静定结构？从几何构造分析的角度看，结构必须是几何不变体系。
根据多余约束 n ，几何不变体系又分为： 有多余约束( n > 0)的几何不变体系——超静定结构；无多余约束( n = 0)的几何不变体系——静定结构。
从求解内力和反力的想法也可以以为：静定结构：凡只需要利用静力平衡条件就能计算出结构的全部支座反力和杆件内力的结构。
超静定结构：若结构的全部支座反力和杆件内力，不能惟独静力平衡条件来确定的结构。
3、土建、水利等工程中的荷载，根据其不同的特征，主要有哪些分类？第二章 平面结构的几何组成分析作业题：1、何为平面体系的几何组成分析？按照机械运动及几何学的观点，对平面结构或体系的组成事情举行分析，称为平面体 系的几何组成分析。
2、何为几何不变体系？何为几何可变体系？几何不变体系—若不思量材料的应变，体系的位置和形状不会改变。
几何可变体系—若不思量材料的应变，体系的位置和形状是可以改变的。
3、几何组成分析的目的是什么？1）保证结构的几何不变性,以确保结构能承受荷载和维持体系平衡.2）判别某一体系是否为几何不变,从而决定它能否作为结构.3）研究几何不变体系的组成规则,以保证所设计的结构是几何不变体系,从而能承受荷载而维持平衡.4）根据体系的几何组成分析,正确区分静定结构和超静定结构,从而挑选适当的计算想法进行结构的反力和内力计算.5）经过几何组成分析,明确结构的构成特点,从而挑选结构受力分析的顺序以简化计算.4、何为一具体系的自由度？知悉体系计算自由度的公式。
求知若饥，虚心若愚。
5、试对下图所示体系举行几何组成分析。
1图图3图4 6、试求图示各体系的计算自由度数W。
千里之行，始于足下。
材料力学 第11章 超静定结构
心有所信，方能行远。
本课件部分图片来源网络，仅供教学使用
材料力学
11.3 对称及对称性质的应用
一、对称结构的对称变形与反对称变形 结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一
轴，则称此结构为对称结构。 若外力对称于结构对称轴， 结构将产生对称变形。 若外力反对称于结构对称轴，结构将产生反对称变形。
X
2
8EI
0
⑥求其它支反力
由平衡方程得其它支反力， 全部表示于图中。
X
1
1 qa() 28
X
2
3 7
qa()
A
q B
冯康 (1920-1993)
【人物介绍】
冯康，浙江绍兴人 ，出生于 江苏省南京市，数学家、中国有限 元法创始人、计算数学研究的奠基 人和开拓者。
1965年发表名为《基于变分 原理的差分格式》的论文，这篇论 文被国际学术界视为中国独立发展 “有限元法”的重要里程碑 。
3. 在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内 力都是超静定的。
四. 超静定结构的分析方法 1.力法：以未知力为基本未知量的求解方法。
2.位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。
材料力学
外力超静定
内力超静定 外力和内力超静定
材料力学
11.2 用力法解超静定结构
一、力法的基本思路（举例说明）
a A
a
②选取并去除多余约束，代以多 q 余约束反力。
③建立力法正则方程
B q
A X1 X2
④计算系数dij和自由项DiP
B
用莫尔定理求得
材料力学
A x1 q
x2
B
A
x2
x1 1
材料力学-力法求解超静定结构
内超静定系统：支座反力可由平 衡方程求出，但杆件的内力却不
能全由平衡方程求出；
简单的超静定结构
1 超静定系统的几个基本概念
求解超静定系统的基本方法，是解除多余约束， 代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协 调条件建立补充方程进行求解。
解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定 系统的静定基本系统。
在求解超静定结构时，一般先解除多余约束， 代之以多余约束力，得到基本静定系。再根 据变形协调条件得到关于多余约束力的补充 方程。这种以“力”为未知量，由变形协调 条件为基本方程的方法，称为力法。
a
A
A
C
l
F
A
C
B 1F
B F
F 01 单击此处添加标题
X1
02 单击此处添加标题
A
C
B
1X1
1 1 F 1 X0
MP图
M10图
材料力学Ⅰ电子教案
补充：力法求解超静定结构
11
1 EI
a2 2
2a 3
a2
a
4a 3 3 EI
1P
1 EI
qa 2
3
a
qa 4 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱI
由 11 X 1 1P 0
得
X1
3qa 8
X B 0,
YB
3qa 8
X A 0,
YA
11qa 8
,
M
A
qa 2 8
正对称载荷：绕对称轴对折 后，结构在对称轴两边的载 荷的作用点和作用方向将重 合，而且每对力数值相等。
反对称载荷：绕对称轴对 折后，结构在对称轴两边 的载荷的数值相等，作用 点重合而作用方向相反。
1超静定结构的解法
1超静定结构的解法超静定结构是指结构的支座反力数目多于静力平衡方程的数目，即结构的自由度多余零，不能通过直接求解静力平衡方程得到结构的内力、位移等参数。
因此，需要使用超静定结构的解法来求解结构的响应。
超静定结构的解法主要有两种：力法和位移法。
在这里，我将分别介绍这两种方法的基本原理。
1.力法力法是指通过引入虚功原理，利用未知内力的线性平衡方程组与已知荷载、位移或位移力系数之间的关系，构建方程并求解未知内力的方法。
使用力法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择剪力或弯矩作为未知内力。
在超静定结构中，选择剪力或弯矩作为未知内力比较常见；（3）建立线性平衡方程组。
将剪力或弯矩作为未知量，根据结构的几何条件和约束条件，建立线性平衡方程组；（4）引入荷载、位移或位移力系数。
根据结构的受力情况，将已知荷载、位移或位移力系数引入线性平衡方程组；（5）求解未知内力。
通过求解线性平衡方程组，得到未知内力。
2.位移法位移法是指通过引入位移的概念，利用位移与剪力/弯矩之间的关系，将超静定结构的内力求解问题转化为线性代数方程组的求解问题。
使用位移法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择支座位移为未知量。
在超静定结构中，支座位移比较容易确定；（3）建立位移-力关系方程。
根据结构的几何条件和材料性质，建立位移-力关系方程，将剪力或弯矩表示为位移的函数；（4）引入荷载或位移。
根据结构的受力条件，将已知荷载或位移引入位移-力关系方程；（5）求解未知位移。
通过求解位移-力关系方程，得到未知位移；（6）求解未知内力。
将未知位移代入位移-力关系方程，求解出未知内力。
需要注意的是，在力法和位移法中，由于超静定结构的自由度数目大于零，未知内力或未知位移存在无穷多个解。
因此，需要加入合理的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等，来确定唯一的解。
7.4 用力法计算超静定结构在荷载作用下的内力
(6)作最后弯矩图和剪力图
ql2/12 （ql2/8） A ql2/24 B ql2/12
M图
ql/2
B
A
F Q图
ql/2
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【例7-3】试计算图示刚架，并作内力图。EI=常数 。
解： (1)确定基本未知量数目
8kN
D
C
E 2m
F
n=2
A 2m D X1 X2 F A 2m X1
作出M图以及FQ图、FN :
5 kN 4
6 kN 7 5
4
D 8kN F
C
E 2m
24
kN
24
8kN 2m B 2m 2m 130
6 kN 7 59
A
1 M图( kN m 14
46
)
5 4 27 4
6 7
5 4
6 7
5 4
6 7
FQ图(kN)
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B
MR 1
A1 C 1 A
M C
M 1图
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M图
B
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B
7.4.2 超静定桁架
桁架各杆的最后轴力则可按下式计算：
FN FN1 X 1 FN2 X 2 FN n X n FNP
B F D a A 2a E C a FP X1 X1 FP
130 / 14 59 / 14 59 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 24 / 14 46 / 14
力法求解超静定结构的步骤
力法求解超静定结构的步骤：
1、先判定其超静定次数，（含多余联系数），去掉原结构的所有多余联系，用相应的多余力代替，得一静定的基本结构（形式可能很多，尽量简单）；
2、根据基本结构在原荷载及所有多余力共同作用下，在每一个去掉的多余联系处位移和原结构相应位置的已知位移相同，建立力法典型方程；
3、求方程所有系数和自由项，（静定结构的位移计算）积分法或图乘法，写出基本结构X i∑=在单位力及原荷载分别单独作用下的内力表达式或作出内力图；
4、解方程，求出所有多余力；
5、作最后内力图（静定结构的计算问题）梁、刚架：M N P 组合结构：
6、校核，两方面：平衡条件（截取结构中+ X i N i ∑=M P →Q→N 桁架：N +M i M＝0 ）∑Y＝0 ∑ X＝0 ∑刚结点、杆件或某一部分，应满足；变形协调条件（多余约束处位移是否与已知位移相等）
注：选取基本结构的原则：
（1）基本结构为静定结构；
（2）选取的基本结构应使力法方程中系数和自由项的计算尽可能方便，并尽量使较多的副系数和自由项为0
（3）较易绘M 图及MP 图。
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2、根据位移条件△1 = 0，建立力法方程 11X1 1P 0
3、计算系数和自由项
绘出单位弯矩图M 1和荷载弯矩图MP
11
1 EI
(1 2
1 l
2 3
1)
l 3EI
1P
1 EI
(2 l 1 ql 2 38
1 1) 2
ql 3 24 EI
4、求解多余未知力,将系数和自由项代入力法
方程，得
X1
1p 11
1 4
2 3
1)
1 EI
(1 2
1 4
2 3
1)
2 EI
1P
1 2EI
1 ( 2
10 4
1 1) 2
1 EI
1 ( 2
3 2 1 1) 3
4 EI
4、求解多余未知力
4
X1
1P
11
EI 2
2kN
EI
5、绘内力图
按叠加法绘弯矩图 即
M M1X1 M p
弯矩图绘出后，可取各杆件为脱离体，并利用杆件的力矩平衡条件求出杆端剪力， 然后按荷载与内力的微分关系绘出剪力图，如图f所示。
n次超静定结构
n个多余约束
n个多余未知力
n个已知的位移条件
可建立n个力法方程
解出n个多余未知力
若原结构上对应于各多余未知力作用处的位移都为零，则n 次超静定结构的力法典型方程为：
11X1 12 X 2 1n X n 1p 0
21X1 22 X 2 2n X n 2 p 0
三、力法计算一次超静定结构
例1 试用力法计算图7-9a所示超静定梁，并绘内力图。 解：1、确定基本未知量，选择基本体系 2、建立力法方程
基本体系在B截面沿X1方向的相对转角应为零， 即Δ1=0。根据此位移条件建立力法方程：
11X1 1P 0
3、计算系数 11和自由项 1P
11
1 2EI
(1 2
思考题
1.力法求解超静定结构的思路是什么？ 2.试画出图示每一超静定结构的两种力法基本结构。
3. 力法方程的物理意义是什么？力法典型方程的右 端是否一定为零？ 4.图(a)结构选用图(b)所示基本体系,力法方程的物 理意义是什么？ 绘内力图。
例1：试用力法计算图示超静定梁，并绘内力图。
解 1、确定基本未知量，选择基本体系。
X1
1P 11
17ql 4
24EI 2l 3
17 ql 16
3EI
利用 M M1X1 M P 计算各杆端弯矩
6.校核
四、力 法 的 典 型 方 程
力法计算超静定结构的基本思路
超静定结构
去掉多余约束代以多余 未知力X1
计算出多余未知力
静定结构
根据位移条件建立力法基本方程
BACK
（一）两次超静定结构的力法典型方程
2、先按叠加法作出弯矩图，再由
弯矩图 杆件平衡条件
剪力图 结点平衡条件
轴力图
力 法 小结
多余未知力 基本体系 力法方程
关键 桥梁 条件
•力法基本原理
以多余约束中的多余未知力为基本未知量，根据基本体系 在去掉多余约束处的位移应与原结构一致的原则，建立力法方 程。解方程求出多余未知力，其后就是静定结构的计算问题了。
ql3
24EI l
1 ql2 8
3EI
5、绘内力图 M M1X1 M p V V1 X1 Vp
11X1 1P 0
11
M1M1 dx 1 (1 l l 2 l) l3
EI
EI 2
3
3EI
1P
M1M p dx 1 (1 l 1 ql 2 3 l) ql 4
EI
EI 3 2 4
8EI
ql4
X1
1 p 11
8EI l3
3 q M p FS FS X1 FSp
3、副自系由数项存△在ip—如下表iijiip作关示用系基点MME：M本EI并ii2MEδIi结dMI沿xji构dpjX=xdiδ由x的j于方i 荷向载产的生单的独位作移用。，图C在Xi的
ip
MiM
p
dx
EI
（四）最后内力图的绘制
1、利用基本结构的单位内力图和荷载内力图按叠加法绘出
M M1X1 M2 X2 L Mn Xn M p FS FS1X1 FS 2 X 2 L FSn X n Fp FN FN1X1 FN 2 X 2 L FN n X n FN p
n1 X1 n2 X 2 nn X n np 0
（三）力法典型方程中系数和自由项的计算
1、主系数δii — 表示基本结构由于 Xi 1的单独作用，在Xi 的作用点并沿Xi的方向产生的位移； 图A
ii
M
2 i
dx
EI
2、副系数δij —iiijijip表的示作基MMM用EM本EEIiii2E点MMiIIMd结Ix并jjpd构dx沿dxx由Xi于的X方j 向 1产的生单的独位作移用；，图在B Xi
例2：试用力法计算图示超静定刚架，并绘内力图。
解： 1.选择基本体系
2.建立力法方程
11X1+1P=0
3.计算系数和自由项，绘 M1和MP图
11
1 EI
1 2
l
l
2 3
l
2
2l 3 3EI
1P
1 EI
1
2
l ql 2
2 3
l2
2 3
l
ql 2 8
l
2
17ql 4
24EI
4.计算X1 5.绘内力图
FS
二、力法计算超静定结构的基本思路
超静定结构
去掉多余约束代以多 余未知力Xi
静定结构
计算出多余未知力
根据位移条件建立力法基本方程
•力法基本原理
以多余约束中的多余未知力为基本未知量，根据基本体系在去掉多余 约束处的位移应与原结构一致的原则，建立力法方程。解方程求出多余未知 力，其后就是静定结构的计算问题了。
基本体系
位移 条件：
1 0 2 0
1 11 12 1p 0 2 21 22 2 p 0
△11=δ11X1 △21=δ21X1
△12=δ12X2 △22=δ22X2
力法 方程：
11 X1 21X1
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（二）n次超静定结构的力法典型方程