逻辑学 命题逻辑

第五章命题逻辑

上一章我们学习了词项逻辑，词项逻辑是以词项的研究为基础的，讨论的是简单命题和简单命题的推理。在这一章中，我们来学习在简单命题的基础上构成的复合命题以及复合命题推理。由于对复合命题和复合命题推理的研究是以命题为基本单位的，不再分析简单命题的内部结构，因此被称为命题逻辑。命题逻辑也叫联结词的逻辑，因为它是以命题联结词的研究为基础的。

第一节复合命题

复合命题是由一定的联结词（常称为命题联结词或逻辑联结词）将一个、两个或两个以上命题联结起来构成的命题。与简单命题不同，复合命题中包含着其他命题。作为复合命题组成部分的命题称为支命题。

复合命题按照其不同的逻辑含义，可分为负命题、联言命题、选言命题和假言命题。

一、负命题

（一）什么是负命题

负命题是否定某种事物情况的命题。

负命题由表示否定的联结词联结一个支命题构成。负命题只有一个支命题，这显然与其他复合命题不同。

在日常语言中，表达负命题的联结词的语词有“并非”、“并不是”等，我们在表示负命题的形式时，以“并非”作为代表，即将负命题的形式表示为：

并非p

这里的p是表示任一命题（常表示任一简单命题）的符号，称为命题变项。负命题的联结词也可以用符号“⌝”表示。这样，上述形式就可表示为：

⌝p

这里的“⌝”称为否定词，⌝p称为否定式，可读作“非p”。

负命题是否定某种事物情况，而不是否定事物具有某种性质，因而它不同于直言命题中的否定命题。直言命题中的否定命题的否定联项处于命题当中，而负命题的否定词

则处于命题的最前端。

不过，直言命题中的单称否定命题形式“s不是P”逻辑等值于“并非s是P”，而后者可表示为“并非p”的形式，因此，直言命题中的单称否定命题常被作为负命题处理。特别是在单称肯定命题与相应的单称否定命题同时出现，而又将单称肯定命题用某个命题变项符号（如p）代替时，为反映出它们之间的逻辑联系，更需要将相应的单称否定命题直接表示为负命题的形式（如⌝p）。这种处理方法在复合命题推理中是常用的。

必须注意的是，直言命题中的否定命题能直接作为负命题对待的只有单称否定命题，全称否定命题和特称否定命题则不能直接作为负命题处理。显而易见，“所有S不是P”并不逻辑等值于“并非所有S是P”，“有S不是P”也并不逻辑等值于“并非有S是P”。

（二）负命题的真假值

负命题是对其支命题所断定的事物情况的否定，它的真假与其支命题的真假相反：如果一个负命题的支命题为真，那么这个负命题就是假的；如果一个负命题的支命题为假，那么这个负命题就是真的。

负命题与其支命题之间的真假值关系可概括为：⌝p真，当且仅当p假。

二、联言命题

（一）什么是联言命题

联言命题是断定两种或两种以上事物情况同时存在的命题。

联言命题由两个或两个以上支命题经一定的联结词联结而成。构成联言命题的支命题称为联言支。

在日常语言中，表达联言命题的语句是多种多样的，有并列复句、连续复句、递进复句、转折复句等。这些复句的关联词更是多种多样的，如“并且”、“而且”、“也”、“既……又……”、“可是”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等。这些语词中，最符合联言命题的逻辑含义的是“并且”。其他一些语词则还带有更多的含义，如表示递进、转折等，这些含义不是逻辑上的。因此，我们选择“并且”作为联言命题的联结词的逻辑表达。这样，具有两个联言支的联言命题的形式可表示为：p并且q

具有三个联言支的联言命题的形式可表示为：

p并且q并且r

这里的p、q、r是表示任一命题（常表示任一简单命题）的符号，我们称之为命题变项。通常我们用来表示命题变项的字母是p、q、r和s，如果变项较多，字母不够用，可采取给这些字母加数字下标的办法。比如，具有n个联言支的联言命题的形式可表示为：

p1并且p2并且…并且p n

我们也可以用一个特定的符号“∧”来代替“并且”作为联言命题的联结词，即将上述形式分别表示为：

p∧q

p∧q∧r

p1∧p2∧…∧p n

这里的“∧”称为合取词，p∧q称为合取式，可读作“p合取q”。

尽管表达联言命题的复合句有着多种多样的关联词，但在表示联言命题的逻辑形式时联结词却是统一的。有些表达联言命题的复合句没有关联词或者省略了关联词，这对其逻辑形式并无影响。我们确定一个语句是否表达联言命题，主要是根据其表达的含义。另外，有一些简单句也可表达联言命题。

（二）联言命题的真假值

联言命题断定的是若干事物情况同时存在，其真假取决于其各个联言支所表示的事物情况事实上是不是都存在，即其各个联言支是否同时都是真的。如果一个联言命题的每个联言支都是真的，那么，这个联言命题就是真的；如果有一个联言支是假的，或者有更多的联言支是假的，那么，这个联言命题就是假的。

联言命题与其联言支之间的真假值关系可概括为：一个联言命题是真的，当且仅当其全部联言支都是真的。对于只有两个联言支的联言命题就是：p∧q真，当且仅当p 和q皆真。

需要注意的是，联言命题的真假值仅是就其逻辑含义而言的，它忽略了联言命题在语言表达上的特点。从语言表达上说，人们实际运用的联言命题还具有以下特点：第一，联言支之间有一定的内容、意义上的联系。

第二，联言支可能具有一定的顺序性。

例：

（1）屡战屡败

（2）情有可原，理无可恕

这些特点我们在进行逻辑分析时虽可暂时抛开，但在实际表达和运用联言命题时却是不能不考虑的。

三、选言命题

（一）什么是选言命题

选言命题是断定两种或两种以上事物情况中至少有一种情况存在，或者只有一种情况存在的命题。

选言命题由两个或两个以上支命题经联结词“或者”或“要么……要么……”之类联结而成。构成选言命题的支命题，称为选言支。

选言命题按其断定的是若干事物情况中至少有一种情况存在，还是只有一种情况存在，可分为相容的选言命题和不相容的选言命题。

（二）相容的选言命题

1．什么是相容的选言命题

相容的选言命题是断定两种或两种以上事物情况中至少有一种情况存在的命题。所谓至少有一种情况存在，即并不排除这些事物情况有同时存在的可能，换言之，它容许其选言支同真。

相容的选言命题由“或者”联结若干支命题构成。当其具有两个选言支时，其形式可表示为：

p或者q

当其具有三个选言支时，其形式可表示为：

p或者q或者r

具有n个选言支的相容的选言命题的形式可表示为：

p1或者p2或者…或者p n

我们也可以用一个特定的符号“∨”来代替“或者”作为相容的选言命题的联结词，即将上述形式分别表示为：

p∨q

p∨q∨r

p1∨p2∨…∨p n