排队论-1-2

每小时的期望成本为6+50＝56（元）。
配件中心的管理员

如果雇佣助手，则 ＝10人/小时， ＝15人/小时，
1 1 W 15 10 5
小时，
服务成本 ＝6 +4=10（元）， 时间
期望延迟成本 10 1 5 10 20 时间

雇佣助手后每小时的期望成本为20+10＝30元。因此，应 该雇佣该助手，因为平均每小时可以节约50-20＝30元的 延迟成本，大于4元/小时的助手工资。
定理3（Little公式）

对于任何存在稳态概率分布的排队系统，下列公式成立：
L W
Lq Wq
Ls Ws
系统中j个顾客的概率
系统中没有顾客的概率 系统中平均顾客的数量 正在排队的平均顾客数量
j (1 )
j
0 1
L



1
系统中正接受服务的人数的期望值为 Ls 。对于一个 M/M/1/GD/∞/∞排队系统，当它达到稳定状态时，
Ls 0 0 1( 1 2 ) 1 0
只有一个服务台， 一名顾客接受服务
1 (1 )
由于一名顾客要么在队列中等待，要么正在接受服务，所 以任何排队系统（不仅仅是M/M/1/GD/ ∞ / ∞排队系统） 都应有， L Ls Lq
期望成本 服务成本 期望延迟成本 ＝ 时间 时间 时间
配件中心的管理员

计算单位时间的服务成本往往很简单。最简单的计算单位 时间延迟成本的方法如下所示：
期望延迟成本 期望延迟成本 顾客数量 ＝ 时间 顾客数量 时间
λ
期望延迟成本 10元 ＝ （机械师在系统中的平 均逗留时间） 顾客数量 人小时
Lq ( j 1) j j j j L (1 0 ) L ，
j 1 j 1 j 1



又因为 L (1 )
，上式可以写成：
Lq

1

2 1
2 ( )
服务中的平均顾客数量 Ls 的推导
0 1
0 1
S
1 1
j j (1 )
(0 1)
1 1
系统将不存在稳定状态
系统中的平均顾客数量L的推导
假设系统已经达到稳定状态，系统中存在顾客的平均数量，即系 统达到稳定状态时顾客数量的期望值。有时我们将称为平均队长。 定义： S ' j j 2 2 3 3
L (1 )
(1 ) 2


1


队列中的平均顾客数量 Lq 的推导
我们有时把等待在队列中的人数的期望值称为平均队列长， 或平均等待队长，并用 Lq 来表示这个值。如果系统中只
有0或1个人，则队列中没有人等待；如果系统中有j
（ j 1）个人，则队列中将有j-1个人处在等待状态。因 此，如果系统已经达到稳定状态，有

c） L

1

2 3
1
2 3
2
。 W 2 1 10 5

d）如果该柜台一直处在繁忙状态，那么平均每小时可以服务15人。
由（a）可知，该柜台只有 2 3 的时间处在繁忙状态。因此每小时该柜台 平均服务( 2 15) 10 人。 3 )(
加油站的排队系统
假设车主在汽车油量正好消耗至油箱一半时给汽 车加油。某一单泵加油站平均每小时有7.5辆车来 加油。平均每辆车需要4分钟完成整个加油过程。 设汽车的到达间隔时间和服务时间均服从指数分 布。 a）求当前状况下的L和W。 b）假设车主改成当油量消耗至3/4时加油。由于 每位加油的顾客需要购买的油量变少，每位顾客 的平均服务时间减少至10/3分钟。求情况改变后 的L 和W 。
5 15 18 6
L
5 6
1 5 6
5 W
5 1 （小时） 15 3
L
这是由于盲目的抢购，导致较长的队列。
例2、配件中心的管理员
在一个制造工厂工作的机械师必须从一个配件中心获取配件。平均 每小时有10名机械师来寻找配件。目前配件中心有一名管理员，该管 理员工资为6元/小时，他为一位机械师寻找配件平均需要5分钟。由 于一名机械师每小时可以制造价值10元的产品，因此机械师每在配件 中心逗留1小时就相当于花费了该厂10元。该厂正在决策是否花4元/ 小时雇佣一名管理员助手。如果雇佣，那么管理员为每位机械师的寻 找配件只要平均4分钟。设机械师的到达间隔时间和管理员寻找配件 的时间都服从指数分布。是否应该雇佣该助手？ 解：这种选择一个排队系统中的决策问题被称为排队最优化问题 （queuing optimization problem）。 在本题中，该厂的目标是最小化服务成本和机械师空闲成本之和。 在排队最优化问题中，由于顾客等待而造成的成本叫做延迟成本 （delay cost）。因此，该厂的目标是最小化

2 2 Lq 1 ( )
正在接受服务的平均顾客数量
Ls
L W
Lq Wq
Ls Ws


L Lq Ls
单位时间内进入系统的平均顾客数量 单位时间内接受服务的平均顾客数量
例1、储蓄所的排队系统
某储蓄所只有1个柜台处理个人储蓄业务， 平均每小时有10名顾客来存取，平均每位 顾客的服务时间为4分钟。顾客到达间隔时 间和服务时间均服从指数分布。 求 a)该柜台空闲的概率. b)在队列中等待的顾客平均数量（不包 括正在接受服务的顾客）. c)每位顾客在银行的平均逗留时间（包 括服务时间）. d)该柜台平均每小时服务的人数.
2 所以 Lq L Ls 1 1

队列公式
L W 设某一顾客在排队系统中逗留时间的期望值为 W （包括在 排队等待的时间和接受服务的时间），顾客的平均排队等 待时间为 Wq 。只有在稳定状态已经达到时，才能计算 W 和 Wq 的值。
＝单位时间内进入系统的平均顾客数量， L ＝系统中平均顾客数量， Lq ＝系统中正在排队的平均顾客数量， Ls ＝系统中正在接受服务的平均顾客数量， W ＝顾客在系统的平均总逗留时间， Wq ＝顾客在队列中等待的平均逗留时间， Ws ＝顾客接受服务的平均时间。
i 1
i 0
c
1 j c 1
( j 0,1,, c)
L j j
j 0

c L 2
Ls 0 0 1( 1 2 ) 1 0
Wq Lq
Lq L Ls

L W (1 c )
(1 c )
对M/M/1/GD/c/∞排队系统，即使 定状态。
λ 状态
0 1
λ
2 c-1
λ
c
μ
μ
μ
M/M/1/GD/c/∞排队系统

M/M/1/GD/c/∞排队系统的生/灭率
j c 0， 0 0， j

( j 0,1, , c - 1)，
( j 1,2, , c )。
由于 c ＝0，因此，系统永远不会达到状态c＋1或者其它 数值更大的状态。
w
期望延迟成本 10W 时间
现在比较雇佣和不雇佣该助手的情况下的单位时间期望成本。
配件中心的管理员

＝12人/小时。 ＝10人/小时 ， 如果不雇佣助手，
1 1 W 12 10 2
小时。由于管理员工资为6元/小时，
服务成本 ＝6 时间
期望延迟成本 10 1 2 10 50 时间
j 0
L j
j 0 j 0

则：
j
S ' 2 2 3 3 4

1
j j (1 ) (1 ) j j。
j 0
S ' S ' 2 3
S'
(1 ) 2
( j c 1,c 2,)
c 1

所以
1 (c 1) c L c 1 (1 )(1 )
c

L j j
j 0
c
M/M/1/GD/c/∞排队系统

如果
，则c=1.M/M/1/GD/c/∞排队系统的稳态概率：
i

i 0

( j 0,1,2, )， ( j 1,2,3)。
稳态概率的推导
j 0c j
定义
0 1 j 1 cj 1 2 j
j 0 j j

排队系统的通行强度
0 (1 2 ) 1
S 1 2

理发店的排队系统
这意味着每小时有20－5＝15名潜在顾客不能进入理发店。
4 1 11 410 10 411 b） L 9.67 （人）， 11 (1 4 ) (1 4)
时，系统也存在稳
例3、理发店的排队系统
某理发店只有一名理发师，共有10个座位。顾客的到达间 隔时间服从指数分布，平均每小时有20名潜在顾客到达。 当店里坐满时，顾客将离开。理发师为一位顾客理发平均 要12分钟。理发时间服从指数分布。求：a）理发师平均 每小时为多少位顾客服务？b）进入理发店的顾客平均逗 留多长时间？ 解：a）该理发店坐满的概率为 10 ，则平均每小时进入 理发店的顾客数量为 (1 10 ) 。所有进入理发店的顾客 都要理发，因此，理发师平均每小时为 (1 10 ) 位顾 ＝20人/小时，＝ 5人/小时。 客理发。由已知得 则 20 ，得： 5 4 10 1 4 1 4 3 4 10 0 10 4 0.75 11 11 1 411 1 4 1 4 因此，平均每小时有 20(1 3 名顾客接受理发服务。 4) 5