三角函数与解三角形中的范围问题含答案

1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的

a

b 取值范围

2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222()()4f x a x a b x c =---，

（1）若(1)0f =，且B －C=3

π，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值范围.

3．在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,c A =

（1）确定角C 的大小；

（2）若c =

ABC ∆面积的最大值.

4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab．

(1)求cos C；

(2)若c=2，求△ABC面积的最大值．

5.在△中，角、、所对的边分别为、、，且.（Ⅰ）若，求角；

（Ⅱ）设，，试求的最大值.

6．的三个内角依次成等差数列．

（1）若，试判断的形状；

（2）若为钝角三角形，且，试求代数式的取值范围．

7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=•AC AB ，BAC θ∠=，4a =.

（1）求b c ⋅的最大值及θ的取值范围；

（2）求函数22()(

)2cos 4f πθθθ=++-.

8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5

B =. （1）求角

C 的大小；

（2）若ABC △

9．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2

74sin cos222B C A +-=． （1）求角A 的度数；

（2）求

b c a

+的取值范围．

10．在△ABC中，sinB+sinC=sin(A-C).（1）求A的大小；

（2）若BC=3，求△ABC的周长L的最大值.

11．设的内角所对的边分别为且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的取值范围.

12．已知向量，（），函数且f(x) 图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为.

（2）在△ABC 中，是角所对的边，且满足，求角B 的大小以及f(A)取值范围。

13．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab c b a +=+2

22 （1）若A

B b a cos cos =，且2=c ,求AB

C ∆的面积； （2）已知向量)cos ,(sin A A =，)sin ,(cos B B -=，求｜n m 2-｜的取值范围．

14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且

c

a b b a c a -=++， （1）求角B 的大小；

（2）若ABC △最大边的边长为7，且A C sin 2sin =，求最小边长.

15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.它的外接圆半径为6. ∠B ，∠C 和△ABC 的面积S 满足条件：22)(c b a S --=且.3

4sin sin =

+C B （1）求A sin

（2）求△ABC 面积S 的最大值.

16．已知C B B A ABC sin 3)cos 3sin (sin =+中，

△ （Ⅰ）求角A 的大小；

（Ⅱ）若BC=3，求△ABC 周长的取值范围.

∆中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足17．在锐角ABC

+

sin2=

+B

B

B

B

2

sin

.1

cos

2

sin

2

∠的值；

（1）求B

（2）若b=3，求a+c的最大值.

18．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别是,,a b c ，且满足222()AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r ．

（1）求角A 的大小；

（2）求2

4sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B 、C 的大小．

19．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a,b,c 且ac c b a 2

1222=-+. （1）求B C A 2cos 2

sin 2++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．

20．已知在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,cos cos cos B c B b C =+

(1)求角B 的大小;

(2)设向量()()cos ,cos 2,12,5m A A n ==-u r r ,求当m n ⋅u r r 取最大值时,tan C 的值.

参考答案

1．（1）C=（2）0＜C ≤

【解析】（1）∵f （1）=0，∴a 2-(a 2-b 2)-4c 2=0，

∴b 2=4c 2，∴b=2c ，∴sinB=2sinC ，

又B-C=.∴sin(C+)=2sinC ，

∴sinC ·cos+cosC ·sin=2sinC ，

∴sinC-cosC=0，∴sin(C-)=0，

又∵-＜C-＜，∴C=.

（2）若f （2）=0，则4a 2-2(a 2-b 2)-4c 2=0，

∴a 2+b 2=2c 2，∴cosC==，

又2c 2=a 2+b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2，∴cosC ≥，

又∵C ∈（0，），∴0＜C ≤.

2．（1）C=6

π （2）0

π 【解析】解；（1）由f （1）=0，得a 2－a 2+b 2－4c 2=0， ∴b= 2c …………（1分）.

又由正弦定理，得b= 2RsinB ，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC …………（2分） ∵B －C=3π，∴B=3π+C ，将其代入上式，得sin （3

π+C ）=2sinC ……………（3分） ∴sin （3π）cosC + cos 3

πsinC =2sinC ，整理得，C C cos sin 3=…………（4分） ∴tanC=

33……………（5分） ∵角C 是三角形的内角，∴C=

6π…………………（6分） （2）∵f （2）=0，∴4a 2－2a 2+2b 2－4c 2=0，即a 2+b 2－2c 2=0……………（7分）