分配问题与匈牙利算法
最佳重分配 匈牙利算法
最佳重分配匈牙利算法最佳重分配匈牙利算法，也叫作匈牙利算法，是一种常用于解决二分图最大匹配问题的算法。
本文将介绍最佳重分配匈牙利算法的定义、原理、实现和应用。
一、算法定义最佳重分配匈牙利算法是一种寻找二分图最大匹配的算法，其基本思想是在尽可能增大匹配的前提下，找到每个左部点的最优匹配。
此算法能够有效应对利用贪心或DFS算法求得的最大匹配值较小的情况。
二、算法原理最佳重分配匈牙利算法是一个基于DFS搜索的寻找最大匹配的算法。
它的基本思路是从左边开始枚举每一个左部点，在右边的匹配点中找到最合适的点。
若最后所有的左部点都能找到匹配的右部点，则此时为最大匹配。
而如果出现找不到匹配点的情况，就需要对已经匹配的边进行重分配。
同时，算法也支持权重匹配，即将边的权重加入到选取匹配点的决策中，从而更准确地匹配。
三、算法实现最佳重分配匈牙利算法实现过程主要由以下几个步骤组成：1.从左边第一个点开始，寻找与其最优匹配的右部点，就是尝试将这个左部点与右部图的所有未被匹配过的点进行匹配，其中匹配的条件是要满足没有与其他左部点有相同的匹配。
2.如果找到一个匹配的右部点，那么将这个左部点和右部点建立匹配关系，并将右部点状态设置为已匹配。
3.如果没有找到合适的右部点，就要进行匹配重分配。
首先，将已经进行了匹配而且在重分配环中的所有点按照交替方式重新相连，形成一个环-链数据结构；同时，计算出这个环-链中权重最小的边的权重，然后将环-链上的奇数边权的点减去该最小值，偶数边的点加上该最小值。
最后，通过交替路径来更新匹配。
4.根据已经匹配的点的数量，决定是否需要继续匹配，若所有的左部点都找到了匹配的右部点，则证明达到了最大匹配。
四、算法应用最佳重分配匈牙利算法在实际应用中有着广泛的应用场景，主要用于解决二分图最大匹配问题。
例如在对学生和导师之间进行匹配、对工人和工作之间进行匹配时，就可以使用该算法来解决问题。
总体来说，最佳重分配匈牙利算法具有高效、简洁、易于实现和适用于多种场景的优点。
匈牙利法求解指派问题
然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈， 记。
Ø 13 7 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
可见m=n=4,得到最优解。
0001 0100 1000 0010
即甲译俄文、乙译日文、丙 译英文、丁译德文所需时间 最少。Z=28小时
例6 分配问题效率矩阵
任务 A B C D E 人员
甲 12 7 9 7 9 乙8 9 6 6 6 丙 7 17 12 14 9 丁 15 14 6 6 10 戊 4 10 7 10 9
12 7 9 7 9 7 89666 6 7 17 12 14 9 7 15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
50202 23000 0 10 5 7 2 98004 06365
➢从只有一个0元素的行开始，给 这个0元素加圈，记
50202 23000
10 5 7 2
98004 06365
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 000 Ø 8350 11 8 0 0 4 4 1 4 3
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0 元素加圈，记
70202 4 3 000 Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
然后划去所在的列的其他0元素，记 作Ø。
70202 4 3 00Ø Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
4.2-分配问题和匈牙利法
0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 1 3 2 0
0 3 0 3 6 0 2 0 2 0 0 3 0 2 3 0 4 4 0 6
此问题有多个最优解
匈牙利法
第三种情况
矩阵中所有零元素或被划去,或打上( )号,但打( )号的 零元素个数仍小于n.
整数规划
整数规划的数学模型 设置逻辑变量建立整数规划模型 分配问题与匈牙利法 分支定界法、割平面法 应用举例
§3 分配问题与匈牙利法
分配问题的标准形式及其数学模型
分配问题也称指派问题(assignment problem),在我们现实 生活中,常有各种性质的分配问题.例如：应如何分配若干 项工作给若干个人(或部门)来完成,以达到总体的最佳效果 等等.由于分配问题的多样性,我们有必要定义分配问题的 标准形式.
可用表上作 解:这是一个标准的分配问题.若设0－1变量 业法求解
1 表示学生i翻译语种j xij (i, j 1, 2,3, 4) 0 表示学生i不翻译语种j 则问题的数学模型为
min z 14 x11 9 x12 4 x13 15 x14 11x21 7 x22 9 x23 10 x24 13 x31 6 x32 10 x33 5 x34 17 x41 9 x42 15 x43 13 x44 4 xij 1 i 1, 2,3, 4 j 1 4 s.t. xij 1 j 1, 2,3, 4 i 1 xij 0或1 i, j 1, 2,3, 4
匈牙利法
0 8 11 0 上述例子完成一、二、三步之后如右： 2 3 转向第四步： 0 11
【算法题】任务分配问题---匈牙利算法
【算法题】任务分配问题---匈⽛利算法⼀、问题描述问题描述：N个⼈分配N项任务，⼀个⼈只能分配⼀项任务，⼀项任务只能分配给⼀个⼈，将⼀项任务分配给⼀个⼈是需要⽀付报酬，如何分配任务，保证⽀付的报酬总数最⼩。
问题数学描述：⼆、实例分析---穷举法在讲将匈⽛利算法解决任务问题之前，先分析⼏个具体实例。
以3个⼯作⼈员和3项任务为实例，下图为薪酬图表和根据薪酬图表所得的cost矩阵。
利⽤最简单的⽅法(穷举法)进⾏求解，计算出所有分配情况的总薪酬开销，然后求最⼩值。
total_cost1 = 250 + 600 + 250 = 1100; x00 = 1,x11 = 1,x22 = 1;total_cost2 = 250 + 350 + 400 = 1000; x00 = 1,x12 = 1,x21 = 1;total_cost3 = 400 + 400 + 250 = 1050; x01 = 1,x10 = 1,x22 = 1;total_cost4 = 400 + 350 + 200 = 950; x01 = 1,x12 = 1,x20 = 1; //最优分配total_cost5 = 350 + 400 + 400 = 1150; x02 = 1,x10 = 1,x21 = 1;total_cost6 = 350 + 600 + 250 = 1150; x02 = 1,x11 = 1,x22 = 1;对于任务数和⼈员数较少时，可利⽤穷举法计算结果。
若将N任务分配给N个⼈员，其包含的所有分配情况数⽬为N!，N增⼤时，穷举法将难以完成任务。
三、匈⽛利算法下⾯简要介绍匈⽛利算法。
其基本的理论基础是针对cost矩阵，将cost矩阵的⼀⾏或⼀列数据加上或减去⼀个数，其最优任务分配求解问题不变。
算法的基本步骤如下：四、实例分析---匈⽛利算法下⾯结合具体实例，分析匈⽛利算法如何解决任务分配问题。
以N = 4为实例，下图为cost列表和cost矩阵。
基于空缺链和匈牙利算法的资源分配问题2
130基于空缺链和匈牙利算法的资源分配问题杨 子 马 硕 贾 隆 哈尔滨工业大学（威海）摘 要：对于寄居蟹，壳是它们生命的保障，寄居蟹要很慎重地思考并且评估壳资源，才会交换他们的壳，同时它们也能着眼于未来，所以它们有着最好的蟹类的平均主义思想。
而我们人类从中看出空屋链模型和匈牙利算法对于社会资源分配的启示，例如职位招聘，房屋流动等。
关键词：空屋链 匈牙利算法 资源分配一、引言为了说明让每个人都受益的交换策略的起源，有以下背景。
寄居蟹，一种在美国非常流行的宠物类型，依靠其它生物的壳作为保护。
当蟹遇到了新壳，会立即从住所出来，试穿新住所，这是典型的寄居蟹式作风。
但如果这个新壳有些偏大，它可不会失望的走掉，相反，它会站在这个新壳附近一直等待着，直到其它的蟹出现，那些新来的都会试试这个新壳。
但如果这个新壳对于新来的来说也很大的话，那么它们会一起等待，有时，一个新壳旁边的寄居蟹甚至20组之多。
但这些蟹不是随机的，相反，它们按个头从大到小排成整齐一排。
一旦有一个蟹能够适应这个新壳，队伍中的所有蟹都将会迅速交换它们的壳。
队伍前最大的的蟹将会遗弃它自己的壳，然后那第二大的寄居蟹将会使用那个被最大的寄居蟹遗弃的壳。
然后一直这样传递下去。
由此，这个连续的交换资源使得队伍每一个个体都能得到好处的方式（经济学家称为“空缺链”）启示我们发现更优秀的资源分配方式。
二、模型1.基本模型。
空缺链最初出现在住宅市场，对家庭的初始迁移，包含新家庭或家庭搬走留下的住房市场。
当这个初始空屋单位是第一个房子，当全家搬到了另一个空房子，这个空缺链将继续。
户主的家庭没有搬或当以家庭为单位的房屋拆迁，空置链停止。
我们以职位为社会资源为例，探讨社会资源的更有利分配。
1.1定义和符号。
V i：在i区的空位数 N：区域同质化数 r ij ：从i到j地区空置转让转换率 V i r i ：1.从i到的空缺j的地区总流面积2.家庭总迁移从i流动到j区面积 F i ：i区空置损失率 G i ：i区空置生成率 q ij ：从i空缺转移到j区概率 Σj m：从i区住宅总面积中被选择的机会 1.2假设。
人员分配问题的匈牙利算法
案例分析
➢ 则可得二部图如下：
案例分析
由于N{y1, y4, y5} {x2, x5} {y1, y4, y5} 3 N{y1, y4, y5} {x2, x5} 2 则不满足二部图存在完美匹配定理，所以该网络图不存在完美匹配。 因此，该5人不能都得到聘书。
求最多几人能得到聘书？该问题可以转化为最大匹配 问题，及在上述二部图中找一个最大匹配，可以结合 MATLAB编程进行求解。
35.4000 34.7000 28.5000 29.2000
0
t1 = 127.8000
案例分析
结果分析：
s 矩阵保存指派问题求最小解时的指派方案及对应 方案的权值。
t 为指派问题的最小解，也即最小费用。
15
人员1分配任务5 花销35.4
24
32
4 1
53
பைடு நூலகம்总成本：127.8
案例分析
➢ 例5-2 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人，有5人 应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文， 乙、戊懂德文，戊懂法文，问这五个人是否都能得到聘书？最多几 人能得到聘书，招聘后每人从事哪方面的翻译工作？ 解：我们可以利用网络图把它作为一个匹配问题来进行求解。
5.2人员分配问题的匈牙利算法
5.2.1 匈牙利算法基本步骤 5.2.2 匈牙利算法的MATLAB实现 5.2.3 案例分析
5.2.1 匈牙利算法基本步骤
➢ 首先给出匈牙利算法的关键概念。 在人员分配问题中，耗费矩阵是指工作 所需要的时间，该矩阵的第i行第j列元素 表示的j 是工人做工作所需要的时间或者 所耗费的原料，即指派问题中的耗费数 值。总耗费是指给定一种指派方案后， 该方案总的耗费数值之和。因此，耗费 矩阵就是匹配问题的权值矩阵，而总耗 费就是给出的一个匹配方案所对应边的 权值之和。
最佳分配算法范文
最佳分配算法范文1. 匈牙利算法（Hungarian algorithm）匈牙利算法是一种经典的最佳分配算法，用于解决二部图的最大权匹配问题。
它通过建立一个代价矩阵，将每个接收者与每个资源之间的成本表示为矩阵中的元素。
然后，通过不断修改代价矩阵中的元素，寻找使总成本最小的最佳分配。
2. 线性规划算法（Linear programming algorithm）线性规划算法通过建立一个线性规划模型来解决最佳分配问题。
该模型包括一个目标函数和一组约束条件，其中目标是最小化或最大化一些指标，约束条件则限制了资源的分配方案。
通过线性规划求解器，可以找到最佳的资源分配方案。
3. 随机化算法（Randomized algorithm）随机化算法使用随机性来解决最佳分配问题。
它通过随机选择一种分配方案，并计算其成本，然后尝试其他分配方案。
在多次尝试之后，选择成本最小的分配方案作为最佳分配。
尽管随机化算法不能保证找到最优解，但它通常能够找到一个接近最优解的解决方案。
4. 近似算法（Approximation algorithm）近似算法通过在有限时间内找到一个接近最优解的解决方案来解决最佳分配问题。
它通常有一个固定的性能保证，例如近似比或近似因子。
近似算法具有较低的计算复杂度，适用于大规模的最佳分配问题。
5. 遗传算法（Genetic algorithm）遗传算法是一种通过模拟遗传和进化过程来解决最佳分配问题的算法。
它通过染色体编码、选择、交叉和变异等操作，模拟进化过程中的遗传机制。
通过多代代际的进化，遗传算法可以找到一个接近最优解的解决方案。
总的来说，最佳分配算法可以根据具体的应用领域和问题需求选择合适的算法。
无论是使用经典的匈牙利算法还是先进的遗传算法，都需要根据实际情况进行调整和优化，以实现最佳资源分配。
匈牙利算法 描述
匈牙利算法描述匈牙利算法是图论中一种用于解决二分图匹配问题的算法。
它首次由匈牙利数学家Denzel匈牙利在1955年发表，因而得名。
匈牙利算法属于图匹配算法的范畴，在实际应用中有着很强的效率和准确性。
本文将介绍匈牙利算法的原理、实现方法和应用领域等相关内容。
一、匈牙利算法原理匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一。
在二分图中，匈牙利算法的目标是寻找图中的最大匹配，即尽可能多地找到满足匹配条件的边，也就是找到尽可能多的配对节点。
在匈牙利算法中，主要使用了增广路的概念，通过不断地寻找增广路，来不断地扩展匹配。
具体而言，匈牙利算法的核心思想是利用增广路径寻找最大匹配。
在每一次匹配的过程中，首先选择一个未匹配的节点，然后通过交替路径寻找增广路径，直到无法找到增广路径为止。
当无法找到增广路径时，说明找到了最大匹配。
增广路径指的是一条由未匹配的节点和匹配节点交替构成的路径，其中未匹配节点为起点和终点。
通过不断地寻找增广路径，可以逐步扩展匹配。
在匈牙利算法中，为了记录节点的匹配状态和寻找增广路径，通常使用匈牙利标号和匈牙利交错路的方式。
匈牙利标号是为每个节点标记一个代表节点匹配状态的值，而匈牙利交错路则是一种用于寻找增广路径的方法。
借助这些工具，匈牙利算法可以高效地解决最大匹配问题。
二、匈牙利算法实现方法匈牙利算法的实现方法较为复杂，需要结合图论和图匹配的相关知识。
在实际应用中，匈牙利算法通常通过编程实现，以解决特定的二分图匹配问题。
下面简要介绍匈牙利算法的一般实现方法。
1. 初始化匈牙利标号：首先对图中的所有未匹配节点进行初始化标号，即给它们赋予一个初始的匈牙利标号。
2. 寻找增广路径：选择一个未匹配的节点作为起点，通过交替路径和增广路的方法寻找增广路径。
在寻找增广路径的过程中，要根据节点的匈牙利标号来选择下一个节点，从而找到满足匹配条件的路径。
3. 匹配节点：如果成功找到一条增广路径，就可以将路径中的节点进行匹配，即将原来未匹配的节点与匹配节点进行匹配。
匈牙利法求解指派问题
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
的个数m=4,而n=5, m<n，转下 一步。
52Ø 2 2 3Ø Ø 10 5 7 2 9 8 Ø 4 Ø 6365
指派问题（分配问题）
(Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
类似有：有n项加工任务，怎样 分配到n台机床上分别完成；有n 条航线，怎样指定n艘船分别去 航行….. 等。
表中数据称为效益矩阵或系数矩 阵，其元素大于零，表示分配第 i人去完成第j 项任务时的效益 （或时间、成本等）。
引入0-1变量xij=1分配第i人去完 成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
然后划去所在的1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元 素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈， 记。
任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
分配问题与Hungarian算法
分配问题与Hungarian算法分配问题与Hungarian算法分配问题指派问题匈⽛利算法匈⽛利⽅法是⼀种能够在多项式时间内解决分配问题(assignment problem)的组合优化算法。
它由Harold Kuhn 与1955年发展并提出，由于该算法很⼤程度上依赖于先前两位匈⽛利数学家:Denes Konig 和 Jeno Egervary,所以被命名为“匈⽛利⽅法”。
1957年James Munkres重新审视了这个⽅法，证明发现该⽅法是严格polynomial的，所以之后该⽅法也被称为Kuhn-Munkres 算法或者Munkres分配算法。
原始的匈⽛利算法的时间复杂度是,然⽽之后Edmonds和Karp，以及Tomizawa独⽴发现经过⼀定的修改，该算法能改达到的时间复杂度。
Ford和Fulkerson将该⽅法扩展到⼀般运输问题的求解上。
2006年，研究发现Carl Custav Jacobi在19实际就解决了assignment问题，并且在其逝世后的1890年求解过程被以拉丁语形式发表。
指派问题匈⽛利法解决的指派问题应该具有两个约束条件workes 和tasks的数⽬应该相同，即o2o问题。
求解的是最⼩化问题，如⼯作时间的最⼩化、费⽤的最⼩化等等指派问题⽰例：有三个workers: Jim, Steve和Alan，现在有3个⼯作：clean the bathroom, sweep the floors和wash the windows需要交给这三个⼈，每个⼈只能完成⼀个任务，对应的cost matrix如下---Clean bathroom Sweep floors Wash windowsJim$2$3$3Steve$3$2$3Alan$3$3$2那么如何分配任务是开销最⼩就是⼀个指派问题匈⽛利法步骤问题： 假定某单位有甲、⼄、丙、丁、戊五个员⼯，现需要完成A、B、C、D、E五项任务，每个员⼯完成某项任务的时间如下图所⽰，应该如何分配任务，才能保证完成任务所需要的时间开销最⼩？1476015762594.jpg解：1. 写出系数矩阵2. 更新系数矩阵，使系数矩阵的每⼀⾏每⼀列都减去该⾏该列的最⼩值，保证每⼀⾏每⼀列都有0元素出现,参见定理2.3. 选择只有⼀个0元素的⾏或列将该0元素标注为独⽴0元素，并将该0元素所在的列或⾏中0元素划掉，直⾄找不到满⾜条件的⾏或列，需要注意的是在循环时，划掉的0元素不再视为0元素。
分配问题与匈牙利法
7 8 11 9
第一步：初始变换
2 15 13 4 2 10 4 14 15 4 9 14 16 13 9 7 8 11 9 7
0 13 11 2 6 0 10 11 0574 0142
0042
0 13 7 0 6069 0532 0100
找独立0元素
0 13 7 0 6069 0532 0100
（2）操作简单，应用性强。 在当今国际化的市场 竞争中，企业成本和利
润成为衡量其经营绩效的重要参考指标，企业经 营的目标都是以最小化的成本换回最大化的利润 回报。随着现代科技的飞速发展，企业必须适应 时代的潮流，不断进行技术创新和产品研发，在 此过程中，科学合理的决策方案将成为影响企业 发展的重要因素。 匈牙利法不仅可以为企业人事 决策提供可靠的政策建议，同时可以预测和估算 出企业未来一段时期的成本和收益总量，而且操 作方便，应用性强，受到了现代企业管理者的青 睐。
设 1 xij 0
分配第i人完成第j项任务 未分配第i人完成第j项任务
nn
min z
aij xij
i 1 j 1
n
xij 1,
i 1, 2, ..., n
j1
n
s.t . xij 1, j 1, 2, ..., n
i 1
xij
1或0
二
分配问题的匈牙利解法
定义1 效率矩阵
处理方法：用效率矩阵中的最大元素减去矩阵 中的各个元素得到一个新的矩阵，对这个新的 矩阵用匈牙利方法求解。
四
《基于匈牙利法的企业员工任务分配问 题研究》
基金项目：国家社科基金资助项目（06BZZ022） 统计与决策2011年第5期
摘 要： 现代企业的发展，必须依托科学高效的
第五讲 分配问题(指派问题)与匈牙利法
n 件工作
y1 ， y2 ， … ， yn 。 已 知 工 人 xi 完 成 工 作 yj 所 需 时 间 为 cij
分派方案满足下述两个条件： 分派方案满足下述两个条件：
1.任一个工人都不能去做两件或两件以上的工作 1.任一个工人都不能去做两件或两件以上的工作 2.任一件工作都不能同时接受两个及以上的工人去做 2.任一件工作都不能同时接受两个及以上的工人去做
min
4 7 6 6 6
8 7 15 12 4 0 4 3 11 8 0 3 0 11 8 9 17 14 10 7 0 2 10 7 3 0 1 7 7 3 9 12 8 7 6 ⇒ 0 3 6 2 1 ⇒ 0 2 3 2 1 7 14 6 10 6 0 1 8 0 4 0 0 5 0 4 0 3 6 4 0 0 2 3 4 0 9 12 10 6 6 min 0 1 3 0 0
5 0 2 0 2 3 0 0 0 10 5 7 9 8 0 0 0 6 3 6
9 8 5 4 0
尝试对所有零元素做标记，确定独立零元素。 尝试对所有零元素做标记，确定独立零元素。 标记 独立零元素
（2）逐列检验 ）
与行检验类似：对只有一个未标记的零元素的列 用记号O将该 与行检验类似：对只有一个未标记的零元素的列，用记号 将该 零元素圈起，然后将被圈起的零元素所在行 零元素圈起，然后将被圈起的零元素所在行的其他未标记的零元 素用记号/划去 划去。 素用记号 划去。 重复列检验，直到没有未被标记的零元素或至少有两个未被标记 没有未被标记的零元素 重复列检验，直到没有未被标记的零元素或 的零元素为止。 的零元素为止。
分配问题（指派问题） 第5讲 分配问题（指派问题）与匈牙利法
8.2指派问题与匈牙利法
0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
（3）判断独立零元素的个数
可能出现三种情况
2.存在未标记过的零元素，但它们所在的行和列中，未被标 记过的零元素的个数均至少有两个。 3.不存在未被标记过的零元素，但圈0的个数<n
从某行（列）的两个未被标记过的零元素中任选一个加上圈， 然后给同列、同行的其他未被标记的零元素都加/，然后再 进行行、列检验，可能出现情况1或3。
0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
3 0 11 8 0 6 6 2 1 2 1 0 0 5 0 4 2 3 4 0
分配方案为7+9+6+6+6=34
练习. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下： 效率矩阵用[aij] 表示，为
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效 率通常用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩 阵。
例如. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
效率矩阵用[aij] 表示，为
时 工作 间 人员 时 工作 间 C 人员
A
B
A
B
C
甲 乙
丙
7 9
8
8 12
5
9 甲 4 乙
4 丙
0 5
4
0 1 7 8
0 1
2 0
0
整数规划---匈牙利法
Step4:增加(转移)零元素 a．求出未被直线覆盖的元素中的最小值k(本例中 k=2)． b．对打√行减去k，对打√列加上k go to step2
2 (0) 8 11 (0) 5 2 3 (0) 0 13 4
√
5 √ 4 0 √ 5
0 (0) 6 13 (0) 5 4 3 (0) 0 11 2
i =1 j =1 n n
∑x
i =1 n j =1
n
ij
=1 =1
∑x
ij
xij = 0或 ，i = 1 ~ n, j = 1 ~ n 1
显然，这是一个典型的0-1规划问题。也可以看成是一 个产量和销量为1的运输问题。可以用相应方法求解。 但有解分配问题更有效的方法—匈牙利法
匈牙利法
由最大匹配问题的讨论可知，可行解可用一个0-1矩阵 给出。如前例
2 2 4 4 0 0 4 3 6 5 0 4 2 1 0 2 5 0 3 6 3 2 3 1 7 -1 -2
指派问题与匈牙利法
2）试指派（找独立0元素） ）试指派（找独立 元素 元素）
2 2 4 4 0
0 4 2 4 5 0 3 0 1 0 1 3 0 3 5 1 2 3 0 5
所以，给出求最大匹配的匈牙利算法
x1 x2 设A = x3 x4 x5
1 0 0 0 0
y1
y2
1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1
y3
y4
y5
求最大匹配。
有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别 记为E、J、G、R，现有A、B、C、D四人，他们将中文翻 译成不同语种，所需时间如表3-1.问应分配何人去完成何工 作，使所需总时间最少（一人做一件事）。
数学建模匈牙利算法
数学建模匈牙利算法
（实用版）
目录
一、匈牙利算法简介
二、匈牙利算法的基本原理
三、匈牙利算法的应用实例
四、匈牙利算法的优点与局限性
正文
一、匈牙利算法简介
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的经典算法，由匈牙利数学家 Mátyás Klán 首先提出。
该算法主要用于解决一些实际问题，如任务分配、资源调度等，其核心思想是尽可能地将两个顶点之间的距离缩小，从而实现图的最大匹配。
二、匈牙利算法的基本原理
1.匈牙利算法的基本思想是“贪心”，即每一步都选择当前可以得到的最佳匹配。
2.从未匹配的顶点中选择距离最小的两个顶点进行匹配，直到所有顶点都匹配完毕或者再也找不到匹配的顶点为止。
3.如果当前未匹配的顶点数量为奇数，则无法进行匹配，算法结束。
三、匈牙利算法的应用实例
1.任务分配：假设有 n 个任务和 n 个工人，每个工人完成不同任务的效率不同，匈牙利算法可以帮助我们找到最优的任务分配方案，使得总效率最大。
2.资源调度：假设有 m 个资源和 n 个任务，每个任务需要不同数量
的资源，匈牙利算法可以帮助我们找到最优的资源调度方案，使得总资源消耗最小。
四、匈牙利算法的优点与局限性
1.优点：匈牙利算法思路简单，计算效率较高，可以解决实际生活中的许多问题。
2.局限性：匈牙利算法只能解决无向图的最大匹配问题，对于有向图和带权图，需要进行相应的改进。
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得到4个独立零元素， 所以 最优解矩阵为：
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
第 13页
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
任务
人员 甲 乙 丙 丁
英语
6 4 3 5
日语
7 5 1 9
德语
11 9 10 8
俄语
2 8 4 2
0 1 0 0
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
例1
任务 人员 甲 乙 丙 丁 A 2 10 9 7 B 15 4 14 8 C 13 14 16 11 D 4 15 13 9
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
2. 匈牙利法
第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素
√
√ √ √ √
0 1 3 2 0
0 6 2 0 4
3 0 0 2 4
0 2 0 3 0
3 0 3 0 6
2012-8-31
第 22页
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
0 1 3 2 0
0 6 2 0 4
3 0 0 2 4
0 2 0 3 0
6 4 ( c ij ) 3 5
7 5 1 9
11 9 10 8
2 8 4 2
2 4 1 2
4 0 2 3
5 1 0 7
9 5 9 6
0 4 3 0
4 0 2 3
5 1 0 7
4 0 4 1
0 4 3 0
3 0 0 2 3
1 3 1 4 0
3 0 3 0 5
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第 19页
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
1 2 4 3 0
0 6 2 0 3
3 0 0 2 3
1 3 1 4 0
3 0 3 0 5
1 2 4 3 ◎ 0
◎ 0
3
◎ 0
1 3 1 4
Ø 0
6 2
Ø 0
Ø 0
2 3
√
3
√
3 Ø 0 3 ◎ 0 5
√
√ √ √ √
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第 20页
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
1 2 4 3 ◎ 0
◎ 0
3 0 ◎ 0 Ø 2 3
√
1 3 1 4 0 Ø
6 2 0 Ø最少直线数l，即l＝m=3<n=4； 第四步，变换矩阵(bij)以增加0元素：没有被直线覆盖的所有元素中的最小元素为1，然后 打√各行都减去1；打√各列都加上1，得如下矩阵，并转第二步进行试指派：
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第4章 整数规划与分配问题
运筹学
4 5 4 ◎ ◎ 1 Ø 4 2 ◎ 4 3 Ø 3 7 1
第 7页
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
第二步，试分配：
Ø 0 13 ◎ 6 0 ◎ 0 5 Ø 0 1
7 6 3
◎ 0
◎ 0
9 2 Ø 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
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－5
第二步，试指派：
4 5 4 ◎ ◎ 1 Ø 4 2 ◎ 4 3 3 7 1 Ø
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找到 3 个独立零元素 但m=3<n=4
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第4章 整数规划与分配问题
运筹学
第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：
4 5 4 ◎ ◎ 1 Ø 4 2 ◎ 4 3 Ø 3 7 1
例 2 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分配任务，使总时间最少？
任务 人员 甲 乙 丙 丁 英语 日语 德语 俄语
6
7
11
2
4
5
9
8
3
1
10
4
5
9
8
2
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
求解过程如下： 第一步，变换系数矩阵：
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
求解过程如下： 第一步，变换系数矩阵：
2 10 9 7
15 4 14 8
13 14 16 11
4 15 13 9
-2 -4
-9
-7
0 6 0 0
13 0 5 1
11 10 7 4
2 11 4 2
运筹学
◎ 0 1 3 2 0 Ø
Ø 0
3
Ø 0
◎ 0
Ø 0
6 2
◎ 0
2
Ø 0
2 4
3
◎ 0
4
3 ◎ 0 3 Ø 0 6
总时间为28
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第4章 整数规划与分配问题
运筹学
0 Ø 1 3 2 ◎ 0
Ø 0
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
任务 人员 甲
A 2
B 15
C 13
D 4
乙
丙 丁
10
9 7
4
14 8
14
16 11
15
13 9
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
此分配问题的最优时间：4+4+9+11=28
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
此分配问题的最优时间：2+4+1+8=15
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第4章 整数规划与分配问题
运筹学
例3 费 用 人员 甲 工作 A 7 B 5 C 9 D 8 E 11
乙 丙
丁 戊
9 8
7 4
12 5
3 6
7 4
6 7
11 6
9 5
9
3
Ø 0
◎ 0
◎ 0
6 2
◎ 0
2
Ø 0
2 4
3
Ø 0
4
3 ◎ 0 3 Ø 0 6
总时间为28
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9 6 11
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
7 5 9 12 8 5 7 3 4 6
11 5 7 11 9 7 4 6 94 6 9 63 7 5 11 4 9 8
2 2 4 4 0
0 5 1 0 2
4 0 0 3 3
◎ 0
4
Ø 0
◎ 0
5 1
Ø 0
3 3
2
4 3 ◎ 0 1 3 5 1 Ø 0 5 2
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第4章 整数规划与分配问题
运筹学
2 2 4 4 ◎ 0
◎ 0
4
Ø 0
◎ 0
5 1
Ø 0
3 3
2
√
4 √ 3 ◎ 0 1 3 5 1 √ Ø 0 5 2
√
√
√
3 4 3 ◎ ◎ 1 Ø 5 2 ◎ 4 4 Ø 2 6 0
3 0 2 2
4 1
3
0
4
0
6
0
0 5 4 0
3 4 3 ◎ ◎ 1 Ø 5 2 ◎ 4 4 ◎ Ø 2 6
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3 4 2 6 1
6 2 5 3 7
-1 -2
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第4章 整数规划与分配问题
运筹学
2 2 4 4 0
0 5 1 0 2
4 0 0 3 3
2 3 1 5 0
4 0 3 1 5
2 2 4 4 ◎ 0
第二步：进行试分配，以寻求最优解。如果得到最优解，运算结束，否则转到第三步。 第三步：作最少的直线覆盖所有0元素。 第四步：变换矩阵(bij)以增加0元素，转到第二步。
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第4章 整数规划与分配问题
运筹学
例1
任务 人员 甲 乙 丙 丁 A 2 10 9 7 B 15 4 14 8 C 13 14 16 11 D 4 15 13 9
l =m=4 < n=5
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第4章 整数规划与分配问题
运筹学
2 2 4 4 ◎ 0
◎ 0
4
Ø 0
◎ 0
5 1
Ø 0
3 3
2
4 3 ◎ 0 1 3 5 1 Ø 0 5 2
1 2 4 3 0
0 6 2 0 3
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第4章 整数规划与分配问题
运筹学
0 13 6 0 0 5 0 1 -0 -0
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11 10 7 4 -4
2 11 4 2 -2
0 6 0 0
13 0 5 1
7 6 3 0
0 9 2 0
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
分配问题与匈牙利法
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