第14章 平稳随机过程14.3 相关函数的性质
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注意: 互相关函数既不是奇函数,也不是偶函数,
但满足 RXY ( ) RYX ( ) .
实际问题中只需计算或测量
RX ( ), RY ( ), RXY ( ) 和 RYX ( ) 在 0 的值.
性质3 关于自相关函数和自协方差函数有不等式
RX
(
)
RX
(0)和C
X
(
)
Cx
(0)
2 X
.
此式表明:
RX (ti t j )g(ti )g(t j ) 0.
i, j1
对于任一连续函数, 只要具有非负定性, 那么
该函数必是某平衡过程的自相关函数. 所以对于
平稳过程而言, 自相关函数的非负定性是最本质的.
证明 根据自相关函数的定义和均值运算性质有
n
RX (ti t j )g(ti )g(t j )
来看, 自相关分析仪记录到的 RV ( ), 0 的图形 当 充分大后应呈现正弦曲线，亦即从强噪声中
检测到微弱的正弦信号.
RV ( )
o
例2 设平稳过程X (t)的自相关函数为RX ( ),
证明:
P{
X (t
)
X (t )
a}
2RX
(0) a2
RX
(
).
证明 利用契比雪夫不等式有
P{
X (t
)
如果将V (t ) 作为自相关分析仪的输入 ，则
对于充分大的 值 , 分析仪记录到的是周期函数
R( ) 的曲线 ,如果只有噪声而无信号, 则对充分
大的 值 , 记录到的RS ( ) 0.
所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周期
成分就可以判断接收机的输出有无周期信号.
这种探查信号的方法称为相关接收法.
自相关(自协方差)函数都在 0 处取到最大值.
类似地, 可推得以下有关互相关函数和互协方
差函数的不等式:
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0), CXY ( ) 2 CX (0)CY (0).
性质4 RX ( ) 是非负定的.
即 对于任意数组t1,t2,,tn T 和任意实值函数
说明
n
i , j1
n
E[ X (ti )X (t j )]g(ti )g(t j ) i , j1
n
E X (ti )X (t j )g(ti )g(t j )
i , j1
E
n i 1
X
(
ti
)
g(ti
)
2
0.
性质5 如果平稳过程 X (t) 满足条件 P{ X (t T0 ) X (t)} 1,
说明2 在实际中, 各种具有零均值的非周期性
噪声和干扰一般当 的值适当增大时, X (t )
和X (t)即呈现独立或不相关, 则有
lim
RXHale Waihona Puke Baidu
(
)
lim
C
X
(
)
0.
二、应用举例
例1 设某接收机输出电压V (t ) 是周期信号 S(t ) 和 噪声电压 N (t) 之和， 即 V (t) S(t) N (t). 又设 S(t) 和 N (t) 是两个胡不相关(实际问题中一 都是如此)的各态历经过程, 且 E[N (t)] 0.
由于V (t ) 的自相关函数 RV ( ) RS ( ) RN ( ). 根据性质5, RS ( ) 是周期函数 .
又因为一般噪声电压当τ 值适当增大时， X (t )和X (t )即呈现独立或不相关,
则有
lim
τ
RN
(τ
)
0.
于是 , 对于充分大的 值 , 有
相关接收法
RV ( ) RS ( ).
X (t )
a}
E{
X (t
)
a2
X(t) 2}
2RX (0) RX ( ).
a2
三、小结
相关函数的性质
性质1
RX
(0)
E[ X
2 (t )]
2 X
0.
性质2 RX ( ) RX ( ).
性质3
RX
(
)
RX
(0)和CX
(
)
Cx (0)
2 X
.
性质4 RX ( ) 是非负定的.
性质5 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,
第三节 相关函数的性质
一、相关函数的性质 二、应用举例 三、小结
一、相关函数的性质
RX ( )、RY ( ) 和 RXY ( ) 分别是它们的自相关函
数和互相关函数. 性质1 RX (0) E[ X 2(t)] ΨX2 0.
平稳过程X(t) 的“平均功率”
性质2 RX ( ) RX ( ),即 RX ( ) 是 的偶函数.
例如, 特别假设接收机输出电压中的信号和噪
声过程的自相关函数分别为
RS
(τ
)
a2 2
cos
,
RN (τ ) b2e τ ( 0)
且噪声平均功率RN (0) b2 远大于信号平均功率 RS (0) a2 / 2.
从关系式
RV (τ )
a2 cos τ b2e τ
2
a2 cos
2
( 充分大)
且其周期也是T0 .
柯西资料 施瓦兹资料
{E[X (t)(X (t T0 ) X (t )]}2 E[X 2(t)]E{[X (t T0 ) X (t )]2} 0. 得到 E{ X (t)[ X (t T0 ) X (t )]} 0. 展开得 RX ( T0 ) RX ( ).
则称它为周期是T0 的平稳过程 . 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数, 且其周期也是T0 . 说明1 由平稳性 E( X (t) X (t T0 )) 0 及方差的性质知:
条件 P{X (t T0 ) X (t)} 1 E{[X (t T0 ) X (t)]2} 0
由柯西-施瓦兹不等式
但满足 RXY ( ) RYX ( ) .
实际问题中只需计算或测量
RX ( ), RY ( ), RXY ( ) 和 RYX ( ) 在 0 的值.
性质3 关于自相关函数和自协方差函数有不等式
RX
(
)
RX
(0)和C
X
(
)
Cx
(0)
2 X
.
此式表明:
RX (ti t j )g(ti )g(t j ) 0.
i, j1
对于任一连续函数, 只要具有非负定性, 那么
该函数必是某平衡过程的自相关函数. 所以对于
平稳过程而言, 自相关函数的非负定性是最本质的.
证明 根据自相关函数的定义和均值运算性质有
n
RX (ti t j )g(ti )g(t j )
来看, 自相关分析仪记录到的 RV ( ), 0 的图形 当 充分大后应呈现正弦曲线，亦即从强噪声中
检测到微弱的正弦信号.
RV ( )
o
例2 设平稳过程X (t)的自相关函数为RX ( ),
证明:
P{
X (t
)
X (t )
a}
2RX
(0) a2
RX
(
).
证明 利用契比雪夫不等式有
P{
X (t
)
如果将V (t ) 作为自相关分析仪的输入 ，则
对于充分大的 值 , 分析仪记录到的是周期函数
R( ) 的曲线 ,如果只有噪声而无信号, 则对充分
大的 值 , 记录到的RS ( ) 0.
所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周期
成分就可以判断接收机的输出有无周期信号.
这种探查信号的方法称为相关接收法.
自相关(自协方差)函数都在 0 处取到最大值.
类似地, 可推得以下有关互相关函数和互协方
差函数的不等式:
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0), CXY ( ) 2 CX (0)CY (0).
性质4 RX ( ) 是非负定的.
即 对于任意数组t1,t2,,tn T 和任意实值函数
说明
n
i , j1
n
E[ X (ti )X (t j )]g(ti )g(t j ) i , j1
n
E X (ti )X (t j )g(ti )g(t j )
i , j1
E
n i 1
X
(
ti
)
g(ti
)
2
0.
性质5 如果平稳过程 X (t) 满足条件 P{ X (t T0 ) X (t)} 1,
说明2 在实际中, 各种具有零均值的非周期性
噪声和干扰一般当 的值适当增大时, X (t )
和X (t)即呈现独立或不相关, 则有
lim
RXHale Waihona Puke Baidu
(
)
lim
C
X
(
)
0.
二、应用举例
例1 设某接收机输出电压V (t ) 是周期信号 S(t ) 和 噪声电压 N (t) 之和， 即 V (t) S(t) N (t). 又设 S(t) 和 N (t) 是两个胡不相关(实际问题中一 都是如此)的各态历经过程, 且 E[N (t)] 0.
由于V (t ) 的自相关函数 RV ( ) RS ( ) RN ( ). 根据性质5, RS ( ) 是周期函数 .
又因为一般噪声电压当τ 值适当增大时， X (t )和X (t )即呈现独立或不相关,
则有
lim
τ
RN
(τ
)
0.
于是 , 对于充分大的 值 , 有
相关接收法
RV ( ) RS ( ).
X (t )
a}
E{
X (t
)
a2
X(t) 2}
2RX (0) RX ( ).
a2
三、小结
相关函数的性质
性质1
RX
(0)
E[ X
2 (t )]
2 X
0.
性质2 RX ( ) RX ( ).
性质3
RX
(
)
RX
(0)和CX
(
)
Cx (0)
2 X
.
性质4 RX ( ) 是非负定的.
性质5 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,
第三节 相关函数的性质
一、相关函数的性质 二、应用举例 三、小结
一、相关函数的性质
RX ( )、RY ( ) 和 RXY ( ) 分别是它们的自相关函
数和互相关函数. 性质1 RX (0) E[ X 2(t)] ΨX2 0.
平稳过程X(t) 的“平均功率”
性质2 RX ( ) RX ( ),即 RX ( ) 是 的偶函数.
例如, 特别假设接收机输出电压中的信号和噪
声过程的自相关函数分别为
RS
(τ
)
a2 2
cos
,
RN (τ ) b2e τ ( 0)
且噪声平均功率RN (0) b2 远大于信号平均功率 RS (0) a2 / 2.
从关系式
RV (τ )
a2 cos τ b2e τ
2
a2 cos
2
( 充分大)
且其周期也是T0 .
柯西资料 施瓦兹资料
{E[X (t)(X (t T0 ) X (t )]}2 E[X 2(t)]E{[X (t T0 ) X (t )]2} 0. 得到 E{ X (t)[ X (t T0 ) X (t )]} 0. 展开得 RX ( T0 ) RX ( ).
则称它为周期是T0 的平稳过程 . 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数, 且其周期也是T0 . 说明1 由平稳性 E( X (t) X (t T0 )) 0 及方差的性质知:
条件 P{X (t T0 ) X (t)} 1 E{[X (t T0 ) X (t)]2} 0
由柯西-施瓦兹不等式