第14章 平稳随机过程14.3 相关函数的性质
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念引言在随机过程中，平稳随机过程是一个非常重要的概念。
它是随机过程中的一种特殊情况，具有统计性质保持不变的特点。
本文将对平稳随机过程的概念进行全面、详细、完整且深入地探讨。
什么是随机过程？随机过程是一种随时间变化的随机现象。
它可以用数学模型来描述，在数学上通常用随机函数的集合来表示。
随机过程通常包括一个样本空间、一个时间索引集和一组定义在样本空间上的随机变量。
平稳随机过程的定义平稳随机过程是指在统计平均意义下不随时间变化的随机过程。
也就是说，对于平稳随机过程的任意时刻，其统计性质都保持不变。
具体而言，平稳随机过程要求满足以下两个条件：1.均值稳定性：随机过程的均值在时间上保持不变。
2.自相关性稳定性：随机过程的自相关函数在时间上保持不变。
平稳随机过程的类型根据时间独立性和样本独立性的条件，平稳随机过程可以分为以下几种类型：宽平稳随机过程宽平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，并且在不同时刻的随机变量之间是独立的。
宽平稳随机过程是最理想的平稳随机过程，但在实际中很难满足宽平稳的条件。
严平稳随机过程严平稳随机过程是指在任意时间点上，随机过程的统计性质都保持不变，但随机变量之间不一定是独立的。
严平稳随机过程是宽平稳随机过程的一种特殊情况。
近似平稳随机过程近似平稳随机过程是指在短时间尺度上，随机过程的统计性质是平稳的，但在长时间尺度上可能出现变化。
近似平稳随机过程在实际中比较常见。
平稳随机过程的性质平稳随机过程具有一些独特的性质，下面是其中一些重要的性质：平均值稳定性平稳随机过程的均值不随时间变化，这意味着随机过程的平均水平保持不变。
自相关性稳定性平稳随机过程的自相关函数不随时间变化，这意味着随机过程的相关性保持不变。
谱密度稳定性平稳随机过程的谱密度函数不随时间变化，这意味着随机过程的频谱特性保持不变。
时不变性平稳随机过程在时间上是不变的，这意味着随机过程的统计性质与时间无关。
2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
平稳随机过程
平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。
1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。
(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。
二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。
12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。
IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。
121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
简述平稳随机过程自相关函数的主要性质
简述平稳随机过程自相关函数的主要性质
平稳随机过程自相关函数（SCF）是一个强大的统计工具，用于描述一个随机过稳的序列
的特征。
一般来说，它由一个拉基斯蒂（ρ）系数表示，该系数用于衡量每个序列中的自
相关，并给出了自相关度。
平稳随机过程在数学中被定义为具有概率分布的对数经验分布，其中每个值都是彼此独立的，而且它们的联系仅由自相关函数确定。
平稳随机过程自相关函数主要用于测量序列特征和特征之间的关联。
它可以用来识别一个
序列中是否存在某种类型的模式或季节性变化。
它还可以测量时间序列的稳定性，即在整
个序列中，特定序列的自相关是否保持不变。
此外，平稳随机过程自相关函数还可以用于帮助确定一个模型可以被称为“平稳”的统计属性，这一属性是许多机器学习算法代码的基础条件。
它们还可以帮助确定是否一个序列属
于有效或无效的情况。
平稳随机过稳的主要特性是其分布图是对数经验分布，它的特征之间的联系仅由自相关函
数定义。
该函数的参数由拉基斯蒂（ρ）系数确定，它用于衡量自相关的程度。
此外，它
可以用来检测某种模式或季节性变化，并用于序列的稳定性测试并验证一个模型是否平稳，以及时间序列是有效序列还是无效序列。
随机过程的平稳性及其应用
随机过程的平稳性及其应用随机过程是指随机变量随时间的变化而变化的过程。
随机过程的研究在许多领域中都有应用，如通信工程、金融学、生物学、环境科学等。
在这些领域中，我们经常需要对随机过程的特性进行分析，其中一个重要的特性就是平稳性。
一、平稳性的定义在介绍平稳性之前，我们先来看一下随机过程的定义。
随机过程可以看作是一系列随机变量的集合，一般用X(X)表示。
其中，X表示时间，X(X)表示在时间X时随机变量的取值。
通常，我们需要对不同时刻的随机变量进行比较和分析，因此需要进一步讨论其均值、方差等特性。
平稳性是指随机过程在时间上的统计特性不随时间的移动而发生变化。
具体地，设X(X)是一个随机过程，若对于任意时间戳X1,X2 和任意的时间差X(X>0)，都有:X[X(X1)] = X[X(X1+X)] (1)XXX[X(X1)] = XXX[X(X1+X)] (2)其中，X[X(X)] 表示随机变量的期望，XXX[X(X)] 表示随机变量的方差。
这里“平稳”实际上是指二阶统计量（期望和方差）是不变的，因此也称为“弱平稳”。
若进一步假设对于任意的时间戳X和任意的时间差X，都有：XX(X(X1),…,X(XX)) = XX(X(X1+X),…,X(XX+X)) (3)其中，XX(X(X1),…,X(XX)) 表示随机变量的概率密度函数。
这样的随机过程称为“强平稳”或“严格平稳”。
二、平稳性的性质平稳性是随机过程分析中的重要性质，其具有以下性质。
1. 均值和方差不随时间变化而改变根据平稳性的定义，均值和方差不随时间变化而改变。
因此，可以对随机过程的二阶统计量进行分析，而不必考虑具体的时间点。
2. 自相关函数只与时间差有关自相关函数是指同一随机过程在不同时间的取值之间的相关性。
设随机过程的期望为X，自协方差函数为X(X,X)，自相关函数为X(X)，则有：X(X,X) = X[(X(X)−X)(X(X)−X)]X(X) = X(X,X+X)由于平稳性的定义，自相关函数只和时间差有关，而和时间点X无关。
平稳过程的定义
平稳过程的定义平稳过程是概率论和统计学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
本文将介绍平稳过程的定义、特性以及其在实际中的应用。
一、平稳过程的定义平稳过程是指在统计意义上具有不变性的随机过程。
换句话说，无论观察这个随机过程的哪一段，其统计特性都是不发生变化的。
具体而言，平稳过程要满足两个条件：其一是均值不变性，即随机过程的均值在时间上是恒定的；其二是自协方差函数不变性，即随机过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。
二、平稳过程的特性平稳过程具有许多重要的特性，下面将逐一介绍。
1. 均值不变性：平稳过程的均值在时间上是恒定的，即随机过程的均值不随时间变化而变化。
2. 自协方差函数不变性：平稳过程的自协方差函数只与时间差有关，而与具体的时间点无关。
这意味着随机过程的协方差结构是不变的，不会随时间的推移而发生变化。
3. 自相关函数的性质：平稳过程的自相关函数具有一些特殊的性质。
首先，自相关函数是偶函数，即关于时间差的自相关系数关于原点对称。
其次，自相关函数在时间差为零时达到最大值，随着时间差的增加逐渐减小。
4. 平稳过程的谱密度函数：平稳过程的谱密度函数是描述随机过程在频域上的性质的函数。
对于平稳过程，其谱密度函数是实数函数，并且具有正定性和对称性。
三、平稳过程的应用平稳过程在许多领域中都有广泛的应用，下面将介绍其中几个典型的应用。
1. 金融领域：平稳过程在金融领域中有着重要的应用。
例如，股票价格的随机波动可以用平稳过程来建模，从而为投资者提供决策依据。
此外，利率、汇率等金融指标的变动也可以通过平稳过程来进行建模和预测。
2. 信号处理：平稳过程在信号处理领域中被广泛应用。
例如，通过分析语音信号的平稳过程，可以实现语音识别和语音合成等功能。
此外，平稳过程还可以用于图像处理、雷达信号处理等领域。
3. 通信系统：平稳过程在通信系统中也有重要的应用。
例如，通过建立信道模型的平稳过程，可以分析和优化通信系统的性能。
随机过程中的平稳性和自相关函数
随机过程中的平稳性和自相关函数随机过程是描述随机现象演化的数学对象，随机过程可分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
平稳性和自相关函数是研究随机过程性质的重要工具。
一、平稳性平稳性是指随机过程的一些统计性质在时间的平移下不变。
对于离散时间随机过程，平稳性可以根据不同的定义分为弱平稳性和强平稳性。
弱平稳性指随机过程的一阶和二阶矩在时间上无规律变化，而强平稳性则要求随机过程所有阶的矩在时间上均不变。
对于连续时间随机过程，平稳性的定义有所不同。
连续时间随机过程的平稳性通常指它的概率分布在时间的平移下不变。
这种平稳性也称为稳定性。
例如，如果一个随机过程是平稳的，那么在任意时间t，它的统计特性必须与它在时间t+n的统计特性相同，其中n是任意整数。
平稳性是研究随机过程的基本性质之一。
它在信号处理和时间序列分析中有着广泛的应用。
例如，通过分析一个随机过程的平稳性，可以在背景噪声中提取出有用的信号。
二、自相关函数自相关函数是研究随机过程的另一个重要工具。
自相关函数指的是随机过程在时间t和另一个时间t+h上的取值之间的相关性。
一般地，随机过程X(t)的自相关函数可以表示为：R(h) = E[X(t)X(t+h)]其中，E表示期望。
自相关函数描述了随机过程在时间上的依赖关系。
自相关函数可以帮助我们研究随机过程的基本性质。
例如，自相关函数越快地衰减，那么随机过程就越具有独立性。
通过比较不同随机过程的自相关函数，还可以研究它们的相似性和差异性。
总之，平稳性和自相关函数是研究随机过程的基本工具。
它们在许多领域中都有着重要的应用，包括信号处理、时间序列分析、金融建模等。
对于数学、统计学等领域的学生和从事相关工作的人来说，理解和掌握这些概念至关重要。
平稳过程的自相关函数性质
平稳过程的自相关函数性质平稳过程的自相关函数性质：1 、平稳过程的自相关函数在上的值是非负值。
在下面将看到表示平稳过程X (t) 的“平均功率”。
2、即自相关函数在是变量的偶函数。
一、平稳过程的定义从通俗意义上去理解，平稳过程指的是统计特性不随时间的推移而改变的一类随机过程。
随机过程的统计特性一般通过有限维分布和数字特征进行刻画。
我们根据这些不变的特征，给出两种平稳过程的定义，即严平稳过程和宽平稳过程。
严平稳过程和宽平稳过程的关系我们只需要记住以下两条：1.如果严平稳过程的二阶矩存在且有限，那么它一定是宽平稳过程，反之则不一定。
2.如果宽平稳过程是正态过程，那么它一定是严平稳过程。
宽平稳过程一定是二阶矩过程。
以后提到的平稳过程，除非特别指明，否则都指的是宽平稳过程。
二、自相关函数的性质对于平稳过程而言，我们主要研究的数字特征就是自相关函数或自协方差函数。
设 {X(t),t∈T}{X(t),t∈T} 是宽平稳过程，定义自相关函数和自协方差函数为rX(τ)=E(X(t)X(t+τ)),CX(τ)=Cov(X(t),X(t+τ)) ,∀τ∈T ,rX(τ)=E(X(t)X(t+τ)),CX(τ)=Cov(X(t),X(t+τ)) ,∀τ∈T , 则有以下性质1.rX(0)≥0,CX(0)≥0rX(0)≥0,CX(0)≥0；2.rX(τ)rX(τ)和CX(τ)CX(τ)均为偶函数；3.|rX(τ)|≤rX(0),|CX(τ)|≤CX(0)|rX(τ)|≤rX(0),|CX(τ)|≤CX(0)，即 00 点是最大值点；4.rX(τ)rX(τ)和CX(τ)CX(τ)均为非负定函数；。
平稳随机过程的互相关函数和平稳随机序列
信号识别与分类
互相关函数用于信号识别
通过计算不同信号间的互相关函数，可 以识别出信号间的相似性和差异性，进 而实现信号识别。
VS
互相关函数用于信号分类
根据信号间的互相关函数特征，可以对信 号进行分类，如语音信号、图像信号等。
信号参数估计
互相关函数用于信号时延估计
通过计算信号间的互相关函数，可以估计出信号间的时延，即信号传播时间差。
03
5. 根据比较结果，评估仿真实 验的准确性和有效性。
06 总结与展望
研究成果总结
平稳随机过程的互相关函数
本文研究了平稳随机过程的互相关函数，包括其定义、性质、计算方法和应用。通过理 论分析和实例验证，证明了互相关函数在信号处理、控制系统等领域中的重要作用。
平稳随机序列
本文还对平稳随机序列进行了深入研究，包括其定义、性质、生成方法和统计分析。通 过模拟实验和实例分析，展示了平稳随机序列在通信、密码学等领域中的广泛应用。
03 平稳随机序列及其特性
平稳随机序列定义
严平稳随机序列
若随机序列的任意有限维分布函数与 时间起点无关，则称该序列为严平稳 随机序列。
宽平稳随机序列
若随机序列的数学期望为常数，且自 相关函数仅与时间间隔有关，则称该 序列为宽平稳随机序列。
平稳随机序列统计特性
数学期望
平稳随机序列的数学期望为常数，不随时间变化。
互相关函数用于信号频率估计
利用互相关函数的频率特性，可以对信号的频率进行估计，如音乐信号的基频、调制信号的载波频率 等。
05 数值计算方法和仿真实验 设计
数值计算方法介绍
离散化方法
将连续时间平稳随机过程离散化，以便进行数值计算。常用的离散化方法包括时间离散化和状态离散化。
4平稳随机过程
4．平稳相关与互相关函数
（1）定义: 设{X(t)},{Y(t)},t∈T为两个平稳过程， 定义 如果它们的互相关函数RXY(t,t+τ)只是τ 的函数,即 RXY(t,t+τ)=E[X(t)Y(t+τ)]= RXY(τ),则称{X(t)},{Y(t)} 是平稳相关的，或称{X(t)}与{Y(t)}是联合平稳过程. 并称 RXY(τ)=E[X(t)Y(t+τ)] 为{X(t)}与{Y(t)}的互相关函数。
3．自相关函数的性质
性质1.Rx(0)≥0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]≥0
R(τ)
0
τ
性质2. Rx(τ)为偶函数，即Rx(-τ)=Rx(τ) 证： Rx(-τ)=E[X(t)X(t-τ)]= E[X(t-τ)X(t)]= Rx(τ) 性质3.|Rx(τ)|≤ Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
且E[Xn]=0,D(Xn)=σ2>0,讨论其平稳性. 解: 因为E[Xn]=0,
σ 2 E[ X n X m ] = 0 n=m n≠m
故其均值函数µX(n)=0为常数,其自相关函数 RX(n,m)只 与m-n有关,所以它是平稳时间序列。
例2:随机相位正弦波X(t)=acos(ω0t+Θ) ，a, ω0为常数，
例2: 设X(t)=Asin(ωt+Θ)，Y(t)=Bsin(ωt+Θ-Φ),A,B,
Φ, ω为常数，Θ在(0,2π)上服从均匀分布，求RXY(τ)。 解: X(t),Y(t)均为平稳过程.
R XY (τ ) = E[ X ( t )Y ( t + τ )]
= E [ A sin(ω t + Θ ) B sin(ω t + ω τ + Θ − Φ )]
《概率论 浙大版》 - 平稳随机过程
E{[ N ( t h) N ( t )][ N ( t h) N ( t )]}
为简单起见，不失一般性，可设 0
当 h 时；见图(a)
t
th
t t h
(a)
由于区间 ( t , t h) 与区间 ( t , t h)
满足下列条件，则称作为随机电报信号。 ㈠ 相继取值+I或-I , 且
1 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 2 ㈡ 在任意区间 [t, t ) 内信号变化的次数
N ( t , t ) 服从泊松分布
( )k P{ N ( t , t ) k } e , k 0,1,2, k! 也即在区间 [0, t ) ，电报信号变化次数
2
其中, 为整数，故随机序列的均值
为常数, 相关函数仅与 有关。因此，它
是平稳随机序列。
例：设随机过程 X ( t ) a cos( 0 t ) 式中, a, 0 为常数， 是在 (0,2 ) 上 服从均匀分布的随机变量, 证明 X (t )是 平稳过程。 证: 由于
~ U (0,2 )
但正态过程例外，因为它的概率密度 函数可由均值和协方差矩阵完全确定。所 以，如果均值，自相关函数不随时间的推 移而变化，则概率密度函数也不随时间的 推移而变化。
例：设 { X n , n 0, 1, 2,} 是实的互不相 关随机变量序列, 且 E[ X n ] 0,D[ X n ] 2 , 试讨论随机序列的平稳性。 解: 因为 E[ X n ] 0, 而
一、严平稳随机过程及其数字特征 定义：随机过程 { X ( t ), t T } 若对整数n 任意的 t1 , t 2 ,, t n T 以及任意的实数
(仅供参考)平稳过程的自相关函数性质
1 、RX (0) = E[ X 2 (t)] = ΨX 2 ≥ 0
平稳过程的自相关函数在 τ = 0 上的值是非负值。在
下面将看到 RX (0) 表示平稳过程X (t) 的“平均功率”。
2、 RX (τ ) = RX (−τ )
即自相关函数在是变量 τ 的偶函数。
证明：
RX (τ ) = E[ X (t) X (t + τ )] = E[ X (t + τ ) X (t)] = RX (−τ )
对于平稳过程X ( 代入前式，可得 于是
t
)，有
2RX
E[ X 2 (t)] = (0) ± 2RX (τ )
E[ X
≥0
2
(t
+τ
)]
=
RX
(0)
同理可得：
RX (0) ≥| RX (τ ) |
CX
(0)
=
σ
2 X
≥
CX
(τ )
即自协方差函数在 τ = 0 上也具有最大值。
值得注意的是 Q RX (0) ≥| RX (τ ) |,∴ 这里并不排除在 其它 τ ≠ 0
同理可得， CX (τ ) = CX (−τ )
3、 RX (0) ≥| RX (τ ) |
即自相关函数在τ = 0 上具有最大值。
证明：任何正函数的数学期望恒为非负值，即
E{[ X (t) ± X (t +τ )]2} ≥ 0 E[ X 2 (t) ± 2X (t) X (t +τ ) + X 2 (t +τ )] ≥ 0
式中Φ为在(0，2π)上均匀分布的随机变量，N(t)为平稳过程，且对
于所有t而言，Φ与N(t) 统计独立。于是，我们很容易求出X(t)的自
平稳过程的自相关函数的性质
平稳过程的自相关函数的性质
自相关函数（ACF）是概率论中多变量统计计算中使用的重要统计量，它可以用来描述不
同变量之间的内在相关性。
首先，平稳过程（stationary process）是一个多变量时间序列的概念，它的定义是变量的时间操作和时间平移不会影响到变量的概率分布。
如果一个过程是平稳过程，那么它的自相关函数会满足三个性质：无漂移、有界和长期的趋势不变性。
其次，当一个时间序列具有无漂移性时，它的自相关函数曲线会骤然降低，有时经过一个
能清楚表明变量之间关系的极大值，然后迅速趋于0，也就是说，推移距离越大，变量之间的相关性越低；而当一个时间序列具有有界性时，自相关函数的曲线将在一个定值之前迅速减少；最后，长期的趋势不变性表明一个平稳过程的自相关函数将会收敛到一个常数，表明变量之间一致的内在相关性。
综上所述，平稳过程的自相关函数具有无漂移、有界和长期的趋势不变性三种特性，用来衡量不同变量之间的相关性，是非常有用的统计量。
随机过程的平稳性分析
随机过程的平稳性分析随机过程是描述随机变量随着时间或空间的变化而产生的一系列随机变量的数学模型。
平稳性是对随机过程中的统计特性进行分析的重要概念之一。
在随机过程中，平稳性是指随机过程的统计特性在时间或空间上的不变性，即该过程在不同时间或空间下具有相似的统计性质。
1. 随机过程的基本概念随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程。
离散随机过程是在离散时间或空间上进行观测和分析的随机过程，而连续随机过程则是在连续时间或空间上进行观测和分析的随机过程。
随机过程的定义需要考虑概率空间、状态空间和时间参数等因素。
2. 平稳性的定义在随机过程中，平稳性通常分为严格平稳和宽平稳两种情况。
严格平稳是指随机过程的联合分布在时间或空间上的任何平移变换下保持不变；而宽平稳是指随机过程的均值函数和自相关函数在时间或空间上保持不变。
平稳性是对随机过程的统计特性做出的基本假设，它能够提供对过程的长期行为和性质的重要认识。
3. 平稳性分析的方法在实际问题中，我们可以通过一系列统计方法和技术来对随机过程的平稳性进行分析。
常用的方法包括自相关函数法、功率谱法、小波分析法等。
这些方法能够帮助我们对随机过程中的平稳性进行定量描述和分析，从而更好地理解随机过程的统计特性。
4. 应用实例随机过程的平稳性分析在实际中具有广泛的应用。
例如，在金融领域，我们可以利用平稳性分析来对金融时间序列数据进行建模和预测；在通信领域，我们可以利用平稳性分析来优化信号处理算法和系统设计。
这些应用实例充分展示了平稳性分析在随机过程中的重要性和实用性。
5. 结论随机过程的平稳性分析是对随机过程统计特性进行深入了解和研究的重要手段。
通过对随机过程的平稳性进行分析，我们可以更好地理解随机过程的规律和性质，为实际问题的解决提供有效的方法和思路。
以上是关于随机过程的平稳性分析的相关内容，希望能对读者有所帮助。
《平稳随机过程》课件
3
随机过程的度量
一些常用的计算方法，如二阶矩、自相关函数、谱密度等会在这个部分中讲述。
平稳性
严平稳
解释严平稳的定义，以及一些判 别方法。
宽平稳
介绍宽平稳的特点和判别方法， 形象化地展示。
平稳性的判别
详细介绍如何判断一个随机过程 是否为平稳随机过程。
自相关函数与谱密度
自相关函数
探讨自相关函数的定义以及在平稳随机过程中的应用。
小波分析与平稳随机过程
1
基本概念
介绍小波分析的基本概念，如小波包、小波函数、小波系数等。
2
小波变换
我们在这里介绍离散小波变换和连续小波变换。讲解原理和实例。
3
平稳性分析
这一部分主要是介绍如何用小波分析方法分析平稳随机过程的平稳性。
应用
信号处理
介绍平稳随机过程在信号处理中 的应用，如去噪、信号模拟等。
展望未来
展望未来平稳随机过程将会在 哪些领域得到更广泛的应用。
谱密度
解析谱密度的定义和具体应用。
Wiener-Hopf因子分解
进一步探讨在平稳随机过程中的应用，展示威纳-霍普夫因子分解方法。
平稳随机过程的线性组合
Hale Waihona Puke 系数• 线性组合中每个随机变 量对应一个系数
• 系数的大小和正负决定 了线性组合的具体形式
协方差
线性组合的协方差公式，以及 应用。
平稳性
这一部分主要是探究如何保持 线性组合的平稳性质。通过实 例来分析。
《平稳随机过程》PPT课 件
欢迎大家来了解平稳随机过程。这是一门数学上比较深奥的课程，但它也是 很有趣和有用的。在这个PPT课件中，我们会通过丰富的图例和实例讲解这门 课程的各个方面。
平稳随机过程
平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。
简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。
以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。
二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。
因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。
例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。
试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。
证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。
随机过程平稳性遍历性正交性不相关性和独立性ppt课件
ax(t)lim1
T2
x(t)dt
T T T2
R () x (t)x (t) lim 1T2x (t)x (t)d t T T T2
如果平稳过程使下式成立
a a R ( ) R ( )
也就是说，平稳过程的统计平均值等于它的任意一次样本实现的时间 平均值，则称该平稳过程具有各态历经性。
严平稳与宽平稳的关系：
严格平稳
一定 广义平稳
不一定
当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。
整理版课件
3
随机过程的遍历性
•实际意义： 随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计 平均，但在实际过程中很难测得大量的样本。因此，我们想在满足一定条件下， 从一次试验中得到一个样本函数来决定平稳过程的数字特征，这就是各态历经 性，又称遍历性。
交的随机过程才会不相关。
整理版课件
7
正态随机过程的主要性质
•
整理版课件
8
正态随机过程的主要性质
性质：
1.正态过程是二阶矩过程。 2.一个高斯过程完全由它的均值函数和协方差函数决定，只要均值函数m(x)和协方差函数
Bx(s,t)(或相关函数Rx(s,t))确定了，这个高斯过程也就完全确定了。
3.高斯过程有很多与高斯变量类似的统计特征，如：
随机过程
1 平稳性 2 遍历性 3 正交性、不相关性与独立性 4 正态随机过程的主要性质
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1
随机过程的平稳性
平稳性：若一个函数 f (x, y, z,t)，当 x x x，f (x, y, z,t)
x 的特性不变，就称 f (x, y, z,t) 关于 函数是平稳的。
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柯西资料 施瓦兹资料
{E[X (t)(X (t T0 ) X (t )]}2 E[X 2(t)]E{[X (t T0 ) X (t )]2} 0. 得到 E{ X (t)[ X (t T0 ) X (t )]} 0. 展开得 RX ( T0 ) RX ( ).
且其周期也是T0 .
例如, 特别假RS
(τ
)
a2 2
cos
,
RN (τ ) b2e τ ( 0)
且噪声平均功率RN (0) b2 远大于信号平均功率 RS (0) a2 / 2.
从关系式
RV (τ )
a2 cos τ b2e τ
2
a2 cos
2
( 充分大)
说明2 在实际中, 各种具有零均值的非周期性
噪声和干扰一般当 的值适当增大时, X (t )
和X (t)即呈现独立或不相关, 则有
lim
RX
(
)
lim
C
X
(
)
0.
二、应用举例
例1 设某接收机输出电压V (t ) 是周期信号 S(t ) 和 噪声电压 N (t) 之和， 即 V (t) S(t) N (t). 又设 S(t) 和 N (t) 是两个胡不相关(实际问题中一 都是如此)的各态历经过程, 且 E[N (t)] 0.
i , j1
n
E[ X (ti )X (t j )]g(ti )g(t j ) i , j1
n
E X (ti )X (t j )g(ti )g(t j )
i , j1
E
n i 1
X
(
ti
)
g(ti
)
2
0.
性质5 如果平稳过程 X (t) 满足条件 P{ X (t T0 ) X (t)} 1,
注意: 互相关函数既不是奇函数,也不是偶函数,
但满足 RXY ( ) RYX ( ) .
实际问题中只需计算或测量
RX ( ), RY ( ), RXY ( ) 和 RYX ( ) 在 0 的值.
性质3 关于自相关函数和自协方差函数有不等式
RX
(
)
RX
(0)和C
X
(
)
Cx
(0)
2 X
.
此式表明:
自相关(自协方差)函数都在 0 处取到最大值.
类似地, 可推得以下有关互相关函数和互协方
差函数的不等式:
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0), CXY ( ) 2 CX (0)CY (0).
性质4 RX ( ) 是非负定的.
即 对于任意数组t1,t2,,tn T 和任意实值函数
说明
n
如果将V (t ) 作为自相关分析仪的输入 ，则
对于充分大的 值 , 分析仪记录到的是周期函数
R( ) 的曲线 ,如果只有噪声而无信号, 则对充分
大的 值 , 记录到的RS ( ) 0.
所以从分析仪记录到的曲线有无明显的周期
成分就可以判断接收机的输出有无周期信号.
这种探查信号的方法称为相关接收法.
来看, 自相关分析仪记录到的 RV ( ), 0 的图形 当 充分大后应呈现正弦曲线，亦即从强噪声中
检测到微弱的正弦信号.
RV ( )
o
例2 设平稳过程X (t)的自相关函数为RX ( ),
证明:
P{
X (t
)
X (t )
a}
2RX
(0) a2
RX
(
).
证明 利用契比雪夫不等式有
P{
X (t
)
由于V (t ) 的自相关函数 RV ( ) RS ( ) RN ( ). 根据性质5, RS ( ) 是周期函数 .
又因为一般噪声电压当τ 值适当增大时， X (t )和X (t )即呈现独立或不相关,
则有
lim
τ
RN
(τ
)
0.
于是 , 对于充分大的 值 , 有
相关接收法
RV ( ) RS ( ).
第三节 相关函数的性质
一、相关函数的性质 二、应用举例 三、小结
一、相关函数的性质
RX ( )、RY ( ) 和 RXY ( ) 分别是它们的自相关函
数和互相关函数. 性质1 RX (0) E[ X 2(t)] ΨX2 0.
平稳过程X(t) 的“平均功率”
性质2 RX ( ) RX ( ),即 RX ( ) 是 的偶函数.
RX (ti t j )g(ti )g(t j ) 0.
i, j1
对于任一连续函数, 只要具有非负定性, 那么
该函数必是某平衡过程的自相关函数. 所以对于
平稳过程而言, 自相关函数的非负定性是最本质的.
证明 根据自相关函数的定义和均值运算性质有
n
RX (ti t j )g(ti )g(t j )
则称它为周期是T0 的平稳过程 . 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数, 且其周期也是T0 . 说明1 由平稳性 E( X (t) X (t T0 )) 0 及方差的性质知:
条件 P{X (t T0 ) X (t)} 1 E{[X (t T0 ) X (t)]2} 0
由柯西-施瓦兹不等式
X (t )
a}
E{
X (t
)
a2
X(t) 2}
2RX (0) RX ( ).
a2
三、小结
相关函数的性质
性质1
RX
(0)
E[ X
2 (t )]
2 X
0.
性质2 RX ( ) RX ( ).
性质3
RX
(
)
RX
(0)和CX
(
)
Cx (0)
2 X
.
性质4 RX ( ) 是非负定的.
性质5 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数,