正态分布 t分布
正态分布 t分布
未知时，以样本标准差 S 代替 σ 所得到的统 计量
xμ S/ n
态分布，而是服从 t 分布(t-distribution)。 它的概率分布密度函数如下：
t 分布概率密度曲线特点: 1、t 分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条 t 分布概率密度曲线。 2、t 分布概率密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称， 且在t＝0时，取得最大值。 3、与标准正态分布曲线相比，t 分布曲线顶部略低， 两尾部稍高而平。df 越小这种趋势越明显。df 越大，t 分布越趋近于标准正态分布。当n >50时，t 分布与标 准正态分布的区别很小；n >100时，t 分布基本与标准 正态分布相同；n→+∞时，t 分布与标准正态分布完全 一致。
-6
-5
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0
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2
3
4
5
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x=
1 2
x
-3 -2 -1 0
x=
1 2 3 x
x=
不同均数 均值 反映随机变量的平均水平（位置参数），向 右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减小。
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴永不相交 （2）曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称 1 （3）曲线在 x=μ 处达到峰值(最高点) σ 2π （4）曲线与横轴 x所夹面积为1
例3 某地1986年120名8岁男孩身高均数为 X =123.02cm ，标准差为S=4.79cm，试估 计: (1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8 岁男孩总数的百分比； (2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总 数的百分比; (3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
t 分布
利用公式，查附表得： (1) P(x＜1.64) =Φ(1.64) =0.9495 (2) P (x≥2.58) =1-Φ(2.58) =1-0.9951 =0.0049 (3) P (│x│≥2.56) =2-2Φ(2.56) =2-2×0.9948 =0.0104 (4) P (0.34＜x≤1.53) =Φ(1.53)-Φ(0.34) = 0.9370-0.6331=0.3039 (5) P(x＜-1.82) =1-Φ(1.82) =1-0.9656 =0.0344
t分布和标准正态分布
数理统计实验t分布与标准正态分布院（系）:班级:成员:成员:成员:指导老师:日期:目录t分布与标准正态分布的关系 (1)一、实验目的 (1)二、实验原理 (1)三、实验内容及步骤 (1)四、实验器材 (1)五、实验结果分析 (1)六、实验结论 (1)t分布与标准正态分布的关系一、实验目的正态分布是统计中一种很重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的本质。
为了应用和计算方便，常将一般的正态变量X通过μ变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量μ，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布，亦称μ分布。
对于标准正态分布来说，μ是数据整体的平均值，σ是整体的标准差。
但实际操作过程中，人们往往难以获得μ和σ。
因此人们只能通过样本对这两个参数做出估计，用样本平均值和样本标准差代替整体的平均值和标准差，从而得出了t分布。
另外从图像的层面说，正态分布的位置和形态只与μ和σ有关，而t分布不只与样本平均值和样本标准差有关，还与自由度相关。
通过实验了解t分布与标准正态分布之间的关系。
二、实验原理运用EXCEL软件验证t分布与标准正态分布的关系，绘制相应的统计图表进行分析。
三、实验内容及步骤1.打开Excel文件，将“t分布与标准正态分布N（0，1）”合并并居中，黑体，20字号，红色；2.选中文件,选项,自定义功能区,加载开发工具.在开发工具中插入滚动条,调节滚动条大小；3.设置A2单元格格式,数字自定义区”!n=#,##0;[红色]¥-#,##0”.然后左对齐,设置为红色；4.设置滚动条格式,单元格连接为$A$2；5.在A3中输入-4.0,单击开始,填充,序列,设置等差序列,步长0.1,当出现十字下拉即出现等差序列；6.在B3中插入标准正态分布函数”=NORM.S.DIST(A3,0)”,十字出现向下拉；7.在C3中插入t分布函数”=T.DIST(A3,$A$2,0)”,十字出现向下拉；8.选中整体区域,作X,Y(散点图),设置标题,横纵截距,箭头方向。
t分布收敛于标准正态分布的几种证明方法
t分布收敛于标准正态分布是统计学中一个重要的概念，它涉及到大量的数学推导和统计理论。
在本文中，我将为你详细解释t分布收敛于标准正态分布的几种证明方法，并尽量用简单易懂的语言和具体例子来解释，以帮助你更深入地理解这一概念。
1. t分布和标准正态分布的概念让我们简单回顾一下t分布和标准正态分布的概念。
t分布是由学生（Student）提出的，用于小样本情况下对总体均值的推断。
而标准正态分布是统计学中最常见的分布之一，具有许多重要的性质和应用。
2. t分布收敛于标准正态分布的直观解释在一些简单的案例中，我们可以通过直观的解释来理解t分布收敛于标准正态分布。
当样本容量较大时，根据中心极限定理，样本均值的分布会趋向于正态分布，从而t分布也会逐渐接近标准正态分布。
3. 利用数学推导证明t分布收敛于标准正态分布除了直观的解释，我们还可以通过具体的数学推导来证明t分布收敛于标准正态分布。
这涉及到大量的数学公式和推导过程，需要一定的数学基础才能理解。
在这里，我将为你详细解释其中的数学细节，并举例说明。
4. 模拟实验方法除了数学推导，我们还可以通过模拟实验的方法来证明t分布收敛于标准正态分布。
通过编写计算机程序，生成符合t分布的随机样本，然后计算样本均值的分布情况，最后与标准正态分布进行比较。
这种方法能够直观地展示t分布逐渐收敛于标准正态分布的过程，帮助我们理解这一现象。
总结：通过以上几种方法，我们可以全面地理解t分布收敛于标准正态分布的过程。
无论是直观解释、数学推导还是模拟实验，都能够帮助我们深入理解这一统计学中重要的概念。
我个人认为，了解这一现象对于统计学和数据分析都具有重要意义，希望你也能从中受益。
t分布是由William Sealy Gosset（也称为学生t，也就是学生t分布）在1908年发现，并且在1908年发表的一篇关于抽样检验的文章中描述了它。
这个分布最初是为了解决样本容量较小（特别是n<30）时的样本均值分布而引入的，因为这种情况下，样本方差无法准确估计总体方差。
数学分布类型
数学分布类型
1. 均匀分布
在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。
均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U(a,b)。
2. 正态分布
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution）。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
3. t分布
在概率论和统计学中，t-分布（t-distribution）用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
t分布名词解释
t分布名词解释
t分布名词解释:用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
T分布与正态分布
t分布与正态分布一样，是一个单峰对称呈钟形的分布，其对称轴通过分布的平均，数t分布曲线在正负两个方向上也以横轴为它的渐近线。
与正态分布相比，t分布曲线中间低而尖峭，两头高而平缓。
t 分布的最大特点是它实质上是一族分布，每一个t分布的形态受一个称为自由度的指标所制约。
对应一个自由度就有一个t分布，随着自由度的增大，t分布曲线的中间就越来越高，两头却越来越低，整条曲线越来越趋近于正态分布，当自由度接近无穷大时，t分布就变成了正态分布。
拓展知识
正态分布（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。
正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态。
为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布（standard normal distribution）,亦称u分布。
[3]
根据中心极限定理，通过上述的抽样模拟试验表明，在正态分布
总体中以固定n，抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从正态分布，即N(μ, )。
所以，对样本均数的分布进行u变换，也可变换为标准正态分布N (0,1)。
t分布和正态分布峰度
t分布和正态分布峰度摘要：一、引言二、t 分布的概念与性质三、t 分布与正态分布的关系四、峰度的概念五、t 分布的峰度六、总结正文：一、引言在统计学中，分布是用来描述数据收集结果的一种数学模型。
其中，t 分布和正态分布是两种常见的连续型概率分布。
本文将重点讨论t 分布和正态分布的峰度。
二、t 分布的概念与性质t 分布，又称Student 分布，是一种对称的、单峰的分布，其密度函数的形式为：f(x) = (1 + |x| / √n) * (1 / √(2π)) * e^(-(1/2) * (|x| / √n)^2)其中，n 是自由度，自由度定义为样本容量减去参数个数。
三、t 分布与正态分布的关系当自由度n 趋近于无穷大时，t 分布的密度函数将接近于正态分布的密度函数。
换句话说，t 分布是正态分布的推广。
它们之间的关系可以通过中心极限定理来解释，即在一定条件下，样本均值的分布将接近于正态分布。
四、峰度的概念峰度（Kurtosis）是用来描述概率密度函数形状特征的一个指标。
对于正态分布，其峰度为0。
对于其他分布，峰度可以为正、负或零。
正峰度表示分布的尾部比正态分布更厚，负峰度表示分布的尾部比正态分布更薄，而零峰度表示分布的尾部与正态分布相同。
五、t 分布的峰度对于t 分布，其峰度为自由度的函数。
当自由度n 较小时，t 分布的峰度接近于正态分布的峰度，即0。
随着自由度的增大，t 分布的峰度逐渐增大，表示分布的尾部变得更厚。
当自由度趋于无穷大时，t 分布的峰度趋于1。
六、总结本文讨论了t 分布和正态分布的峰度。
t 分布是正态分布的推广，其密度函数的形式与正态分布有所不同。
峰度是用来描述概率密度函数形状特征的一个指标。
对于t 分布，其峰度随着自由度的变化而变化。
正态分布卡方分布t分布f分布的特点
正态分布卡方分布t分布f分布的特点正态分布，又称高斯分布，是一种二项分布的变体，它的总体分布也是一种双峰分布，但它把两个峰值更加平滑、圆润地分帅到两边。
正态分布密度曲线是一条对称的“U”形曲线，峰值位于曲线的中点。
正态分布被广泛应用于具有可辨别的两个性质的随机量，如温度、压力等，它是最常见的概率分布形式之一，也是最重要的连续变量类型之一。
卡方分布是一种偏斜的概率分布，它不呈现正态分布的对称趋势，但可以看到有一个强大的峰，其他的概率非常小。
卡方分布的大量应用如多位微观分析、洛伦兹概率及回归等，其最广泛的用途是进行独立性检验。
比如在观测从不同变量的抽样的实验中，我们把变量的取值分布拟合为卡方曲线，也可以用卡方分布来验证实验得出来的假设。
t分布，又称“钟形”分布，也称为学生t分布，是一种单总体分布，它是根据独立样本值得出的统计数据而引入的，并且把这些数据变成标准正态分布参数。
换句话说，t分布属于正态分布家族，但其特征和正态分布还是有所不同，t分布当样本量大于30时，其分布逼近于标准正态分布，否则它的尾部比正态分布的尾部更长，且右边的峰值比左边的低。
f分布是一个双总体分布，它由两个独立的正态分布，即母体分布，组成，它有两个独立参数，称为自由度，它们分别衡量两个样本的方差，并利用这些方差构建概率密度函数，用来预测两个样本的差异程度。
F分布主要用于检验两个独立的总体的方差是否相等，以及样本是否具有随机性。
F分布的右侧峰值比左侧低，表明两个样本差异程度较大，较小的方差表明两个样本比较接近。
以上是正态分布、卡方分布、t分布、f分布的特点。
简单来说，正态分布表示有两个极值的双峰分布，卡方分布表示非对称的概率分布，t分布表示单总体分布，f分布表示双总体分布，这些概率分布都有各自的特性，广泛应用于不同的实验中。
统计学正态分布及t分布
正态分布2�样本有几个特别重要的数字特征，这些数字是描述样本频率分布特征的，称之为样本特征数�而在生物统计学中，样本特征数使用频繁的有以下几个）。
�1.算术平均数，简称平均数（36•正态分布的概念•如果把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直条的宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率）大小，直条与直条之间不留空隙。
），若频数分布呈现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的分布，那我们一般认为该数值•变量服从或近似服从•数学上的正态分布。
7•当n →∞，直方条面积(频率)→各自的概率•然后组距→０时，直方条的宽度→０，直方条→垂直线，各个直方条顶点间的连线构成一条光滑的曲线，即：概率密度曲线，而曲线下(直方条)的总面积始终为１，在区间[a,b a,b]]的概率＝对应曲线段下的面积(直方条面积)。
8正态分布的概念在σ不变的情况下函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称μ为位置参数。
11121σ2σ3σ在μ不变的情况下函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。
13012-1-2xy-3μ= -1σ=0.5012-1-2x y -33μ=0σ=1012-1-2x y -334μ=1σ=2正态曲线的性质（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称.（3）曲线在x =μ处达到峰值(最高点)（4）曲线与x 轴之间的面积为1（5）当 x <μ时,曲线上升;当x >μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时, 以x 轴为渐近线,向它无限靠近.(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.14�而整个正态分布则应该是各区间密度函数的累计积分.�一种连续的分布不可能求某项(某点)的概率,而只能求某个区间的概率.�任意两点x 1，x 2且(x 1≤x 2)，X 在 (x 1, x 2)范围内取值的概率P,即正态分布曲线在(x 1, x 2)下面积2221()212x x x P e dxµσπσ−−=∫15标准正态分布正态分布由μ和σ所决定，不同的μ、σ值就决定了不同的正态分布密度函数，因此在实际计算中很不方便的。
t分布 z分布 标准正态分布 泊松分布 二项分布
t分布 z分布标准正态分布泊松分布二项分布标题：深入理解统计学中的常见分布在统计学中，分布是一种描述数据分布情况的概率模型，常见的包括t 分布、z分布、标准正态分布、泊松分布和二项分布。
通过对这些分布的深入理解，我们可以更好地分析和解释数据，为决策提供支持。
本文将围绕这几种常见的分布展开探讨，并分享个人对这些分布的理解和观点。
1. t分布t分布是由威廉·塞韦里德（William Sealy Gosset）发现的，用于小样本量情况下总体标准差未知的抽样分布。
t分布的特点是钟形、对称，但比标准正态分布更加平缓。
在实际应用中，t分布常用于构建置信区间和进行假设检验，尤其适用于小样本量的情况。
与z分布相比，t分布更加灵活，因此在统计推断的过程中发挥着重要作用。
2. z分布z分布，又称标准正态分布，是一种特殊的正态分布，其均值为0，标准差为1。
在统计学中，z分布常用于大样本量情况下对总体均值的假设检验和置信区间估计。
通过z分布，我们可以进行标准化处理，将不同分布的数据转化为标准正态分布，从而进行比较和分析。
3. 标准正态分布标准正态分布是统计学中最为常见的分布之一，其概率密度函数呈现钟形曲线，均值为0，标准差为1。
在实际应用中，我们经常将不同数据转化为标准正态分布，以便进行统计分析和推断。
4. 泊松分布泊松分布描述了在特定时间或空间内随机事件发生的次数。
泊松分布的特点是取值范围为0至正无穷，且分布呈现右偏态。
在实际应用中，泊松分布常用于描述单位时间或单位空间内事件发生的概率，比如通信方式呼叫次数、交通事故发生次数等。
5. 二项分布二项分布描述了在n次独立重复实验中成功事件发生的次数。
二项分布的特点是取值范围为0至n，且分布呈现对称性。
在实际应用中，二项分布常用于描述二分类结果的概率，比如硬币抛掷结果、产品合格率等。
总结回顾：通过本文的探讨，我对t分布、z分布、标准正态分布、泊松分布和二项分布有了更加深入的理解。
标准正态分布与t分布的异同
标准正态分布与t分布的异同
标准正态分布和t分布都是概率分布。
其中，标准正态分布是指均值为0、标准差为1的正态分布，而t分布是指自由度为n的分布。
异同点如下：
1. 相同点：两者都是概率分布，都可以用于描述随机变量的分布情况。
2. 异同点：标准正态分布的形状是对称的，t分布的形状和自由度有关，当自由度越大时，t分布越接近于正态分布；标准正态分布的方差为1，而t分布的方差随着自由度的变化而变化；在自由度较小的情况下，t分布的尾部比标准正态分布更重，即比标准正态分布更容易产生极端值。
总之，标准正态分布和t分布都是重要的概率分布，它们在统计学、数学和其他领域有广泛的应用。
在实际问题中，我们需要根据具体情况选择合适的概率分布来描述随机变量的分布情况。
四个分布：正态分布卡方分布F分布T分布
四个分布：正态分布卡⽅分布F分布T分布正态分布：正态分布（Normal distribution）⼜名⾼斯分布（Gaussiandistribution），若随机变量X服从⼀个数学期望为µ、⽅差为σ^2的⾼斯分布，记为N(µ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值µ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
我们通常所说的标准正态分布是µ = 0,σ= 1的正态分布。
当µ=0，σ=1时，正态分布就成为标准正态分布N（0，1)。
概率密度函数为：正态分布的密度函数的特点是：关于µ对称，并在µ处取最⼤值，在正（负）⽆穷远处取值为0，在µ±σ处有拐点，形状呈现中间⾼两边低，图像是⼀条位于x轴上⽅的钟形曲线。
卡⽅分布：若n个相互独⽴的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布N（0,1）（也称独⽴同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平⽅和构成⼀新的随机变量，其分布规律称为分布（chi-squaredistribution）。
其中参数n称为⾃由度（通俗讲，样本中独⽴或能⾃由变化的⾃变量的个数，称为⾃由度），正如正态分布中均值或⽅差不同就是另⼀个正态分布⼀样，⾃由度不同就是另⼀个分布。
记为。
分布的均值为⾃由度 n，记为 E( ) = n；分布的⽅差为2倍的⾃由度(2n)，记为 D( ) = 2n。
从卡⽅分布图可以看出：卡⽅分布在第⼀象限内，卡⽅值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数 n 的增⼤；卡⽅分布趋近于正态分布；随着⾃由度n的增⼤，卡⽅分布向正⽆穷⽅向延伸（因为均值n越来越⼤），分布曲线也越来越低阔（因为⽅差2n越来越⼤）。
t分布：⾸先要提⼀句u分布，正态分布（normal distribution）是许多统计⽅法的理论基础。
正态分布的两个参数µ和σ决定了正态分布的位置和形态。
正态分布,卡方分布,T分布
1。
设X1服从以自由度为m的卡方分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，X1与X2独立，则F=（X1/m）/（X2/n）的分布就是自由度为m与n的F分布2。
设随机变量X1，X2独立且X1服从标准正态分布，X2服从以自由度为n的卡方分布，则t=X1/根号（X2/n）的分布就是自由度为n的t分布、在实际工作中，抽取足够多的样本容量进行调查意味着人力、物力和财力的增加，尤其对一些具有破坏性的试验来说也不宜抽取太多的样本容量。
也就是说，对于大样本进行观察受到某些条件的限制。
这里主要讨论t分布、>2分布和F分布。
一、t-分布关于t 分布的早期理论工作，是英国统计学家威廉?西利?戈塞特（WillamSealy Gosset）在1900年进行的。
t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n<30。
t分布适用于当总体标准差R未知时用样本标准差s代替总体标准差R，由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。
从平均值为L、方差为R2的正态总体中抽取容量为n的一个样本，其样本平均数服从平均值为L，方差为R2/n的正态分布，因此，。
但是总体方差R2总是未知的，从而只能用s2来代替，（1）如果n很大，那么，s2就是R2的一个较好的估计量，仍然是一个近似的标准正态分布；（2）如果n较小，s2常常与R2的差异较大，因此，统计量就不再是一个标准正态分布，而是服从t分布。
（一）t分布的性质1、t分布是对称分布，且其均值为0。
2、当样本容量n较小时，t分布的方差大于1；当n增大到大于或等于30时，t分布的方差就趋近于1，t分布也就趋近于标准正态分布。
3、t分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。
4、与标准正态分布相比，t分布的中心部分较低，2个尾部较高。
5、变量t的取值范围在与之间。
t分布与标准正态分布的比较（二）t分布的自由度样本中独立观察值的个数（即样本容量）n减去1（由于样本要估计的总体参数的个数为1，即R2）。
正态分布卡方分布t分布f分布的特点
正态分布卡方分布t分布f分布的特点正态分布（Normal Distribution）是统计学中最重要的概率分布之一，也是最常见的概率分布之一。
它的形状类似于一个钟形曲线，两头低，中间高，呈对称分布。
正态分布具有许多独特的特点，其中一些特点包括对称性、峰度和偏度的性质、标准正态分布等。
首先，正态分布的最重要特点之一是它的对称性。
这意味着分布的左侧和右侧是镜像对称的。
换句话说，正态分布的均值（mean）、中位数（median）和众数（mode）是相等的，这是它对称性的一个基本特征。
这也意味着在正态分布中，随机变量的概率密度在均值处达到最大值，并且向两侧逐渐减小，形成了典型的钟形曲线。
其次，正态分布具有一个重要的特点是其峰度（kurtosis）和偏度（skewness）的性质。
峰度描述了分布曲线的尖锐程度，它是描述分布形态的重要指标之一。
正态分布的峰度为3，这意味着它的尖峰程度与标准正态分布相当。
偏度则描述了分布曲线的偏斜程度，正态分布的偏度为0，这意味着它是对称的。
这些特点使得正态分布在统计学中有着广泛的应用，特别是在假设检验和统计推断中被广泛使用。
另外，正态分布还有一个重要的特点是标准正态分布。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
它是统计学中非常重要的一种分布，因为许多统计量都服从于标准正态分布，比如t值、z值等。
正态分布的重要性在于中心极限定理，它指出了当随机变量的数量足够大时，它们的总和或者平均值会接近于正态分布，这使得正态分布在实际问题中有着广泛的应用。
除了正态分布外，卡方分布（Chi-square Distribution）也是统计学中重要的概率分布之一。
卡方分布是以卡方统计量为基础的分布，它在统计学中有着重要的应用。
卡方分布的特点包括其形状、参数和性质等。
首先，卡方分布的形状是非对称的。
它是一个正偏分布，即分布的右侧长尾较长，左侧短尾较短。
这与正态分布的对称性形成了鲜明的对比。
浅谈正态分布与t分布
• t分布
少量数据的处理--t分布曲线
t分布
t分布的特点可归纳如下：
• • ①t分布的平均值为0。 ②是对于平均值0对称的分布，分布左侧t为负值，分布右侧 t为正 值。 ⑧t变量取值在-∞一+∞之间。
•
• ④当样本容量趋于∞时，t分布为正态分布，方差为1，而当n-1大于20 以上时，t分布接近正态分布，方差大于1，随n-1之增大而方差渐趋于 1，当n-1<20时，t分布与正态分布相差较大，随n-1减少，离散程度 (方差)越大，分布中间部分低面分布的尾部较高
频率 组距
总体密度曲 线
产品 尺寸 (mm)
高尔顿板
11
Y
总体密度曲 线
0
X
定义
• 精确度不同对比
s的意义
总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 总体标准差反映总体随机变量的 集中与分散的程度
s1 s2
平均数
产品 尺寸 (mm)
• 平均值和标准偏差
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• 标准正态分布
正态总体的函数表示式 1 f ( x) e 2 s
• P和 α
• 例如：
• 置信区间
• 置信区间置信限
例1
• 续上
对比
例.
•延伸
对数正态分布
对数正态分布在分析上的应用
• 采集的土壤样品经风干后，用2mm的尼 龙筛筛除土壤中比较大的杂物和石砾，剩 余的土壤样品进一步用玛瑙研钵研磨，再 过100目的尼龙筛获得粒度比较均匀的样品。 样品采用HNO3-HCLO4-HF消解，元素(Pb、 Cu、Zn、Cd、V、Se、Ti)含量用电感耦合 等离子体原子发射光谱法测定。为了控制 测定的准确度，在进行上述元素分析时， 每10个测定样品用标准土壤样品校验。 10%-20%的平行样分析用于控制实验的精 密度。
T分布（近似标准正态分布）
T分布（近似标准正态分布）1.1 定义定义：假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从卡⽅分布，那么的分布称为⾃由度为n的t分布,记为。
T分布密度函数其中，Gam(x)为伽马函数。
可⽤于两组独⽴计量资料的假设检验。
由于在实际⼯作中，往往σ（总体⽅差）是未知的，常⽤s（样本⽅差）作为σ总体⽅差的估计值，为了与u变换（正态化变换）区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
【u分布也叫标准正态分布】u变换：[(X-µ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为µ=0，σ=1的标准正态分布（standard normaldistribution），亦称u分布。
在和中，t-分布（t-distribution）⽤于根据⼩样本来估计呈且⽅差未知的总体的均值。
如果总体⽅差已知（例如在样本数量⾜够多时），则应该⽤正态分布来估计总体均值。
经常应⽤在对呈的总体的进⾏估计。
它是对两个差异进⾏测试的学⽣t测定的基础。
t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量⼤或⼩皆可应⽤。
在样本数量⼤（超过120等）时，可以应⽤Z检定，但Z检定⽤在⼩的样本会产⽣很⼤的误差，因此样本很⼩的情况下得改⽤学⽣t检定。
t分布曲线形态与n（确切地说与⾃由度df）⼤⼩有关。
与标准正态分布曲线相⽐，⾃由度df越⼩，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈⾼；⾃由度df愈⼤，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当⾃由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
当总体的是未知的但却⼜需要估计时，我们可以运⽤t-分布。
【特征】：（1）以0为中⼼，左右对称的单峰分布；（2）其数学期望E(Z) = 0，n>1;⽅差D(Z)=n/n-2 , n>2 。
（3）t分布是⼀簇曲线，其形态变化与n（确切地说与df）⼤⼩有关。
⾃由度df越⼩，t分布曲线越低平；⾃由度df越⼤，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线；（4）随着⾃由度逐渐增⼤，t分布逐渐接近标准正态分布。
正态分布_t分布
µ+ 1.96ơ范围内的面积占正态曲线下总面积的95.00%， 即有95.00%的变量值分布在此范围内；
µ+ 2.58ơ范围内的面积占正态曲线下总面积99.00%，即 有99.00%的变量值分布在此范围内
标准误是样本均数的标准差，即描述样本均数 的抽样误差。凡同性质的资料，标准误大说明 抽样误x 差大，用样本均数估计总体均数的可靠 性小；而标准误小，说明抽样误差小，用样本 均数估计总体均数的可靠性大。
标准误与标准差的区别
µ
x3
x1 s x2
xs
µ
x1
s x3 x
x2
x sx
(二)样本均数的正态分布（中心极限定理）
填空
1、正态分布曲线下µ+ 1.96ơ范围内的面积占正
态曲线下总面积的
，即有
的变量
值分布在此范围内；
2、正态分布曲线下
范围内的面积占正态
曲线下总面积99.00%，即有99.00%的变量值分布
在此范围内
3、均数µ是正态分布曲线的 参数， 标准差ơ 是正态分布曲线的 参数。
填空
4、对于任何一个均数为µ ，标准差为ơ的正态分
A、大于 B、小于 C、等于 D、无关
单项选择题
t 5、 0.05,9(单侧)
t 0.05,9(双侧)
A、大于 B、小于 C、等于 D、无关
限的t值叫 t0.01, 界值为P=0.01的t界值。
t值与自由度的关系
一般情况下，t分布曲线较标准正态分 布曲线低平，因此 t0.05, 1.96 ，t0.01, 2.58 自
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单项选择题
2、 x sx 反映了样本均数抽样误差大小，
及样本均数对
估计可靠性。
A、个体变量值 B、样本均数 C、总体均数 D、标准差
单项选择题
、 3 当 t t0.05 界值时，概率
A、P<0.05 B、P<0.01 C、P>0.05 D、P>0.01
单项选择题
t 4、 0.0 5, 9
µ
x sx
t x
sx
单侧、双侧t界值
相同自由度的t分布曲线下t界值对应 的概率 P 值有双侧概率和单侧概率之分， 双侧概率对应于双侧尾部面积占总面积 之比；单侧概率对应于单侧尾部面积占 总面积之比。
自我评估测试
名词解释
正态分布 标准正态分布 抽样误差 u分布 t分布 t值自由度
从一个呈正态分布的总体中随机抽取样 本含量相等的许多样本，分别计算出它们 的样本均数。这些样本均数的频数分布仍 是以总体均数为中心的正态分布。
µ
x1
x3 x
x2
(三)样本均数的标准正态分布
对于任何一个横轴变量为 x 均数为µ ，标 准误为 x 的正态分布，都可以通过变换，使之 成为µ=0、 x =1的标准正态分布。变换的方法 是将变量值x 变换为u，u= x- µ / x ，u值的分
由抽样而引起的样本均数与总体均数之间的差 别及样本均数与样本均数之间的差别称为抽样 误差。
从正态分布的同一总体中随机抽取例数相等的 若干个样本，分别计算它们的均数，这些样本 均数的值间的变异程度。凡同性 质的资料，标准差大表示个体变量值变异大， 样本均数对个体的代表性差。标准差小表示个 体变量值变异小，样本均数对个体的代表性好。
布要变换成为µ=0, ơ=1的标准正态分布可用
变换，公式为
。
5、对于任何一个横轴变量为 x 均数为µ ，标准
误为 x的正态分布要变换成为µ=0, x=1的标
准正态分布可用 变换。公式
。
单项选择题
1、x s反映了个体变量间差异及
对
个体变量值代表性的好坏。
A、个体变量值 B、样本均数 C、总体均数 D、标准差
µ+ 1ơ范围内的面积占正态曲线下总面积的68.27%，即 有68.27%的变量值分布在此范围内；
µ+ 1.96ơ范围内的面积占正态曲线下总面积的95.00%， 即有95.00%的变量值分布在此范围内；
µ+ 2.58ơ范围内的面积占正态曲线下总面积99.00%，即 有99.00%的变量值分布在此范围内
一、正态分布
（一）正态分布的概念
正态分布又称高斯分布，是一种很重要的连 续型分布，应用甚广。在医学卫生领域中有许 多变量的频数分布资料可绘制成直方图而且频 数分布是中间（靠近均数处）频数多，两边频 数少，且左右对称。
可以设想，如果将观察人数逐渐增多，组 段不断分细，图中直条将逐渐变窄，其顶端的 中点的连线将逐渐接近于一条光滑的曲线，这 条曲线略呈钟型，两头低，中间高，左右对称， 近似于数学上的正态分布曲线（图1）
标准误是样本均数的标准差，即描述样本均数 的抽样误差。凡同性质的资料，标准误大说明 抽样误x 差大，用样本均数估计总体均数的可靠 性小；而标准误小，说明抽样误差小，用样本 均数估计总体均数的可靠性大。
标准误与标准差的区别
µ
x3
x1 s x2
xs
µ
x1
s x3 x
x2
x sx
(二)样本均数的正态分布（中心极限定理）
（三）正态分布曲线的两个参数
均数µ决定曲线在横轴上 的位置是正态分布曲线 的位置参数（图3.1）。
标准差ơ决定曲线的形状 是正态分布曲线的形状 参数（变异度参数） （图3.2）。
（四）标准正态分布
对于任何一个均数为µ ，标准差为ơ 的正态分布，都可以通过变换，使之成 为µ=0, ơ=1的标准正态分布。变换的 方法是将变量值x变换为u，u=x- µ / ơ ， u值的分布就是标准正态分布。
u=x-μ/σ
(五)标准正态分布曲线下的面积分布规律
标准正态分布曲线以u值为横轴变量，位置参数µ=0，形 状参数ơ=1，标准正态分布曲线与横轴之间的整体面积 为1或100%。标准正态分布曲线下面积的分布规律有如 下规律（图5）
u=-1,u=1范围内的面积占正态曲线下总面积的68.27%， 即有68.27%的变量值分布在此范围内；
t 0.05,69
A、大于 B、小于 C、等于 D、无关
单项选择题
t 5、 0.05,9(单侧)
t 0.05,9(双侧)
A、大于 B、小于 C、等于 D、无关
估计，t值就是样本均数 x 与总体均数µ的差数
除以 sx 所得之商 t x / sx
实际工作中 x 用 sx 估计，这时对
正态变量 x 采用的不是u变换，而是t
变换。如果从一个正态总体中，抽取样 本含量为n的许多样本，分别计算其样本 均数和标准误，然后再求出每一个t值， 这样可有许多t值，其频数分布是一种连 续型分布，这就是统计学上的t分布。
布就是标准正态分布。
u= x -μ/σ x
(四)t值 t分布
对于任何一个横轴变量为 x均数为µ ，标 准误为 x的正态分布，都可以通过变换，使之 成为µ=0， x =1的标准正态分布。变换的方法 是将变量值 x变换为u，u=x- µ / x ，u值的分
布就是标准正态分布。实际工作中 x 常用 sx
值叫 t 0.05, 界值为P=0.05的t界值；两侧外总面积为1%界
限的t值叫 t0.01, 界值为P=0.01的t界值。
t值与自由度的关系
一般情况下，t分布曲线较标准正态分 布曲线低平，因此 t0.05, 1.96 ，t0.01, 2.58 自
t t 由度越小，t分布曲线越低平则 、 0.05, 0.01,
填空
1、正态分布曲线下µ+ 1.96ơ范围内的面积占正
态曲线下总面积的
，即有
的变量
值分布在此范围内；
2、正态分布曲线下
范围内的面积占正态
曲线下总面积99.00%，即有99.00%的变量值分布
在此范围内
3、均数µ是正态分布曲线的 参数， 标准差ơ 是正态分布曲线的 参数。
填空
4、对于任何一个均数为µ ，标准差为ơ的正态分
正态分布的特征
正态分布曲线以均数为中心，左右对称。 正态分布曲线下的面积分布有一定的规
律 正态分布曲线在横轴上方均数处最高。 正态分布曲线有两个参数：均数µ 为位
置参数，标准差ơ 为形状参数。
（二）正态分布曲线下的面积分布规律
数理统计证明：正态分布曲线下与横轴之间的整体 面积为1或100%。以µ为总体均数，ơ为总体标准差，则 正态分布曲线下面积的分布规律经积分法计算有如下 规律（图2）
布曲线。
~
t界值
t分布曲线和横轴所夹全部面积为100%，当 ~ 时t分
布越接近标准正态分布，这时t分布曲线中 1.96范围内 占总面积95%， 1.96以外两侧面积为5%。
同理t分布曲线中 2.58范围内占总面积99%， 2.58以外 两侧面积为1%。
把自由度为 的t分布曲线下两侧外总面积为5%界限的t
u x
x
t x
sx
（五）t 分布特征
t 值自由度( )
t 分布特征 t界值 t值与自由度的关系 t界值与概率的关系 单侧、双侧t界值
t 值自由度( )
从一个总体中抽取200个样本，每一个 样本含量n=6则200个样本可计算出200个 样本均数 x 每一个样本均数可计算出一个t
值共计算出的200个t值，t值自由度 =6-
1=5
t 分布特征
呈单峰曲线，以0为中心，左右两侧对称。
t分布曲线是一簇，不同自由度有不同t分 布曲线。 越小， t分布曲线愈来愈平坦， 曲线中间愈低，曲线两侧尾部翘得愈高；
越大， t分布曲线愈接近标准正态分 布曲
线， 当
t分布曲线就是标准正态分
计量资料统计分析
正态分布 t分布
正态分布 t分布
计量资料的统计推断是以正态分布、 标 准正态分布 、t分布为理论基础。
正态分布、标准正态分布、 t分布的相互 关系是参数估计和假设检验的理论基础。
本课件主要学习正态分布、标准正态分布、 t分布的概念、分布特征、相互关系。
正态分布 t分布
一、正态分布 （一）正态分布的概念 （二）正态分布曲线下的面积分布规律 （三）正态分布曲线的两个参数 （四）标准正态分布 （五）标准正态分布曲线下的面积分布规律 二、 t分布 （一）均数的抽样误差 （二）样本均数的正态分布（中心极限定理） （三）样本均数的标准正态分布 （四）t值、t分布 （五）t分布特征
界值越大。
t界值与概率的关系
设以t 分布曲线与 横轴所夹总面积为 100%，则横轴上某一区间和曲线所夹面 积与总面积之比，相当于t值在该区间内 出现的概率（P），从一个正态总体中随 机抽样，获得t 值落于整个横轴的概率 P=1，获得l t l t0.05, 的P 0.05 ，对应曲线 面积 0.05 ，|t| 的P t 0.01, 0.01 ，对应的 曲线面积 0.01 。
u=-1.96,u=1.96 范围内的面积占正态曲线下总面积的 95.00%，即有95.00%的变量值分布在此范围内；
u=-2.58,u=2.58范围内的面积占正态曲线下总面积99.00%， 即有99.00%的变量值分布在此范围内。
二、t 分布
(一)均数的抽样误差 标准误
在总体中随机抽取一部分个体作为样本，进行 调查研究以推论总体的方法，称为抽样研究方 法。