固体物理吴代鸣第八章习题答案
固体物理课后习题与答案
第一章 金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。
在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。
在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。
也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。
2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ， 其中n 单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。
3． 为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。
除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。
4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。
价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。
在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。
由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。
这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。
电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。
固体物理基础答案解析吴代鸣复习课程
固体物理基础答案解析吴代鸣1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。
右边为底面的俯视图。
而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2．若晶胞基矢c b a,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
解：c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(倒格子基矢： kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢222321)()()(2)(2cl b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。
体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。
布拉菲晶格是简单立方格子。
4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。
解：（111）面平均每个（111）面有2213613=⨯+⨯个原子。
（111）面面积()222232322)22()2(221a a a a a a =⋅=-⋅ 所以原子面密度22)111(34232aa ==σ（110）面平均每个（110）面有2212414=⨯+⨯个原子。
（110）面面积222a a a =⋅所以（110）面原子面密度22)110(222aa==σ5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。
固体物理课后答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52 体心立方3π/ 8 ≈0.68 面心立方2π/6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74 金刚石3π/16 ≈0.34解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
证明：体心立方格子的基矢可以写为面心立方格子的基矢可以写为根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为同理与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π / a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。
注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。
根据定义，面心立方的倒格子基矢为同理而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。
证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为即为平面的法线根据定义，倒格子基矢为则倒格子原胞的体积为1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足其中a 为立方边长。
解：根据倒格子的特点，倒格子与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系因此只要先求出倒格，求出其大小即可。
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。
若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。
固体物理8-9讲习题参考答案
习题8.1 单原子线型晶格：考虑一个纵波，在原子质量为M 、晶格常数为a 和最近邻力常数为C 的单原子线型晶格中传播。
(a) 试证该波的总能量为22111()22s s s s s du E M C u u dt + =+∑∑−其中求和指标s 遍历所有的原子。
(b) 将u s 代入这个表达式，证明每个原子的时间平均总能量为2222111(1cos )422M u C ka M ωω+−=u 其中最后一步采用了一维布拉伐晶格的色散关系式。
解：（a ）第s 个原子的位移为cos()s u u t ska ω=−（1）动能为212s du M dt ，晶体的总动能为212s s du dt =∑T M 。
晶体的总势能为''()ss ss RφΦ=∑，其中'ss R 为s ，s’原子间的距离，'''ss ss s s R r u u =+−，'ss r 为s ，s’原子间的平衡距离。
将φ展开，只取简谐近似，得：''2'''1()()()2ss ss ss s s 'R r u φφφ=+−u ，其中''2''''2'()ss ss ss ss ss R R φφ=∂= ∂R r 为力常数。
若只考虑最近邻原子的作用，则总位能为8.2 连续介质弹性波的波动方程：证明对于长波长，一维布拉伐格子晶体的运动方程22()s p s p s pd u M C u u dt +=−∑ 约化为连续介质弹性波的波动方程：2222u u t x υ2∂∂=∂∂，其中υ为声速。
（见讲义）8.3 孔氏异常(Kohn anomaly) 在立方晶体中，沿[100]、[110]、[111]方向传播的格波，整个原子平面作同位相的运动，其位移方向平行或垂直于波矢方向。
可用一单一坐标u s 来描述平面s 离开平衡位置的位移。
固体物理课后答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π / 6 ≈ 0.52 体心立方 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方 2π / 6 ≈ 0.74六方密排 2π / 6 ≈ 0.74 金刚石 3π /16 ≈ 0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
证明：体心立方格子的基矢可以写为面心立方格子的基矢可以写为根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为同理与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。
注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。
根据定义，面心立方的倒格子基矢为同理而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。
证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为即为平面的法线根据定义，倒格子基矢为则倒格子原胞的体积为1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足其中a 为立方边长。
解：根据倒格子的特点，倒格子与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系因此只要先求出倒格，求出其大小即可。
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。
若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。
固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后1到10题答案
固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后1到10题答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一． 本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.一． 说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。
二． 分析：首先看是怎样密堆的。
如图(书图1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。
三．证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'aAB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2．若晶胞基矢c b a,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d π2=。
倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G++=写出)(321b b b 与正格子基矢 )(c b a的关系。
即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G。
进而求得此面间距d 。
二、解：c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(倒格子基矢： kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h Gd ++=++==πππ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择每个原胞含有几个原子1．分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
固体物理基础吴代鸣之高教版课后1到10题答案
一．本章习题P272习题1、试证理想六方密堆结构中c/a=1、633、一． 说明:C 就是上下底面距离,a 就是六边形边长。
二． 分析:首先瞧就是怎样密堆的。
如图(书图1、10(a),P8),六方密堆结构每个格点有12个近邻。
(同一面上有6个,上下各有3个)上下底面中间各有一个球,共有六个球与之相切,每个球直径为a 。
中间层的三个球相切,又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a(不管就是同层还就是上下层之间)。
三． 证明:如图OA=a,OO ’=C/2(中间层就是上下面层的一半),AB=a O ’就是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴(由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2.若晶胞基矢c b a,,互相垂直,试求晶面族(hkl)的面间距。
一、分析:我们想到倒格矢与面间距的关系G d π2=。
倒格矢与晶面族 (hkl)的关系321b l b k b h G++=写出)(321b b b 与正格子基矢 )(c b a的关系。
即可得与晶面族(hkl) 垂直的倒格矢G 。
进而求得此面间距d 。
二、解:c b a ,,互相垂直,可令k c c j b b i a a===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(倒格子基矢:kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 (hkl)晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ故(hkl) 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππ3.若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子,试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1．分析:考虑选取原胞的条件:(即布拉菲晶格的最小单元)（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点,然后构成原胞。
固体物理习题解答
《固体物理学》习题解答( 仅供参考)参加编辑学生柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章）指导教师黄新堂华中师范大学物理科学与技术学院2003级2006年6月第一章晶体结构1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a。
解：氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。
氯化钠的基元为一个Na+和一个Cl－组成的正负离子对。
金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。
由于NaCl和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为：123()2()2()2a a a ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为：,,.a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩a ib jc k2. 六角密集结构可取四个原胞基矢123,,a a a 与4a ,如图所示。
试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的晶面指数()h k l m 。
解：(1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，１。
所以，其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，12-，∞。
所以，其晶面指数为()1120。
(3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。
所以，其晶面指数为()1100。
(4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。
所以，其晶面指数为()0001。
3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的比为： 简立方：6π；体心立方：8；面心立方：6；六角密集：6；金刚石：16。
吴代鸣固体物理基础部分习题解答
8.证明一维NaCl 晶格的Madelung 常数2ln 2α=。
证明：任选一个离子为参考离子i ，左右两侧对称分布，令ij j r a a =（a 为晶格常数） 则有：111112......1234jj aα⎡⎤±=-+-+⎢⎥⎣⎦∑＝同号为-，异号为+。
已知级数234l n (1)......234x x x x x +=-+-+令x=1 则得：111l n 21......234=-+-+ 故Madelung 常数2ln 2α=。
9.若离子间的排斥势用-r/eρλ来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数λ和ρ应如何决定。
解：设最近邻离子间距离为r ，则ij j r a r =（以离子i 为原点）2/0204()4ij r ij ijij ij e e r r r u r e r ρλπεπε-⎧-=⎪⎪=⎨⎪±⎪⎩，（最近邻，），（最近邻以外）总的相互作用能为：2/()0124Nr j i j Ne U e ra ρλπε-≠⎡⎤=-±-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑最近邻 2/0..........................(1)24r Ne U Z e r ραλπε-⎡⎤∴=-+⎢⎥⎣⎦； 其中Z 为最近邻离子数 由平衡条件00r r U r =∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭得02/200.........................(2)4r e Z e r ρραλπε-= 得20001.......................(3)24N e U r r αρπε⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 结合能0()c E U r =- 对于NaCl 等离子晶体：02201...................(4)9r rU K Nr r =⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭02/32000121............(5)184r e Z K e r r ραλπερ-⎡⎤-∴=+⎢⎥⎣⎦将（2）代入（5）得： 22320000121..................(6)1844e e K r r r ααπεπερ⎡⎤=-+⋅⎢⎥⎣⎦202400.........................(7)272e r e r K αραπε∴=+ 由（2）得：02/200......................(8)4r e e r Zρραλπε=则4220002003611243r K e e U r e πεααπεα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10.如果NaCl 晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能以及离子间的平衡距离将产生多大变化？解：总相互作用能20........(1)24n N e B U r r απε⎛⎫=--⎪⎝⎭ 02210000...........(2)24n r r U N e nB r r r απε+=⎛⎫∂⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭得到：11'0024..............(2)n nB r e πεα-⎛⎫=⎪⎝⎭由（2）得到：2100...............(3)4n e B r nαπε-=将（3）代入（1）得： 20001()1........(4)8N e U r r n απε⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当电荷由e 变为2e 时，由（2·）和（4）可得：1010(2)4()n r e r e -= 1(2)4()nn U e U e -= 11.在一维单原子晶格中，若考虑每一个原子与其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。
吴代鸣固体物理基础部分习题解答
u k BT
u
−19
对于间隙原子，主要由 Frenkel（夫伦克尔）缺陷引起， n间 = ( NN ) e
4×1.6×10 − − n间 2 k BT 2×1.38×10−23 ×1300 =e =e = 1.79 × 10−8 ∴ 间隙原子浓度 N
1 ' 2
−
u 2 k BT
−
≈ Ne
u 2 k BT
�
( n,n )
� � � ik ⋅ Rm ' e γ ( R ∑ m ) ，对 m 的
求和只限于最近邻，试求 bcc 和 fcc 晶格 s 带的能量 E ( k ) 。 解： （1）对于 bcc 晶格，最近邻原子数 8 个，坐标为 （±
a a a ，代入上式得： ,± ,± ） 2 2 2
a a a � i ( − kx − k y − kz ) ⎤ ⎡ i ( k x a + k y a + k z a ) i ( − a kx + a k y + a kz ) Es (k ) = Es − β − γ ⎢e 2 2 2 + e 2 2 2 + ... + e 2 2 2 ⎥ ⎣ ⎦
17. 铜的空位形成能约为 1.26eV ， 间隙原子的形成能约为 4eV ， 试估计接近熔点 （ 1300K） 时空位和间隙原子的浓度，并比较两者的数量级。
−
解：对于空位，主要由 Schottky（肖特基）缺陷引起， n空 = Ne
1.26×1.6×10 − − n −23 ∴ 空位浓度 空 = e kBT = e 1.38×10 ×1300 = 1.32 ×10 −5 N
�
⎣
⎦
� m1 E1 (0) + m2 E2 (k 0 ) 因此： EF = m1 + m2
固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后1到31题答案
一． 本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.一． 说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。
二． 分析：首先看是怎样密堆的。
如图(书图1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。
三． 证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a a c OA AO OO2．若晶胞基矢c b a,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d π2=。
倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G++=写出)(321b b b 与正格子基矢 )(c b a的关系。
即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G。
进而求得此面间距d 。
二、解：c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(倒格子基矢：kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2clb k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1． 分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元） （1） 体积最小的重复结构单元 （2） 只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
固体物理学答案详细版
《固体物理学》部分习题参考解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a 那么，Rf Rb1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。
分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此123o o o a n hda n kd a n id=== ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°由于a 3=–（a 1+ a 2）313()o o a n a a n =-+把（1）式的关系代入，即得()id hd kd =-+ ()i h k =-+根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6π（2（3）面心立方：6（4）六方密堆积：6（5）金刚石：。