§2 实际问题的函数建模
示范教案{§2实际问题的函数建模2.2用函数模型解决实际问题}
2．2用函数模型解决实际问题导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用．推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图像表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型？活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、…….④列表画出函数图像．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图像讨论它们的单调性．⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．讨论结果：①y＝x.②y＝x2.③y＝(1＋5%)x，④如下表图5 图6 图7⑤它们分别属于：y ＝kx ＋b (直线型)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，抛物线型)，y ＝ka x ＋b (指数型)．⑥从表格和图像得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x 的增大y ＝(1＋5%)x 的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y ＝log a x ＋b ，我们把它叫作对数型函数． 函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．应用示例思路1例1 某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为12x 件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．设购进8 000个元件的总费用为F ，一年总库存费为E ，手续费为H ，其他费用为C (C 为常数)，则E ＝2×12x ，H ＝500×8 000x ，x ＝8 000n(n ≥1，n ∈Z )， 所以F ＝E ＋H ＋C ＝2×12x ＋500×8 000x＋C ＝8 000n ＋500n ＋C ＝500⎝ ⎛⎭⎪⎫16n ＋n ＋C ＝500⎝ ⎛⎭⎪⎫4n －n 2＋4 000＋C ≥4 000＋C ， 当且仅当4n ＝n ，即n ＝4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．例2 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具解：我们取磁钢面积x 为横坐标、用胶量y 为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出图8.图8从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y ＝ax ＋b 表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y ＝ax ＋b ，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0.812＝56.6a ＋b ，2.86＝189.0a ＋b . 解得a ＝0.015 47，b ＝－0.063 50.这条直线是y ＝0.015 47x －0.063 50.点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．例3 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随着利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图像，通过观察函数的图像，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(图9)．图9观察函数的图像，在区间[10,1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝20时，y ＝5，因此，当x ＞20时，y ＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10,1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立． 令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(图10)，由函数图像可知它是递减的，因此图10 f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，即log 7x ＋1＜0.25x .所以当x ∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25. 说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润的25%.综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司的要求.变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x %(x ＞0)，销售数量就减少kx %(其中k 为正常数)．目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个．(1)当k ＝12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ (2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加．．．．时k 的取值范围． 解：依题意，价格上涨x %后，销售总金额为y ＝a (1＋x %)·b (1－kx %)＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]． (1)取k ＝12，y ＝ab 10 000⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋50x ＋10 000， 所以x ＝50，即商品价格上涨50%，y 最大为98ab . (2)因为y ＝ab 10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]， 此二次函数的开口向下，对称轴为x ＝501－k k，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x |x ＞0}的一个子集内增大时，y 也增大．所以501－k k＞0，解得0＜k ＜1. 点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.思路2例1 某工厂有216名工人接受了生产1 000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )(单位：小时，可不为整数)．(1)写出g (x )，h (x )解析式；(2)比较g (x )与h (x )的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：(1)由题意，知需加工G 型装置4 000个，加工H 型装置3 000个，所用工人分别为x 人，216－x 人．∴g (x )＝4 0006x ，h (x )＝ 3 000216－x ·3， 即g (x )＝2 0003x ，h (x )＝1 000216－x(0＜x ＜216，x ∈N ＋)． (2)g (x )－h (x )＝2 0003x －1 000216－x ＝1 000·432－5x 3x 216－x . ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g (x )－h (x )＞0，g (x )＞h (x )；当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g (x )－h (x )＜0，g (x )＜h (x )．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2 0003x ，0<x ≤86，x ∈N ＋；1 000216－x ，87≤x <216，x ∈N ＋.(3)完成总任务所用时间最少即求f (x )的最小值．当0＜x ≤86时，f (x )递减，∴f (x )≥f (86)＝2 0003×86＝1 000129. ∴f (x )min ＝f (86)，此时216－x ＝130.当87≤x ＜216时，f (x )递增，∴f (x )≥f (87)＝1 000216－87＝1 000129. ∴f (x )min ＝f (87)，此时216－x ＝129.∴f (x )min ＝f (86)＝f (87)＝1 000129. ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86,130或87,129.变式训练m 与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点，(1)根据题中条件填空，m ＝________(元/吨)；(2)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解：(1)∵f (m )＝(m －195.5)2＋(m －200.5)2＋(m －204.5)2＋(m －199.5)2＝4m 2－1 600m＋160 041，∴m ＝200.(2)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万吨，收购总金额为200a (1＋2x %)，故y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝20010 000a (100＋2x )(10－x )＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)．(3)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)，依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，即x 2＋40x －84≤0. 解得－42≤x ≤2.又0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是0＜x ≤2.2.假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫税率为8%)，计划可收购m 万担(其中m 为正常数)，为了减轻农民负担，如果税率降低x %，预计收购量可增加(2x )%.(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，求x 的取值范围．解：(1)y ＝120m ×104[1＋(2x )%]×(8－x )%＝120m (－2x 2－84x ＋800)．(2)由题意知120m (－2x 2－84x ＋800)≥0.78×120m ×104×8%，解得0＜x ≤2.所以x 的取值范围是0＜x ≤2.例2 民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图11，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图12.(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式．(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)图11 图12解：(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元． 由题设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图知f (1)＝14，∴k 1＝14. 又g (4)＝52，∴k 2＝54. 从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)． (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x 万元，企业利润为y 万元．则y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 4＋5410－x (0≤x ≤10)， 令10－x ＝t ，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)， 当t ＝52时，y max ＝6516≈4， 此时x ＝10－254＝3.75(万元)． ∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元. 变式训练某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？解：设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获利y 1元，在月末出售，可获利y 2元，则y 1＝15%x ＋10%(x ＋15%x )＝0.265x ，y 2＝0.3x －700.图13利用函数图像比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图像如图13所示，得两图像的交点坐标为(20 000，5 300)．由图像，知当x ＞20 000时，y 2＞y 1.当x ＝20 000时，y 1＝y 2；当x ＜20 000时，y 2＜y 1.∴当投资小于20 000元时，月初出售；当投资等于20 000元时，月初、月末出售均可；当投资大于20 000元时，月末出售.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k ，通过x 块玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．(lg 3≈0.477 1) 解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k ＝0.9k ；光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k ＝0.92k ；光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k ＝0.93k ；光线经过x 块玻璃后强度为0.9x k .∴y ＝0.9x k (x ∈N ＋)．(2)由题意，知0.9x k ＜k 3， ∴0.9x ＜13.两边取对数，x lg 0.9＜lg 13. ∵lg 0.9＜0，∴x ＞lg 13lg 0.9. ∵lg 13lg 0.9＝lg 31－2lg 3≈10.4，∴x min ＝11. ∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下． 拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图像如图14所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？图14解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝a x(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图像性质分析问题、解决问题．作业习题4—2 A组2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是一个不可多得的素材．(设计者：林大华)。
高中数学第四章函数应用22.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题2.3函数建模案例
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2．常用到的函数模型 (1)正比例函数模型：_y_＝__kx_(_k_≠__0_)； (2)反比例函数模型：__y_＝__kx(_k_≠__0_)__； (3)一次函数模型：_y_＝__kx_＋__b_(_k_≠__0_)_； (4)二次函数模型：_y_＝__a_x2_＋__b_x_＋__c_(a_≠ __0_)_；
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【解】 (1)由题意知，病毒细胞的个数关于时间 t 的函数为 y＝2t－1.
则由 2t－1≤108 两边取对数得(t－1)lg 2≤8，得 t≤27.6.即第一 次最迟应在第 27 天注射该种药物．
(2)由题意知，注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞数为 226×2%，
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天数 t 病毒细胞总数 N
1
1
2
2
3
4
4
8
5
16
6
32
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(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时 注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生 命？(精确到天，已知：lg 2＝0.301 0)
二更好？
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解：(1)当 0≤x≤30 时，L(x)＝2＋0.5x；当 x>30 时，L(x)＝2 ＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1，
∴L(x)＝02.＋6x0－.51x，，x0>≤3x0≤. 30， (2)当 0≤x≤30 时，由 L(x)＝2＋0.5x＝35，得 x＝66(舍去)； 当 x>30 时，L(x)＝0.6x－1＝35，得 x＝60，∴老王家该月用电 60 度．
北师大版数学必修一《实际问题的函数建模》参考课件
例2:西安市的一家报刊推主从报社买来《西安晚报》的价
格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报
纸还可以以每份0.08元的价格退回报社，在一个月（按30 天计算）内，有20天里每天可以卖出400份，在其余的10 天里每天只能卖出250份，如果他每天从报社买进的份数 是相同的.那么他应该每天从报社买进多少份，才能使每 月获得的利润最大？并计算出他一个月最多可赚多少钱？
每天可销售200件，现在采用提高售价，减少进货量的方
法，增加利润.已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减 少10件，问应该将售价定为多少元，才能使所赚利润最 大，并求最大利润.
例6:小王是某房产开发公司的一名工程师，该房地产公司
要在如图所示的矩形拆迁地ABCD上规划出一块矩形地面
PQRC建造住宅小区，但市文物局规定，在三角形AEF地区
§2.2：用函数模型解决实际问题
概述：函数模型是应用最广泛的数学模型之一， 它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数 模型能刻画出现实生活中不同的变化规律.如果实 际问题中的变量与变量之间的关系一旦被认定为 是函数关系就可以将实际问题转化为数学问题， 建立一个函数模型，通过研究函数的性质，从而 更好地去把握问题，分析问题上，使实际问题得 以解决.
例3:某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12 台与6台，现在要销售给A地10台，B地8台.又已知从 甲地调运一台到A地、B地的运费分别为400元与800
元；从乙地调运一台到A地、B地的运费分别为300元
与500元.
（1）设从乙地调运x台到A地，求总运费y元关于x的函
数关系式；
（2）若总运费不超过9000元，问一共有几种调运方案？
一.常见的函数模型有：
实际问题的函数建模教案
实际问题的函数建模教案第一章：引言1.1 课程目标：理解函数建模的概念和重要性。
掌握将实际问题转化为函数模型的基本方法。
1.2 教学内容：函数建模的定义和应用领域。
实际问题与函数模型的关系。
函数建模的基本步骤。
1.3 教学方法：讲授法：介绍函数建模的基本概念和方法。
案例分析法：通过实际案例展示函数建模的应用。
1.4 教学活动：导入：通过一个简单的实际问题引出函数建模的概念。
讲解：介绍函数建模的定义和应用领域。
案例分析：分析一个实际问题，展示如何将其转化为函数模型。
第二章：一次函数建模2.1 课程目标：理解一次函数的概念和性质。
学会使用一次函数建模解决实际问题。
2.2 教学内容：一次函数的定义和性质。
一次函数建模的方法和步骤。
一次函数在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：讲授法：介绍一次函数的基本概念和性质。
案例分析法：通过实际案例展示一次函数建模的应用。
2.4 教学活动：讲解：介绍一次函数的定义和性质。
案例分析：分析一个实际问题，展示如何使用一次函数建模解决。
练习：让学生尝试解决一个一次函数建模的实际问题。
第三章：二次函数建模3.1 课程目标：理解二次函数的概念和性质。
学会使用二次函数建模解决实际问题。
3.2 教学内容：二次函数的定义和性质。
二次函数建模的方法和步骤。
二次函数在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：讲授法：介绍二次函数的基本概念和性质。
案例分析法：通过实际案例展示二次函数建模的应用。
3.4 教学活动：讲解：介绍二次函数的定义和性质。
案例分析：分析一个实际问题，展示如何使用二次函数建模解决。
练习：让学生尝试解决一个二次函数建模的实际问题。
第四章：指数函数建模4.1 课程目标：理解指数函数的概念和性质。
学会使用指数函数建模解决实际问题。
4.2 教学内容：指数函数的定义和性质。
指数函数建模的方法和步骤。
指数函数在实际问题中的应用。
4.3 教学方法：讲授法：介绍指数函数的基本概念和性质。
案例分析法：通过实际案例展示指数函数建模的应用。
人教版高中数学必修第一册4.2实际问题的函数建模
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 利用已知函数模型求解实际问题 例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出 13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶 的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程. 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝151 (h)，所以 0≤t≤151. 因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t， 所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t(0≤t≤151 ). 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120×(2－1600)＝233 (km).
年份 1950 1951 1952 1953 1954 人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266
知识点三 数据拟合 思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程， 简述什么是数据拟合？ 答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器 测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选 择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就 是数据拟合. 由优惠办法①得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N＋).
由 优 惠 办 法 ② 得 函 数 关 系 式 为 y2 ＝ (20×4 ＋ 5x)×92% ＝ 4.6x ＋ 73.6(x≥4 ，
x∈N＋).
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；
已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当
年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解决实际问题的函数模型建立
解决实际问题的函数模型建立在解决实际问题时，建立函数模型是一种常见且有效的方法。
函数模型可以帮助我们从复杂的问题中抽象出数学模型，进而进行定量分析和预测。
本文将介绍解决实际问题时建立函数模型的几个常用方法，并通过具体案例进行说明。
一、线性回归模型线性回归是一种常见的函数模型，用于描述自变量与因变量之间的线性关系。
它的数学形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε其中，y表示因变量，x1、x2、...、xn为自变量，β0、β1、β2、...、βn是待估参数，ε表示误差项。
举个例子，假设我们想建立一个预测房屋价格的模型，我们可以将房屋的面积、卧室数量、地理位置等作为自变量，房屋价格作为因变量。
通过收集一定数量的房屋数据，并进行线性回归分析，我们可以得到一个线性回归模型来预测房屋价格。
二、非线性回归模型有些实际问题的数据关系并不完全符合线性假设，此时我们可以使用非线性回归模型来更准确地描述数据间的关系。
非线性回归模型可以采用多项式、指数、对数、幂函数等形式。
以生长速度为例，我们可以使用非线性回归模型来建立植物生长的函数模型。
通过观察和实验，我们可以得到不同时间点下植物的生长速度数据，然后采用非线性回归的方法拟合出一个较为准确的生长函数，从而对未来的生长速度进行预测。
三、时间序列模型时间序列模型用于分析和预测时间上连续观测值之间的关系。
它常用于金融、经济、气象等领域的数据分析。
以股票价格预测为例，我们可以使用时间序列模型来建立股票价格的函数模型。
通过收集历史股票价格的数据，我们可以分析价格序列的趋势、周期和季节性变动，并建立相应的时间序列模型，从而对未来的股票价格进行预测。
四、概率模型概率模型是一种基于概率论和统计学原理的模型，用于描述随机事件之间的关系。
它用于分析风险、预测概率等实际问题。
以保险业为例，我们可以使用概率模型来建立保险赔付的函数模型。
通过研究历史赔付数据和相关的风险因素，我们可以基于概率模型计算保险赔付的期望值和方差，从而评估保险产品的风险和合理的保费水平。
实际问题的函数建模高一数学总结练习含答案北京海淀
§2实际问题的函数建模1.解应用题的一般步骤(1)读:阅读并理解文字表达的意思,分清①和②,理清数量关系.(2)建:将文字语言转化为③语言,利用数学知识建立相应的数学模型.(3)解:求解数学模型,得到数学④.(4)答:将所得数学结论还原为⑤问题的结论.2.拟合函数模型的应用题求解步骤一、一次、二次函数模型1.(2014广东深圳月考,★☆☆)如图,用长度为24的材料围一个中间有两道隔墙的矩形场地,要使矩形场地的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3B.4C.6D.12思路点拨设隔墙的长为x,矩形场地的面积为y,由已知条件推出y与x之间的函数关系.2.(2013河南焦作模拟,★★☆)某商人进货,进价已按原价a扣去了25%.他希望对货物定一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人销售这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为.思路点拨依题意可建立一次函数模型.3.(2013浙江余杭一模,★☆☆)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N *)之间的关系为如图所示的二次函数关系,当每辆客车营运 年时,其营运的年平均利润最大.思路点拨 由图像可求出二次函数的解析式,通过配方法求最值. 二、分段函数模型4.(2011湖南,理20,13分,★★★)如图,长方体物体E 在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E 移动方向的分速度为c(c∈R).E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分:①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S 成正比,比例系数为110;②其他面的淋雨量之和,其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=32时, (1)写出y 的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c 的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y 最少.思路点拨 (1)根据题意列出函数表达式; (2)利用函数的单调性求最值.三、指数函数模型5.(2012浙江,理9,5分,★★☆)设a>0,b>0,则下列结论一定成立的是( ) A.若2a +2a=2b +3b,则a>b B.若2a +2a=2b +3b,则a<b C.若2a -2a=2b -3b,则a>b D.若2a -2a=2b -3b,则a<b思路点拨 构造函数f(x)=2x +2x 及g(x)=2x -3x.6.(2013合肥模拟,★☆☆)某医药研究所开发了的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y=f(t);(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间是多长.思路点拨 (1)根据图像求函数解析式.(2)利用函数单调性求解.一、选择题1.某企业生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为( ) A.(1+p)12-1 B.(1+p)12 C.p 12-1 D.(1+p)13-12.某商品1月份降价10%,此后受市场因素影响,价格连续上涨了三次,使得目前售价与1月份降价前相同,则连续上涨三次的价格平均回升率为( ) A.√1093-1B.√1093+1C.2√109-1 D.√3333.已知A,B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地,把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t(小时)的函数表达式是( ) A.x=60t B.x=60t+50t C.x={60t (0≤t ≤2.5)150-50t (t >3.5)D.x={60t(0≤t≤2.5)150(2.5<t≤3.5)150-50(t-3.5)(3.5<t≤6.5)4.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量近似地符合关系式y=ae nt. 假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水量只有a8升,则m的值为( )A.7B.8C.9D.105.有一批材料可以围成200 m长的围墙,现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形,则围成的矩形场地的最大面积为( )A.1 000平方米B.2 000平方米C.2 500平方米D.3 000平方米6.某商品的价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来的价格比较,变化的情况是( )A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减二、填空题7.国家规定的个人稿费纳税办法:不超过 800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.某人出版了一本书共纳税420元,这个人的稿费为元.8.某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量使用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图曲线,则服药后y与t之间的函数关系式是.三、解答题9.某企业生产的新产品必须依靠广告来打开销路,该产品的广告效应是产品销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行的抽样调查显示:付出100万元的广告费,所得销售额是1 000万元.问该企业应该投入多少广告费,才能获得最大的广告效应?是不是广告费投入越多越好?10.经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数,且销售量与时间的关系近似满足g(t)=80-2t,价格与时间的关系近似满足f(t)=20-12|t-10|.(1)试写出该种商品的日销售额y(元)与时间t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值.解答题1.(2015广东湛江师范附中期中,★☆☆)某商品在近30天内,销售单价P(元)与时间t(天)的函数关系式为P={t +20,0<t ≤24,t ∈N ,-t +100,25≤t ≤30,t ∈N .该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式为Q=-t+40(0<t≤30,t∈N).求这种商品日销售金额y(元)的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天.2.(2015江苏沭阳期中,★★☆)已知函数f(x)=ax 2-|x|+2a-1(a 为常数).(1)当a=1时,写出函数f(x)的增区间;(2)当a>0时,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;(3)设h(x)=f(x)x,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围.3.(2014广东惠州期末,★☆☆)某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120√6t吨(0≤t≤24),从供水开始经过几个小时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?4.(2013安徽合肥期末,★★☆)某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中f(x)={x4+2(0<x≤4),6x-2(x>4),当药剂在水中释放的浓度不低于4 (毫克/升)时称为有效净化状态;当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升) 且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化状态.(1)如果投放的药剂质量为4(即m=4),试问自来水一共可持续几天达到有效净化状态?(2)为了使在7天之内(从投放药剂算起,包括7天)的自来水持续达到最佳净化状态,试确定m的值.知识清单①已知条件 ②问题 ③数学 ④结论 ⑤实际 ⑥散点图 ⑦函数模型 ⑧检验链接高考1.C 设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,易知y=x×24-4x 2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y 最大.则当隔墙的长度为3时,矩形场地的面积最大. 2.答案 y=a4x(x∈N +)解析 设新价为b,依题意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得b=54a.∴y=b·20%·x=54a·20%·x,即y=a4x(x∈N +). 3.答案 5解析 由题图可设y=a(x-6)2+11,而(4,7)是该二次函数图像上的一点,∴7=4a+11,∴a=-1,即y=-(x-6)2+11. ∴y x =-x 2+12x -25x=12-(x +25x)=2-(√x -√x)2,∴当√x -√x=0,即x=5时,y x取得最大值.故当每辆客车营运5年时,其营运的年平均利润最大.4.解析 (1)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v-c|+12,故y=100v(320|v -c |+12)=5v(3|v-c|+10). (2)由(1)知,当0<v≤c 时,y=5v (3c-3v+10)=5(3c+10)v-15;当c<v≤10时,y=5v (3v-3c+10)=5(10-3c )v+15.故y={5(3c+10)v-15,0<v ≤c ,5(10-3c )v +15,c <v ≤10.①当0<c≤103时,y 是关于v 的减函数, 故当v=10时,y min =20-3c2.②当103<c≤5时,在(0,c]上,y 是关于v 的减函数;在(c,10]上,y 是关于v 的增函数.故当v=c 时,y min =50c .5.A 设f(x)=2x +2x,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,由2a +2a=2b +3b 及b>0,得2a +2a>2b +2b,即f(a)>f(b),故有a>b,即A 正确,B 错误.对于C 、D,令a=2,则2b -3b=0,即b 为g(x)=2x -3x 的零点.而g(0)=1>0,g(2)=-2<0,g(4)=4>0,故0<b<2或2<b<4,即0<b<a 或b>a,即C,D 都是错误的.故选A.6.解析 (1)设y={kt , 0≤t ≤1,(12)t -a ,t >1.当t=1时,由y=4得k=4, 由(12)1-a=4,得a=3,所以y={4t , 0≤t ≤1,(12)t -3,t >1.(2)由y≥0.25得,{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12)t -3≥0.25,解得116≤t≤5.因此服药一次后治疗有效的时间是5-116=7916(小时).基础过关一、选择题1.A 由已知得所求为(1+p)12-1.2.A 设平均回升率为x,则(1-0.1)(1+x)3=1,解得x=√1093-1. 3.D 易知当2.5<t≤3.5时,汽车是静止的,故选D.4.D 根据题意得e 5n =12,令ae nt =18a,即e nt =18,因为e 5n =12,故e 15n =18,比较知t=15,故m=15-5=10. 5.C 如图,设三个面积相等的矩形的长和宽分别为x m,y m,矩形场地的面积为S m 2,则4x+3y=200,S=3xy=3x·200-4x 3=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500,所以当x=25时,S 最大,且S max =2 500.6.A 1-(1+20%)2×(1-20%)2=7.84%.则四年后的价格比原来的价格减少了7.84%. 二、填空题 7.答案 3 800解析 设这个人的稿费为x 元,易知420<4 000×11%,故(x-800)×14%=420⇒x=3 800. 8.答案 y={12t (0≤t ≤12)-45t +325(12<t ≤8) 解析 依题意,得y={12t (0≤t ≤12),-45t +325(12<t ≤8). 三、解答题9.解析 设投入的广告费为x 万元,广告效应为y 万元,销售额为A 万元,依题意得A=k √x ,且1 000=k √100,所以k=100,所以y=100√x -x=-(√x -50)2+2 500,所以当√x =50,即x=2 500时,y 取最大值2 500,即投入广告费为2 500万元时,所得广告效应最大,而非广告费投入越多越好.10.解析 (1)依题意得y=g(t)·f(t)=(80-2t)·(20-12|t -10|)=(40-t)(40-|t-10|), 则y={(30+t )(40-t )(0≤t <10),(40-t )(50-t )(10≤t ≤20),即y={-(t -5)2+1 225(0≤t <10),(t -45)2-25(10≤t ≤20). (2)由(1)可知,对于0≤t≤20,当0≤t<10时,y 的取值范围是[1 200,1 225],当t=5时,y 取得最大值,最大值为1 225; 当10≤t≤20时,y 的取值范围是[600,1 200],当t=20时,y 取得最小值,最小值为600. 综上,日销售额y 的最大值为1 225,最小值为600.三年模拟解答题1.解析 因为日销售金额=销售单价×日销售量, 所以 y=P·Q={(t +20)(-t +40),0<t ≤24,t ∈N ,(-t +100)(-t +40),25≤t ≤30,t ∈N ,即y={-(t -10)2+900,0<t ≤24,t ∈N ,(t -70)2-900,25≤t ≤30,t ∈N . 若0<t≤24,则当t=10时,y 值最大,且y max =900,若25≤t≤30,则当t=25时,y 值最大,且y max =1 125, 因为900<1 125,所以当t=25时,y 值最大,且y max =1 125.故这种商品日销售金额的最大值是1 125元,日销售金额最大的一天是30天中的第25天. 2.解析 (1)当a=1时,f(x)={x 2+x +1(x <0),x 2-x +1(x ≥0),易得f(x)的增区间为[-12,0]和[12,+∞). (2)因为x∈[1,2],所以f(x)=ax 2-x+2a-1, 所以函数f(x)图像的对称轴为直线x=12a (a>0), ①当1≤12a≤2,即14≤a≤12时,f(x)在[1,12a ]上是递减的,在(12a,2]上是递增的,所以f(x)min =f (12a )=a (12a )2-12a +2a-1=-14a +2a-1;②当12a <1,即a>12时,f(x)在[1,2]上是递增的,所以f(x)min =f(1)=3a-2; ③当12a >2,即0<a<14时,f(x)在[1,2]上是递减的,所以f(x)min =f(2)=6a-3. 综上,g(a)=f(x)min ={6a -3,0<a <14,-14a +2a -1,14≤a ≤12,3a -2,a >12.(3)由题意得,当x∈[1,2]时,h(x)=ax+2a -1x -1,在区间[1,2]上任取x 1、x 2,且x 1<x 2, ∵函数h(x)在[1,2]上是增函数, ∴h(x 2)-h(x 1) =(ax 2+2a -1x 2-1)-(ax 1+2a -1x 1-1)=(x 2-x 1)(a -2a -1x1x 2)=x 2-x1x 1x 2[ax 1x 2-(2a-1)]>0, ∵1<x 1<x 2<2,∴x 2-x 1>0,x 1x 2>0, ∴ax 1x 2-(2a-1)>0,即ax 1x 2>2a-1, ①当a=0时,上式显然成立; ②当a>0时,x 1x 2>2a -1a,易知x 1x 2>1,则2a -1a≤1,解得0<a≤1;11 ③当a<0时,x 1x 2<2a -1a ,易知x 1x 2<4, 则2a -1a ≥4,解得-12≤a<0.综上,实数a 的取值范围是[-12,1].3.解析 设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨,则y=400+60t-120√6t (0≤t≤24), 令√6t =x,则x 2=6t,且x∈[0,12],故y=400+10x 2-120x=10(x-6)2+40,则当x=6,即t=6时,y 最小,且y min =40.即供水开始经过6个小时,蓄水池中的存水量最少,最少存水量是40吨.4.解析 (1)由题意知,当m=4时,y={x +8 (0<x ≤4),24x -2(x >4). 当0<x≤4时,x+8≥4;当x>4时,由24x -2≥4⇒4<x≤8.综上,当0<x≤8时,y≥4,所以自来水一共可持续8天达到有效净化状态.(2)易知y=mf(x)={mx 4+2m (0<x ≤4),6m x -2 (x >4)在区间(0,4]上单调递增,则2m<y≤3m;在区间(4,7]上单调递减,则6m5≤y<3m,故当x∈(0,7]时,y∈[65m ,3m],为使4≤y≤10在x∈(0,7]上恒成立,只要6m5≥4且3m≤10即可,故m=103.所以为了使在7天之内的自来水持续达到最佳净化状态,投放的药剂质量应该为103.。
实际问题的函数建模
④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原到
实际问题．
数学建模过程： 实际问题 抽象概括 数学模型
推 理 演 算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
例1
某公司一年需要一种计算机元件
8000个,每天需同样多的元件用于组装 整机.该元件每年分n次进货,每次购买 元件的数量均为x,购一次货需手续费
用计算器得：a2, b1.02
这样就得到函数模型：y=21.02x.
(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍
为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为
175㎝,体重为78㎏的在校男生的体重是否正常?
解析: 将x=175代入y=21.02x，得
y=21.02175
用计算器得：y 63.98 由于 7863.981.22>1.2,
体重/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据表提供的数据,能否建立一个恰当的函数模型, 使它能近似地反映这个地区未成年男性体重y ㎏与身 高x ㎝的函数关系?试写出这个函数模型的关系式.
解：以身高为横坐标、体重为纵坐标,画出散点图 根据图的分布特 点,设y=a· bx这一 函数来近似刻画 其关系;
所以这个男生偏胖。
1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的
经营实践,旅社经理发现，每间客房每天的价格与
住房率之间有如下关系：
每间每天房价
住房率 20元 65％ 18元 75％ 16元 85％ 14元 95％
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ C ）
A.20元
B.18元
北师大版高中数学(必修).《实际问题的函数建模》ppt课件之一
思考：
例3给我们带来了什么 启示？把这种处理数据方法 叫作什么呢？
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过 绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些 点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种 函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入 这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达 式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以 确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法 称为数据拟合。
阅读,分析,联 想,转化,抽象
建立数 学模型
练习Ｐ125 作业P130：A组：2； B组：1
小结：掌握解决应用题的步骤及 思维方式。
谢谢大家！
解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐 标,画出散点图
60
根据图的分布 50
特点,设y=a·bx 40
这一函数来近
30 20
似刻画其关系; 10
0
180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60
取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=a·bx
例3 电器材厂在生产扬声
器的过程中，有一道重要
的工序：使用AB胶粘合
扬声器中的磁钢与夹板.思考如下问题：
长用溢已期量有;或以没一用来有些胶一 恰,由过个 当于少确 用对 ,定 胶产A的量B生是么胶（标的脱1否方的）准具胶磁具法体,,钢有可经影数数面函以常响关据积数确出了系.与关定现产？用系是用品胶？ 什胶质量用 么过量间什 函多.经,脱过水实外验,
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
磁钢面积
（2）确定函数类型后，如
/cm2
何求出具体的函数解析式？ 11.0 19.4 26.2 46.6 56.6 67.2 125.2 189.0 247.1 443.4
实际问题的函数建模教案
实际问题的函数建模教案第一章：引言1.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解实际问题的函数建模的基本概念和方法，并能够运用函数模型解决简单的实际问题。
1.2 教学内容实际问题的函数建模的定义和意义函数模型的类型和特点实际问题建模的基本步骤1.3 教学方法讲授法：讲解实际问题的函数建模的基本概念和方法案例分析法：分析实际问题，引导学生运用函数模型解决问题1.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解实际问题的函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对函数模型的应用能力第二章：线性函数建模2.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解线性函数建模的基本概念和方法，并能够运用线性函数模型解决简单的实际问题。
2.2 教学内容线性函数的基本概念和性质线性函数建模的方法和步骤线性函数模型在实际问题中的应用2.3 教学方法讲授法：讲解线性函数的基本概念和性质案例分析法：分析实际问题，引导学生运用线性函数模型解决问题2.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解线性函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对线性函数模型的应用能力第三章：二次函数建模3.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解二次函数建模的基本概念和方法，并能够运用二次函数模型解决简单的实际问题。
3.2 教学内容二次函数的基本概念和性质二次函数建模的方法和步骤二次函数模型在实际问题中的应用3.3 教学方法讲授法：讲解二次函数的基本概念和性质案例分析法：分析实际问题，引导学生运用二次函数模型解决问题3.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解二次函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对二次函数模型的应用能力第四章：指数函数建模4.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解指数函数建模的基本概念和方法，并能够运用指数函数模型解决简单的实际问题。
4.2 教学内容指数函数的基本概念和性质指数函数建模的方法和步骤指数函数模型在实际问题中的应用4.3 教学方法讲授法：讲解指数函数的基本概念和性质案例分析法：分析实际问题，引导学生运用指数函数模型解决问题4.4 教学评估课堂讨论：学生能够参与课堂讨论，理解指数函数建模的基本概念和方法课后作业：布置相关案例分析题，检验学生对指数函数模型的应用能力第五章：多项式函数建模5.1 课程目标通过本章的学习，学生将了解多项式函数建模的基本概念和方法，并能够运用多项式函数模型解决简单的实际问题。
实际问题中的函数模型
实际问题中的函数模型随着经济和科技的快速发展，越来越多的实际问题需要运用数学模型进行解决。
而函数模型，作为数学模型中的一种，正是被广泛运用于各种实际问题中的。
本文将阐述几个实际问题中的函数模型，并探讨如何建立这些函数模型以及其应用。
一、收益函数模型在市场经济环境下，各类企业都需要关注其产品或服务的收益情况。
而构建一种可靠的收益函数模型，对企业的业务决策至关重要。
收益函数模型是一种以产品或服务售价和销量为自变量，以收益为因变量的函数模型。
在建立收益函数模型时，可以先通过市场调研等渠道，了解消费者对产品或服务的需求和购买力。
然后，根据实际成本等因素，确定合理的售价，建立售价和销量的函数关系。
最终，由此得到收益函数模型。
应用收益函数模型，企业可以清晰地了解其产品或服务的销售状况，并做出相应的决策。
例如，可以根据模型预测进一步的销售情况，制定促销策略等。
二、距离函数模型距离函数模型是指以距离为自变量，以其他因素（如时间、成本等）为因变量的函数模型。
距离函数模型常用于物流、地理等领域的问题中。
在建立距离函数模型时，需要先了解不同地区或物流中心之间的距离，根据实际交通等因素，确定时间和成本等变量。
然后，通过数据分析等方法，建立距离和时间、成本等因变量之间的函数关系。
最终，得到距离函数模型。
应用距离函数模型，可以帮助解决物流中心选址、物流运输路径规划等实际问题。
例如，根据模型预测时效、成本等因素，指导物流公司做出最优决策。
三、人口增长函数模型人口增长是许多国家和地区面临的一个实际问题。
建立人口增长函数模型，可以帮助政府、研究机构等对人口的发展趋势进行预测和管理。
在建立人口增长函数模型时，需要先了解人口增长的历史数据，包括出生率、死亡率、迁入率、迁出率等因素。
然后，可以运用数学模型和统计学方法，建立人口增长和上述因素之间的函数关系。
最终，得到人口增长函数模型。
应用人口增长函数模型，可以帮助政府和研究机构预测未来的人口发展趋势，为制定相应政策提供依据。
§2.实际问题的函数建模(二)
5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为 y，把 y表示为x的
函数___y_=_(_1_+_5_%__)x__，作出函数的图像.
y loga x b
y 2
y 2
对数型
y
2
1
1
1
o 12
10 x
o 1 2 xo 1 2 x
y kx b y ax2 bx c(a 0) y ka x b
有一个点x0满足 1.002x0 5,由于它在区间[10,1000]上递增,因此, 当x>x0时, y>5,所以该模型也不符合要求；
（3）对于模型 y=log7 x+1,它在区间[10,1000]上递增, log71000+1-5=
log71000-4=log71000-log774=log71000-log72401<0,所以它符合奖金总
所以当x ∈[10,1000]时, log7 x 1 0.25. y
x
o 200 400 600
说明按模型y=log7 x+1奖励，
-50
奖金不超过利润的25%.
-100
-150
综上所述，模型 y=log7 x+1确 -200
实能符合公司的要求.
-250
-300
x 800 1000
变式训练：某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场
n
n
n
4 4000 C, 当且仅当 n, 即n=4时，总费用最少，
n
故以每年进货4次为宜.
点角哪般基学例 A有 脱 据评坐一表本中B2一胶（：标种达反，胶.电个见,系函式映很通影粘声确下中数，了多过响合器定表的图再事规一了扬材的）点像作物律些产声厂标.，，必规、数品器在准观选要律定据质中生,察定的律.寻量经这的产这函检都求常.种磁经扬些数验是事出方钢过声点形，先物现法与实器的式基通规用称夹验的整后本过律胶为板,过已体，符实，过实,长程经特将合验往多际期中有征一实，往,拟胶以,一有，些际得是合水来些一看数，到通.外在,恰由道它 据 就 数过溢自当于重们代可据绘;然用对或要接入以，出科胶A用的近这确再这B学量胶工我个定通些胶和的过序们函这过数的社具少:熟数个数据用使会体,悉的函据在产量用科数的一数拟直生没
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y = 1000 × (1 + 2.25%)5 = 1000 × 1.02255
由计算器算得： 1117.68（ 由计算器算得：y = 1117.68（元）
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题， 例4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识 人口数量的变化规律， 人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus, 早在1798年 英国经济学家马尔萨（ 1798 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 就提出了自然状态下的人口增长模型
50(1- k) ] 上递增， 在 (- , 上递增， k 50(1- k) , + ) 上递减 在 [ k
∴适当地涨价，即 x>0 , 即 适当地涨价，
50(1- k) > 0 k ,能使销售总金额增加 能使销售总金额增加. 就是 0 < k <1 ,能使销售总金额增加.
例3、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化 设本利和为y 存期为x 写出本利和y随存期x 的函数式。如果存入本金1000元 每期利率2.25%， 的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 1000 2.25% 算5期后的本利和是多少？ 期后的本利和是多少？ 思路分析 （1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和 复利是计算利率的一个方法， 本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P 本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P， 每期利率为r 本利和为y ,存期为 存期为x, 每期利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为 y=p(1+r)x.
解得x=6(km) 解得x=6(km) 答:该处的海拔为6(km) 该处的海拔为6(km)
例5 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表 身 高 体 重
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
31.1138.85 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
解:(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366 (1)把 代入函数表达式y=ce 代入函数表达式y=cekx ，得：
0.5683 = c ie5 k 5.5 k 0.5366 = cie
k ≈ −0.115 ∴ c ≈ 1.01
∴ y = 1.01ie −0.115 x (105 Pa) x=6.712代入上述函数式 代入上述函数式， 把 x=6.712代入上述函数式，得
p = 480 − 40(x − 1) = 520 − 40x
而
x > 0, 且520 - 40x > 0,即0 < x < 13
= - 40(x - 6.5) 2 + 1490
p = (520 - 40x)x - 200 = - 40x 2 + 520x - 200
\ 当x = 6.5 时 y 有最大值 ，
数学建模过程： 数学建模过程： 实际问题 抽象概括 数学模型 推 理 演 算
实际问题
数学模型
应用举例
某桶装水经营部每天的房租、 例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200元 每桶水的进价是5 200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关 系如表所示： 系如表所示：
销售单价/元 销售单价/ 日均销售量/ 日均销售量/桶
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合. 1950～1959年的实际人口数据基本吻合. 年的实际人口数据基本吻合 将y=130000代入 y = 55196e y=130000代入 计算可得
0.0221t
, t ∈ N.
t = 38.76.
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 1950 39年 39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看 1989年 我国的人口就已达到13亿 13 到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我 如果不实行计划生育,而是让人口自然增长, 国将面临难以承受的人口压力. 国将面临难以承受的人口压力.
⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数 根据上表中各组对应的数据，
y = ax + b, y = a ln x + b, y = a ⋅ b
x
中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y 中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于 身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值． 身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值． a,b的值 ⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦， 若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦， 1.2倍为偏胖 0.8倍为偏瘦 体重78 kg，他的体重是否正常？ 那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
（2）1期后本利和为：y1 期后本利和为 2期后本利和为：y 期后本利和为
2
= a + a × r = a(1 + r)
= a (1 + r ) 2
…… x期后，本利和为： = a(1 + r) 期后，本利和为 y
x
将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式： a=1000元 r=2.25%，x=5代入上式： 代入上式
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 1951～1959年的人口增长率分别为
r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9 .
由 55196(1 + r) = 56300 可得1951的人口增长率为 可得1951的人口增长率为 r1 ≈ 0.0200 1951 同理可得， 2 ≈ 0.0210 同理可得，r
练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强 练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强 x(km) Pa)， 是y(105Pa)， y与x之间的函数关系式是 y=cekx （c,k为常量） c,k为常量） 为常量 在海拔5 (km)处的大气压强为 处的大气压强为0.5683 在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) ， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为 处的大气压强为0.5366 Pa)， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa)， 处的大气压强约为多少？ （1）问海拔6.710 (km)处的大气压强约为多少？ 问海拔6.710 (km)处的大气压强约为多少 （精确到0.0001) 精确到0.0001) （2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)， 海拔为h米处的大气压强为0.5066(10 Pa)， 求该处的海拔h 求该处的海拔h
6 480
7 440
8 400
9 360
10 320
11 280
12 240
请根据以上数据作出分析， 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获 得最大利润？ 得最大利润？
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1 分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元， 增加 日均销售量就减少40桶 销售利润怎样计算较好？ 日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？ 减少40 解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元， 设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y 则有日均销售量为
令 y 0 = 55196, 增长模型为 y
则我国在1950-1959年期间的人口 则我国在1950-1959年期间的人口 1950
0.0221t
= 55196e
, t ∈ N.
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象. 根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
y = 55196e0.0221t , t ∈ N 由图像可以看出, 由图像可以看出,所得模型
r3 ≈ 0.0229
r4 ≈ 0.0250
r5 ≈ 0.0197 r8 ≈ 0.0222
r6 ≈ 0.0223 r9 ≈ 0.0184
r7 ≈ 0.0276
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为 于是, 1951～1959年期间, 年期间
r = (r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6 + r7 + r8 + r9 ) ÷ 9 = 0.0221
\
只需将销售单价定为11.5元 就可获得最大的利润. 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 11.5
例2
已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%， 已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%， x% kx%
其中k为正常数. 其中k为正常数. 1 k= (1)当 该商品的价格上涨多少， (1)当 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的 2 总金额最大？ 总金额最大？ (2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加， (2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范 如果适当的涨价 围.
取 k=
1 ,得： ab y= [- (x - 50) 2 + 22500] 2 20000
9 = ab 即该商品的价格上涨50%时， 即该商品的价格上涨50% 50%时 8
50时 当 x = 50时， y max 销售总金额最大. 销售总金额最大.
ab [- kx 2 + 100(1 - k)x + 10000] (2)∵二次函数 (2)∵二次函数 y = 10000