§2 实际问题的函数建模

人数 ／万 人
55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
(1)如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口增长 (1)如果以各年人口增长谐振平均值作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时 精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时 0.0001）， 期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; 期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符; （2）如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿 如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿 13
\
只需将销售单价定为11.5元 就可获得最大的利润. 只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 11.5
例2
已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%， 已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少kx%， x% kx%
其中k为正常数. 其中k为正常数. 1 k= (1)当 该商品的价格上涨多少， (1)当 时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的 2 总金额最大？ 总金额最大？ (2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加， (2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范 如果适当的涨价 围.
50(1- k) ] 上递增， 在 (- , 上递增， k 50(1- k) , + ) 上递减 在 [ k
∴适当地涨价，即 x>0 , 即 适当地涨价，
50(1- k) > 0 k ,能使销售总金额增加 能使销售总金额增加. 就是 0 < k <1 ,能使销售总金额增加.
例3、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化 设本利和为y 存期为x 写出本利和y随存期x 的函数式。如果存入本金1000元 每期利率2.25%， 的函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 1000 2.25% 算5期后的本利和是多少？ 期后的本利和是多少？ 思路分析 （1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和 复利是计算利率的一个方法， 本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P 本金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P， 每期利率为r 本利和为y ,存期为 存期为x, 每期利率为r，本利和为y ,存期为x, 则复利函数式为 y=p(1+r)x.
①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识， 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型； 建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； 解模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题 还原：将用数学知识和方法得出的结论， 的意义． 的意义．
∴ y = 1.01ie −0.115×6.712 ≈0.4668 (105Pa)
(km)高空的大气压强为 高空的大气压强为0.4516 答：7 (km)高空的大气压强为0.4516 (105Pa).
(2)由1.01· (2)由1.01·e-0.115x=0.5066
0.5066 ∴−0.115 x = ln 1.01
p = 480 − 40(x − 1) = 520 − 40x
而
x > 0, 且520 - 40x > 0,即0 < x < 13
= - 40(x - 6.5) 2 + 1490
p = (520 - 40x)x - 200 = - 40x 2 + 520x - 200
\ 当x = 6.5 时 y 有最大值 ，
§2
实际问题的函数建模
学习目标
1.了解数学建模， 1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系式的 了解数学建模 方法； 方法； 2.通过例题的学习，增强应用数学的意识以及分析问题、 2.通过例题的学习，增强应用数学的意识以及分析问题、 通过例题的学习 解决问题的能力。 解决问题的能力。
解决应用题的一般程序是： 解决应用题的一般程序是：
练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强 练习:科学研究表明：在海拔x(km)处的大气压强 x(km) Pa)， 是y(105Pa)， y与x之间的函数关系式是 y=cekx （c,k为常量） c,k为常量） 为常量 在海拔5 (km)处的大气压强为 处的大气压强为0.5683 在海拔5 (km)处的大气压强为0.5683 (105Pa) ， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为 处的大气压强为0.5366 Pa)， 在海拔5.5 (km)处的大气压强为0.5366 (105Pa)， 处的大气压强约为多少？ （1）问海拔6.710 (km)处的大气压强约为多少？ 问海拔6.710 (km)处的大气压强约为多少 （精确到0.0001) 精确到0.0001) （2）海拔为h米处的大气压强为0.5066(105Pa)， 海拔为h米处的大气压强为0.5066(10 Pa)， 求该处的海拔h 求该处的海拔h
⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数 根据上表中各组对应的数据，
y = ax + b, y = a ln x + b, y = a ⋅ b
x
中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y 中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于 身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值． 身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值． a,b的值 ⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦， 若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦， 1.2倍为偏胖 0.8倍为偏瘦 体重78 kg，他的体重是否正常？ 那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
令 y 0 = 55196, 增长模型为 y
则我国在1950-1959年期间的人口 则我国在1950-1959年期间的人口 1950
0.0221t
= 55196e
, t ∈ N.
根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象. 根据表格中的数据作出散点图,并作出函数的图象.
y = 55196e0.0221t , t ∈ N 由图像可以看出, 由图像可以看出,所得模型
解：(1)设商品现在定价为a元，卖出的数量为b个。由题设： (1)设商品现在定价为a 设商品现在定价为 卖出的数量为b 由题设： 当价格上涨x%时，销售总额为 当价格上涨x%时 x%
y = a(1 + x%) ?b(1 kx%)
即
ab y= [- kx 2 + 100(1- k)x + 10000] 10000
解得x=6(km) 解得x=6(km) 答:该处的海拔为6(km) 该处的海拔为6(km)
例5 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表 身 高 体 重
60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
31.1138.85 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
6 480
7 Fra Baidu bibliotek40
8 400
9 360
10 320
11 280
12 240
请根据以上数据作出分析， 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获 得最大利润？ 得最大利润？
分析：由表中信息可知①销售单价每增加1 分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元， 增加 日均销售量就减少40桶 销售利润怎样计算较好？ 日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？ 减少40 解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y元， 设在进价基础上增加x元后，日均经营利润为y 则有日均销售量为
数学建模过程： 数学建模过程： 实际问题 抽象概括 数学模型 推 理 演 算
实际问题
数学模型
应用举例
某桶装水经营部每天的房租、 例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200元 每桶水的进价是5 200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关 系如表所示： 系如表所示：
销售单价/元 销售单价/ 日均销售量/ 日均销售量/桶
（2）1期后本利和为：y1 期后本利和为 2期后本利和为：y 期后本利和为
2
= a + a × r = a(1 + r)
= a (1 + r ) 2
…… x期后，本利和为： = a(1 + r) 期后，本利和为 y
x
将a=1000元，r=2.25%，x=5代入上式： a=1000元 r=2.25%，x=5代入上式： 代入上式
与1950～1959年的实际人口数据基本吻合. 1950～1959年的实际人口数据基本吻合. 年的实际人口数据基本吻合 将y=130000代入 y = 55196e y=130000代入 计算可得
0.0221t
, t ∈ N.
t = 38.76.
所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 所以,如果按上表的增长趋势,那么大约在1950年后的第 1950 39年 39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看 1989年 我国的人口就已达到13亿 13 到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我 如果不实行计划生育,而是让人口自然增长, 国将面临难以承受的人口压力. 国将面临难以承受的人口压力.
解:(1)把x=5,y=0.5683,x=5.5,y=0.5366 (1)把 代入函数表达式y=ce 代入函数表达式y=cekx ，得：
0.5683 = c ie5 k 5.5 k 0.5366 = cie
k ≈ −0.115 ∴ c ≈ 1.01
∴ y = 1.01ie −0.115 x (105 Pa) x=6.712代入上述函数式 代入上述函数式， 把 x=6.712代入上述函数式，得
y = 1000 × (1 + 2.25%)5 = 1000 × 1.02255
由计算器算得： 1117.68（ 由计算器算得：y = 1117.68（元）
人口问题是当今世界各国普遍关注的问题， 例4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识 人口数量的变化规律， 人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依 据。早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus, 早在1798年 英国经济学家马尔萨（ 1798 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： 就提出了自然状态下的人口增长模型
y = y0
r表示人口的年平均增长率。 表示人口的年平均增长率。
en
其中t表示经过的时间， 表示t 时的人口数， 其中t表示经过的时间， y 0 表示t＝0时的人口数，
下表是1950～1959年我国的人口数据资料： 下表是1950～1959年我国的人口数据资料： 1950 年我国的人口数据资料
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
取 k=
1 ,得： ab y= [- (x - 50) 2 + 22500] 2 20000
9 = ab 即该商品的价格上涨50%时， 即该商品的价格上涨50% 50%时 8
50时 当 x = 50时， y max 销售总金额最大. 销售总金额最大.
ab [- kx 2 + 100(1 - k)x + 10000] (2)∵二次函数 (2)∵二次函数 y = 10000
r3 ≈ 0.0229
r4 ≈ 0.0250
r5 ≈ 0.0197 r8 ≈ 0.0222
r6 ≈ 0.0223 r9 ≈ 0.0184
r7 ≈ 0.0276
于是, 1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为 于是, 1951～1959年期间, 年期间
r = (r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6 + r7 + r8 + r9 ) ÷ 9 = 0.0221
解:（1）设1951～1959年的人口增长率分别为 1951～1959年的人口增长率分别为
r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , r6 , r7 , r8 , r9 .
由 55196(1 + r) = 56300 可得1951的人口增长率为 可得1951的人口增长率为 r1 ≈ 0.0200 1951 同理可得， 2 ≈ 0.0210 同理可得，r