相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)

回顾相似三角形的判定方法总结: 相似三角形6大证明技巧

相似三角形证明方法之反A型与反X型

1

. 2

. 3

. 4

. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)

两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)

5.

模型一：反A型：

如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACD ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程

模型二：反X型：

如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AOD

BOC.

试一试写出具体证明过程D B

应用练习:

1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO ,

/ EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCB

2.已知在MBC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如

图2)于点P.

⑴当点P在线段AB上时,求证：MPQ S /△ABC ;

⑵当/△^QB为等腰三角形时，求AP的长。

模型三：射影定理

相似三角形证明方法之射影定理与类射影

如图已知^ ABC，/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：A C2AH AB , BC2 BH BA ,, 2

HC HA HB ,试一试写出具体证明过程

模型四：类射影

BD AB

如图，已知AB 2

AC AD ，求证：亍 乔，试一试写出具体证明过程

BC AC

应用练习:

J 45

1.如图，在 △ ABC 中，AD 丄BC 于D ，DE 丄AB 于E ，DF 丄AC 于F 。求证：—

AP AS

2.如图，在 △ ABC 中，AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF

/ AEF= / C

模型五：一线三等角

如图，已知/ B=/ C= / EDF ，则△ BDECFD (AA )，试 一试写出具体证明过程

应用练习：

1.如图，△ ABC 和/ DEF 两个全等的等腰直角三角形， / BACK EDF=90, △ DEF 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中， 线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .

(1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^ZCQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： 并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含

2.^ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/

(1) 如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅 助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形.

(2) 如图(2)，将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交 线段AC ，

AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角

形，并证明你的结论.

(3) 在图(2 )中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长.

3.如图，点仔在线段《上，点D 、F 在M 同侧，"=« =妙，他丄砒，

AD = SC

(1)求证：胆"D+CA

(2 )若37, CE"，点P 为线段丄&上的动点，连接DP ,作M3尸，交 直线占E

相似三角形证明方法之一线三等角

△ BP0A CEQ

a 的代数式表示)

AC 于F ，连EF ，求证:

于点Q。

①当点P与貝、g两点不重合时，求D bPQ的值。

②当点P 从貝点运动到M 的中点时，求线段％的中点所经过的路径（线段） 长。（直接写出结果，不必写出解答过程）

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开 “平行线模型” （A 型，X 型，线束型），也离不开上述的 6种“相似模型”.但是“模型”只是工具，怎样选择 工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何 思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃， 让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧 技巧一： 技巧二： 技巧三： 技巧四： 技

巧五： 技巧六：

技巧一：三点定型

的平分线,

比例式的证明方法之三点定型

三点定型法 等

线段代换 等比

代换 等积代换 证等量先证等比 几何计算

横向与纵向观察所证线段比列式（如果是等积式，则将其化为等比式）的分子分母，三 个字母即可确定三角形，从而证三角形相似即可。

1.如图，在Rt △ ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，

ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于

BF AB

F

.求证：韮.

ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 2.如图，平行四边形

于F ，求证： DC

AE

CF - AD

3.如图， △ ABC 中， BAC 90 ， M 为BC 的中点， DM BC 交CA 的延长线 于D ，交 AB 于E .求证：

AM 2

MD ME

比例式的证明方法之 等线段代换

若三点定型法无法确定哪两个三角形相似，则考虑用等 量代换替代其中线段，然后再用三点定型法确定三角形证相 似，常用的方法有：

等线段代换，等比代换，等积代换

【例1】 如图，在△ ABC, AD 平分/ BAC, AD 的垂直平分线 交

AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FD 2

FB 证明：连接AF,

FC

O

A

D

C

D

E

\

A