柯西不等式优质课ppt课件

由 a2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a,b,c, d为任意实数.
(a2 b2 )(c2 d 2 )
联想
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a2 b2 )(c2 d 2 ) a2c2 b2d 2 a2d 2 b2c2 (ac bd )2 (ad bc)2 (ac bd )2
不等式(a2 b2 )(d 2 c2 ) (ad bc)2 成立吗？
与不等式(a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 矛盾吗？它们之间有什么区别？
不等式①： 不等式②：
ad bc a c bd
ac bd a d bc
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
定理 2(柯西不等式的向量形式)
若 , 是两个向量,则 ≥ .
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
注：若 ( x1, y1)， ( x2, y2 ) ，则
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
设 (a,b), (c, d ),则 a2 b2 , c2 d 2 , ac bd, 利用 ,
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
两边平方后得证.
柯西不等式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何意义
设 (a,b), (c, d ),则
4x2 9 y2的最小值为 1 2
变式2：设a,b R , 2a 3b 6求 2 1的最小值. ab
小结
1、二维形式的柯西不等式 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2、二维形式的柯西不等式的变式
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(a2 b2 )(c2 d 2 )≥ (ac bd )2
思考
设a1, a2 , a3, , an , b1, b2 , b3, , bn是实数,则
当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面不等式:
若 a,b,c,d 都是实数, 则
(1) (a2 b2 ) (c2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
(2) (a2 b2 ) (c2 d2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了.
证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 =ax1 bx2 ax2 bx1
由柯西不等式可知
2
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a x1 x2 b x1 x2
= a b2 x1x2 x1x2 .得证
分清（找准）a,b,c,d
练习 1:设 a, b R , a b 1, 求证: 1 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a, b R ,根据柯西不等式,得
(a b)( 1 1 )≥ ( a 1 b 1 )2 4
ab
a
b
又 a b 1,∴ 1 1 ≥ 4 ab
补全a,b,c,d
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
“=”何时成立
当且仅当是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号成立.
定理 2(柯西不等式的向量形式)
若 , 是两个向量,则 ≥ .
当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a,b,c,d 都是实数,则 (a2 b2)(c2 d 2)≥(ac bd)2 .
灵活对调前后项
变式1：若2x 3y 1,求4x2 9y2的最小值.
解 :由柯西不等式(4x2 9 y2 )(12 12 ) (2x 3y)2 1,
4x2 9y2 1 . 2
当且仅当2x 1 3y 1,即2x 3y时取等号.
由22xx
3y 3y
得 1
x y
1 4 1 6
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理： 若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ad=bc时,等号成立.
仔细观察上述定理，概括它的特点 平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
例1：已知a,b为实数，求证
(a4 b4 )(a2 b2 ) (a3 b3)2
例2.求函数 y 5 x 1 10 2x 的最大值
ac bd (a2 b2 ) c2 d 2
变形，使之出现常数
练习2 设a 0,b 0,且a b 1,求证：2a 1 b 1 22
32
变形，使之出现
条件中的表达式或表达式的倍数
例3.设x 0, y 0,且x y 2, x2 y2 的最小值。 2x 2 y
柯西不等式优质课
柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。 27岁成为巴黎综合工科学校教授， 并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性， 实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程 等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
? (a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 )≥
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 )
例4.若a b c,求证： 1 1 4 ab bc ac
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2