高中数学人教版必修1知识讲解讲义

高中数学必修1知识讲解讲义

目录

第一讲集合的概念 (1)

第二讲集合的关系与运算 (6)

第三讲映射与函数 (11)

第四讲函数的表示方法——解析式法 (16)

第五讲函数单调性 (20)

第六讲函数奇偶性 (27)

第七讲指数与指数幂的运算 (36)

第八讲指数函数 (42)

第九讲对数函数 (50)

第十讲对数与对数运算 (56)

第十一讲幂函数 (61)

第十二讲方程的根与函数的零点 (66)

第十三讲用二分法求方程的近似解 (71)

第十四讲几类不同增长的函数模型 (76)

第十五讲函数的图像 (85)

第十六讲函数的综合应用 (93)

第十七讲二次函数性质与函数的图像 (111)

第一讲 集合的概念

一. 知识思维导图

二. 知识要点解读 （一）集合的概念

1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合

(set)（简称为集）。

（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.

（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.

（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.

集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、…… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、……

2. 元素与集合的关系

（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性：

集合

集合的概念

集合及元素

集合的分类及表示

集合的关系

包含子集真子集

集合的运算交集

并集

补集

集合的应用

(1)元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者

是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对

象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一

样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

4.集合分类

根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：

（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф

（2）含有有限个元素的集合叫做有限集

（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集

【例1】考察下列每组对象能否构成集合？

⑴中国的直辖市；

⑵young中的字母；

⑶不超过20的质数；

⑷高一⑶班16岁以下的学生；

⑸高一⑶班所有个子高的学生.

【分析】

⑴“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”；

⑵“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；

⑶“不超过20的质数”构成一个集合，该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”；（质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。）

⑷“高一⑶班16岁以下的学生”构成一个集合；

⑸“高一⑶班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。

【例2】：用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：

(1)所有绝对值等于6的数的集合A

(2)所有绝对值小于6的整数的集合B

【分析】由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.

【解】

(1)A＝{绝对值等于6的数} ；其元素为：－6，6

(2)B＝{绝对值小于6的整数}；其元素为：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5 （二）集合的表示方法

1.常用数集的表示方法

【例3】判断正误：

⑴所有在N中的元素都在N*中(×)

⑵所有在N中的元素都在Z中(√)

⑶所有不在N*中的数都不在Z中(×)

⑷所有不在Q中的实数都在R中(√)

⑸由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(×)

⑹不在N中的数不能使方程4x＝8成立(√)

注：（1）自然数集包括数0.

（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*

2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

1)是有限集而元素个数较少

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x}

2)是无限集且元素离散

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

3)是有限集但元素个数较多

如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为{1,2,3,4，···，98,99,100}

3.描述法：

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号{}内表示集合的方法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。{x|p(x)}中x为代表元素，p(x)指x具有的性质.

描述法的两种表述形式：

1)、数式形式:如由不等式x-5>4的所有解组成的集合，可以表示为{x|x-5>4}；由抛物线y=x2+1上所有点组成的集合，可以表示为{(x,y)|y=x2+1}。

2)、语言形式：如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}；所有绝对值小于6的整数的集合，可以表示为{绝对值小于6的整数}。

【例4】求不等式2x-3>5的解集

【答案】不等式的解集为{x|x>4,x∈R}

【例5】下列各组对象不能形成集合的是（）

A.大于6的所有整数

B.高中数学的所有难题

C.被3除余2的所有整数

D.函数y＝x图象上所有的点

【解】综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.

【例6】集合A的元素由kx２－3x＋2＝0(k∈R)的解构成，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.

【解】由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根。

若k＝0，则x＝2/3，知A中有一个元素，符合题设

若k≠0，则方程为一元二次方程.

当Δ＝9－8k＝0即k＝9/8时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞9/8时,kx2－3x＋2＝0无解.

此时A中无任何元素，即A＝Ф也符合条件

综上所述k＝0或k≥9/8

【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情