高中数学人教版必修1知识讲解讲义
第1章高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解
§1．1集合¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素及集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.（一）集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
7.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则一、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
第1章 高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解
§1．1集合¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.（一）集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则一、集合的表示方法⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
人教版高中数学必修一基础精品讲义
学科教师辅导讲义体系搭建一、知识概念（一）元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（二）集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B 真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（三）集合间的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x ∉A}（四）集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A ⇔B ⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A ⇔A ⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U (∁U A)＝A．典例分析考点一：集合的含义与表示例1、判断下列各组对象能否组成一个集合：(1)9以内的正偶数；(2)篮球打得好的人；(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；(4)高一(1)班所有高个子同学．例2、集合A 是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a 的取值范围．例3、已知集合A 由a＋2，(a＋1)2，a 2＋3a＋3三个元素构成，且1∈A，求实数a 的值．例4、用列举法表示下列集合（1）{}2A x Z x =∈≤；（2）(){},4,,M x y x y x N y N **=+=∈∈例5、现有三个实数的集合，既可以表示为{,,1}b a a，也可以表示为2{,,0}a a b +，则20142014a b +=________考点二：集合间的基本关系例1、已知集合M 满足{1,2}⊆M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.例2、已知集合{x 2，x＋y,0}＝{x，y x，1}，求x 2015＋y 2015的值为________．例3、将下列两集合相等的组的序号填在横线上。
人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解
必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1。
1。
1 集合的含义与表示¤知识要点：1。
把一些元素组成的总体叫作集合(set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种:列举法，即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“｛ ｝”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈},既要关注代表元素x ,也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3。
通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 。
4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to )，分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈,2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数。
解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=； 用列举法表示为{0,1,3}-.(2）用描述法表示为:{|27}x Z x ∈<<； 用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B 。
解：由3217k +=,解得5k Z =∈，所以17A ∈;由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉;由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈。
【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； (2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3)反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合。
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四、集合的表示方法
1、列举法
就是将集合中的元素一一列举出来并放在大括号内表示集合的方法
注意：1、元素间要用逗号隔开； 2、不管次序放在大括号内。
例如：book中的字母组成的集合表示为：｛ｂ，ｏ，o，ｋ｝｛ｂ，ｏ，ｋ｝ 一次函数y=x+3与y=-2x+6的图像的交点组成的集合。｛1,4｝｛（1,4）｝
的关系f则成为对应法则，则上面两个例子中，对应法则分别是“乘以10再加20” 和“平方后乘以”
1 乘以10再加20 30
2
40
3
50
4
60
5
70
6
80
7
90
8
100
1 平方后乘以4.94.9
1.5
？
2
？
3
？
5
？
6
？
7
？
8
？
二、映射
通过上面的两个例子，我们说明了什么是函数，上面的两个例子都是研究的 数值的情况，那么进一步扩展，如果集合A和集合B不是数值，而是其他类型的 集合，则这种对应关系就称为映射。具体定义如下：
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
集合与集合的运算
1、交集
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集， 记作A∩B，即
A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∩B可用右图中的阴影部分来表示。
⑴ A={1,2,3} , B={1,2,3,4,5};
人教版高中数学必修第一册同步讲义第一章 1.7 四种命题
1.7 四种命题①课文三点专讲重点:(1)四种命题及其关系.原命题：若p 则q 逆命题：若p 则q否命题：若⌝p 则⌝q 逆否命题：若⌝q 则⌝p(2)四种命题的关系.四种命题的关系如下表所示:(3)命题真假的判定.互为逆否命题具有相同的真假性.(4)反证法.要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法难点：反证法反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确注意：可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论考点:(1)考察逆命题、否命题与逆否命题.(2)四种命题的相互关系.应用四个重要结论解题.(3)反证法.该方法较为适用的题型为:①命题简单明了,没有更多的公理概念等依据可供论证的命题; ②结论本身是以否定形式出现的一类命题; ③有关结论是以“至多……”或“至少……”的形式出现的一类命题; ④关于惟一性、存在性的命题; ⑤结论的反面比原结论更具体、更容易研究和掌握.②练功篇典型试题分析例1. 写出命题“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2”的逆命题，否命题和逆否命题，并指出它们的真假.分析:此题的原命题中“在△ABC 中”是前提，在写这类命题的逆命题、否命题和逆否命题时一般保持不变.解析：原命题是真命题.逆命题为“在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°.为真命题.否命题为：“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则c 2≠a 2＋b 2”，是真命题.逆否命题为：“在△ABC 中，若c 2≠a 2＋b 2，则∠C ≠90°，是真命题.例2. 判断下列命题的真假，并说明理由.(1)设a ，b ∈N *，如果a ＋b 是偶数，那么a 、b 都是偶数.(2)如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C.(3)如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0满足ac ＜0那么这个方程有实数根.(4)相似三角形一定是全等三角形.(5)合数必定是偶数.分析：在判断命题的真假时，应注意运用有关的概念、定理、公式等基本理论，对命题的条件和结论仔细分析，认真思考.并注意反例的运用. (1)取反例：a ＝1，b ＝3，（2）由集合的性质，可判定，(3)由ac ＜0⇒b 2－4ac ≥0，（4）相似三角形的对应边不一定相等，(5)反例：9是合数，但不是偶数.解析：(1)假命题.例如a ＝1，b ＝3，a ＋b ＝4为偶数.但a 、b 不是偶数.(2)真命题.设任x 0∈A ，∵A ⊆B .∴x 0∈B .又 ∵B ⊆C ，则x 0∈C .故A ⊆C 成立.(3)真命题.因方程中由ac ＜0⇒Δ＝b 2－4ac ≥0.故一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实数根.(4)假命题.因相似三角形的对应边不一定相等.则不一定是全等三角形.(5)假命题.例如9是合数，但不是偶数.基础知识巩固1.有以下5个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；（5）所有男生都爱踢足球．其中命题（5）的否命题是 （ ）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）2.下面三个命题：（1）“若3=b ，则92=b ”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若1≤c ，则022=++c x x 有实根”的逆否命题．其中真命题的个数是 ( )A ． 0B ． 1C ． 2 D.．33.命题“能被4整除的数一定是偶数”，等价命题是（）A.偶数一定能被4整除B.不能被4整除的数一定不是偶数C.不能被4整除的数不一定是偶数D.4.下列命题中，正确的是( )①“若x2+y2 =0,则x , y全是0”的否命题②“全等三角形是相似三角形”的否命题③“若m＞1,则mx2－2(m+1)x+(m－3)＞0的解集为R”的逆命题④若“a+5是无理数，则a是无理数”的逆否命题A.①②③B.①④C.②③④D.①③④5.用反证法证明命题的第二步中，得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的( )①命题已知②数学定义③定理，公理④推理、演算的规律A.①B.①③C.②D.①②③④6.用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A.假设2是有理数B.假设3是有理数C.假设2或3是有理数D.假设2+3是有理数7.给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题.其中真命题的序号是______.8.写出命题p：“若m＞0，则关于x的方程x2+x－m=0有实数根”的逆命题，否命题和逆命题，并分别判断它的真假.9.写出下列命题的否命题(1)有些三角形是直角三角形;(2)所有的质数都是奇数 .10.若x、y∈R+，且x+y＞2,求证：y x+1＜2与x y+1＜2中，至少有一个成立.③升级篇典型试题分析例3：写出命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题、否命题，逆否命题.并判断其真假.分析：应注意分析清楚原命题的条件与结论，并充分利用四种命题的定义，还要注意条件和结论中“或”“且”“非”的否定的语句表述的准确性. 本题应注意理解掌握“p且q”的否定为“⌝p 或⌝q ”，“p 或q ”的否定为“⌝p 且⌝q ”.解析：原命题：“若x ≥2且y ≥3则x ＋y ≥5”为真命题.逆命题为：“若x ＋y ≥5，则x ≥2且y ≥3”，为假命题.否命题是：“若x ＜2或y ＜3，则x ＋y ＜5.”其为假命题.逆否命题是：“若x ＋y ＜5，则x ＜2或y ＜3”其为真命题.例4. 写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：(1)如果x ＞－3，那么x ＋8＞0(2)如果一个三角形的三边都相等，那么这个三角形的三角都相等.(3)矩形的对角线互相平分且相等.(4)相似三角形一定是全等三角形.分析：将原命题的条件和结论同时加以否定，便得到其否命题. 一个命题的否定应当包含除了本身以外的所有情况.如：“都相等”的否定应为“不都相等”，即至少有两个元素不相等；“p 或q ”与“⌝p 且⌝q ”互为否定；“一定是”的否定是“一定不是”.解析：(1)否命题是：“如果 x ≤－3，那么x ＋8≤0”原命题为真命题，否命题为假命题.(2)否命题是：“如果一个三角形的三边不都相等，那么这个三角形的三角不都相等. 原命题为真命题，否命题也为真命题.(3)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”.原命题是真命题，否命题也是真命题.(4)否命题是“不相似的三角形一定不是全等三角形.”原命题是假命题，否命题是真命题.知识应用与提升11. 给出以下四个命题：其中真命题是( )①“若x ＋y =0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1-≤q ，则02=++q x x 有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 12. 命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题为A.a +b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数B.a +b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数C.a 、b 不都是偶数，则a +b 不是偶数D.a 、b 都不是偶数，则a +b 不是偶数13. 用反证法证明命题“若整数n 的立方是偶数，则n 也是偶数”如下：假设n 是奇数，则n =2k +1(k 是整数)，n 3＝(2k ＋1)3＝______，与已知n 3是偶数矛盾，所以n 是偶数.14. 用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）A. a ，b 都能被5整除B. a ，b 都不能被5整除C. a ，b 不都能被5整除D. a 不能被5整除15. 给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0,则方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)无实根”的否命题②命题“△ABC 中，AB =BC =CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题③命题“若a >b >0,则3a >3b >0”的逆否命题其中真命题的序号为__________.16. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.(1)若x 2＝1，则x ＝1.(2)对顶角相等.(3)等腰三角形的两腰相等.(4)x 2＋2x ＋8＞0的解集为空集.④闯关篇典型试题分析例5：若a 、b 、c 均为实数，且2222,2,2236a x y b y z c z x πππ=-+=-+=-+，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．分析: 反证法是一种常用的数学方法，属于一种间接证法．当待证命题中出现“不可能”、“一定”、“至多”、“唯一”等词语时，常可考虑运用反证法．运用反证法时常见词语的否定方式有：“在”⇒“不在”；“是”⇒“不是”；“都是”⇒“不都是”；“大于”⇒“不大于”；“所有的…”⇒“至少有一个不…”；“至少一个” ⇒“一个也没有”；“任意一个”⇒“存在某个不…”，等等．证明: （用反证法）假设a 、b 、c 都不大于0，即0a ≤，0,0b c ≤≤，则有0a b c ++≤． 而222222236a b c x y y z z x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()222222x x y y z z π=-+-+-+()()()()2221113x y z π=-+-+-+-,所以 0a b c ++>，此与0a b c ++≤矛盾．故假设错误，从而原命题正确．评述:本题亦可直接转化为证明等价命题：0a b c ++>．．例6.若()22f x x ax a a =++-在[-1,1]上至少存在一点C 使()0f C >,求实数a 的取值范围.分析: 利用否命题来求解这一类问题,可以简化运算步骤,回避分类讨论.解析：该题可利用其否命题来解.该命题的否命题是: ()22f x x ax a a =++-在[-1,1]不存在点C 使()0f C >即对任意x ∈[-1,1], ()f x ≤0 .∴有()()1010f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩解之得11a a ≥≤-或故实数a的取值范围为()1a ∈- ..． 知识拔高与创新17. 否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ）A.有一解B.有两解C.有三解D.至少有两解18. 已知两函数：2222132,3)31(2a x x y a ax x y ++=+--+=.求证：不论a 取怎样的实数，这两函数的图象至少有一个位于x 轴的上方.19. 已知a 、b 、c 是一组勾股数(即a 2＋b 2＝c 2)，求证：a 、b 、c 不可能都是奇数.20. 假设p 、q 都是奇数，求证：关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0无整数根.⑤行侠篇高考试题点击21.(2005江苏) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为 .22. (2004江苏)若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的( )A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题⑥娱乐广场开阔视野、趣味学习反证法小游戏三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了答案：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我由此可知，我的脸也给涂黑了这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面—没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了因此这是一种间接的证明方法显然这种证明方法也是不可缺少的像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“参考答案:1.7 四种命题1. C 解析：“所有”的否定是“至少有一个不”.2. Ｂ解析：（3）“若1≤c ，则022=++c x x 有实根”的逆否命题为真命题．3. D 解析：其逆否命题为“不是偶数一定不能被4整除”.4. B 解析：“若x 2+y 2 =0,则x , y 全是0”的否命题与若“a +5是无理数，则a 是无理数”的逆否命题为真命题.5. D 解析:反证法证明命题的第二步中，得出的矛盾的可以是所有的条件或相关的结论.6. D 解析: “2＋3是无理数”的否定是“2+3是有理数”.7. ①②④ 解析 ①Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0 ∴是真命题 ;②否命题为“若a ≤b ，则a +b ≤b +b ”是真命题;③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题;④否命题：“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”是真命题.8. 逆命题：“若关于x 的方程x 2+x －m=0有实数根，则m ＞0”；否命题：“m ≤0，则关于x 的方程x 2+x －m=0没有实数根”；逆否命题：“若关于x 的方程x 2+x －m=0没有实数根，则m ≤0”.当m ＞0时，△=1+4m ＞0，方程x 2+x －m=0必有两个不等实根，故原命题及逆否命题是真命题.当方程x 2+x －m=0，有实数根时，△=1+4m ≥0，m ≥－41，而不一定要＞0，故逆命题及否命题是假命题.9. 解析:(1)这是一个存在性命题,存在量词“有些”可以用“存在一个、至少有一个、某个”等词代替,故该命题的否命题为“所有三角形都不是直角三角形”.本题还可以写出它的逆否命题来判断原命题与否命题的真假.(2)这是一个全称命题,全称量词“所有的”可以用“任意的、对于一切、每一个”等词代替,故该命题的否命题为“存在一个质数不是奇数”或“所有的奇数不都是奇数”.10. 证明：假设都不成立，即yx +1≥2,x y +1≥2成立 ∵x ，y ∈R +,∴1+x ≥2y ,1+y ≥2x ,∴2+x +y ≥2x +2y ,∴x +y ≤2与已知x +y ＞2矛盾， ∴假设不成立，∴原结论成立.11. C 解析: “全等三角形的面积相等”的否命题；“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题都是假命题.12. A 解析:命题“a 、b 都是偶数，则a +b 是偶数”的逆否命题为“a +b 不是偶数，则a 、b不都是偶数”13. 2(4k3＋6k2＋3k)＋1解析: (2k+1)3＝8k3＋12k2＋6k＋1＝2(4k3＋6k2＋3k)＋114. B解析:“a，b中至少有一个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”15. ①②③以上均为真命题.16. 分析：应先将原命题改写成“如果……，那么……的形式”然后再构造它的逆命题. 解析：(1)逆命题是“若x＝1，则x2＝1.”原命题为假命题，逆命题是真命题.(2)逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”.原命题为真命题，逆命题为假命题.(3)逆命题是“如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形.”原命题是真命题，逆命题也是真命题.(4)逆命题是“空集是x2＋2x＋8＞0的解集”.原命题和逆命题都是假命题.17. C 解析: “至多有两个解”包括了无解、有一解、有两解三种情形,其否定可以选有三解.18.证明:假设这两函数的图象没有一个位于x轴的上方,则有22144(10,4120,a aa aa a⎧≤-≥⎧+-⎪⎪⇒⎨⎨-≥≤≤⎪⎪⎩⎩或此不等式组的解集为∅,所以假设不成立.故这两函数的图象至少有一个位于x轴的上方.19. 证明假设a、b、c都是奇数∵a、b、c是一组勾股数，∴a2＋b2＝c2 ①∵a、b、c都是奇数，∴a2、b2、c2也都是奇数 ∴a2＋b2是偶数这样①式的左边是偶数，右边却是奇数，得出自相矛盾的结论.∴a、b、b不可能都是奇数.20. 分析：此题中含有否定用“无”，可考虑用反证法，另外关于有无整数根，可从已知方程的判别式与根和系数的关系入手分析证明之.证法一：只有在Δ＝p2－4q＝（p－m）2时((p－m)2表示完全平方数,其中由－4q＝－2pm ＋m2可知m应为偶数)才可能有整数根.化简上式得出p与q的关系：q＝p·2m－（2m）2，因p是奇数，不论2m是怎样的整数，都可得q为偶数，这与已知q为奇数相矛盾，则判别式Δ的值不会是一个完全平方数，故方程无整数根.证法二：假设方程有整数根α，无论α是奇数还是偶数，都必有α2＋pα＋q为奇数，这与α2＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.21. 若122,-≤≤baba则解析：由题意原命题的否命题为“若122,-≤≤baba则”.22. B解析设p为“若A则B”，则r、s、t分别为“若﹁A则﹁B”“若﹁B则﹁A”“若B 则A”，故s是t的否命题.。
高中数学人教版必修1知识讲解讲义
高中数学必修1知识讲解讲义目录第一讲集合的概念 (1)第二讲集合的关系与运算 (6)第三讲映射与函数 (11)第四讲函数的表示方法——解析式法 (16)第五讲函数单调性 (20)第六讲函数奇偶性 (27)第七讲指数与指数幂的运算 (36)第八讲指数函数 (42)第九讲对数函数 (50)第十讲对数与对数运算 (56)第十一讲幂函数 (61)第十二讲方程的根与函数的零点 (66)第十三讲用二分法求方程的近似解 (71)第十四讲几类不同增长的函数模型 (76)第十五讲函数的图像 (85)第十六讲函数的综合应用 (93)第十七讲二次函数性质与函数的图像 (111)第一讲 集合的概念一. 知识思维导图二. 知识要点解读 （一）集合的概念1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、…… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、……2. 元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性：集合集合的概念集合及元素集合的分类及表示集合的关系包含子集真子集集合的运算交集并集补集集合的应用(1)元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
人教版高中数学必修一精品讲义1.5 全称量词与存在量词(精讲)(解析版)
1.5 全称量词与存在量词（精讲）考点一 全称命题的判断【例1】（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是 （ ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数 C ．方程2250x x ++=有实数解 D ．素数中只有一个偶数【正确答案】B【详细解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数,其图象不过原点”;“方程2250x x ++=有实数解”即“存在实数x ,使2250x x ++=”;“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数,它是偶数”,这三个命题都是存在量词命题,“实数的平方为正数”即“所有的实数,它的平方为正数”,是全称量词命题,其省略了全称量词“所有的”,所以正确选项为B.【一隅三反】1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（ ）A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高一( 一)班绝大多数同学是团员D ．每一个实数都有大小 【正确答案】C【详细解析】A 中命题可改写为:任意一个实数乘以零都等于零,故A 是全称量词命题; B 中命题可改写为:任意的自然数都是正整数,故B 是全称量词命题; C 中命题可改写为:高一( 一)班存在部分同学是团员,C 不是全称量词命题; D 中命题可改写为:任意的一个实数都有大小,故D 是全称量词命题．故选:C. 2．（2020·全国高一单元测试）（多选）下列命题中,是全称量词命题的有（ ） A ．至少有一个x 使2210x x ++=成立 B ．对任意的x 都有2210x x ++=成立 C ．对任意的x 都有2210x x ++=不成立 D ．存在x 使2210x x ++=成立 E.矩形的对角线垂直平分 【正确答案】BCE 【详细解析】A 和D 中用的是存在量词“至少有一个”“存在”,属存在量词命题;B 和C 用的是全称量词“任意的”,属全称量词命题,所以B 、C 是全称量词命题; E 中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”,是全称量词命题.故选:BCE考点二 特称命题的判断【例2】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假. （1）∀x ∈N ,2x ＋1是奇数; （2）存在一个x ∈R ,使11x -＝0; （3）对任意实数a ,|a |＞0;【正确答案】（1）是全称量词命题;是真命题;（2）是存在量词命题;是假命题;（3）是全称量词命题;是假命题.【详细解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数,所以该命题是真命题. （2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ,使101x =-成立,所以该命题是假命题. （3）是全称量词命题.因为00=,所以||0a >不都成立,因此,该命题是假命题. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中:①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x ∈R ,总有2111x +;存在量词命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【详细解析】命题①中含有存在量词,是存在量词命题;命题②中全称量词省略,可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;命题③中全称量词省略,可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量词命题;而命题④中有全称量词“总有”,是全称量词命题故有1个存在量词命题;故选:B . 2．（2020·全国高一课时练习）下列命题不是存在量词命题的是（ ） A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z ,21x +是奇数 D ．存在x ∈R ,21x +是奇数【正确答案】C【详细解析】A 、B 、D 中都有存在量词,是存在量词命题,C 中含有量词“任意”,为全称量词命题,故选:C .考点三 全称、特称命题真假的判断【例3】（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,然后写出对应的否定命题,并判断真假:( 1)不论m 取何实数,关于x 的方程20x x m +-=必有实数根; ( 2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除; ( 3)某些梯形的对角线互相平分; ( 4)函数y kx =图象恒过原点. 【正确答案】见详细解析【详细解析】( 1)即“所有m R ∈,关于x 的方程20x x m +-=都有实数根”,是全称量词命题,其否定为“存在实数m ,使得方程20x x m +-=没有实数解”,真命题;( 2)是全称量词命题,其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”,假命题; ( 3)是存在量词命题,其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”,真命题;( 4)即“所有k ∈R ,函数y kx =图象都过原点”,是全称量词命题,其否定为“存在实数k ,使函数y kx =图象不过原点”,是假命题.【一隅三反】1．（2020·平罗中学高二期末（文））下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R,x 2>0 B ．∀x ∈Q,x 2∈Q C ．∃x 0∈Z,x 20>1D ．∀x,y ∈R,x 2＋y 2>0【正确答案】BA 、B 、D 中命题均为全称命题,但A 、D 中命题是假命题．故选B ．2．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当[]1,2m ∈时,方程220x x m -+=没有实数解”,下列说法正确的是 （ )A ．是全称量词命题,假命题B ．是全称量词命题,真命题C ．是存在量词命题,假命题D ．是存在量词命题,真命题【正确答案】A【详细解析】原命题的含义是“对于任意[]1,2m ∈,方程2x 2x m 0-+=都没有实数解”,但当1m =时,方程有实数解1x =,故命题是含有全称量词的假命题,所以正确选项为A.3．（2020·全国高一）用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假: ( 1)任意实数的平方大于或等于0;( 2)对任意实数a ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称; ( 3)存在整数x ,y ,使得243x y +=; ( 4)存在一个无理数,它的立方是有理数. 【正确答案】( 1)2,0x R x∀∈.真命题;( 2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题; ( 3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题;( 4)3,R x Q x Q ∃∈∈,真命题.【详细解析】( 1)2,0x R x ∀∈≥,是真命题;( 2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题,;( 3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数;( 4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.考点四 命题的否定【例4】（2020·全国高一课时练习）设A 是奇数集,B 是偶数集,则命题“x A ∀∈,2x B ∉”的否定是 （ ) A ． x A ∃∈,2x B ∈ B ．x A ∃∉,2x B ∈ C ． x A ∀∉,2x B ∉ D ．x A ∀∉,2x B ∈【正确答案】A【详细解析】“x A ∀∈,2x B ∉”即“所有x A ∈,都有2x B ∉”,它的否定应该是“存在x A ∈,使2x B ∈”,所以正确选项为A.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（ ） A ．x ∃∈Z ,143x << B ．x ∃∈Z ,510x += C ．x ∀∈R ,210x -=D ．x ∃∈R ,2320x x ++=【正确答案】D【详细解析】对A,命题的否定为假命题等价于该命题是真命题,由143x <<得1344x <<,这样的整数x 不存在,故A 为假命题,其否定为真命题,故A 错误;对B,510x +=,15x =-∉Z ,故B 为假命题,其否定为真命题,故B 错误; 对C,210x -=⇒1x =±,故C 为假命题,其否定为真命题,故C 错误;对D,存在1x =-或2x =-,使232(1)(2)0x x x x ++=++=,故D 为真命题,从而D 的否定是假命题,故D 正确.故选:D.2．（2020·湖南天心.长郡中学高三其他（文））已知命题:p x R ∃∈,2230x x ++<,则命题p 的否定是（ ） A ．x R ∃∈,2230x x ++> B ．x R ∀∈,2230x x ++≤ C ．x R ∀∈,2230x x ++≥ D ．x R ∀∈,2230x x ++>【正确答案】C【详细解析】命题p 为特称命题,其否定为:p x R ⌝∀∈,2230x x ++≥.故选:C.3．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2000,240x R x x ∃∈-+> C ．2,240x R x x ∀∉-+≥ D ．2000,240x R x x ∃∉-+>【正确答案】B【详细解析】根据全称命题的否定是特称命题,将全称量词∀换为存在量词∃,不等号≤换为＞,可得命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为“2000,240x R x x ∃∈-+>”,故选:B.考点五 全称特称求参数【例5】（1）（2020·湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“[]1,2x ∀∈,20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥B ．5a ≥C ．3a ≥D ．5a ≤（2）（2020·浙江高一课时练习）若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题,则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤B ．13a ≤≤－C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－（3）（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2()2f x x x =-,()2(0)g x ax a =+>,若1[1,2]x ∀∈-,2[1,2]x ∃∈-,使得12()()f x g x =,则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．[0,3]C ．(0,3]D ．[3,)+∞【正确答案】（1）B （2）B （3）D【详细解析】（1）[]1,2x ∀∈,214x ≤≤,∴要使20x a -≤恒成立,则2a x ≥恒成立,即4a ≥, 本题求的是充分不必要条件,结合选项,只有B 符合.故选:B. （2）由题得,原命题的否命题是“x R ∀∈,使21()10x a x ≥＋－＋”, 即2(1)40a ∆=--≤,解得13a ≤≤－．选B. （3）由()22()211f x x x x =-=--,知 当1[1,2]x ∈-时,[]1()1,3f x ∈- 由()2(0)g x ax a =+>,知当[]21,2x ∈-时,[]2()2,22g x a a ∈-++ 由题意得:[][]1,32,22a a -⊆-++,即21223a a -+≤-+≥⎧⎨⎩ ,解得3a ≥综上,3a ≥.故选:D【一隅三反】1．（2020·浙江高一课时练习）若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题,则实数a 的取值范围是（ ）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或 【正确答案】B【详细解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题,则需满足240a ∆=-≥,解得2a ≥或2a ≤-.故选:B . 2．（2020·全国高一课时练习）命题“已知1y x =-,x R ∀∈都有m y ≤”是真命题,则实数m 的取值范围是 （ ) A ．1m ≥- B ． 1m >- C ． 1m ≤- D ．1m <-【正确答案】C【详细解析】由已知1y x =-,得1y ≥-,要使x R ∀∈,都有m y ≤成立,只需1m ≤-,所以正确选项为C.3．（2020·广东高三其他（文））已知命题2000:,20p x R x x a ∃∈++≤,命题1:0,q x x a x∀>+>,若p 假q 真,则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(1,2) D ．(1,2]-【正确答案】C【详细解析】命题0:p x R ∃∈,20020x x a ++≤为假命题,则2,20x R x x a ∀∈++>为真命题,满足2240a ∆=-<,解得1a >;命题1:0,q x x a x ∀>+>为真命题,由12x x +≥=,当且仅当1x =时等号成立,可知2a <,故实数a 的取值范围为(1,2), 故选:C.4．（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩,若1212,,x x R x x ∃∈≠,使得12()()f x f x =成立,则实数a 的取值范围是___________. 【正确答案】(,2)-∞【详细解析】函数2y x ax =-+的对称轴为=2a x , 当12a<即2a <时,2y x ax =-+在(),1-∞上不是单调函数,则()f x 在R 上也不是单调函数,满足题意; 当12a>即2a >时,分段函数为R 上的单调增函数,不满足题意.故正确答案为:(,2)-∞。
人教版高中数学必修第一册同步讲义第二章 2.4 反函数
2.4 反函数 ①课文三点专讲重点:(1)反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数.(2) 求反函数的步骤是(1)将y =f (x )看成关于x 的方程，解出x =f -1(y )，若x 有两解，应特别注意解的选择.(2)将x 、y 互换，得y =f -1(x ).(3)写出反函数的定义域(即y =f (x )的值域).(3) 互为反函数的两个函数的关系：函数)(x f y =与)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称.反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到.难点：(1)一个函数有没有反函数是由原来给出函数的性质决定的，且反函数的性质也是由原来给出的函数性质决定的.(2)互为反函数间关系的理解: 函数)(x f y =、)(1x f y -=、)(y f x =、)(1y f x -=间的关系：)(x f y =与)(1x fy -=、)(y f x =与)(1y f x -=互为反函数；)(x f y =与)(1y f x -=、)(y f x =与)(1x f y -=为同一函数。
考点:(1)判断反函数与原函数的单调性与奇偶性要充分利用互为反函数的两个函数的定义域和值域之间的关系，以及x 与y 的对应关系的变化实质，即ｆ-1［f (x )］=x ,f ［ｆ-1（ｘ）］＝ｘ.(2)对称性问题的考察. ①点A(x,y)关于x 轴的对称点'A (x,-y);②点A(x,y)关于y 轴的对称点'A (-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A (-x,-y);④点A(x,y)关于y=x 轴的对称点'A ( y, x);②练功篇典型试题分析例1.求函数 211x y --= （-1≤ x < 0）的反函数。
分析: 求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一映射;求出反函数后习惯上必须将 x 、y 对调，写成习惯形式;求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。
人教版高中数学必修一知识点规纳数学公式
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一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性,(2) 元素的互异性,(3) 元素的无序性,3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集 N_或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1)列举法：{a,b,c……}2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x?R|x-3>2} ,{x| x-3>2}3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4) Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A?A②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果 A?B, B?C ,那么 A?C④如果A?B 同时 B?A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
人教版高中数学必修1知识点汇总总结
高中数学 必修1知识点第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇UA {|x x )A =∅【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法{0)()()U A B A =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值。
最新人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解
集合与函数概念§1．1集合（一）集合的有关概念⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.（二）例题讲解：例1．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ；⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。
人教版高中数学必修一精品讲义5.1 任意角和弧度制(精讲)(解析版)
5.1 任意角和弧度制考点一 基本概念的辨析【例1】（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）下列说法正确的个数是（ ） ①小于90︒的角是锐角; ②钝角一定大于第一象限角;③第二象限的角一定大于第一象限的角; ④始边与终边重合的角为0︒. A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】A【详细解析】对①,小于90︒的角不是锐角,如10-︒不是锐角,故①错; 对②,390角是第一象限的角,大于任何钝角()90180αα<<,故②错; 对③,第二象限角中的210-角小于第一象限角中的30角,故③错; 对④,始边与终边重合的角的度数是()360k k Z ⋅∈,故④错．故选:A ． 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．钝角一定是第二象限角 C ．第四象限角一定是负角 D ．小于90︒的角都是锐角【正确答案】B【详细解析】终边相同的角不一定相等,所以该选项错误; 钝角一定是第二象限角,所以该选项正确; 第四象限角不一定是负角,如116π是第四象限的角,但是不是负角,所以该选项错误; 小于90︒的角不都是锐角,如3π-.所以该选项错误.故选B 2．（2020·浙江高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）． A ．终边与始边重合的角是零角 B ．90°～180°间的角不一定是钝角 C ．终边和始边都相同的两个角相等 D ．第二象限的角大于第一象限的角【正确答案】B【详细解析】终边与始边重合的角还有360°角,720°角等,故A 错误;90°～180°间的角包括90°角,故90°～180°间的角不一定是钝角,故B 正确; 终边和始边都相同的两个角相差360,k k Z ︒⋅∈,故C 错误;120°角是第二象限角,它小于第一象限的角400°角,故D 错误．故选:B 3．（2020·陕西大荔·高一期末）下列说法正确的是（ ） A ．第二象限角大于第一象限角B ．不相等的角终边可以相同C ．若α是第二象限角,2α一定是第四象限角D ．终边在x 轴正半轴上的角是零角 【正确答案】B【详细解析】A 选项,第一象限角36030120︒+︒>︒,而120︒是第二象限角,∴该选项错误; B 选项,36030︒+︒与30终边相等,但它们不相等,∴该选项正确; C 选项,若α是第二象限角,则()222k k k Z ππαππ+<<+∈,∴()4242k k k Z ππαππ+<<+∈是第三象限角或第四象限角或终边在y 轴负半轴上的轴线角,∴该选项错误;D 选项,360︒角的终边在x 轴正半轴上,但不是零角,∴该选项错误.故选:B .考点二 角度与弧度的转换【例2】（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））把下列各角的弧度数化为度数,度数化为弧度数. （1）712π; （2）136π- ; （3）1125° ;（4）-225°. 【正确答案】（1）105; （2）390-; （3）254π; （4）54π-. 【详细解析】根据弧度制与角度制的互化公式,1801,1180rad rad ππ==,可得:（1）771801051212πππ=⨯=; （2）131366180390πππ⨯==---; （3）25112511251804ππ=⨯=rad ;（4）52252251804ππ-=-⨯=-rad .【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）把下列角度化成弧度:（1）36︒; （2）150︒-; （3）1095︒; （4）1440︒. 【正确答案】（1）5π（2）56π-（3）7312π（4）8π 【详细解析】（1）361805ππ︒⨯=;（2）51501806ππ-︒⨯=-;（3）73109518012ππ︒⨯=;（4）14408180ππ︒⨯=． 2．（2020·甘肃城关·兰州一中高一期中）315︒=___________弧度,7π12弧度=________. 【正确答案】7π4105︒ 【详细解析】180π︒=73153151804ππ︒=⨯=,77180π=1051212⨯︒=︒,故正确答案为:7π4;105︒3．（2020·土默特左旗金山学校高一月考（理））下列转化结果错误的是（ ） A ．30化成弧度是6πB ．103π-化成度是600-︒ C ．6730'︒化成弧度是27π D ．85π化成度是288︒ 【正确答案】C【详细解析】30化成弧度是6π,A 正确103π-化成度是600-︒,B 正确; 6730'︒是367.567.51808ππ︒=⨯=,C 错误;85π化成度是288︒,D 正确.故选:C. 考点三 终边相同【例3】（2020·全国高一课时练习）（1）把－1480°写成()2k k Z απ+∈的形式,其中02απ≤≤; （2）在[]0,720︒︒内找出与25π角终边相同的角. 【正确答案】（1）()16259ππ+⨯-;（2）72°,432°. 【详细解析】（1）∵74148014801809ππ-︒=-⨯=-, 而74161099πππ-=-+,且02απ≤≤,∴169πα=. ∴()161480259ππ-︒=+⨯-.（2）∵221807255πππ⎛⎫=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭,∴终边与25π角相同的角为()72360k k θ=︒+⋅︒∈Z , 当0k =时,72θ=︒;当1k =时,432θ=︒. ∴在[]0,720︒︒内与25π角终边相同的角为72°,432°. 【一隅三反】1．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+( k Z ∈,02βπ≤<)的形式,并指出角α是第几象限的角; （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角. 【正确答案】（1）5104παπ=+,是第三象限角;（2）19113,,444πππ---． 【详细解析】（1）2025α=︒=45520251018044ππππ⨯==+,54π是第三象限角,∴α是第三象限角．（2）由55204k πππ-≤+<得25588k -<<-,因为k Z ∈,∴3,2,1k =---,对应角依次为19113,,444πππ---． 2．（2020·全国高一课时练习）把下列各角度化为弧度,并写成02π-的角加上2()k k π∈Z 的形式. ( 1)64︒-; ( 2)400︒; ( 3)72230︒'-【正确答案】( 1)74245ππ-;( 2)229ππ+;( 3)143672ππ-+. 【详细解析】( 1)16746424545πππ︒-=-=-; ( 2)202400299πππ︒==+; ( 3)144528914372230722.5621807272ππππ︒'︒-=-=-⨯=-=-+. 3．（2019·陕西榆阳·榆林十二中高一月考）用弧度制写出角的终边在下图中阴影区域内的角的集合.（1）（2）【正确答案】（1）55{|22,}66x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈;（2）{|,}42x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【详细解析】（1）51506π-=-,51506π=,用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为 55{|22,}66x k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.（2）454π=,52254π=,用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为{|22,}42x k x k k Z ππππ+≤≤+∈53{|22,}42x k x k k Z ππππ+≤≤+∈{|,}42x k x k k Z ππππ=+≤≤+∈.考点四 象限的判断【例4】（2020·全国高一课时练习）已知下列各角:①120- ②240- ③180 ④495,其中第二象限角的是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．②④【正确答案】D【详细解析】①120-表示由x 轴非负半轴绕原点顺时针旋转120,落在第三象限; ②240-表示由x 轴非负半轴绕原点顺时针旋转240,落在第二象限; ③180表示由x 轴非负半轴绕原点逆时针旋转180,落在x 轴非正半轴;④495表示由x 轴非负半轴绕原点逆时针旋转495,且495360135=+,495的终边和135的终边相同,所以落在第二象限.故选:D【一隅三反】1．（2020·周口市中英文学校高一期中）角2912π的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A 【详细解析】因为295=21212πππ+,角512π是第一象限角,所以角2912π的终边所在的象限是第一象限． 故选A.2．（2020·全国高二）若α是第二象限角,则180α-是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【正确答案】A【详细解析】α为第二象限角,不妨取120α=,则180α-为第一象限角,故选A ．3．（2020·全国高一课时练习）在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角. （1）－150°;（2）650°;（3）－950°15′.【正确答案】（1）210︒,第三象限的角;（2）290︒,第四象限的角;（3）12945︒',第二象限的角; 【详细解析】（1）150360210-︒=-︒+︒,210︒是第三象限的角,150∴-︒是第三象限的角; （2）650360290︒=︒+︒,290︒是第四象限的角,650∴︒是第四象限的角;（3）95015108012945-︒'=-︒+︒',12945︒'是第二象限的角,95015∴-︒'是第二象限的角．考点五 扇形【例5】（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为(0)αα>,所在圆的半径为R . （1）若60α︒=,10R cm =,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;（2）若扇形的周长为20 cm ,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【正确答案】（1）103cm π,()2503cm π⎛-⎝;（2）2rad α=. 【详细解析】（1）设扇形的弧长为l ,弓形面积为S ,则603πα︒==,10R =,101033l cm ππ=⨯=,()221105*********S cm ππ⎛=⨯⨯-=- ⎝.（2）设扇形弧长为l ,则220l R +=,即10202101l R R π⎛⎫=-<< ⎪+⎝⎭,∴扇形面积2211(202)10(5)2522S IR R R R R R ==-⋅=-+=--+, ∴当5R cm =时,S 有最大值225cm ,此时10l cm =,2rad lRα==.因此当2rad α=时,这个扇形面积最大.【一隅三反】1．（2020·赤峰二中）《九章算术》是我国古代的数学巨著,其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2）,弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成,公式中的“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为23π,矢为4的弧田,按照上述方法计算出其面积是（ ）A ．4+B ．8+C ．8+D ．8+【正确答案】D【详细解析】设半径为r ,圆心到弦的距离为d ,则121cos 232d r r π⎛⎫=⋅⨯=⎪⎝⎭, 11422r d r r r -=-==8,4r d ∴==∴所以弦长为==∴弧田面积为()214482⨯+=+故选:D.2．（2020·辽宁沈阳·高一期中）一个半径是R 的扇形,其周长为3R ,则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1B ．3C ．πD ．3π 【正确答案】A【详细解析】设扇形的弧长为l ,则23R l R +=,得l R =,则扇形圆心角的弧度数为1lR=.故选:A. 3．（2020·上海高一课时练习）在扇形AOB 中,半径等于r . （1）若弦AB 的长等于半径,求扇形的弧长l ;（2）若弦AB ,求扇形的面积S【正确答案】（1）3r π; （2）213r π【详细解析】（1）如图所示:设AOB α∠=,若弦AB 的长等于半径,则3πα=所以扇形的弧长3παl r r（2）如图所示:若弦AB 倍,则32sin 2AC AOCOAr, 因为0απ<<,所以3AOC π∠=, 所以223παAOC, 所以扇形的面积为22111223απS lr r r .。
人教版高中数学必修一第一章知识点
第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图AB(1)AA子集B （或A)A中的任一元素都属于B(2)A(3)若AB且BC，则AC(4)若AB且BA，则ABA(B)BA或真子集AB（或BA）AB，且B中至少有一元素不属于AA（A为非空子集）（1）(2)若AB且BC，则ACBA集合相等AB A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BAA(B)n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n它有22非空真子集. （8）交集、并集、补集1【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图AB 交集{x|x A,且（1）AAA（2）AAB（3）ABAxB}ABBAB 并集{x|x A,或（1）AAA（2）AAAB（3）ABAxB}ABB1A(e U A)2()AeAUU补集e U A{x|xU,且xA} 痧U(A B)(U A)(?U B)痧U(AB)(U A)(?U B)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0){x|axa}|x|a(a0)x|xa或xa}把axb看成一个整体，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)yaxbxcaO的图象一元二次方程20(0)axbxcax1,22bb4ac2abxx122a无实根（其中x1x2)的根20(0) axbxca的解集b{x|xx或xx2}{x|x}12aR 220(0)axbxca的解集{x|xxx}12〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:AB．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且ab，满足a xb的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a xb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x a,xa,xb,xb的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：对于集合{x|axb}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ytanx中，()xkkZ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式ag(x)b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2a(y)xb(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有byaycy，从而确定函数的值域或最值．2()4()()0④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:AB．②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的定义图象判定方法性质 如果对于属于定义域I 内某（1）利用定义个区间上的任意两个自变量 的值x2,当x ． 1、x 1．<．x ．2．时，都y y=f(X) f(x)2（2）利用已知函数的 单调性有f ．(x ．．．)．<．f(．x ．．．)．，那么就说 12 f(x)在这个区间上是增函数． ．．．f(x)1（3）利用函数图象（在 某个区间图o x 1x 2x 象上升为增）函数的（4）利用复合函数 单调性（1）利用定义如果对于属于定义域I 内某yy=f(X)（2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量 11、x ．<．x ．的值x2，当x ．2．时，都 有f ．(x ．．12．)．，那么就说f(x) 1f(x) 2单调性 （3）利用函数图象（在 某个区间图f(x)在这个区间上是减函数． ．．．o xx 12x象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为减，ug(x)为减，则y f[g(x)]为增；若yf(u)为 增，ug(x)为减，则y f[g(x)]为减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yyf[g(x)]为减．a（2）打“√”函数()(0)fxxax的图象与性质 f(x)分别在(,a ]、[a ,)上为增函数，分别在ox[a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作0f max(x)M．5②一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作f max(x)m．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有．f(．－．x．．)=．－．判断定义域是否关于f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函．原点对称）数．．（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有f(－．x．．)=．f．(x．)．．,．．判断定义域是否关于那么函数f(x)叫做偶．函．数．．原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换yfxyfxh()h0,h()左移个单位右移|个单位h0,h|yfxyfxk()kk()0,上移个单位下移|个单位k0,k|变换②伸缩01,伸yf(x)yf(x)1,缩6yfxyAfx()0A1,缩()A1,伸③对称变换x轴yf(x)y轴yf(x)yf(x)yf(x)原点直线1yxyf(x)yf(x)yf(x)yf(x)去掉轴左边图象yyf(x)yf(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留轴上方图象yfxyfx()x|()|将轴下方图象翻折上去x（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．7。
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第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A {|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R ()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
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高中数学必修1知识讲解讲义目录第一讲集合的概念 (1)第二讲集合的关系与运算 (6)第三讲映射与函数 (11)第四讲函数的表示方法——解析式法 (16)第五讲函数单调性 (20)第六讲函数奇偶性 (27)第七讲指数与指数幂的运算 (36)第八讲指数函数 (42)第九讲对数函数 (50)第十讲对数与对数运算 (56)第十一讲幂函数 (61)第十二讲方程的根与函数的零点 (66)第十三讲用二分法求方程的近似解 (71)第十四讲几类不同增长的函数模型 (76)第十五讲函数的图像 (85)第十六讲函数的综合应用 (93)第十七讲二次函数性质与函数的图像 (111)第一讲 集合的概念一. 知识思维导图二. 知识要点解读 （一）集合的概念1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、…… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、……2. 元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A 要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写. 3. 集合中元素的三个特性：集合集合的概念集合及元素集合的分类及表示集合的关系包含子集真子集集合的运算交集并集补集集合的应用(1)元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
4.集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集【例1】考察下列每组对象能否构成集合？⑴中国的直辖市；⑵young中的字母；⑶不超过20的质数；⑷高一⑶班16岁以下的学生；⑸高一⑶班所有个子高的学生.【分析】⑴“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆”；⑵“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；⑶“不超过20的质数”构成一个集合，该集合的元素是“2,3,5,7,11,13,17,19”；（质数又称素数。
指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。
与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。
”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。
）⑷“高一⑶班16岁以下的学生”构成一个集合；⑸“高一⑶班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。
【例2】：用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：(1)所有绝对值等于6的数的集合A(2)所有绝对值小于6的整数的集合B【分析】由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.【解】(1)A＝{绝对值等于6的数} ；其元素为：－6，6(2)B＝{绝对值小于6的整数}；其元素为：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5 （二）集合的表示方法1.常用数集的表示方法【例3】判断正误：⑴所有在N中的元素都在N*中(×)⑵所有在N中的元素都在Z中(√)⑶所有不在N*中的数都不在Z中(×)⑷所有不在Q中的实数都在R中(√)⑸由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(×)⑹不在N中的数不能使方程4x＝8成立(√)注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
1)是有限集而元素个数较少如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x}2)是无限集且元素离散所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}3)是有限集但元素个数较多如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为{1,2,3,4，···，98,99,100}3.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号{}内表示集合的方法。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
{x|p(x)}中x为代表元素，p(x)指x具有的性质.描述法的两种表述形式：1)、数式形式:如由不等式x-5>4的所有解组成的集合，可以表示为{x|x-5>4}；由抛物线y=x2+1上所有点组成的集合，可以表示为{(x,y)|y=x2+1}。
2)、语言形式：如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}；所有绝对值小于6的整数的集合，可以表示为{绝对值小于6的整数}。
【例4】求不等式2x-3>5的解集【答案】不等式的解集为{x|x>4,x∈R}【例5】下列各组对象不能形成集合的是（）A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y＝x图象上所有的点【解】综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.【例6】集合A的元素由kx２－3x＋2＝0(k∈R)的解构成，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.【解】由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根。
若k＝0，则x＝2/3，知A中有一个元素，符合题设若k≠0，则方程为一元二次方程.当Δ＝9－8k＝0即k＝9/8时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞9/8时,kx2－3x＋2＝0无解.此时A中无任何元素，即A＝Ф也符合条件综上所述k＝0或k≥9/8【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.三.知识要点总结1.含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2.元素与集合的关系:属于和不属于3.集合的中元素的三个特性：元素的确定性，元素的互异性，元素的无序性。
4.集合分类——根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集5.集合的表示方法6.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
1)是有限集而元素个数较少2)是无限集且元素离散3)是有限集但元素个数较多7.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号{}内表示集合的方法。
8.描述法的两种表述形式：1)、数式形式2)、语言形式第二讲 集合的关系与运算一. 知识思维导图二. 知识要点解读 （一）集合之间的关系1. 集合与集合之间的“包含”关系A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：A ⊆ B 或B ⊇ A读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系2. 集合与集合之间的“相等”关系A ⊆B 且A ⊇B ，则A=B 中的元素是一样的，因此A=B ，根据以上我们可以得到这样一个结论：任何一个集合是它本身的子集。
即A ⊆A 。
集合集合的概念集合及元素集合的分类及表示集合的关系包含子集真子集集合的运算交集并集补集集合的应用3.真子集的概念若集合A ⊆ B ，存在至少一个元素属于集合B且不属于集合A ，则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。
记作：A ⊊B读作：A真包含于B规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
4.真子集的性质结论：A⊆B且B ⊆ C，则A⊆C【例1】集合A={1,2,3,4}，集合B={4,2,3,1}，问集合A和集合B相等吗？【例2】化简集合A={x|x-7≥2},B={x|x >5}，并表示A、B的关系；【例3】（1）写出集合{0，1，2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）集合{a1,a2,a3···a n}，子集个数共有多少个；真子集有多少个；非空子集有多少个；非空的真子集有多少个.（二）集合的运算1.集合的运算——并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B读作：“A并B”即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}2.集合的运算——并集说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
3.集合的运算——交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B读作：“A交B”即：A∩B={x|x∈A，且x∈B}说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。
4.集合的运算——补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集记作：C U A即：C U A={x|x∈U且x∉A}补集的Venn图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制5.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是且与或，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。