4.已知a >0，函数f (x )=x 3－a ,x ∈),,0[+∞设x 1>0,记曲线y=f (x )在点M(x 1,f (x 1))处的切线为l .（I ）求切线l 的方程；（II ）设l 与x 轴的交点是(x 2, 0) . 证明： ;)1(312a x ≥.,)2(123
1311x x a a x <<>则若
5.设 f (x ) 是定义在 [－1,1] 上的偶函数，f (x ) 与 g (x ) 的图象关于 x = 1 对称，且当 x ∈ [2,3] 时，g (x ) = a (x －2)－2 (x －2) 3
（a 为常数）.
(1) 求 f (x ) 的解析式；
(2) 若 f (x ) 在 [0,1] 上是增函数，求实数 a 的取值范围； 若a ∈ (一6,6)，问能否使 f (x ) 的最大值为 4？请说明理由. 6．对于任意实数x ，若)0()
(1)
(1)(>+-=
+m x f x f m x f 成立，
（1） 证明f(x)是以2m 为周期的函数；
（2） 若f(x)在],(m m -上的解析式是2)(x x f =，写出f(x)在区间],(m m -及R 上的解析式(不必写过程)。
7.已知f （x ）=x 3
+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且f （0）=f （1），又P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是其图象上的任意两个点（x 1≠x 2），
（1）求证：函数f （x ）的图象关于点（0，b ）成中心对称图形。
（2）设直线PQ 的斜率为k ，求证：|k|＜2. （3）若0≤x 1＜x 2≤1，求证：|y 1-y 2|＜1. 8.
已知()(2x m x R =∈，P 1、P 2是函数()2
1f
x m
=
图象上两点，121()2
OP OP OP =+，
O 为坐标原点，P 点横坐标是
12
。 （1）求P 点的纵坐标（2）若数列{}n a 的通项公式为
(),12n n a f m N n m m +⎛⎫
=∈= ⎪⎝⎭
、、
、
求：①数列{}n a 的前m 项的和m S ；②若m N +∈时，不等式1
1
m m m m a a S S ++<
恒成立，求实数a 的取值范围。
9.设函数d cx bx ax x f 42)(23++-= （a 、b 、c 、d ∈R ）图象关于原点对称，且x =1时，
)(x f 取极小值.3
2
-
（1）求a 、b 、c 、d 的值；（2）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；（3）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：3
4|)()(|21≤-x f x f 10．设函数()(,x
ax b
f x a b +=
为常数, 0)a ≠, 若13
(1)f =, 且()f x x =只有一个实根. (1) 求()f x 的解析式；
(2) 若数列{}n a 满足关系式1()(,n n a f a n N -=∈ 且2)n ≥, 又1
12003a =-, 求n a 的
通项公式； (3) 设1
n
n a n a b -=
, 求n b 的最大值与最小值, 以及相应的n 的值.
11.已知())2
1(13>-=x x x f 的图象1c 关于直线x y =对称的图象的函数式()x g 为，求证：对任意()x g 定义域中的)(212,1x x x x ≠总有()()||4||32121x x x g x g -<- 【分析】先求出反函数后，利用“分子有理化”对不等式放缩。 1.①由已知得：)1(2
1)1()1(]1)1[()(-=⋅-=+-=n f f n f n f n f
*)()2
1()1()21()2()21(12N n f n f n
n ∈===-=-
或在已知式中令2
1)1()
()1()1()()1(1,==+⇒⋅=+==f n f n f f n f n f y n x 得
即)}({n f 是首项为)1(f 公比为2
1
)1(=
f 的等比数列 n n f n f )2
1
()21)(1()(1==∴-……………………………………………………4分
②由①知n n n
n a a a T n a +++== 21,)2
1
(设 则n n n n n T )2
1
()21)(1()21(22112+-+++=
- …………（1） 132)2
1
()21)(1()21(2)21(21++-+++=n n n n n T …………（2） （1）－（2）得1132)2
1()2
1(1)2
1()2
1()2
1()2
1(2
12
1++--=-++++=n n n n n n n T
)(2
)2
1
()21(2*1N n n T n n n ∈<--=∴-……………………………………9分
③4
)1(2
)1(2
1)21(2
1,2
1+=+⋅=+++=∴=n n n n n S n b n n
则)
1
11(4)1(41+-=+=n n n n S n 故1
2
1111111111112
23
1
1
n
S S S n
n n +++=-+-++-=-++……14分
2 .解：（1）393)1()()1(3)2(3)()()(2++++=+∴+++++=+t t f t f t f y x xy y f x f y x f ……1分
当t 为自然数时，让t 从1，2，3，……t －1取值有 3
31)1(42
)
1(96)12()1(3)(1
)1(4]1)2()1[(9]1)2()1[(3)1()]1()2([)]2()1([)]1()([)(2322-+=+-+-⋅+--⋅=∴+-+++-+-+++-+-=+-++---+--=t t t t t t t t t f t t t t t f f f t f t f t f t f t f
当t 为自然数时，f(t)的解析式为N t t t t f ∈-+=,33)(23……5分
（2）当,时N t ∈33)(23-+=t t t f 当t=0时，在3)2(3)()()(+++++=+y x xy y f x f y x f 中，令
由
时当得知,,3)0(3)0()0()0(0N t Z t f f f f y x ∈-∈-=++===-
3)2(3)()()(+++++=+y x xy y f x f y x f 知 得3)0(36)()()(2-==+--+=-f t t f t f t t f
