青岛二中高一数学同步专练(人教A版2019必修1)-第八讲 函数的最值

第八讲 函数的最值
【学习目标】
1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).
2.会借助单调性求最值(重点).
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点)． 知识点 函数的最大值与最小值
题型一 用图象法和函数的单调性求函数的最值
例1、(1)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧
x 2，－1≤x≤1，
1
x ，x>1.
则f(x)的最大值、最小值分别为
________，________.
(2)求函数f(x)＝x
x －1
在区间[2,5]上的最大值与最小值．
(1)解析 作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x ＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0. 答案 1 0
(2)解 任取2≤x 1<x 2≤5， 则f(x 1)＝
x 1x 1－1，f(x 2)＝x 2
x 2－1
， f(x 2)－f(x 1)＝
x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2
(x 2－1)(x 1－1)
， ∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0， ∴f(x 2)－f(x 1)<0，∴f(x 2)<f(x 1)． ∴f(x)＝
x
x －1
在区间[2,5]上是单调减函数． ∴f(x)max ＝f(2)＝22－1＝2，f(x)min ＝f(5)＝55－1＝5
4.
规律方法1.图象法求最值的步骤
2．利用函数的单调性求最值的两个易错点
(1)求函数的最值时应首先求函数的定义域，在定义域内进行．
(2)求函数在闭区间上的最值，易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入，认为是函数的最值． 【训练1】 已知函数f(x)＝x ＋1
x
.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值． (1)证明 设1≤x 1＜x 2，
则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1
x 1x 2.
∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴x 1x 2－1＞0，
∴f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)． ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
(2)解 由(1)可知，f(x)在[1,4]上递增， ∴当x ＝1时， f(x)min ＝f(1)＝2， 当x ＝4时， f(x)max ＝f(4)＝
174
. 综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是17
4，最小值是2.
题型二 函数最值的实际应用
例2、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入
100元，已知总收益满足函数：R(x)＝⎩⎨
⎧
400x －12x 2
(0≤x≤400)，
80 000 (x ＞400).
其中x 是仪器的
月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，
从而f(x)＝⎩⎨
⎧
－12x 2
＋300x －20 000(0≤x≤400)，
60 000－100x (x ＞400).
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－1
2(x －300)2＋25 000；
∴当x ＝300时，f(x)max ＝25 000，
当x ＞400时，f(x)＝60 000－100x 是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. ∴当x ＝300时 ，f(x)max ＝25 000.
即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元． 规律方法 求解实际问题的四个步骤
(1)读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
(2)建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转化成函数问题．
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数．
(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，作出解释或预测．
特别提醒：求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．
【训练2】某水厂蓄水池有水450吨，水厂每小时向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为8020t吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水，多少小时后蓄水池中水量最少？
解设t小时后，池中水量为y吨，则
y＝450＋80t－8020t＝4(20t－10)2＋50，
当20t＝10，即t＝5时，y
＝50，
min
所以5小时后蓄水池中水量最少，最少为50吨.
题型三二次函数的最值
【探究1】(1)求函数y＝x2－2x＋2的单调区间．
(2)求函数y＝－x2－2x＋2的单调区间．
解(1)函数y＝x2－2x＋2是开口向上，对称轴为x＝1的抛物线，
故其单减区间是(－∞，1)，单增区间是(1，＋∞)．
(2)函数y＝－x2－2x＋2的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，故其单减区间是(－1，＋∞)，单增区间是(－∞，－1)．
【探究2】函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最
小值分别是什么？
解函数f(x)＝x2－2x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝1，
(1)因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最大值为
f(－1)＝5，最小值为f(0)＝2；
(2)因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5.
(3)因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5.
【探究3】 已知函数f(x)＝x 2－ax ＋1，
(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；
(2)当a ＝1时，求f(x)在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最小值． 解 (1)因为函数f(x)＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a
2，
所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值， 当a 2≤1
2
，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a ； 当a 2>1
2
，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1. (2)当a ＝1时，f(x)＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝1
2
.
①当t≥1
2时，f(x)在[t ，t ＋1]上是增函数，∴f(x)min ＝f(t)＝t 2－t ＋1；
②当t ＋1≤12，即t≤－1
2时，f(x)在上是减函数，
∴f(x)min ＝f(t ＋1)＝t 2＋t ＋1；
③当t<12<t ＋1，即－12<t<12时，函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
12，t ＋1上单
调递增，
所以f(x)
min ＝f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
＝
3
4
.
规律方法含参数的二次函数最值问题的解法
解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线开口的方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值．
对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数．
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论．
课堂小结
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最
值，如函数y＝1
x
.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得，即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．。