必修五数学期末测试题(卷)
人教版高中数学必修五期末检测试卷(附答案)

人教版高中数学必修五期末检测试卷(附答案)一、单选题1.已知-9,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则b2(a2-a1)等于( )A.8B.-C.±8D.2.等差数列的公差不为0,是其前项和,给出下列命题:①若,且,则和都是中的最大项;②给定,对一切,都有;③若,则中一定有最小项;④存在,使得和同号.其中正确命题的个数为()A.4B.3C.2D.13.在等比数列中,已知,,则公比的值为A.1或B.1或C.1D.4.若x,y满足,则的取值范围是A.,B.C.D.5.、、、、成等差数列,公差是5,这组数据的标准差为A .50B.C.100D.106.在数列{a n}中,对任意,都有(k为常数),则称{a n}为“等差比数列”. 下面对“等差比数列”的判断:①k不可能为0;①等差数列一定是等差比数列;①等比数列一定是等差比数列;①通项公式为的数列一定是等差比数列,其中正确的判断为()A.①①B.①①C.①①D.①①7.是任意实数,,且,则下列结论正确的是()A. B. C. D.8.已知,,且,则的最小值是()A.-2B.-1C.1D.29.已知,则的最小值是()A.B.C.D.10.若,则下列结论正确的是()A.B.C.D.二、填空题11.且当取最大值时,的值为__________________.12.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则的取值范围为.13.已知函数的图象与轴相切,若关于的不等式的解集为,则实数的值为_______.14.在中,角,,的对边分别为,,,若,,则的面积为______________.15.已知,且,则的最大值为_____.16.在△ABC中,a=2,b=3,c=4,则其最大内角的余弦值为________.17.在中,内角内角所对的边分别为,若,且,则的取值范围是______.18.已知且,则当=________时,取得最小值.19.已知实数满足条件,则的最小值为__________.20.已知,则函数的最小值等于______.三、解答题21.已知数列是等差数列,其前项和为,数列是公比大于0的等比数列,且,,.(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)令,求数列的前项和为.22.在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼以其优秀的机动能力,强大的作战性能引起举世惊叹假设一台歼战斗机的制造费用为1250百万元已知飞机的维修费用第一年为1百万元,之后每年比上一年增加1百万元,若用x表示飞机使用年限取整数,则在x年中含第x年飞机维修费用总和为百万元,记飞机在x年中维修和制造费用的年平均费用为y百万元,即飞机制造费用飞机维修费用飞机使用年限.。
2021-2022高中数学必修五期末试题(带答案)

一、选择题1.已知正数a 、b 满足1a b +=,则411a ba b+--的最小值是( ) A .1B .2C .4D .82.已知0x >,0y >,21x y +=,若不等式2212m m x y+>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .4m ≥或2m ≤- B .2m ≥或4m ≤- C .24m -<<D .42m -<<3.若直线l :()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4,则21a b+的最小值为( )A .2B .4CD .4.已知正数x ,y 满足x +y =1,且2211x y y x +++≥m ,则m 的最大值为( ) A .163B .13C .2D .45.在ABC 中,,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边,若cos cos a A b B =,则ABC 一定是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰三角形或直角三角形6.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅,且2bc =,则ABC 的面积为( )A .BC .4D .27.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若22b c ac =+,则角C 的取值范围是( ) A .π(0,)4B .ππ(,)42C .ππ(,)43D .π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭8.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若tan C =cos A =,b =ABC 的面积为( )A .B .2C .4D .89.已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )A B C .14 D .1210.根据下面一组等式:11s =, 2235s =+=,345615s =++=, 47891034s =+++=, 5111213141565s =++++=, 6161718192021111s =+++++=,……可得21n S -=( )A .324641n n n -+-B .1413n -C .2184023n n -+D .(1)12n n -+11.设{}n a 为等比数列,给出四个数列:①{}2n a ,②{}2n a ,③{}2na ,④{}2log ||n a .其中一定为等比数列的是( ) A .①③B .②④C .②③D .①②12.已知{}n a 为等比数列,13527a a a =,246278a a a =,以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是( ) A .4B .5C .6D .7二、填空题13.若正数,x y 满足113122x y xy++=,则xy 的最小值为_________. 14.已知圆1C :()224x a y ++=和圆2C :()2221x y b +-=(,a b ∈R ,且0ab ≠),若两圆外切,则2222a b a b+的最小值为______.15.已知ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分BAC ∠,且2ABD ADC S S =△△,1AD =,12DC =,则AC =_________. 16.如图,设A 、B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50m ,45ACB ∠=︒,105CAB ∠=︒后,就可以计算出A 、B 两点的距离为______17.若(0,1)x ∈时,不等式111m x x≤+-恒成立,则实数m 的最大值为________. 18.如图,在四边形ABCD 中,已知AB BC ⊥,5AB =,7AD =,135BCD ∠=︒,1cos 7A =,则BC =________.19.设数列{}2()n n n a +是等比数列,且116a =,2154a =,则数列{3}n n a 的前15项和为__________.20.在等比数列{}n a 中,2514,2==a a ,则公比q =__________. 三、解答题21.为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁,加强自主性,某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解,该企业研发部原有100名技术人员,年人均投入a 万元,现把原有技术人员分成两部分:技术人员和研发人员,其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤),调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ,技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. (1)要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入,求调整后的技术人员的人数最多多少人?(2)是否存在这样的实数m ,使得技术人员在已知范围内调整后,同时满足以下两个条件:①技术人员的年人均投入始终不减少;②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在,求出m 的范围;若不存在,说明理由. 22.已知关于x 的不等式23240x ax -++>.(1)当2a =时,求此不等式的解集;(2)若此不等式的解集为()4,m -,求实数a ,m 的值. 23.已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos cos 2cos b A a B c A +=. (1)求A ;(2)若2a =,ABC ,求ABC 的周长. 24.ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin cos b A B =,sin 4sin C A =.(1)求B ;(2)在ABC 的边AC 上存在一点D 满足4AD CD =,连接BD ,若BCD △的面积为,求b . 25.已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .26.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,525S =,1a ,2a ,5a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若等差数列{}2log n b 的首项为1,公差为1,求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】 化简得出441511a b a b b a +=+---,将代数式14a b+与+a b 相乘,展开后利用基本不等式可求得411a b a b +--的最小值. 【详解】已知正数a 、b 满足1a b +=,则()414141511b a ba ab b a b a--+=+=+---()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭,当且仅当2b a =时,等号成立,因此,411a ba b +--的最小值是4. 故选:C. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.2.D解析:D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥,再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解:由于0x >,0y >,21x y +=,所以()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭, 当且仅当4y x x y =,即122x y ==时等号成立, 由于不等式2212m m x y+>+成立, 故228m m +<,解得:42m -<<. 故实数m 的取值范围是:42m -<<. 故选:D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,一元二次不等式的解法,考查运算能力,是中档题.3.B解析:B 【分析】求出圆的圆心与半径,可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上,推出22a b +=,利用基本不等式转化求解21a b+取最小值. 【详解】解:圆222410x y x y ++-+=,即22(1)(2)4x y ++-=,表示以2()1,M -为圆心,以2为半径的圆,由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上, 故220a b --+=,即22a b +=,∴2212222112242a ba b b a b a b a b a b a +++=+=++++, 当且仅当22b aa b=,即2a b =时,等号成立, 故选:B . 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.4.B解析:B 【分析】根据题意2211x y y x +++=22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5,由基本不等式的性质求出4411+++y x =13(4411+++y x )[(x +1)+(y +1)]的最小值,即可得2211x y y x +++的最小值,据此分析可得答案. 【详解】根据题意,正数x ,y 满足x +y =1,则2211x y y x +++=22(1)(1)11--+++y x y x=(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4=(4411+++y x )﹣5, 又由4411+++y x =13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], =13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163, 当且仅当x =y =12时等号成立, 所以2211x y y x +++=(4411+++y x )﹣5163≥﹣5=13,即2211x y y x +++的最小值为13, 所以3m ≤,则m 的最大值为13; 故选:B . 【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用,还考查了转化求解问题的能力,属于中档题.5.D解析:D 【分析】根据cos cos a A b B =,利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =,然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】因为cos cos a A b B =,由正弦定理得:sin cos sin cos A A B B =, 所以sin 2sin 2A B =, 所以22A B =或22A B π=-, 即A B =或2A B π+=所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形, 故选:D 【点睛】本题主要正弦定理,二倍角公式的应用,属于中档题.6.D解析:D 【分析】由两角和的正切公式可得()tan 1B C +=,即可得到34A π=,然后由面积公式可得结果. 【详解】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅,即()tan 1B C +=,在ABC 中,所以tan 1A =-,即34A π=,所以sin A =11sin 222ABCSbc A ==⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查三角形的面积公式的应用,考查两角和的正切公式,属于基础题.7.D解析:D 【分析】由22b c ac =+,并结合余弦定理,可求得2cos c a c B =-,进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-,由()sin sin A B C =+,代入并整理得sin C ()sin B C =-,结合△ABC 为锐角三角形,可得出2B C =,从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩,即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得,2222cos b a c ac B =+-,所以2222cos a c ac B c ac +-=+,即2cos c a c B =-, 由正弦定理可得,sin sin 2sin cos C A C B =-, 又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+, 所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-,因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以C B C =-,即2B C =.在锐角△ABC 中,π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩,即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩,解得ππ64C <<.故选:D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用,考查两角和的正弦公式的运用,考查学生的计算求解能力,属于中档题.8.B解析:B 【分析】结合同角三角函数的基本关系可求出sin C =,cos C =,sin A =和的正弦公式可求出sin B ,结合正弦定理即可求出a ,进而可求出三角形的面积.【详解】因为sin tan cos C C C ==,且22sin cos 1C C +=,解得sin 4C =,cos 4C =,又cos 8A =,所以sin 8A ==,故sin sin[()]sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+=.因为sin sin a bA B=,b =,故sin 2sin b A a B ==,故11sin 222ABC S ab C =⨯=⨯⨯=△. 故选:B . 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系,考查了两角和的正弦公式,考查了正弦定理,考查了三角形的面积公式,属于中档题.9.D解析:D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2. 又m 2+n 2=c 2, ∴m=2c . ∵c 是a ,m 的等比中项, ∴2c am =, ∴22ac c =, ∴12c e a ==.选D . 10.A解析:A 【分析】求出第()1n -行最后一项,可得第n 行为第一项,求出第n 行最后一项,根据第n 是等差数列求出n S ,即可求出21n S -. 【详解】易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=,则第n 行第一项为212n n-+,第n 行最后一项为2(1)22n n n n++=, 故第n 行为第一项212n n -+,最后一项为22n n+,项数为n 的等差数列,故22312222n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==, 所以32214641n S n n n -=-+-.故选:A. 【点睛】本题考查对数列的理解,以及等差数列的前n 项和的求法,属于中档题.11.D解析:D 【分析】设11n n a a q -=,再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】设11n n a a q -=,①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列;②,222222111=()n n n a a qa q --=,所以数列{}2n a 是等比数列; ③,11112111211222=2,222n nn n n n n n a a q a a q a q a q a a q-------==不是一个常数,所以数列{}2n a 不是等比数列; ④,122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数,所以数列{}2log ||n a 不是等比数列.故选D 【点睛】本题主要考查等比数列的判定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.A解析:A 【分析】先求出首项和公比,得出{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1,从而得出结论. 【详解】{}n a 为等比数列,3135327a a a a ==,32464278a a a a ==, 33a ∴=,432a =,4312a q a ∴==,112a =,543·14a a q ==<. 故{}n a 是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1, 以n T 表示{}n a 的前n 项积,则使得n T 达到最大值的n 是4, 故选:A . 【点评】本题主要考查等比数列的性质,属于基础题.二、填空题13.【分析】将化为后利用基本不等式得再解一元二次不等式可得结果【详解】由得因为所以当且仅当时等号成立所以所以所以或所以或(舍)所以即的最小值为故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必解析:92【分析】将113122x y xy++=化为232y x xy ++=后,利用基本不等式得23xy -≥一元二次不等式可得结果. 【详解】由113122x y xy++=得232y x xy ++=,因为0,0x y >>,所以232xy y x -=+≥2y x =时,等号成立.所以2302≥,所以2)22≥2-≥2≤,2≥2≤-(舍),所以92xy ≥,即xy 的最小值为92. 故答案为:92. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方14.1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得:据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解:根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得:当且仅当时等号成立故的最解析:1【分析】根据题意,分析两圆的圆心与半径,由两圆外切可得12||C C R r =+,变形可得:2249a b +=,据此可得22222211a b a b a b+=+,结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】解:根据题意,圆221:()4C x a y ++=,其圆心1C 为(,0)a -,半径2r ,圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ,半径1R =,若两圆外切,则有12||3C C R r =+=,变形可得:2249a b +=,2222222222222211111141(4)()(5)(521999a b a b a b a b a b a b b a +=+=++=+++=,当且仅当222a b =时等号成立,故2222a b a b+的最小值为1;故答案为:1. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系,涉及基本不等式的性质以及应用,属于中档题.15.【分析】由面积比得得由角平分线定理得在和中应用余弦定理结合可求得【详解】由已知则又平分所以设则中同理中因为所以解得(负的舍去)故答案为:【点睛】本题考查三角形面积公式三角形内角平分线定理余弦定理通过 【分析】 由面积比得2BD DC =,得1BD =,由角平分线定理得2ABAC=,在ABD △和ACD △中应用余弦定理结合cos cos ADB ADC ∠=-∠可求得AC . 【详解】由已知1sin 221sin 2ABD ACD BD AD ADBS BD S CD CD AD ADC ⋅∠===⋅∠△△,12CD =,则1BD =, 又AD 平分BAC ∠,所以2AB BDAC CD==,2AB AC =,设AC x =,则2AB x =, ABD △中,22222114cos 1222BD DA AB x ADB x BD AD +-+-∠===-⋅, 同理,ACD △中,221154cos 14212x ADC x +-∠==-⨯⨯,因为180ADB ADC ∠+∠=︒, 所以225cos cos 1204ADB ADC x x ∠+∠=-+-=,解得x (负的舍去),故答案为:2. 【点睛】本题考查三角形面积公式,三角形内角平分线定理,余弦定理,通过180ADB ADC ∠+∠=︒,cos cos 0ADB ADC ∠+∠=,把两个三角形联系起来达到求解的目的.16.【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解:在中即则由正弦定理得:故答案为:【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析:【分析】由ACB ∠与BAC ∠,求出ABC ∠的度数,根据sin ACB ∠,sin ABC ∠,以及AC 的长,利用正弦定理即可求出AB 的长. 【详解】解:在ABC ∆中,50AC m =,45ACB ∠=︒,105CAB ∠=︒, 即30ABC ∠=︒, 则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠,得:50sin 21sin 2AC ACBAB ABC∠===∠.故答案为:. 【点睛】本题考查正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.17.【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为:【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析:4【分析】根据题意,只需m 小于等于111x x +-的最小值即可,利用基本不等式可得111x x+-的最值,进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈,则()10,1x -∈,11x x +-=, 所以,()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭, 当且仅当11x xx x -=-,即12x =时取等号, 所以,4m ≤,即m 的最大值为4.故答案为:4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值,以及恒成立问题,同时考查了转化的思想和运算求解的能力,属于基础题.18.【分析】由余弦定理可得由诱导公式可得进而可得由三角恒等变换得再由正弦定理即可得解【详解】在中由余弦定理得所以所以又所以所以所以在中由正弦定理得所以故答案为:【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角解析:)41【分析】由余弦定理可得8BD =、1cos 2ABD ∠=,由诱导公式可得1sin 2CBD ∠=,进而可得cos CBD ∠=sin BDC ∠,再由正弦定理即可得解. 【详解】在ABD △中,由余弦定理得2222cos 64BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅=, 所以8BD =,所以2221cos 22AB BD AD ABD AB BD +-∠==⋅,又AB BC ⊥,所以1sin cos 2CBD ABD ∠=∠=,0,2CBD π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,所以cos 2CBD ∠==, 所以()sin sin sin cos cos sin BDC BCD CBD BCD CBD BCD CBD ∠=∠+∠=∠∠+∠∠1222=-=, 在BCD △中,由正弦定理得sin sin BC BD BDC BCD ===∠∠,所以)41BC BDC =∠==.故答案为:)41.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理解三角形的应用,考查了三角恒等变换的应用及运算求解能力,属于中档题.19.【解析】等比数列首项为第二项为故是首项为公比为的等比数列所以所以其前项和为时为【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法考查利用裂项求和法求数列的前项和题目给定一个数列为等比数列并且给出和也就是要 解析:1516【解析】等比数列首项为1123a =,第二项为2169a =,故是首项为13,公比为13的等比数列.所以()21111333n n n nn a -+=⋅=,所以211131n n a n n n n ==-++,其前n 项和为111n -+,15n =时,为11511616-=. 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求法,考查利用裂项求和法求数列的前n 项和.题目给定一个数列()2n n n a +为等比数列,并且给出1a 和2a ,也就是要用这两项求得给定数列的第一和第二项,根据前两项求得等比数列的通项公式,由此得到211131n n a n n n n ==-++,利用裂项求和法求得数列的前n 项和. 20.【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解:∵是等比数列∴∵∴解得:故答案为:【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析:12【分析】本题先用1a ,q 表示2a ,5a ,再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解:∵ {}n a 是等比数列,∴ 21a a q =,451a a q∵24a =,512a =,∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得:1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩, 故答案为:12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法,是基础题.三、解答题21.(1)最多75人;(2)存在,{}7m ∈. 【分析】(1)根据题意直接列出不等式可求解; (2)由①可得2125x m ≥+,由②可得100325xm x ≤++,分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【详解】(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元, 则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦,(0a >) 解得075x ≤≤,4575x ,所以调整后的技术人员的人数最多75人;(2)①由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,解得2125xm ≥+. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭, 两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,整理得100325xm x ≤++, 故有2100132525x x m x +≤≤++,因为10033725x x ++≥=,当且仅当50x =时等号成立,所以7m ≤, 又因为4575x ≤≤,当75x =时,225x取得最大值7,所以7m ≥, 77m ∴≤≤,即存在这样的m 满足条件,使得其范围为{}7m ∈.【点睛】本题考查不等式的应用,解题的关键是正确理解题中数量关系,建立正确的不等式,进而求解. 22.(1)223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭;(2)13m =,112a =-.【分析】(1)当2a =时,不等式为23440x x -++>,即23440x x --<,利用一元二次不等式求解.(2)根据不等式的解集为()4,m -,则由4-,m 为方程23240x ax -++=的两根求解. 【详解】(1)当2a =时,不等式为23440x x -++>, 所以23440x x --<, 所以()23203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭, 解得223x -<<, 所以不等式23440x x -++>的解集为223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭; (2)由已知得4-,m 为方程23240x ax -++=的两根,则有243a m -+=--且443m -=-, 解得13m =,112a =-.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于中档题. 23.(1)3A π=;(2)6.【分析】(1)根据cos cos 2cos b A a B c A +=,利用正弦定理,结合两角和的正弦公式得到()sin 2sin cos A B C A +=,又A B C π+=-,由sin 2sin cos C C A =求解;(2)根据3A π=,ABC 4bc =,再结合余弦定理求得b c +即可. 【详解】(1)因为cos cos 2cos b A a B c A += 所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=, 所以()sin 2sin cos A B C A +=, 因为A B C π+=-, 所以sin 2sin cos C C A =, 因为sin 0C ≠, 所以1cos 2A =.因为0A π<<, 所以3A π=.(2)因为3A π=,ABC所以1sin 23ABC S bc π==△ 解得4bc =,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-, 得()22243b c bc b c bc =+-=+-, 所以4b c +=, 所以6a b c ++=. 所以ABC 的周长为6. 【点睛】方法点睛:(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制. 24.(1)3π;(2. 【分析】(1)利用正弦定理把sin cos b A B =化为sin sin cos A B A B =,从而可得tan B =B ; (2)由于4AD CD =,所以51ABC BCDSAC SDC ==,从而可得ABC 的面积为用三角形面积公式可得8ac =,而由sin 4sin C A =得 4c a =,从而可求出,a c 的值,再利用余弦定理可求出b 的值. 【详解】解:(1) ∵sin cos b AB =,∴sin sin cos A B A B=, ∴tan B = ∵()0,B π∈ ∴3B π=;(2)依题意可知:51ABC BCDSAC SDC ==,∵BCD △的面积为5,∴ABC 的面积为∵ABC的面积为1sin 2S ac B ==∴8ac =,∵sin 4sin C A =,∴4c a =,c =a =∴b == 25.(1)21n a n =-;(2)2332n nn S +=-. 【分析】(1)利用已知条件列出关于首项与公差的方程组,解方程组即得数列{}n a 的通项公式;(2)先由(1)得到n n n a 2n 122-=,再利用错位相减法求和即可. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩,即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩,所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以21n a n =-. (2)由(1)得n n n a 2n 122-=, 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++,① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++,② -①②得:21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭, 所以2332n nn S +=-. 【点睛】易错点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.26.(1)21n a n =-;(2)()12326n n T n +=-⨯+.【分析】(1)由等差数列的前n 项和公式,等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组,解方程组后可得通项公式n a ;(2)由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ,然后由错位相减法求得和n T . 【详解】(1)设{}n a 公差为d ,则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. (2)由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=,2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯,(1) ()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯,(2)(1)-(2)得:2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-,()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.。
【浙教版】高中数学必修五期末试题(带答案)

一、选择题1.己知x ,y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩,且22z x y =+,若z 的最大值是其最小值的654倍,则a 的值为( ) A .1B .2C .3D .42.设x ,y R +∈,1x y +=,求14x y+的最小值为( ). A .2B .4C .8D .93.已知x ,y 满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩若2x y m +≥恒成立,则m 的取值范围是( )A .3m ≥B .3m ≤C .72m ≤D .73m ≤4.不等式112x x ->+的解集是( ). A .{}|2x x <-B .{}|21x x -<<C .{}|1x x <D .{}|x x ∈R5.在ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()sin sin sin c C a A b a B =+-,角C 的角平分线交AB 于点D,且CD =,3a b =,则c 的值为( )A .72BC .3 D.6.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅,且2bc =,则ABC 的面积为( )A.BC.4 D.27.在ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 成等差数列,且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+,则ABC 的面积的最大值为( ) A.BC.D.8.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A 、B 间距离是35m ,则此电视塔的高度是( ) A .35mB .10mC .490013m D.9.在等比数列{}n a 中,有31598a a a =,数列{}n b 是等差数列,且99b a =,则711b b +等于( ) A .4B .8C .16D .2410.在正项等比数列{}n a 中,若3788a a a =,2105a a +=,则公比q =( ) A .122B .122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C .142D .142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭11.已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,其前n 项和为n S ,若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为( )A .1011B .910C .89D .212.在1和19之间插入个n 数,使这2n +个数成等差数列,若这n 个数中第一个为a ,第n 个为b ,当116a b+取最小值时,n 的值是( ) A .4B .5C .6D .7二、填空题13.已知函数2()4f x x =+,()g x ax =,当[]1,4x ∈时,()f x 的图象总在()g x 图象的上方,则a 的取值范围为_________.14.已知关于x 的一元二次不等式220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣,则228(0)a b b c b c+++≠+的最小值是___________.15.如图,研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度,在塔底D 和A ,B (与塔底D 同一水平面)处进行测量,在点A ,B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30,且A ,B 两点相距127m ,150ADB ∠=︒,则古塔CD 的高度为______m .16.已知二次函数2()f x ax bx c =++,满足940a c -<,对任意的x ∈R 都有()0f x >恒成立,则12(2)2(1)(0)⎛⎫ ⎪⎝⎭-+f f f f 的取值范围是_________.17.已知a ,b ,c 分别为ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,且cos cos sin b C c B a A +=,则A =________.18.如图,在ABC 中,点D 是边BC 上的一点,1DC =,2AC =,3BD =,120BAD ∠=︒,则AB 的长为________.19.已知下列结论:①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+,则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-,则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等,若,,a b c 成等差数列,则111,,a b c 可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等,若,,a b c 成等比数列,则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.20.数列{}n a 满足11a =,()*132n n a a n n N ++=+∈,则{}n a 的通项公式为n a =________.三、解答题21.已知函数2()()f x x ax a R =-∈. (1)若2a =,求不等式()3f x ≥的解集;(2)若[1,)x ∈+∞时,2()2f x x ≥--恒成立,求a 的取值范围.22.已知圆22:4210C x y x y +---=. (1)求y 轴被圆C 所截得的线段的长;(2)过圆C 圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S ,求S 的最小值.23.a ,b ,c 分别为锐角ABC 内角A ,B ,C 的对边.已知2sin (2sin sin )(2sin sin )a A B C b C B c =-+-.(1)求A ;(2)若2c =,试问b 的值是否可能为5?若可能,求ABC 的周长;若不可能,请说明理由.24.在ABC 中,,,A B C 的对边分别为,,a b c 且2cos cos cos b B a C c A =+. (1)求B 的值;(2)求22sin cos()A A C +-的范围. 25.已知数列{}n a 满足:121(21)n n n a q ---=,224224231(N )22n n n n n a a a *++⋅⋅⋅+=+∈. (Ⅰ)求2n a ; (Ⅱ)若7553q <<,求数列{}n a 的最小项. 26.已知正项数列{}n a 、{}n b ,记数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1143a b +=,21n n S a +=,2211(1)0n n n n nb b b n b ----+=(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)求数列{}2n n a b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】作出不等式组表示的图象,22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方,由图可观察出最远的点和最近的点,分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象,则阴影部分即为可行域,由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩,即(2,3)A ,220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >,因为22z x y =+, z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大,22max 2313z =+=,z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方,2min244z a ⎛⎫==+, 根据题意可得maxmin21365444z z a ==+,整理得245a +=,解得1a =或1a =-(舍去). 故选:A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题,关键点是作出可行域,利用z 的几何意义确定点,考查了数形结合思想,属于基础题.2.D解析:D 【分析】由“1”有代换利用基本不等式可得最小值. 【详解】因为x ,y R +∈,1x y +=,所以14144()559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当4x y y x =,即12,33x y ==时,等号成立.故选:D . 【点睛】易错点睛:本题考查用基本不等式求最小值.解题关键是利用“1”的代换凑配出定值.用基本不等式求最值必须满足三个条件:一正二定三相等.特别是相等这个条件常常会不满足,因此就不能用基本不等式求得最值.3.D解析:D 【详解】作出满足约束条件1,2,30,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图所示:平移直线20x y +=到点1(1,)3A 时,2x y +有最小值为73∵2x y m +≥恒成立 ∴min (2)m x y ≤+,即73m ≤ 故选D点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.4.A解析:A 【解析】分析:首先对原式进行移项、通分得到302x ->+,之后根据不等式的性质可得20x +<,从而求得不等式的解集.详解:将原不等式化为1202x x x --->+,即302x ->+, 即302x <+,则有20x +<,解得2x <-, 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-,故选A. 点睛:该题是一道关于求不等式解集的题目,解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法,属于简单题目.5.B解析:B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值,由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+,结合3a b =可求得a 、b 的值,再利用余弦定理可求得c 的值. 【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-,由正弦定理可得()22c a b a b =+-,可得222a b c ab +-=,由余弦定理可得:2221cos 22a b c C ab +-==,0C π<<,所以3C π=,由ABC ACD BCD S S S =+△△△,有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅,得ab a b =+,所以234b b =,0b >,43b ∴=,34a b ==, 由余弦定理可得221616471692cos 3c a b ab C =+--==+. 故选:B. 【点睛】方法点睛:在解三角形的问题中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则如下: (1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”; (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”; (3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”; (4)代数式变形或者三角恒等变换前置;(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.6.D解析:D 【分析】由两角和的正切公式可得()tan 1B C +=,即可得到34A π=,然后由面积公式可得结果. 【详解】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅,即()tan 1B C +=,在ABC 中,所以tan 1A =-,即34A π=,所以2sin 2A =,所以1122sin 22222ABCSbc A ==⨯⨯=. 故选:D .本题考查三角形的面积公式的应用,考查两角和的正切公式,属于基础题.7.B解析:B 【分析】由等差数列性质得3B π=,应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ,从而边,a c 可用角表示,最后用角表示出三角形面积,结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值. 【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列,∴2B A C =+, 又A B C π++=,∴3B π=,23C A π=-,2(0,)3A π∈,由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===, ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+,∴2sin 2sin 2sin 2a A c Cb B ac +-=,即222a b c R R R +-=2222cos a c b ac BR R+-==,∴R =又由正弦定理得2sin ,33a R A A c C ===,∴112sin sin sin()2233ABC S ac B A C A A △ππ==⨯=-21sin )cos 2sin )2A A A A A A =+=+21cos 2)3A A =+-)363A π=-+,∵2(0,)3A π∈,∴3A π=时,sin(2)16A π-=,即ABCS += 故选:B . 【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景,探究的是三角形面积的最大值,结合等差数列的性质,利用正弦定理进行边角转换,考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点,从而有效的激发考生学习兴趣,本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力,本题属于中档题.8.D解析:D设塔底为O ,设塔高为h ,根据已知条件求得,OA OB 的长,求得AOB ∠的大小,利用余弦定理列方程,解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ,设塔高为h ,由已知可知3,3OA h OB h ==,且150AOB ∠=,在三角形AOB 中,由余弦定理得22233352cos150h h h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭,解得521h m =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用,考查利用余弦定理解三角形,属于基础题.9.C解析:C 【分析】根据等比数列性质求得9a ,再由等差数列性质求解. 【详解】∵{}n a 是等比数列,∴2931598a a a a ==,90a ≠,所以98a =,即998b a ==,∵{}n b 是等差数列,所以7119216b b b +==. 故选:C .关键点点睛:本题考查等差数列和等比数列的性质,掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键,设,,,m n p l 是正整数,m n p l +=+,若{}n a 是等差数列,则m n p l a a a a +=+,若{}n a 是等比数列,则m n p l a a a a =.p l =时,上述结论也成立.10.D解析:D 【分析】由等比数列的性质可得出关于2a 、10a 的方程组,进而可求得等比数列{}n a 的公比. 【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===,即62a =.22106()4a a a ∴==,又2105a a +=,解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩,0q >,11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:D. 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关2a 、10a 的方程组,通过求出2a 、10a 的值,结合等比数列的基本量来进行求解.11.A解析:A 【分析】由题意可知,直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,且直线0x y d +-=过圆心,可求得1a 和d 的值,然后利用等差数列的求和公式求得n S ,利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称, 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,直线0x y d +-=的斜率为1-,则1112a =,可得12a =, 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0,则20d -=,可得2d =,()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=,则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+,()111111n S n n n n ∴==-++, 因此,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查裂项求和,同时也考查了直线与圆的综合问题,以及等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于中等题.12.B解析:B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-,,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13.【分析】由参变量分离法可得知不等式对任意的恒成立利用基本不等式求出的最小值即可得出实数的取值范围【详解】由题意可得则从而有由基本不等式可得当且仅当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为:【点睛】 解析:(),4-∞【分析】由参变量分离法可得知,不等式4a x x<+对任意的[]1,4x ∈恒成立,利用基本不等式求出4x x+的最小值,即可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意可得[]1,4x ∀∈,则24x ax +>,从而有4a x x<+,由基本不等式可得44x x +≥=,当且仅当2x =时,等号成立,所以,4a <. 因此,实数a 的取值范围是(),4-∞. 故答案为:(),4-∞. 【点睛】结论点睛:利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解: (1)x D ∀∈,()()min m f x m f x ≤⇔≤; (2)x D ∀∈,()()max m f x m f x ≥⇔≥; (3)x D ∃∈,()()max m f x m f x ≤⇔≤; (4)x D ∃∈,()()min m f x m f x ≥⇔≥.14.【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系再根据均值不等式求得最小值【详解】因为的解集为得得又所以所以由均值不等式得所以当时取等号故的最小值是故答案为:【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点 解析:【分析】根据一元二次不等式的解集求得,,a b c 的关系,再根据均值不等式求得最小值. 【详解】因为220bx x a -->的解集为{}(,,)xx c a b c R ≠∈∣,得0b >,440ab ∆=+=,得1ab =-,又1c b=,所以a c =-,所以0b c +>,由均值不等式得2b c +≥=, 所以()()22222228688b c bc b c a b c b b c b c b c b c+-+++++++===++++ ()6b cb c =++≥+,当b c +=228a b b c+++的最小值是故答案为:【点睛】用均值不等式解最值问题是本题的解题关键点.15.12【分析】设用表示出在中由余弦定理列方程求出【详解】由题意知:平面设则在中由余弦定理得:即解得故答案为:12【点睛】此题考查了余弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握余弦定理是解本题的关键属于中档题解析:12 【分析】设CD h =,用h 表示出,AD BD ,在ABD △中,由余弦定理列方程求出h . 【详解】由题意知:CD ⊥平面,45,30,150,,ABD DAC DBC ADB AB ∠=︒∠=︒∠=︒= 设CD h =,则,AD CD h BD ====,在ABD △中,由余弦定理得:2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即(222233h h h =++,解得12h m =故答案为:12 【点睛】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于中档题.16.【分析】用abc 把各函数值表示出来再由已知条件得到abc 之间的关系进而得到不等式恒成立即可求范围【详解】∵∴又由二次函数对任意的都有恒成立知:而∴故∴令即∴若有即可而在上无最大值无最小值但∴故答案为解析:1(,)2+∞【分析】用a 、b 、c 把各函数值表示出来,再由已知条件得到a 、b 、c 之间的关系,进而得到不等式恒成立,即可求范围 【详解】 ∵1(0),(),(1),(2)42242a bf c f c f a b c f a b c ==++=++=++ ∴1()2412242(2)2(1)(0)422()884a b f ca b c b c f f f a b c a b c c a a+++++===+-+++-+++ 又由二次函数2()f x ax bx c =++对任意的x ∈R 都有()0f x >恒成立知:2400b ac a ⎧∆=-<⎨>⎩,而940a c -<∴94c b a -<<>,故b a -<<∴2242c b c c a a a ++>>-32t => 即22222422t t b c t t a ++>>-∴22111211()()228422b c t t a ++>+>-,若221111()(),()()2222f t tg t t =+=- 有max min 12()()84b c f t g t a +>+>即可,而在3,2()t ∈+∞上()f t 无最大值,()g t 无最小值但31()()22g t g >=∴1()12(2)2(1)(0)2f f f f >-+故答案为:1(,)2+∞ 【点睛】本题考查了一元二次函数、一元二次不等式以及一元二次方程根与系数关系,首先由各函数值的表达式代入目标式并化简,再由一元二次方程根与系数关系确定系数间的不等关系,进而构造一元二次函数,根据不等式恒成立,求目标式范围17.【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】由于为三角形内角可得故答案为:【点睛】本题主要考查正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为解析:2π 【分析】 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦,利用两角和公式化简求得sin A 的值进而求得A . 【详解】cos cos sin b C c B a A +=,2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==,sin 0A ≠, sin 1A ∴=,∴由于A 为三角形内角,可得2A π=.故答案为:2π. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用.解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦.18.【分析】在两个三角形中利用余弦定理建立等量关系式整理得出结合题中所给的条件利用余弦定理建立等量关系式求得结果【详解】因为所以可得在△中所以整理得出所以所以故答案为:【点睛】该题考查的是有关解三角形的解析:7【分析】在两个三角形中,利用余弦定理,建立等量关系式,整理得出2AB AD =,结合题中所给的条件,利用余弦定理建立等量关系式,求得结果. 【详解】因为cos cos ADB ADC ∠=-∠,所以2229142321AD AB AD AD AD+-+-=-⨯⨯⨯⨯,可得2AB AD =, 在△ABD 中,2222cos BD AD AB AD AB BAD =+-⨯⨯∠,所以22192()422AB AB AB AB =+-⨯⨯⨯-,整理得出2794AB =,所以2367AB =,所以AB =,. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有余弦定理解三角形,属于简单题目.19.②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误;②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确;③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误;④先得方程整理得判断解析:②④ 【分析】①先求出12a =,再当2n ≥时求出21n a n =-,判断当1n =时有11n a a =≠,判断①错误;②先求出11a =,再当2n ≥时求出12n na ,判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列,判断②正确;③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩,再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾,判断③错误;④先得方程2b ac =,整理得2111()b a c =⨯,判断④正确. 【详解】①:数列{}n a 的前n 项和21n S n =+, 当1n =时,211112a S ==+=,当2n ≥时,221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦,当1n =时,11n a a =≠,故①错误;②:数列{}n a 的前n 项和21nn S =-, 当1n =时,111211a S ==-=,当2n ≥时,111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=,当1n =时,11n a a ==,且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项,以2为公比的等比数列, 故②正确;③:若111,,a b c是等差数列,则211a c b a c ac+=+=, 因为,,a b c 成等差数列,则2a c b +=,则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩,整理得a b c ==,与非零实数,,a b c 不全相等矛盾, 故③错误;④:因为非零实数,,a b c 不全相等,且,,a b c 成等比数列, 所以2b ac =,则21111b ac a c==⨯, 则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为:②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断,是基础题.20.【分析】先根据条件得隔项成等差数列再根据等差数列通项公式得结果【详解】相减得所以当为奇数时当为偶数时因此故答案为:【点睛】本题考查等差数列通项公式根据递推关系求通项公式考查基本分析求解能力属中档题解析:()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【分析】先根据条件得隔项成等差数列,再根据等差数列通项公式得结果. 【详解】1+12323(1)2n n n n a a n a a n +++=+∴+=++相减得23n n a a +-=所以当n 为奇数时,111313(1)13(1)222n n n n a a ++-=+-=+-= 当n 为偶数时,2323(1)513(1)222n n nn a a +=+-=-+-=因此n a =()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 故答案为:()*31,21232,22n n k k N n n k -⎧=-⎪⎪∈⎨+⎪=⎪⎩ 【点睛】本题考查等差数列通项公式、根据递推关系求通项公式,考查基本分析求解能力,属中档题.三、解答题21.(1){|1x x ≤-或3}x ≥;(2)(,4]-∞. 【解析】试题分析:(1)先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥,再根据不等号方向得不等式解集,(2)先化简不等式,并分离12a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭,转化为求对应函数最值:()min a h x ≤,其中()12h x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再根据基本不等式求()h x 最值,即得a 的取值范围. 试题(1)若()2,3a f x =≥即()()2230,310x x x x --≥-+≥所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥ (2)()22f x x ≥--即12a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭在[)1,x ∈+∞时恒成立, 令()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立, 又()124h x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭,当且仅当1x x =即1x =等号成立,所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞.22.(1)2)4 【分析】(1)将0x =代入22:4210C x y x y +---=可得2210y y --=,将线段长为12y y -=和韦达定理相结合即可得出结果;(2)设:1(,0)x yl a b a b +=>,由直线过圆心可得211a b=+,利用基本不等式可得8ab ≥,最后根据三角形面积公式即可得出结果. 【详解】(1)设圆22:4210C x y x y +---=与y 轴的交点为()10y ,,()20,y , 将0x =代入22:4210C x y x y +---=可得2210y y --=, 即122y y +=,121y y ⋅=-,所以y 轴被圆C 所截得的线段的长为12y y -==(2)设:1(,0)x yl a b a b +=>,由于l 过(2,1)C ,∴211a b=+,利用基本不等式,得2118ab a b =+≥≥,∴142S ab =≥, 即S 的最小值为4, 此时4,2a b ==,:142x yl +=,即:240l x y +-= 【点睛】本题主要考查了直线截圆所得弦长问题,直线截距式的应用,利用基本不等式求最值,属于中档题. 23.(1)3A π=;(2)不可能,理由见解析.【分析】(1)由正弦定理化角为边,再由余弦定理即可求出; (2)由余弦定理得出cos 0B <,得出B 为钝角,与已知矛盾. 【详解】解:(1)因为2sin (2sin sin )(2sin sin )a A B C b C B c =-+-, 由正弦定理可得22(2)(2)a b c b c b c =-+-,即222a b c bc =+-. 再由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,所以1cos 2A =. 因为(0,)A π∈,所以3A π=.(2)假设5b =,则由余弦定理,得2222cos 19a b c bc A =+-=,所以22219425cos 022a c b B ac ac+-+-==<,所以B 为钝角,这与ABC 为锐角三角形矛盾, 故b 的值不可能为5.24.(1)3B π=;(2)1(,12-. 【分析】(1)根据等差数列的性质可知cos cos 2cos a C c A b B +=,利用正弦定理把边转化成角的正弦,化简整理得sin 2sin cos B B B =,求得cos B ,进而求得B ;(2)先利用二倍角公式及辅助角对原式进行化简整理,进而根据A 的范围和正弦函数的单调性求得()2sin cos A A C 2+-的范围.【详解】因为2cos cos cos b B a C c A =+由正弦定理得, 2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+即:()sin 2sin cos A C B B +=,则sin 2sin cos B B B =,因为sin 0B ≠ 所以1cos 2B =,又0B π<< 得3B π=(2)∵3B π=,∴23A C π+=∴2222sin cos()2sin cos(2)3A A C A A π+-=+-=131cos 2cos 2212cos 222A A A A A --+=-=1)3A π-,∵203A π<<,233A πππ-<-<∴sin(2)13A π<-≤则()2sin cos A A C 2+-的范围为1,12⎛- ⎝ 【点睛】在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.25.(Ⅰ)2231n n a n =-;(Ⅱ)25q . 【分析】(Ⅰ)设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,利用122n n n n S S a -=-可求2n a .(2)讨论{}2-1n a 的单调性后可求数列{}21n a -的最小项,结合223n a >可求数列{}n a 的最小项. 【详解】解:(Ⅰ)设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,即23122n S n n =+,∴2131(1)(1)22n S n n -=-+-.则12231(2)n n n n S S n n a -=-=-≥, 故()22231n na n n =≥-,当1n =,21a =,也符合此式, ∴2231n na n =-. (Ⅱ)222223313313n n a n n ==+>--. 考虑奇数项,∵12121n n q a n --=-,∴[]112121(21)(21)2121(21)(21)n n n n n q q n n q q a a n n n n --+---+-=-=+-+-()()()111121(21)(21)(21)(21)2222n n q n q q q q q n n n q n n --⎡⎤-+----==+⎢⎥-⎡⎤⎣⎦+⎦-⎣-,又()1112121q q q +=+--,∵7553q <<,得()112,321q +∈-,而220q ->, ∴当2n ≤时,2121n n a a +-<,当3n ≥时,2121n n a a +->,即奇数项中5a 最小.而25252593n q a a =<<<,所以数列{}n a 的最小项为255q a =. 【点睛】思路点睛:数列的最大项最小项,一般根据数列的单调性来处理,如果数列是分段数列,则可以分别讨论各段上的最大项最小项,比较后可得原数列的最大项最小项.26.(1)13n n a =,12n n b +=;(2)151144323n n nn T -+=--⋅⋅ 【分析】 (1)由1n =求得1a ,再風1b ,然后由11n n n a S S ++=-得到数列{}n a 的递推关系,知其为等比数列,从而得通项公式,由n b 的递推关系得1(1)n n nb n b -=+,用累乘的方法求得n b ;(2)用错位相减法求和n T .【详解】(1)由题意知:1111221S a a a +=+=,113a =,∴11413b a =-=, ∵1121,21n n n n S a S a +++=+= ∴111333n n n n a a q a +=⇒=⇒= 又∵()[]11(1)0,0n n n n n b b nb n b b --+⋅-+=> ∴121121131(1)122n n n n n n n b b b n n n nb n b b b b b n n ----++=+⇒⋅=⋅⋅⇒=-(1b 也适合), (2)∵123n n n n a b +=∴2323413333n n n T +=++++ 231123133333n n n n T ++=++++ ∴12311111221111219313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=++++-=+-- 11211113633n n n -++⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ ∴151144323n n nn T -+=--⋅⋅. 【点睛】 本题考查求等比数列的通项公式,累乘法求通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法:设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和;(2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法;(3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.。
最新高中数学必修五期末试卷及答案
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一、选择题1.己知x ,y 满足()2403300220x y x y a x ay -+≥⎧⎪--≤>⎨⎪+-≥⎩,且22z x y =+,若z 的最大值是其最小值的654倍,则a 的值为( )A .1B .2C .3D .4 2.当0x >时,不等式290x mx -+>恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .(6)∞-,B .(6]∞-,C .[6)∞,+D .(6)∞,+3.已知实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则241z x y =++的最小值是( )A .14-B .1C .5-D .9-4.已知函数()()log 31a f x x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点A ,若点A 在直线40mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为( ) A .23B .43C .2D .45.如图,某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30,该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后,到达B 处,此时测得俯角为45.已知小车的速度是20km/h ,且33cos 8AOB ∠=-,则此山的高PO =( )A .1 kmB .2 km 2C 3 kmD 2 km6.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术:“割之弥细,所失弥少,割之割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”,即通过圆内接正多边形细割圆,并使正多边形的面积无限接近圆的面积,进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正n 边形逼近圆,算得圆周率的近似值记为n π,那么用圆的内接正2n 边形逼近圆,算得圆周率的近似值加2n π可表示成( )A .360sinnnπ︒ B .360cosnnπ︒ C .180cosnnπ︒ D .90cosnnπ︒ 7.在ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C所对的边,若b =60B =︒,若ABC 仅有一个解,则a 的取值范围是( )A.({}2⋃B .30,2C .{}30,22⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D .28.已知锐角ABC ,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若22sin sin sin sin B A A C -=⋅,3c =,则a 的取值范围是( )A .2,23⎛⎫⎪⎝⎭B .()1,2C .()1,3D .3,32⎛⎫⎪⎝⎭ 9.已知数列{}n a 为等比数列,若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 的等差中项为54,则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为( ) A .5B .512C .1024D .204810.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A .(),1-∞B .12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,C .13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D .14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,11.已知{}n a 是公比为整数的等比数列,设212n nn na ab a -+=,n ∈+N ,且113072b =,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,若2020n S ≥,则n 的最小值为( ) A .11B .10C .9D .812.已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+,5a 是数列{}n a 的最小项,则实数a 的取值范围是( ) A .[40,25]--B .[40,0]-C .[25,0]-D .[25,0]-二、填空题13.若实数a ,b 满足22221a b +=,则22141a b ++的最小值为___________. 14.西气东输工程把西部的资源优势变为了经济优势,实现了气能源需求与供给的东西部衔接,同时该项工程的建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.在输气管道工程建设过程中,某段直线形管道铺设需要经过一处平行峡谷,勘探人员在峡内恰好发现一处四分之一圆柱状的圆弧拐角,用测量仪器得到此横截圆面的圆心为O ,半径OM ON =且为1米,而运输人员利用运输工具水平横向移动直线形输气管不可避免的要经过此圆弧拐角,需从宽为38米的峡谷拐入宽为16米的峡谷.如图所示,位于峡谷悬崖壁上的两点A ,B 的连线恰好与圆弧拐角相切于点T (点A ,T ,B 在同一水平面内),若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角,其长度不能超过______________米.15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知4A π=,22212b c a -=,则tan B =________.16.ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2222b a c ac +-=,3sin B =,则C =__________. 17.已知正项等比数列{}n a 满足:28516a a a ,35+20a a =,若存在两项,m n a a 使得=32m n a a ,则14m n+的最小值为______ 18.对于ABC ,有如下命题:①若sin2A =sin2B ,则ABC 为等腰三角形; ②若sin A =cos B ,则ABC 为直角三角形; ③若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1,则ABC 为钝角三角形; ④若满足C =6π,c =4,a =x 的三角形有两个,则实数x 的取值范围为(4,8). 其中正确说法的序号是_____.19.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且11a =,621S =,记[]lg n n b a =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]0.90=,[]lg991=,则数列{}n b 的前100项和为________. 20.若等差数列{}n a 中,10a <,n S 为前n 项和,713S S =,则当n S 最小时n =________. 三、解答题21.已知集合(){}2log 421xA x y ==-+∣,1,11B y y x a x x ⎧⎫==++>-⎨⎬+⎩⎭∣. (1)求集合A 和集合B ;(2)若“R x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件,求a 的取值范围.22.解关于x 的不等式:()2230x a a x a -++>.23.在①()22sin sin sin sin sin A B C B C --=,②sin sin 2B Cb a B +=,③2sin sin 3a B b A π⎛⎫=-⎪⎝⎭这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答. ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c2b c +=,______求A 和C .24.已知在△ABC 中,a ∶b ∶c =2∶1),求角A 的大小.25.已知数列{}n a 满足:121(21)n n n a q---=,224224231(N )22n n n n n a a a *++⋅⋅⋅+=+∈. (Ⅰ)求2n a ; (Ⅱ)若7553q <<,求数列{}n a 的最小项. 26.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =.等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,公比1q ≠且653222b b b b -=-,430T =.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记1122n n n Q a b a b a b =++⋯+,是否存在正整数,(1)m k m k <<,使得m Q 是13Q 与k Q 的等差中项?若存在,求出所有m ,k 的值;若不存在,请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】作出不等式组表示的图象,22z x y =+可看作可行域内的点到原点距离的平方,由图可观察出最远的点和最近的点,分别求出距离做比值列出等式可得答案. 【详解】根据不等式组作出图象,则阴影部分即为可行域,由240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩,即(2,3)A , 220x ay +-≥恒过(1,0)且0a >,因为22z x y =+, z 的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方, 由图点(2,3)A 到原点的距离的平方最大,22max 2313z =+=,z 的最小值为原点到直线BC 的距离的平方,2min22444z a a ⎛⎫==++, 根据题意可得max min 21365444z z a ==+,整理得245a +=,解得1a =或1a =-(舍去).故选:A. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题,关键点是作出可行域,利用z 的几何意义确定点,考查了数形结合思想,属于基础题.2.A解析:A 【分析】当x >0时,不等式x 2﹣mx +9>0恒成立⇔m <(x 9x+)min ,利用基本不等式可求得(x 9x+)min =6,从而可得实数m 的取值范围. 【详解】当x >0时,不等式x 2﹣mx +9>0恒成立⇔当x >0时,不等式m <x 9x+恒成立⇔m <(x 9x+)min ,当x>0时,x9 x +≥29xx⋅=6(当且仅当x=3时取“=”),因此(x9x+)min=6,所以m<6,故选A.【点睛】本题考查函数恒成立问题,分离参数m是关键,考查等价转化思想与基本不等式的应用,属于中档题.3.A解析:A【分析】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.【详解】解:作出不等式组50x yx yy++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域,如图所示的阴影部分由241z x y=++可得11244zy x=-+-,则144z-表示直线11244zy x=-+-在y轴上的截距,截距越小,z越小,由题意可得,当11244z y x =-+-经过点A 时,z 最小, 由500x y x y ++=⎧⎨-=⎩可得5522A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,, 此时552411422z =-⨯-⨯+=-,故选:A. 【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.4.C解析:C 【分析】由对数函数的图象得出A 点坐标,代入直线方程得,m n 的关系,从而用凑出基本不等式形式后可求得最小值. 【详解】令31+=x ,2x =-,(2)1f -=-,∴(2,1)A --,点A 在直线40mx ny ++=上,则240m n --+=,即24m n +=, ∵0mn >,24m n +=,∴0,0m n >>,∴12112141(2)442444n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝, 当且仅当4n mm n=,即1,2m n ==时等号成立. 故选:C . 【点睛】本题考查对数函数的性质,考查点在直线上,考查用基本不等式求最小值.是一道综合题,属于中档题.5.A解析:A 【分析】由题意作图可得60APO ∠=,45BPO ∠=,设PO h =,在Rt POA △,Rt POB 中求出AO =,BO h =,在AOB 中,由余弦定理列方程即可求解. 【详解】由题意可知:PO ⊥平面AOB ,903060APO ∠=-=,904545BPO ∠=-=,7.520 2.560AB =⨯=km , 设PO h =,在POA 中,tan AO APO PO ∠=,tan 60AOh=,所以3AO h =, 在POB 中,tan BO BPO PO ∠=,tan 45BOh=,所以BO h =, 在AOB 中,由余弦定理可得:2222cos AB AO BO AO A BO OB =∠+-⨯,所以)2222.5323338h h h h =+-⨯⎛- ⎝⎭⨯,即2252544h =,解得:1h =, 所以山的高1PO =, 故选:A.6.C解析:C 【分析】设圆的半径为r ,由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得:180180sincosn n n nπ⨯=⨯,由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得:2180sinn n nπ⨯=,问题得解. 【详解】设圆的半径为r ,将内接正n 边形分成n 个小三角形, 由内接正n 边形的面积无限接近圆的面积可得:221360sin2r n r n π≈⨯⨯,整理得:1360sin 2n nπ≈⨯⨯, 此时1360sin 2n n n π⨯⨯=,即:180180sin cosn n n nπ⨯=⨯ 同理,由内接正2n 边形的面积无限接近圆的面积可得:2213602sin22r n r n π≈⨯⨯,整理得:13601802sin sin 22n n n nπ≈⨯⨯=⨯此时2180sinnnnπ⨯=所以2180sin180cosnnnnnππ==⨯故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用,还考查了正弦的二倍角公式,考查计算能力,属于中档题.7.A解析:A【分析】根据3b=,60B=︒,由正弦定理得到sin2sinsinb Aa AB==,然后作出函数2sin=y A的图象,将问题转化为y a=与2sin=y A的图象只有一个交点求解.【详解】因为3b=,60B=︒,由正弦定理得sin sina bA B=,所以sin2sinsinb Aa AB==,因为()0,120∈︒A,2sin=y A的图象如图所示:因为ABC仅有一个解,所以y a=与2sin=y A的图象只有一个交点,所以03a<≤2a=,故选:A【点睛】本题主要考查正弦定理的应用以及三角函数的图象的应用,还考查了数形结合的思想方法,属于中档题.8.D解析:D 【分析】由正弦定理可得三边的关系,再由余弦定理可得312cos a B=+,结合三角形为锐角三角形可得a 的取值范围. 【详解】∵22sin sin sin sin B A A C -=⋅, ∴由正弦定理可得22b a ac -=,∵由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,可得2222cos a c ac B a ac +-=+, 又3c =,∴可得312cos a B=+,∵锐角ABC 中,若B 是最大角,则B 必须大于 3π,所以,3B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以1cos 02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,所以3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 故选:D. 【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用,及锐角三角形的性质,属于中档题.9.C解析:C 【分析】用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ,再根据3474422a a a a q +=+,求得q ,进而求得1a 到6a 的值,即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=,41316a a q ==故1415116()2222n n nn a ---=⨯=⨯=,所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<,所以数列的前4或5项的积最大,且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选:C 【点睛】结论点睛:等比数列{}n a 中,如果11,01a q ><<,求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值,一般利用“1交界”法求解,即找到大于等于1的项,找到小于1的项,即得解.10.C解析:C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,于是可求出n S ,再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<,利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值,可得出实数λ的取值范围. 【详解】当1n =时,1121S a =-,即1121a a =-,得11a =;当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得122n n n a a a -=-,得12n n a a -=,12nn a a -∴=,所以,数列{}n a 为等比数列,且首项为1,公比为2,11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-,由10n n S S λ+-<,得()()11111112121112221212221n nnn n n n S S λ+++++---<===----, 所以,数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增,其最小项为122211213S S -==-,所以,13λ<, 因此,实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,故选C . 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项,其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩,其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题,一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解,考查化归与转化问题,属于中等题.11.B解析:B 【分析】设{}n a 是公比为q ,根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q,数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ,由212n nn na ab a -+=,n ∈+N ∴1n n n b qq -=+,又113072b =即10113072q q +=,又q Z ∈,知:2q∵{}n b 的前n 项和为n S ,则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时,3(21)2020n -≥,n ∈+N 解得10n ≥ 故选:B 【点睛】本题考查了数列,由数列的递推关系及已知条件求公比,进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值12.D解析:D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立,参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立,故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥, 当6n ≥时,有()56a n n ≤-恒成立,故0a ≤, 当14n ≤≤时,有()56a n n ≥-恒成立,故25a ≥-, 当5n =时,a R ∈, 故250a -≤≤. 故选:D. 【点睛】本题考查数列的函数性质:最值问题,此类问题可利用函数的单调性来研究,也可以利用恒成立来研究,本题属于较难题.二、填空题13.6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为:6【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(1)一正二定三相等一正就是各解析:6 【分析】由条件可得()22312a b ++=,则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案. 【详解】实数a ,b 满足22221a b +=,即2212a b +=,所以()22312a b ++=则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当2222141b a a b +=+, 又2212a b +=,即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时,取得等号. 故答案为:6 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方,这时改用勾型函数的单调性求最值.14.75【分析】设则可得AB 长度的表达式利用凑1法结合基本不等式即可求得答案【详解】设其中延长OM 交AB 于D 过B 做SB 垂线交DO 于G 延长ON 交AB 于E 过A 做SA 垂线交NO 于F 如图所示:在中AF=39则即解析:75 【分析】设=MOT θ∠,则可得AB 长度的表达式,利用凑“1”法,结合基本不等式,即可求得答案. 【详解】设=MOT θ∠,其中(0)2πθ∈,,延长OM ,交AB 于D ,过B 做SB 垂线,交DO 于G ,延长ON ,交AB 于E ,过A 做SA 垂线,交NO 于F ,如图所示:在Rt AEF 中,AEF θ∠=,AF =39,则sin AF AE θ=,即39sin AE θ=, 在Rt BDG 中,DBG θ∠=,17BG =,则cos BG BD θ=,即17cos BD θ=, 在Rt DOE 中, OT DE ⊥,OT=1,所以11,cos sin DO EO θθ==, 又1122DO EO DE OT ⨯⨯=⨯⨯,所以1sin cos DE θθ=, 所以39171()sin cos sin cos AB f AE BD DE θθθθθ==+-=+-=39cos 17sin 1sin cos θθθθ+-, 因为4sin 3cos 5sin()5θθθϕ+=+≤,其中3tan 4ϕ=,当且仅当2πθϕ+=时,等号成立,所以1(4sin 3cos )(39cos 17sin )139cos 17sin 15()sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθ++-+-=≥22221(68sin 207sin cos 117cos )(sin cos )5sin cos θθθθθθθθ++-+==2263207112sin sin cos cos 716207555(9tan )sin cos 5tan 5θθθθθθθθ++=++71620729tan 755tan 5θθ≥⨯⨯=, 当且仅当169tan tan θθ=,即4tan 3θ=时等号成立,所以若要使得直线形输气管能够顺利地通过圆弧拐角,其长度不能超过75米. 故答案为:75. 【点睛】解题的关键是根据题意,得到AB 长度的表达式,难点在于需利用凑“1”法,将表达式化简成齐次式,结合基本不等式求解,考查计算化简的能力,属中档题.15.3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为:3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数解析:3 【分析】由题意结合余弦定理得3c =,进而可得3a =,再由余弦定理即可求得cos 10B =,利用平方关系求得sin 10B =,进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】4A π=,∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222b a c -=-,又22212b a c -=,所以2212c c =-,所以c =, 222222145299a b c b b b =-=-=,所以a =,所以22222258cos 2b b ba cb B ac +-+-===,所以sin B ==, 所以sin tan 3cos BB B==, 故答案为:3. 【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用,考查了同角三角函数关系式,考查了运算求解能力与转化化归思想,属于中档题.16.【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到根据正弦定理可得结合三角形内角的取值范围最后求得结果【详解】内角的对边分别为且整理得所以由正弦定理得整理得因为所以故答案为:【点睛】该题考查的是有关解三角形 解析:6π【分析】首先利用余弦定理将题中条件整理得到cos b C c =,根据正弦定理可得sin tan B C ==,结合三角形内角的取值范围,最后求得结果.ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2222b a c ac +-=,整理得222cos 22b a c ab ac C +-==,所以cos b C c =, 由正弦定理得sin cos sin B C C =,整理得sin tan B C ==,因为(0,)C π∈,所以6B π=,故答案为:6π. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知三角函数值求角,属于中档题.17.【分析】由先求出数列的通项公式由找到把乘以1等量代换最后利用均值定理即可求解【详解】解:设正项等比数列的公比为由又所以所以即当且仅当即时取等号则的最小值为故答案为:【点睛】考查等比数列的性质以及用均解析:34【分析】 由28516a a a ,35+20a a =找到12m n +=,把14m n+乘以1,等量代换,最后利用均值定理即可求解. 【详解】解:设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >, 由28516a a a ,255516,16a a a ==,又35+20a a =,所以34a =,25316=4,24a q q a === 5515=1622n n n n a a q ---=⨯=,,所以1110222n m m n a a --==,即12m n +=,14145531212123124m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当123n mm n=,即4,8m n ==时取等号, 则14m n +的最小值为34故答案为:34.考查等比数列的性质以及用均值定理求最小值,基础题.18.③④【分析】举出反例可判断①②;由同角三角函数的平方关系正弦定理可得再由余弦定理可判断③;由正弦定理可得再由三角形有两个可得且即可判断④;即可得解【详解】对于①当时满足此时△ABC 不是等腰三角形故①解析:③④ 【分析】举出反例可判断①、②;由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<,再由余弦定理可判断③;由正弦定理可得8sin x A =,再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠,即可判断④;即可得解.【详解】 对于①,当3A π=,6B π=时,满足sin 2sin 2A B =,此时△ABC 不是等腰三角形,故①错误; 对于②,当23A π=,6B π=时,满足sin cos A B =,此时△ABC 不是直角三角形,故②错误;对于③,∵222sin sin cos 1A B C ++<,∴22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+, ∴222sin sin sin A B C +<,∴根据正弦定理得222a b c +<,∵222cos 02a b c C ab+-=<,()0,C π∈,∴C 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形,故③正确;对于④,∵,4,6C c a x π===,∴根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===,∴8sin x A =,由题意566A ππ<<,且2A π≠,∴1sin 12A <<,∴48x ,即x 的取值范围为(4,8),故④正确.故答案为:③④. 【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用,考查了运算求解能力,合理转化条件是解题关键,属于中档题.19.92【分析】设的公差为d 由解得则然后由分和三种情况求解【详解】设的公差为d 所以解得∴记的前n 项和为则当时当时当即时∴故答案为:92【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用还【分析】设{}n a 的公差为d ,由11a =,621S =,解得1d =,则n a n =,然后由[]lg n n b a =,分0lg 1n a ≤<, 1lg 2n a ≤<和 lg 2n a =三种情况求解.【详解】设{}n a 的公差为d ,()6166212s a a =+=, 所以167a a +=, 解得1d =, ∴n a n =,记{}n b 的前n 项和为n T ,则[][][]1001210012100lg lg lg T b b b a a a =++⋯+=++⋯+, 当0lg 1n a ≤<时,1,2,9n =⋅⋅⋅,0n b =, 当1lg 2n a ≤<时,10,11,99n =⋅⋅⋅,1n b =, 当lg 2n a =,即100n a =时,2n b = ∴10009190292T =⨯+⨯+=. 故答案为:92 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.20.10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为:10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析:10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律,即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增,因此10110,0a a <>即10n =,n S 最小 故答案为:10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质,考查基本分析求解能力,属中档题.三、解答题21.(1)(,2)A =-∞,[1,)B a =++∞;(2)1a >.(1)由对数函数的性质求对数型复合函数的定义域,即集合A ,利用基本不等式求函数的值域可得集合B ;(2)根据必要不充分条件与集合包含之间的关系确定a 的范围. 【详解】(1)4202x x ->⇒<,所以(,2)A =-∞, 因为1x >-,所以10x +>,所以11(1)11111y x a x a a a x x =++=+++-≥-=+++,当且仅当111x x +=+,即0x =时等号成立. 所以[1,)B a =++∞. (2)由(1)(,1)RB a =-∞+,因为“R x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件,所以A 是B R的真子集,所以12a +>,所以1a >. 【点睛】本题考查求函数的定义域和值域,考查充分必要条件与集合包含之间的关系,考查对数函数、指数函数性质,考查基本不等式求最值,考查由集合包含关系求参数取值范围.知识点较多,但内容较基础.属于中档题. 22.见解析 【分析】由题意,将不等式()2230x a a x a -++>变形为2(0)()x a x a -->,分三种情况讨论,分别求解不等式的解集,即可得到答案. 【详解】将不等式()2230x a a x a -++>变形为()()20x a x a -->.当a <0或1a >时,有a < a 2,所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >; 当a =0或1a =时,a = a 2=0,所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠; 当0< a <1时,有a > a 2,所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >; 【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解问题,其中解含参数的一元二次不等式的步骤:(1)若二次项含有参数,应先讨论参数是等于0、小于0,还是大于0,然后整理不等式;(2)当二次项系数不为0时,讨论判别式与0的关系,判断方程的根的个数;(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式. 23.选择见解析,3A π=,512C π=.【分析】选择条件①,利用正弦定理结合余弦定理求出cos A 的值,结合角A 的取值范围可求得A2b c +=sin 2sin A B C +=,由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,由角C 的取值范围可求得结果;选择条件②,利用诱导公式、正弦定理以及三角恒等变换思想求出sin2A的值,结合角A的取值范围可求得角A 2b c +=可得出sin 2sin A B C +=,由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,由角C 的取值范围可求得结果;选择条件③,由正弦定理以及两角差的正弦公式可求得tan A 的值,结合角A 的取值范围可求得角A 2b c +=sin 2sin A B C +=,由三角形的内角和定理以及三角恒等变换思想求出1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,由角C 的取值范围可求得结果. 【详解】(1)选择条件①,由()22sin sin sin sin sin A B C B C --=及正弦定理知()22a b c bc --=,整理得,222b c a bc +-=,由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===,又因为()0,A π∈,所以3A π=,2b c +=sin 2sin A B C +=,由23B C π=-2sin 2sin 33C C ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,即1cos sin 2sin 222C C C ++=,即3sin C C6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 因为20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,662C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,从而64C ππ-=,解得512C π=; 选择条件②,因为A B C π++=,所以222B C Aπ+=-, 由sinsin 2B C b a B +=得cos sin 2Ab a B =,由正弦定理知,sin cos sin sin 2sin cos sin 222A A AB A B B ==, ()0,B π∈,()0,A π∈,可得0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以,sin 0B >,cos 02A >,可得1sin 22A =,所以,26A π=,故3A π=. 以下过程同(1)解答; 选择条件③,由2sin sin 3aB b A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 及正弦定理知,2sin sin sin sin 3A B B A π⎛⎫=-⎪⎝⎭,()0,B π∈,则sin 0B >,从而21sin sin sin 322A A A A π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,则sin A A =,解得tan A ,又因为()0,A π∈,所以3A π=,以下过程同(1)解答. 【点睛】方法点睛:在解三角形的问题中,若已知条件同时含有边和角,但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要选择“边化角”或“角化边”,变换原则如下:(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;(2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;(4)代数式变形或者三角恒等变换前置;(5)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理. 24.45A =︒【分析】利用余弦定理可求A 的大小.【详解】由题设可设)2,,1(0)a k b c k k ===>,由余弦定理得,222222644cos 22k k k b c a A bc +-+-===, 而A 为三角形内角,故45A =︒.25.(Ⅰ)2231n n a n =-;(Ⅱ)25q . 【分析】(Ⅰ)设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,利用122n n n n S S a -=-可求2n a . (2)讨论{}2-1n a 的单调性后可求数列{}21n a -的最小项,结合223n a >可求数列{}n a 的最小项.【详解】解:(Ⅰ)设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,即23122n S n n =+, ∴2131(1)(1)22n S n n -=-+-.则12231(2)n n n n S S n n a -=-=-≥, 故()22231n n a n n =≥-,当1n =,21a =,也符合此式, ∴2231n n a n =-. (Ⅱ)222223313313n n a n n ==+>--. 考虑奇数项,∵12121n n q a n --=-, ∴[]112121(21)(21)2121(21)(21)n n n n n q q n n q q a a n n n n --+---+-=-=+-+- ()()()111121(21)(21)(21)(21)2222n n q n q q q q q n n n q n n --⎡⎤-+----==+⎢⎥-⎡⎤⎣⎦+⎦-⎣-, 又()1112121q q q +=+--, ∵7553q <<,得()112,321q +∈-,而220q ->, ∴当2n ≤时,2121n n a a +-<,当3n ≥时,2121n n a a +->,即奇数项中5a 最小. 而25252593n q a a =<<<,所以数列{}n a 的最小项为255q a =. 【点睛】思路点睛:数列的最大项最小项,一般根据数列的单调性来处理,如果数列是分段数列,则可以分别讨论各段上的最大项最小项,比较后可得原数列的最大项最小项.26.(1)21n a n =-,2n n b =;(2)不存在,理由见解析.【分析】(1)利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.利用已知条件求得1,b q ,由此求得数列{}n b 的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得n Q ,利用123m k Q Q Q =+列方程,化简后判断不存在符合题意的,m k .【详解】(1)当1n =时,111a S ==, 当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-, 当1n =时,等式也成立,所以,数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. 在等比数列{}n b 中,653222b b b b -=-, 即()32(2)10b q q --=,又20b ≠且1q ≠, 2q ∴=,()414123012b T -∴==-, 12b ∴=,112n n n b b q -∴==. (2)23123252(21)2n n Q n =⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅ ①,①×2得:23412123252(23)2(21)2n n n Q n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅ ②, -②①得:2312222222(21)2n n n Q n +=--⨯-⨯-⋯-⨯+-⋅ 1(23)26n n +=-⋅+,13326Q =⨯=,1(23)26k k Q k +=-⋅+,1(23)26m m Q m +=-⋅+, 若123m k Q Q Q =+,即112(23)2126(23)26m k m k ++-⋅+=+-⋅+, 112(23)2(23)2m k m k ++∴-⋅=-⋅, 46223k m m k +-∴=- ③, 又1m k <<,22k m -∴≥,464622323m k k k --<=--, ∴③式不成立,故不存在这样的正整数m ,k 使m Q 是13Q 与k Q 的等差中项.【点睛】如果已知条件是有关n S 与n 的关系式,可利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列的通项公式.如果一个数列是由等差数列乘以等比数列构成,则利用错位相减求和法进行求和.。
【人教版】高中数学必修五期末试题(附答案)(1)
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一、选择题1.若正数x,y满足21yx+=,则2xy+的最小值为()A.2 B.4 C.6 D.82.已知正数x,y满足1431x y+=+,则x y+的最小值为()A.53B.2 C.73D.63.设变量,x y、满足约束条件236y xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩,则目标函数2z x y=+的最大值为()A.2 B.3 C.4 D.94.如图,地面四个5G中继站A、B、C、D ,已知()62kmCD=+,30ADB CDB∠=∠=︒,45DCA∠=︒,60ACB∠=︒,则A、B两个中继站的距离是()A.3km B.10km C10km D.62km 5.ABC∆的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2b=,6Bπ=,4Cπ,则ABC∆的面积为()A.223+B31C.232D316.设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知2cos0b a C-=,()sin3sinA A C=+,则2bca=()A7B14C.23D67.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若22tan tanB Cb c=,则ABC的形状为()A.等腰三角形或直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形8.已知实数x ,y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值为( )A .2B .8C .11D .139.数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-(*n ∈N ),若173a a ka +=,则实数k 等于( ) A .2B .3C .269D.25910.已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,175a a ⋅=,266a a +=,对于n *∈N ,不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立,则整数M 的最小值是( ) A .1B .2C .3D .411.若{}n a 是等比数列,其公比是q ,且546,,a a a -成等差数列,则q 等于( ) A .-1或2B .1或-2C .1或2D .-1或-212.在等比数列{}n a 中,若1234531a a a a a ++++=,2345662a a a a a ++++=,则通项n a 等于( ) A .12n -B .2nC .12n +D .22n -二、填空题13.已知实数x ,y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩,则23x y z +=的最大值__________.14.若x >1,y >1,且a b x y xy ==,则a +4b 的最小值为___________. 15.设ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+,则()tan A C -的最大值为__________.16.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边a ,b ,c 为三个连续自然数,且2C A =,则a =_______.17.如图,测量河对岸的塔高AB 时,可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ,测得15BCD ︒∠=,30CBD ︒∠=,152m CD =,并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒,则塔高AB =______m .18.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若4a =,2c =,60B =︒,则b = ,C = .19.数列{}n a 中,已知22a =,21n n n a a a ++=+,若834a =,则数列{}n a 的前6项和为______.20.在数列{}n a 中,11a =()*1n =∈N ;等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-.当n *∈N 时,使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________.三、解答题21.已知函数()()()23f x x a x =-+. (1)当72a >-时,解关于x 的不等式()46f x x >+; (2)若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根,求实数a 的取值范围. 22.已知0a >,0b >.(1)求证:()2232a b b a b +≥+;(2)若2a b ab +=,求ab 的最小值.23.在ABC 中a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,若()()2sin 2sin sin 2sin sin a A B C b C B c =+++.(1)求A 的大小; (2)求sin sin B C +的最大值.24.ABC 是等边三角形,点D 在边AC 的延长线上,且AD =3CD ,BD,求AD 的值和sin ∠ABD 的值25.在①数列{}n a 为递增的等比数列,且2312a a +=,②数列{}n a 满足122n n S S +-=,③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -++++=这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,再完成解答.问题:设数列{}n a 的前n 项和为n S ,12a =,__________. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设2221log log n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .26.已知等比数列{}n a 的公比3q =,并且满足2a ,318a +,4a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+,记n S 为数列{}n b 的前n 项和,求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】 由21y x +=,对2x y +乘以21y x+=,构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当421xy xy y x⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时,等号成立,∴min28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选:D 【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.如果等号成立的条件满足不了,说明函数在对应区间单调,可以利用单调性求最值或值域.2.B解析:B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+,再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.所以x y +的最小值为2. 故选:B 【点睛】方法点睛:利用基本不等式求最值时,常用到常量代换,即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式,再利用基本不等式求解.3.D解析:D 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域,如图,画出可行域ABC ∆,(2,0)A ,(1,1)B ,(3,3)C , 平移直线2z x y =+,由图可知,直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值,2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.C解析:C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长,再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒,45DBC ∠=︒, 在ADC 中,由正弦定理得()362sin 223sin sin 75CD ADCAC DAC+⨯⋅∠===∠︒, 在BDC 中,由正弦定理得()162sin 231sin 22CD BDC BC DBC+⨯⋅∠===+∠,在ACB △中,由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠()()()22123312233112=++-⨯⨯+⨯=,所以10km AB =. 故选:C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.5.B解析:B 【解析】试题分析:根据正弦定理,,解得,,并且,所以考点:1.正弦定理;2.面积公式.6.D解析:D 【分析】根据正弦定理把角化边,可得3a b =,进一步得到2cos 3C =,然后根据余弦定理,可得6c b =,最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中,sin sin a b A B=,由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=,所以3a b =①,又2cos 0b a C -=②,由①②可知:2cos 3C =,又2222cos 23a b c C ab +-==③,把①代入③化简可得:c =,则()2293bc b a b ==, 故选:D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用,难点在于将c 用b 表示,当没有具体数据时,可以联想到使用一个参数表示另外两个参数,属于中档题.7.A解析:A 【分析】由三角函数恒等变换的应用,正弦定理化简已知等式可得sin 2sin 2B C =,可得22B C =,或22B C π+=,解得B C =,或2B C π+=,即可判断ABC ∆的形状.【详解】22tan tan B Cb c =, ∴22sin sin cos cos B C b B c C =,由正弦定理可得:22cos cos b cb Bc C=,可得:cos cos b B c C =,可得sin cos sin cos B B C C =,可得:sin 2sin 2B C =,22B C ∴=,或22B C π+=,B C ∴=,或2B C π+=,ABC ∆∴的形状为等腰三角形或直角三角形. 故选:A . 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.8.C解析:C 【分析】根据条件作出可行域,根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ,y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩,作出可行域,如图.设2z x y =+,则化为2y x z =-+ 所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --,2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -, 根据图形可得,当直线2y x z =-+过点()61B -,时截距最大, 所以2z x y =+的最大值为11. 故选:C【点睛】方法点睛:解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9.C解析:C 【分析】由已知结合递推公式可求n a ,然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】因为()21n S n n =-, 所以111a S ==,当2n ≥时,()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-,111a S ==适合上式,故43n a n =-,因为173a a ka +=, ∴1259k +=, 解可得269k = 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式,考查来了运算能力,属于中档题.10.C解析:C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ,由等差数列前n 项和公式得n S ,把1nS 拆成两项的差,用裂项相消法求得和12111nS S S +++,在n 变化时,求得M 的范围,得出结论. 【详解】∵{}n a 是等差数列,∴17266a a a a +=+=,由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩,又{}n a 是递增数列,∴1715a a =⎧⎨=⎩,715127163a a d --===-, 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=, 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<, 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立,得94M ≥,∴最小的整数3M =. 故选:C . 【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查等差数列的性质,等差数列的通项公式和前n 项和公式,裂项相消法求和,本题属于中档题.11.A解析:A 【解析】分析:由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=,化简可得()()120q q +-=,解方程求得q 的值. 详解:546,,a a a -成等差数列,所以5642a a a -+=,24442a q a q a ∴-+=,220q q ∴--=,()()120q q ∴+-=,1q ∴=-或2,故选A.点睛:本题考查等差数列的性质,等比数列的通项公式基本量运算,属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型,数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ,一般可以“知二求三”,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式,并灵活应用.12.A解析:A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62, ∴q=2,∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31, 则a 1=1, 故an=2n−1. 故选A.二、填空题13.【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线 解析:9【分析】先作出不等式组对应的可行域,再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域,设12,22m m x y y x =+∴=-+,它表示斜率为12-,纵截距为2m的直线系, 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时,直线的纵截距2m最大,m 最大. 此时max 022m =+=, 所以23x y z +=的最大值为239=.故答案为:9 【点睛】方法点睛:线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量,x y ; (2)列出线性约束条件;(3)确定线性目标函数(,)z f x y =;(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域); (5)利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数);(6)观察图形,找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案。
高中数学必修5期末测试卷
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精品文档高中数学必修五测试卷在每小题给出的四个选项中,只分.5分,共60小题,每小题一、选择题:(本大题共12 有一项是符合题目要求的。
)) 1,1、设a>1>b>-则下列不等式中恒成立的是(1111222ba C.a>b>D..A B.??baba)2.在等比数列中,已知,则等于(aa}aaaa?8{8n321114..6 C.12 D A.16 B x?1的解集为( 3.不等式) 2?x A. B. C.D. )??(0,??(??)[?1,??,?1],?[?1,0)1] (y?x?1??4、不等式组的区域面积是( )?y??3x?1??153C.D.A.B.1222??0??a?a0aa a,: 已知首项为正数的等差数列,满足5.2009200920102010n则使其前n项和成立的最大自然数n是(). 0S?n A. 4016 B. 4017 C. 4018 D. 40196、在△ABC中,若,则△ABC的形状是()2lglgsinC??lgsinAlgcosB?A.直角三角形B.等边三角形C.不能确定D.等腰三角形11的最小值为(若7.设)0.b?a?0,ba?3是3的等比中项,则与3ab1 DB 4C 1 A 8 48、如图:三点在地面同一直线上,,从两点测得点仰角分别是D,BCD,C,a?DCA??????,a,则点离地面的高度等于( )AABA????sinasin?asin?sin A. B. ??????????cossin????sinacos?asin?cos? D . C ???????????sincos BDC、如图所示,某公园设计节日鲜花摆放方案,其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛.顶层一913 个,以下各层堆成正六边形,逐层每边增加一个花盆,若这垛花盆底层最长的一排共有个花盆,则底层的花盆的个数是()精品文档.精品文档169 .C.127 D.255 A.91 B)n≥3则a与b(}a和正项等比数列{b},且a=b,a=b,公差d>0,10、若正项等差数列{n2n-112n-1nnn1)的大小关系是(b≤b≥a. D C.a>b A.a<b B.a nnnnnnnn1??,x?0)成立,则的最小值是11、若不等式对于一切( 0ax?1x??a??2??5 D.0 C.-3 -A.2 B. -211??1?n?1n a是非其中的前、已知数列n项和12),,)2,](Sa[2()n1]b[2(n1)(b、a ??????nn22) }使得( 零常数,则存在数列{ yx nn A.为等差数列,{}为等比数列y,其中}{xa?x?y nnnnn y?x}{x?y,其中a都为等比数列}B.为等差数列,{nnnnn y}{x?y,其中a?x }和{都为等差数列 C.nnnnn y},y其中{xa?x?和{D.都为等比数列}nnnnn) 5分,共20分。
【浙教版】高中数学必修五期末试题(附答案)
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一、选择题1.不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<,则函数2y ax bx c =++的图像大致为( )A .B .C .D .2.若直线l :()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4,则21a b+的最小值为( ) A .2B .4C 2D .223.已知实数x ,y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,3z x y =-,则z 的最小值是( )A .2-B .4-C .6-D .8-4.若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式恒成立的是( ) A .1a <1bB .a 2>b 2C .21a c +>21b c + D .a |c |>b |c |5.一艘客船上午9:30在A 处,测得灯塔S 在它的北偏东30,之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B 处,此时测得船与灯塔S 相距82里,则灯塔S 在B 处的( ) A .北偏东75 B .北偏东75或东偏南75 C .东偏南75D .以上方位都不对6.设ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .已知2cos 0b a C -=,()sin 3sin A A C =+,则2bca =( )ABC .23D7.在ABC 中,角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c,若b =cos 20B B -=,且sin 2sin C A =,则ABC 的周长是( )A.12+B.C.D.6+8.设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若6a =,8b =,12c =,若D 为AB 边的中点,则CD 的值为( ) A .7B .10CD.9.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立,则实数λ的取值范围为( ) A .(),1-∞B .12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,C .13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D .14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,10.某食品加工厂2019年获利20万元,经调整食品结构,开发新产品.计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%,则从( )年开始这家加工厂年获利超过60万元.(已知lg 20.3010=,lg30.4771=) A .2024年B .2025年C .2026年D .2027年11.数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ,若前n 项的和为1011,则项数为( ). A .12B .11C .10D .912.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问相逢时驽马行几里?( ) A .540B .785C .855D .950二、填空题13.若实数x ,y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则1x y x ++的取值范围为_____.14.已知0a >,0b >,182+1a b +=,则2a b +的最小值为__________. 15.设角,,A B C 是ABC ∆的三个内角,已知向量()sin sin ,sin sin m A C B A =+-,()sin sin ,sin n A C B =-,且m n ⊥.则角C 的大小为_____________.16.在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若222a b =,sin C B =,则cos A =________.17.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则满足10a =,18b =,30A =︒的三角形解的个数是______.18.已知0a >,0b >,若a ,1,b 依次成等差数列,则41a b+的最小值为________. 19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,点()()*,,2n n S a n N n ∈≥在2441xy x =-的图像上,11a =,数列{}n a 通项为__________.20.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,若111,n n a a a n +=+=,则1916S S -的值为________.三、解答题21.在等腰直角三角形ABC 中,AB =AC =3,点P 是边AB 上异于A ,B 的一点,光线从点P 出发,经BC ,CA 反射后又回到点P (如图),光线QR 经过ABC 的重心,若以点A 为坐标原点,射线AB ,AC 分别为x 轴正半轴,y 轴正半轴,建立平面直角坐标系.(1)AP 等于多少?(2)D (x ,y )是RPQ 内(不含边界)任意一点,求x ,y 所满足的不等式组,并求出D (x ,y )到直线2x +4y +1=0距离的取值范围. 22.已知0a >,0b >且3a b +=.(Ⅰ)求311()a b +的最大值及此时a ,b 的值; (Ⅱ)求2231a b a b +++的最小值及此时a ,b 的值. 23.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2cos cos cos aA b C c B=+.(1)求角A 的大小; (2)若3a =11b c+的取值范围. 24.ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知sin 3cos b A a B ,sin 4sin C A =.(1)求B ;(2)在ABC 的边AC 上存在一点D 满足4AD CD =,连接BD ,若BCD △的面积为235,求b .25.已知正项等比数列{}n a ,首项13a =,且13213,,22a a a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若数列{}nb 满足3321log log n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n S .26.从①1a 、2a 、5a 成等比数列,②525S =,③222n nS S n n+-=+,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,47a =, ,122n a n nb a +=+,求数列{}n b 的前n 项和为n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出,,a b c 的关系,然后再判断二次函数的图象. 【详解】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<,∴21210b a c a a ⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩,∴20b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩, 2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--,图象开口向下,两个零点为2,1-.故选:C . 【点睛】关键点点睛:本题考查一元二次不等式的解集,二次函数的图象,解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系.2.B解析:B 【分析】求出圆的圆心与半径,可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上,推出22a b +=,利用基本不等式转化求解21a b+取最小值. 【详解】解:圆222410x y x y ++-+=,即22(1)(2)4x y ++-=, 表示以2()1,M -为圆心,以2为半径的圆,由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上, 故220a b --+=,即22a b +=,∴22122221122422a ba b b a b a a b a b a b a b+++=+=++++⋅=, 当且仅当22b a a b=,即2a b =时,等号成立, 故选:B . 【点睛】本题考查直线与圆的方程的综合应用,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.3.D解析:D 【分析】根据约束条件画出可行域,将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大值的求解问题,利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:由3z x y =-得:133zy x =-, ∴当z 取最小值时,133zy x =-在y 轴截距最大;由图象可知,当133zy x =-过点A 时,在y 轴截距最大, 由222x x y =-⎧⎨+=⎩得:()2,2A -,min 2328z ∴=--⨯=-.故选:D . 【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解,关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题,属于常考题型.4.C解析:C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项,利用不等式的性质可确定C 项是正确的,再举出反例判断D 项是错误的,从而得到答案. 【详解】当a =1,b =-2时,满足a >b ,但11a b>,a 2<b 2,排除A 、B ; 因为211c +>0,a >b ⇒2211a b c c >++,故C 是正确的; 当c =0时,a |c |>b |c |不成立,排除D , 故选:C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题,涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小,利用特值法排除不正确的选项,坚持做到小题小做的思想,属于简单题目.5.B解析:B 【分析】根据题意作出示意图,利用正弦定理求出ASB ∠,可求得ABS ∠,即可得解. 【详解】 如下图所示:客船半小时的行程为132162AB =⨯=(海里), 因为82BS =30BAS ∠=821630sin ASB=∠, 所以,2sin 82ASB ∠==,45ASB ∴∠=或135. 当45ASB ∠=时,105ABS ∠=,此时,灯塔S 在B 处的北偏东75; 当135ASB ∠=时,15ABS ∠=,此时,灯塔S 在B 处的东偏南75. 综上所述,灯塔S 在B 处北偏东75或东偏南75. 故选:B. 【点睛】方法点睛:在求解测量角度问题时,方法如下:(1)对于和航行有关的问题,要抓住时间和路程两个关键量,解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件求解;(2)根据示意图,把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形解不出来,需要先在其他三角形中求解相关量.6.D解析:D 【分析】根据正弦定理把角化边,可得3a b =,进一步得到2cos 3C =,然后根据余弦定理,可得6c b =,最后可得结果.【详解】 在ABC ∆中,sin sin a b A B=,由()sin 3sin()3sin 3sin A A C B B π=+=-=,所以3a b =①,又2cos 0b a C -=②,由①②可知:2cos 3C =,又2222cos 23a b c C ab +-==③,把①代入③化简可得:c ,则23bc a b ==, 故选:D. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用,难点在于将c 用b 表示,当没有具体数据时,可以联想到使用一个参数表示另外两个参数,属于中档题.7.D解析:D 【分析】由已知条件求出角B 的值,利用余弦定理求出a 、c 的值,由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,0B π<<,7666B πππ∴<+<,则62B ππ+=,3B π∴=,sin 2sin C A =,2c a ∴=,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,即2312a =,2a ∴=,24c a ==,因此,ABC 的周长是6a b c ++=+故选:D. 【点睛】本题考查三角形周长的计算,涉及余弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题.8.C解析:C 【分析】由已知可求6AD BD ==,在ABC 中,由余弦定理可求cos B 的值,在BCD 中,利用余弦定理即可求得||CD 的值. 【详解】 解:6a =,8b =,12c =,若D 为AB 边的中点,6AD BD ∴==,∴在ABC 中,222222612829cos 2261236a cb B ac +-+-===⨯⨯,∴在BCD 中,可得||CD ===.故选:C . 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于基础题.9.C解析:C 【分析】先利用1,1,2n n n S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式,于是可求出n S ,再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<,利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值,可得出实数λ的取值范围. 【详解】当1n =时,1121S a =-,即1121a a =-,得11a =;当2n ≥时,由21n n S a =-,得1121n n S a --=-,两式相减得122n n n a a a -=-,得12n n a a -=,12nn a a -∴=,所以,数列{}n a 为等比数列,且首项为1,公比为2,11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-,由10n n S S λ+-<,得()()11111112121112221212221n nnn n n n S S λ+++++---<===----, 所以,数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增,其最小项为122211213S S -==-,所以,13λ<,因此,实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,故选C . 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项,其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩,其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题,一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解,考查化归与转化问题,属于中等题.10.C解析:C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列,然后得到通项公式,根据题意可得出关于n 的不等式,解出n 的值,注意其中对数式的计算. 【详解】由题意,设从2019年开始,第n 年的获利为()n a n *∈N 万元,则数列{}n a 为等比数列,其中2019年的获利为首项,即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元,2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元,∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ,由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭,即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭,()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>,8n ∴≥,∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选:C . 【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用,考查了等比数列的通项公式,不等式的计算,对数运算.属于中档题.11.C解析:C 【解析】分析:由已知,111(1)1n a n n n n ==-++,利用裂项相消法求和后,令其等于1011,得到n 所满足的等量关系式,求得结果.详解:111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ,数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++,当1011n S =时,解得10n =,故选C. 点睛:该题考查的是有关数列的问题,在解题的过程中,需要对数列的通项公式进行分析,选择相应的求和方法--------错位相减法,之后根据题的条件,建立关于n 的等量关系式,从而求得结果.12.C解析:C 【分析】由已知条件转化为两个等差数列的前n 项和为定值问题,进而计算可得结果. 【详解】由题可知,良马每日行程构成一个首项为103,公差13的等差数列{}n a , 驽马每日行程构成一个首项为97,公差为﹣0.5的等差数列{}n b , 则a n =103+13(n ﹣1)=13n +90,b n =97﹣0.5(n ﹣1)=97.5﹣0.5n , 则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2=2250, 又∵数列{a n }的前n 项和为2n ×(103+13n +90)=2n×(193+13n ), 数列{b n }的前n 项和为2n ×(97+97.5﹣0.5n )=2n ×(194.5﹣2n), ∴2n ×(193+13n )+2n ×(194.5﹣2n)=2250,整理得:25n 2+775n ﹣9000=0,即n 2+31n ﹣360=0,解得:n =9或n =﹣40(舍),即九日相逢,相逢时驽马行了92×(194.5﹣92)=855. 故选:C 【点睛】本题以数学文化为背景,考查等差数列及等差数列的前n 项和,考查转化思想,考查分析问题、解决问题的能力,属于中档题.二、填空题13.【分析】作出不等式组对应的平面区域然后化简目标函数利用不等式的几何意义利用线性规划的知识进行求解即可【详解】解:实数满足不等式组的可行域如图三角形的三边及其内部部分:它的几何意义是可行域内的点与连线解析:5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】作出不等式组对应的平面区域,然后化简目标函数,利用不等式的几何意义,利用线性规划的知识进行求解即可. 【详解】解:实数x ,y 满足不等式组2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,的可行域如图,三角形ABC 的三边及其内部部分:111x y y x x+++=+,它的几何意义是可行域内的点与()0,1D -连线的斜率加1, 由图象知BD 的斜率最小,CB 的斜率最大, 由4020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得()1,3C ,此时DC 的斜率:3141+=, 由25040x y x y --=⎧⎨+-=⎩得()3,1B ,此时BD 的斜率:11233+=, 则1x y x ++的取值范围为是5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故答案为:5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,属于中档题.14.8【解析】由题意可得:则的最小值为当且仅当时等号成立点睛:在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得若忽略了某个条件就会出解析:8 【解析】 由题意可得:()2111821211161102111029,a b a b a b a b b a ++⎛⎫⎡⎤=++⨯+ ⎪⎣⎦+⎝⎭+⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭⎛≥+ ⎝=则2a b +的最小值为918-=. 当且仅当3,52a b ==时等号成立. 点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.15.【分析】先利用得到三角正弦之间的关系再根据正余弦定理求出即得角【详解】因为且所以即根据正弦定理得故根据余弦定理知又因为得故答案为:【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用是常考的综合题 解析:3π【分析】先利用0m n ⋅=得到三角正弦之间的关系,再根据正、余弦定理求出cos C ,即得角C . 【详解】因为()sin sin ,sin sin m A C B A =+-,()sin sin ,sin n A C B =-,且m n ⊥ 所以()()()sin sin sin sin sin sin sin 0m n A C A C B A B ⋅=+-+-= 即222sin sin sin sin sin A B C A B +-= 根据正弦定理得222a b c ab +-=故根据余弦定理知222cos 122a b c C ab +-==,又因为()0,C π∈得3C π=故答案为:3π. 【点睛】本题考查了向量垂直的坐标运算和正余弦定理的应用,是常考的综合题,属于中档题.16.【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理:根据余弦定理:又故可联立方程:解得:故答案为:【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =,根据正弦定理“边化角”,可得=c ,根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-,结合已知联立方程组,即可求得角cos A .【详解】sin C B =,根据正弦定理:sin sin b cB C=,∴=c , 根据余弦定理:2222cos a b c bc A =+-,又222a b =,故可联立方程:222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩,解得:cos A =.故答案为:3. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角,解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.17.2【分析】直接利用正弦定理得到答案【详解】根据正弦定理得到:故故满足条件的三角形共有个故答案为:【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题意在考查学生的应用能力解析:2 【分析】直接利用正弦定理得到答案. 【详解】根据正弦定理得到:sin sin a b A B=,故9sin 10B =,91sin sin 10B A >=>. 故满足条件的三角形共有2个. 故答案为:2. 【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题,意在考查学生的应用能力.18.【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为:【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析:92【分析】由a ,1,b 依次成等差数列,可得2a b +=,再利用乘“1”法及基本不等式计算,即可求得答案.【详解】a>,0b>,且a,1,b依次成等差数列,∴2a b+=,∴()41141141941(52222b aa ba b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当4b aa b=,即43a=,23b=,取等号,故14a b+的最小值为92.故答案为:92.【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用,涉及等差中项的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19.【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得:∴∴两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为:【点睛】本题考查了数列递推式考查了解析:()()()()*1,14,,24347nnan N nn n⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩【分析】把数列递推式中na换为1n ns s--,整理得到1{}nS是等差数列,公差2d=,然后由等差数列的通项公式得答案.【详解】由题意可得:()24,241nnnSa nS=≥-∴()214,241nn nnSS S nS--=≥-,∴1140n n n ns s s s---+=.两边除以1n ns s-,并移向得出1114,(2)n nnS S--=,1{}nS∴是等差数列,公差4d=,11111S a==.∴114(1)43nn n S =+-=-, 故143n S n =-. ∴当2n 时,()()111443474347n n n a S S n n n n --=-=-=----. 当1n =时,11a =不符合上式.()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪∴=-⎨∈≥⎪--⎩. 故答案为:()()()()*1,14,,24347n n a n N n n n ⎧=⎪=-⎨∈≥⎪--⎩. 【点睛】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了运算求解能力,属于中档题.20.27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为:27【点睛】易错点睛:本题考查等差数列的解析:27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,由此可得通项,从而求得结论. 【详解】∵1n n a a n ++=,∴121n n a a n +++=+,相减得21n na a +-=,又1121,1a a a =+=,20a =,211a a -=-,所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差为1,21n a n -=,21n a n =-,1916171819981027S S a a a -=++=++=.故答案为:27. 【点睛】易错点睛:本题考查等差数列的通项公式,解题时由已知等式中n 改写为1n +,两相减后得21n na a +-=,这里再计算21a a -,如果2211()22n na a a a +--==,则可说明{}n a 是等差数列,象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列.不能混淆,误以为{}n a 是等差数列.这是易错的地方.三、解答题21.(1)||1AP =;(2)x ,y 所满足的不等式组为210210220x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩,D (x ,y )到直线2x +4y +1=0距离的取值范围为32955)1030(,. 【分析】(1)建立坐标系,设点P 的坐标,可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标,和P 关于y 轴的对称点2P 的坐标,由1P ,Q ,R ,2P 四点共线可得直线的方程,由于过ABC 的重心,代入可得关于a 的方程,解之可得P 的坐标,进而可得AP 的值;(2)先求出,,RQ PR PQ 所在直线的方程,即得x ,y 所满足的不等式组,再利用数形结合求出D (x ,y )到直线2x +4y +1=0距离的取值范围. 【详解】(1)以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示. 则(0,0)A ,(3,0)B ,(0,3)C .设ABC ∆的重心为E ,则E 点坐标为(1,1),设P 点坐标为(,0)m ,则P 点关于y 轴对称点1P 为(,0)m -, 因为直线BC 方程为30x y +-=, 所以P 点关于BC 的对称点2P 为(3,3)m -, 根据光线反射原理,1P ,2P 均在QR 所在直线上,∴12E P E P k k =, 即113113mm -+=+-, 解得,1m =或0m =.当0m =时,P 点与A 点重合,故舍去.∴1m =. 所以||1AP =.(2)由(1)得2P 为(3,2),又1(1,0)-P ,所以直线RQ 的方程为210x y -+=; 令210x y -+=中10,2x y =∴=,所以1(0,),2R 所以直线PR 的方程为210x y +-=; 联立直线BC 和RQ 的方程30210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得54(,)33Q ,所以直线PQ 的方程为220x y --=.D (x ,y )是RPQ 内(不含边界)任意一点,所以x ,y 所满足的不等式组为210210220x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩. 直线2410x y ++=和直线PR 平行,所以它们之间的距离为223=51024+; 点Q 到直线2410x y ++=的距离为2254|2+4+1|2933=53024⨯⨯+.所以D (x ,y )到直线2x +4y +1=0距离的取值范围为32955)1030(,.【点睛】本题主要考查二元一次不等式组对应的平面区域,考查线性规划问题,考查解析法和直线方程的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 22.(Ⅰ)32a b ==时,311log a b ⎫+⎪⎭取得最大值为2-;(Ⅱ)623a =-323b =-+332+; 【分析】(Ⅰ)利用“乘1法”与基本不等式的性质,对数函数的单调性即可得出;(Ⅱ)先对已知式子进行化简,然后结合基本不等式即可求解.【详解】解:(Ⅰ)1133224233333333333a b a b b a b aa b a b a b a b a b+++=+=+=+++=,当且仅当33b aa b=且3a b+=,即32a b==时取等号,31123loga b⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭即最大值为2-,(Ⅱ)3a b+=,∴223313131(1)121111a ba b a ba b a b a b a b++=++-+=+-++=++++++3113(1)3(2()()332314444(1)4(1)a b ba ba b a b b++=+++=+++=++++当且仅当3(1)44(1)b aa b+=+且3a b+=,即6a=-3b=-+时取等号,【点睛】本题考查了基本不等式的性质、方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.23.(1)3Aπ=;(2)⎫+∞⎪⎪⎣⎭.【分析】(1)利用正弦定理边化角可化简已知关系式求得cos A,结合A的范围可求得结果;(2)解法一:利用正弦定理边化角可整理得到1161sin262Bb cBππ⎛⎫+⎪⎝⎭+=⎛⎫-+⎪⎝⎭,利用B的范围可求得sin6Bπ⎛⎫+⎪⎝⎭的范围,代入整理可求得结果;解法二:利用余弦定理和基本不等式可求得3bc≤,整理得到11b c+=合二次函数的性质可求得所求的范围.【详解】(1)由正弦定理得:()sin sin2cossin cos sin cos sinA AAB C C B B C==++.B C Aπ+=-,()sin sinB C A∴+=,2cos1A∴=,即1cos2A=,()0,Aπ∈,3Aπ∴=.(2)解法一:由正弦定理知,2sin sin sin sin 3a b c A B C π====,sin sin 1111sin sin 3612sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 2362B B B B C b c B C B C B B B ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∴+=+===⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.3A π=,20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭. 令6B πθ=+,则5,66ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭,则1sin ,12θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.则11cos 24sin sin 22sin 22b cθθθθ⎫+====+∞⎪⎪⎣⎭-+--+⎪⎝⎭. 解法二:3a =,3A π=,∴由余弦定理知:2232b c bc bc bc +-=≥-(当且仅当b c =时取等号),3bc ∴≤,()233b c bc +=+,则113bc ≥,11b c b c bc +∴+===.11b c ∴+的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 【点睛】方法点睛:求解与边长相关的取值范围类问题通常有两种方法:①利用正弦定理边化角,将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解,利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解;②利用余弦定理构造方程,结合基本不等式求得基本范围;将所求式子化为符合基本不等式的形式或配凑成函数的形式来进行求解;应用此方法时,需注意基本不等式等号成立的条件. 24.(1)3π;(2【分析】(1)利用正弦定理把sin cos b A B =化为sin sin cos A B A B =,从而可得tan B ,进而可求出角B ;(2)由于4AD CD =,所以51ABC BCDSAC SDC ==,从而可得ABC 的面积为用三角形面积公式可得8ac =,而由sin 4sin C A =得 4c a =,从而可求出,a c 的值,再利用余弦定理可求出b 的值.【详解】解:(1)∵sin cos b A B =,∴sin sin cos A B A B =,∴tan B∵()0,B π∈ ∴3B π=; (2)依题意可知:51ABC BCD S AC S DC ==,∵BCD △,∴ABC 的面积为 ∵ABC 的面积为1sin 2S ac B ==∴8ac =, ∵sin 4sin C A =,∴4c a =,c =a=∴b .25.(1)3n n a =;(2)13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 【分析】 (1)由已知13213,,22a a a 成等差数列求出公比q 后可得通项公式; (2)用裂项相消法求和n S .【详解】(1)解:设等比数列{}n a 的公比为q ,由题意得:31212322a a a ⨯=+, 即211132a q a a q =+,即232q q =+,所以3q =或1q =-(舍),所以1333n n n a -=⋅=.(2)由(1)知233233111log log log 3log 3(2)n n n n n b a a n n ++===⋅⋅+, 则11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=, 所以1111111112324112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,裂项相消法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法;(3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和. 26.答案见解析.【分析】选①,设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组,解出这两个量的值,可求得数列{}n a 的通项公式,可求得n b ,进而可求得n T ; 选②,设等差数列{}n a 的公差为d ,根据已知条件可得出关于1a 、d 的方程组,解出这两个量的值,可求得数列{}n a 的通项公式,可求得n b ,进而利用分组求和法可求得n T ; 选③,设等差数列{}n a 的公差为d ,利用等差数列的求和公式求出d 的值,可求得1a 的值,求出数列{}n a 的通项公式,可求得n b ,进而利用分组求和法可求得n T .【详解】解:选①,设数列{}n a 的公差为d ,则由47a =可得137a d +=, 由1a 、2a 、5a 成等比数列得()()21114a a d a d +=+,可得212d a d =, 所以,121372a d d a d +=⎧⎨=⎩,解得170a d =⎧⎨=⎩或112a d =⎧⎨=⎩, 若17a =,0d =,则7n a =,23n b =,23n T n =;若11a =,2d =,则()1121n a a n d n =+-=-,212n n b n =-+,()()()()23123252212n n T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦ ()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦()()1221212122212n n n n n +-+-=+=+--; 选②,设数列{}n a 的公差为d ,则由47a =可得137a d +=,由525S =得1545252a d ⨯+=,即125a d +=, 联立以上两式可得11a =,2d =,所以,()1121n a a n d n =+-=-,212n n b n =-+,()()()()23123252212n n T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦ ()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦ ()()1221212122212n n n n n +-+-=+=+--;选③,设数列{}n a 的公差为d ,则由47a =可得137a d +=,()112n n n d S na -=+,()112n n d S a n -∴=+,()21122n n d S a n ++∴=++, 由222n n S S n n+-=+得2d =,则11a =, 所以,()1121n a a n d n =+-=-,212n n b n =-+,()()()()23123252212n n T n ⎡⎤∴=+++++++-+⎣⎦ ()()23135212222n n =++++-+++++⎡⎤⎣⎦ ()()1221212122212n n n n n +-+-=+=+--.【点睛】 方法点睛:数列求和的常用方法:(1)对于等差等比数列,利用公式法直接求和; (2)对于{}n n a b 型数列,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,利用错位相减法求和;(3)对于{}n n a b +型数列,利用分组求和法;(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列,其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列,利用裂项相消法求和.。
高中数学必修5期末试卷
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高中数学必修5期末试卷数学必修5试题一、选择题(每小题5分,共50分) 1.已知数列{a n }中,21=a,*11()2n naa n N +=+∈,则101a 的值为 ( )A .49B .50C .51D .522.在△ABC 中,若a = 2 ,b =,030A = , 则B 等于 ( )A .60oB .60o或 120oC .30oD .30o或150o3.在三角形ABC 中,如果()()3a b c b c a bc +++-=,那么A 等于 ( )A .030B .060C .0120D .01504.设{a n }是由正数组成的等比数列,且a 5a 6=81,log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是( )A .5B .10;C .20D .2或45.已知0x >,函数4y x x=+的最小值是 ( )A .5B .4C .8D .66.已知等差数列{a n }的公差d≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( )A .34B .23C .32D .437.在⊿ABC 中,BCb c cos cos =,则此三角形为( )A . 直角三角形; B. 等腰直角三角形 C 。
等腰三角形 D. 等腰或直角三角形8.已知数列}{na 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n Λ,则312215S S S-+的值是( )A. -76B. 76C. 46D. 139.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为 ( )A . 5 B. 3 C. 7 D. -810.等差数列{a n }中,a 1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是( )A .a 8B .a 9C .a 10D .a 11二、填空题( 每小题5分,共20分 ) 11.已知等差数列{a n }满足56aa +=28,则其前10项之和为 . 12.数列{}na 满足12a=,112n n naa --=,则na = ;13.不等式21131x x ->+的解集是 . 14.数列{}na 的前n 项和*23()n ns a n N =-∈,则5a = 。
【人教版】高中数学必修五期末试题(带答案)
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一、选择题1.已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1,且1m b a =+,1n a b=+,则m n +的最小值是( ) A .3B .4C .5D .62.已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A .5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭3.若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式恒成立的是( ) A .1a <1bB .a 2>b 2C .21a c +>21b c + D .a |c |>b |c |4.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S ,且24cos cos tan Sb C bc B C=+,2a b +=,c =S =( ) AB.6C .16D.125.在ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 成等差数列,且2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+,则ABC 的面积的最大值为( ) A.BC.D.6.在ABC 中,若2a =,b =30A =︒,则B 等于( ) A .30B .30或150︒C .60︒D .60︒或120︒7.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A 、B 间距离是35m ,则此电视塔的高度是( ) A .35mB .10mC .490013m D.8.已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-,则b a 的值为( ) A .-64B .-36C .36D .649.对于数列{}n a ,定义11222n nn a a a Y n-++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“美值”,现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=,记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ,若6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立,则实数t 的取值范围是( )A .712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .712,35⎛⎫⎪⎝⎭ C .167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .167,73⎛⎫⎪⎝⎭ 10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,对任意的*n N ∈有2233n n S a =-,且112k S <<,则k 的值为( ) A .2或4B .2C .3或4D .611.已知数列{}n a 满足123n n a a +-=,11a =,3n n b a =+,则10b =( ) A .92B .103C .2048D .102412.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =,19114S =,则15S =( ) A .45B .75C .90D .95二、填空题13.满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<,则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______.14.若A ,B ,C 为ABC 的内角,满足sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,则cos C 的最小值是________.15.如图,一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒,距灯塔68海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处,则该船航行的速度为__________海里/小时.16.给出以下四个结论:①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-;②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根,则k 的取值范围是2k ≥;③在ABC 中,若cos cos b A a B =则ABC 为等腰三角形;④若将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数,则ϕ的最小值是12π.其中正确的结论是________.17.已知0m >,0n >,且111223m n +=++,则2m n +的最小值为________. 18.已知a >0,b >0,则p =2b a﹣a 与q =b ﹣2a b 的大小关系是_____.19.给定*1log (2)()n n a n n N +=+∈,则使乘积12k a a a 为整数的()*k k ∈N 称为“和谐数”,则在区间内[1,2020]的所有“和谐数”的和为_______.20.定义:如果一个数列从第二项起,后一项与前一项的和相等且为同一常数,这样的数列叫“等和数列”,这个常数叫公和.给出下列命题: ①“等和数列”一定是常数数列;②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”,则这个数列一定是常数列; ③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”,则这个数列一定是常数列; ④数列{}n a 是“等和数列”且公和100h =,则其前n 项之和50n S n =; 其中,正确的命题为__________.(请填出所有正确命题的序号)三、解答题21.小王于年初用50万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出6万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出2万元,假定该车每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第x 年年底出售,其销售价格为(25-x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年). (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(2)在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?(利润=累计收入+销售收入-总支出)22.已知函数()0f x m =≥恒成立.(1)求m 的取值范围;(2)若m 的最大值为n ,当正数a 、b 满足2132n a b a b+=++时,求74a b +的最小值.23.已知,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边,且5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+. (1)求角A 的大小;(2)若ABC 的面积S c ==sin sin B C 的值24.ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知)cos cos A c a C =.(1)求c b;(2)若cos 2c A b =,且ABC 的面积为4,求a . 25.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,525S =,1a ,2a ,5a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若等差数列{}2log n b 的首项为1,公差为1,求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 26.在①121n n S S +=+,②214a =,③112n n S a +=-这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,给出解答.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足____,____;又知正项等差数列{}n b 满足13b =,且1b ,32b -,7b 成等比数列.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)设nn nbc a =,求数列{}n c 的前项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】由等比中项定义得1ab = ,再由基本不等式求最值. 【详解】,a b 的等比中项是1,∴1ab =,∴m +n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时,等号成立.故选B . 【点睛】利用基本不等式求最值问题,要看是否满足一正、二定、三相等.2.D解析:D 【分析】画出可行域,根据目标函数的截距,利用数形结合,即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下:由221z x y =--得12zy x +=-, 平移直线12zy x +=-, 由平移可知当直线12zy x +=-,经过点C 时, 直线12zy x +=-的截距最小,此时z 取得最大值, 由210x x y =⎧⎨+-=⎩,解得21x y =⎧⎨=-⎩,即(2,1)C -, 此时2214215z x y =--=+-=, 可知当直线12zy x +=-,经过点A 时, 直线12zy y x +==-的截距最大,此时z 取得最小值, 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即1(3A ,2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-,故5[3z ∈-,5)故选:D . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法,属于中档题.3.C解析:C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项,利用不等式的性质可确定C 项是正确的,再举出反例判断D 项是错误的,从而得到答案. 【详解】当a =1,b =-2时,满足a >b ,但11a b>,a 2<b 2,排除A 、B ; 因为211c +>0,a >b ⇒2211a b c c >++,故C 是正确的;当c =0时,a |c |>b |c |不成立,排除D , 故选:C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题,涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小,利用特值法排除不正确的选项,坚持做到小题小做的思想,属于简单题目.4.D解析:D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+,利用面积公式和和差角公式求出角C ,用余弦定理求出ab ,求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+,所以22cos cos cos ab C b C bc B =+,所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+,所以1cos ,sin 2C C ==. 由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===,得13ab =,所以1sin 2S ab C ==故选:D 【点睛】在解三角形中,选择用正弦定理或余弦定理,可以从两方面思考: (1)从题目给出的条件,边角关系来选择; (2)从式子结构来选择.5.B解析:B 【分析】由等差数列性质得3B π=,应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ,从而边,a c 可用角表示,最后用角表示出三角形面积,结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值. 【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列,∴2B A C =+, 又A B C π++=,∴3B π=,23C A π=-,2(0,)3A π∈,由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===, ∵2sin 2csin csin 2sin a A C a B b B +=+,∴2sin 2sin 2sin a A c C b B +-=,即2222a b c ac R R R +-=,2222cos 2a c b ac Bac R R+-==,∴3R =,又由正弦定理得2sin ,a R A A c C ===,∴112sin sin sin sin()2233333ABC S ac B A C A A △ππ==⨯⨯⨯=-21sin (sin )cos 2sin )3223A A A A A A =+=+21cos 2)A A =+-)6A π=-,∵2(0,)3A π∈,∴3A π=时,sin(2)16A π-=,即ABCS += 故选:B . 【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景,探究的是三角形面积的最大值,结合等差数列的性质,利用正弦定理进行边角转换,考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点,从而有效的激发考生学习兴趣,本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力,本题属于中档题.6.D解析:D 【分析】由正弦定理,求得sin sin bB A a=,再由a b <,且0180B ︒<<︒,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,在ABC 中,由正弦定理可得sin sin a bA B=,即sin sin sin 3022b B A a ==︒=, 又由a b <,且0180B ︒<<︒, 所以60B =︒或120B =︒, 故选:D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,其中解答中熟记三角形的正弦定理,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7.D解析:D 【分析】设塔底为O ,设塔高为h ,根据已知条件求得,OA OB 的长,求得AOB ∠的大小,利用余弦定理列方程,解方程求得h 的值. 【详解】设塔底为O ,设塔高为h ,由已知可知3,3OA h OB h ==,且150AOB ∠=,在三角形AOB 中,由余弦定理得22233352cos150h h h h ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭,解得521h m =.故选D.【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用,考查利用余弦定理解三角形,属于基础题.8.D解析:D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ,再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-,∴23y ax bx a =--图像开口向下,即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩,解得:=26a b -⎧⎨=⎩ ∴()6=2=64b a -故选:D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.9.C解析:C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n -+++⋅⋅⋅+==,可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+,所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列,由6n S S ≤可得660a t -≥,770a t -≤,即可求解【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅,当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+,又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+,两式相减可得:()()11122221n n n n n n n n a -+=--=+,所以22n a n =+, 所以()22n a tn t n -=-+, 可得数列{}n a tn -是等差数列, 由6n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立, 可得:660a t -≥,770a t -≤, 即()2620t -⨯+≥且()2720t -⨯+≤, 解得:16773t ≤≤,所以实数t 的取值范围是167,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选:C 【点睛】关键点点睛:本题解题的关键点是由已知条件得出1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅再写一式可求得n a ,等差数列前n 项和最大等价于0n a ≥,10n a +≤,10.A解析:A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式,再求出{}n a 的前n 项和为n S ,即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-, 可得:1112233a S a ==- ,解得:1=2a -, 当2n ≥时:2233n n S a =-,112233n n S a --=-两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=,即12n n a a -=-,所以{}n a 是首项为2-,公比为2-的等比数列,所以()2nn a =-,()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--, 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦, 所以5(219)2k <-<, 当2k =和4k =时不等式成立,所以k 的值为2或4, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式,考查了等比数列前n 项和公式,属于中档题.11.C解析:C 【分析】根据题意得到12n n b b +=,计算得到答案. 【详解】123n n a a +-=,()1323n n a a +∴+=+,即12n n b b +=, 14b =,910422048b ∴=⨯=.故选:C . 【点睛】本题考查了根据数列的递推式求通项公式,确定12n n b b +=是解题的关键.12.B解析:B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩,解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解:根据题意64a =,19114S =,结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得:115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩,即:115496a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选:B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量,考查数学运算能力,是基础题.二、填空题13.【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等 解析:()2,1--【分析】根据题意知,不等式对应方程的实数根,由此求出20a b =<,写出满足条件的一组有序实数对即可. 【详解】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<, ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2,且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩,即20a b =<,则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--.故答案为()2,1--. 【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题,是基础题.14.【分析】根据成等差数列利用等差中项结合正弦定理得到然后由利用基本不等式求解【详解】因为成等差数列所以由正弦定理得所以当且仅当时取等号所以的最小值是故答案为:【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应 解析:12【分析】根据sin A ,sin C ,sin B 成等差数列,利用等差中项结合正弦定理得到2c a b =+,然后由()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-,利用基本不等式求解.【详解】因为sin A ,sin C ,sin B 成等差数列, 所以2sin sin sin C A B =+, 由正弦定理得2c a b =+,所以()22222cos 122a b c a b c C ab ab+-+-==-,()2222231112222a b c c c a b +-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭,当且仅当a b =时取等号,所以cos C 的最小值是12. 故答案为:12【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用以及等差数列和基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.15.【解析】如图在△MNO 中由正弦定理可得则这艘船的航行速度(海里/小时)点睛:(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题【解析】如图,在△MNO 中,由正弦定理可得,68sin120686346sin 45MN ===则这艘船的航行速度346176v ==海里/小时). 点睛:(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,然后运用正弦定理解决.(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理解决.16.①③④【分析】将化成后可得图象的对称中心故可判断①的正误;参变分离后考虑在上的值域后可判断②的正误;利用正弦定理和三角变换可判断③的正误;利用整体法求出的值从而可判断④的正误【详解】对于①因为故的图解析:①③④ 【分析】将()f x 化成()321f x x -=++后可得图象的对称中心,故可判断①的正误;参变分离后考虑1y x x=-在()0,1上的值域后可判断②的正误;利用正弦定理和三角变换可判断③的正误;利用整体法求出ϕ的值,从而可判断④的正误. 【详解】对于①,因为()321f x x -=++,故()f x 的图象可以看出3y x-=向左平移1个单位,向上平移2个单位,故()f x 的图象的对称中心为()1,2-,故①正确. 对于②,考虑方程10x k x -+=在()0,1上有实数根即1k x x=-在()0,1上有实数根, 故(),0k ∈-∞, 故关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根时,则[)0,k ∈+∞,故②错误. 对于③,由正弦定理得到sin cos sin cos =B A A B ,故()sin 0B A -=,因为(),B A ππ-∈-,故0B A -=即B A =,故③正确. 对于④,平移后得到的图象对应的解析式为sin 223πy x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 因为该函数为偶函数,故202,32ππφk πk Z ⨯--=+∈, 故5,212k ππφk Z =--∈,因为0ϕ>,故min 12πϕ=,故④正确. 故答案为:①③④. 【点睛】本题考查分式函数的图象性质、函数值域的求法、正弦定理和三角变换以及正弦型函数的图象特征,注意在三角形中,可利用正弦定理把边角的混合关系转化为边的关系或角的关系,而正弦型函数图象的性质,可利用整体法结合正弦函数的性质来讨论,本题属于中档题.17.【分析】先换元令则;再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解:令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为:【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析:3+【分析】先换元,令2s m =+,2t n =+,则1113s t +=,226m n s t +=+-;再采用“乘1法”,求出2s t +的最小值即可得解.【详解】解:令2s m =+,2t n =+,则2s >,2t >,且1113s t +=,2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-,而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+,当且仅当2s tt s=,即s =时,等号成立.2s t ∴+的最小值为3(3+,2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为:3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,采用换元法和“乘1法”是解题的关键,考查学生的转化思想、分析能力和运算能力,属于中档题.18.【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为:【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键解析:p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小. 【详解】因为0a >,0b >,2b p a a =-与2a qb b=-,所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==,b a =时取等号, 所以p q . 故答案为:p q . 【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较,作差法的应用是求解问题的关键.19.2026【分析】根据换底公式把代入并且化简转化为为整数即可求得区间内的所有和谐数的和【详解】由换底公式:得为整数∴分别可取最大值则最大可取10故所有和谐数的和为故答案为:2026【点睛】考查数列的综解析:2026 【分析】根据换底公式把1log (2)n n a n +=+代入12k a a a ⋯并且化简,转化为lg(2)lg 2k +为整数,即22n k +=,n *∈N ,可求得区间[1,2020]内的所有“和谐数”的和.【详解】由换底公式:log log log b a b NN a=, 得()231241log 3log 4log 5log 2k k a a a k +=⋯+122lg3lg 4lg5lg(2)lg(2)log (2)lg 2lg3lg 4lg(1)lg 2==++⋯⋅⋅⋅⋅=++k k k a a a k k 为整数,∴22n k +=,n *∈N ,k 分别可取23422,22,22---,最大值222020n -≤,则n 最大可取10, 故所有“和谐数”的和为()923104122221818202612-++⋅⋅⋅+-=-=-.故答案为:2026. 【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式,把12k a a a ⋯化简并且转化为对数的运算,体现了转化的思想,属中档题.20.②【分析】利用等和数列的定义对每一个命题逐一分析判断得解【详解】①等和数列不一定是常数数列如数列是等和数列但是不是常数数列所以该命题错误;②如果一个数列既是等差数列又是等和数列则这个数列一定是常数列解析:② 【分析】利用“等和数列”的定义对每一个命题逐一分析判断得解. 【详解】①“等和数列”不一定是常数数列,如数列1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,是“等和数列”,但是不是常数数列,所以该命题错误;②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”,则这个数列一定是常数列.如果数列{}n a 是等差数列,所以112(2)n n n a a a n +-+=≥,如果数列{}n a 是“等和数列”,所以11+(2),n n n n a a a a n -+=+≥所以11(2),n n a a n -+=≥所以122(2)n n a a n -=≥,所以1(2)n n a a n -=≥,所以这个数列一定是常数列,所以该命题是正确的.③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”,则这个数列一定是常数列. 如果数列{}n a 是等比数列,所以211(2)n n n a a a n +-⋅=≥,如果数列{}n a 是“等和数列”,所以11+(2),n n n n a a a a n -+=+≥所以11(2),n n a a n -+=≥所以221(2)n n a a n -=≥,所以1(2)n n a a n -=±≥,所以这个数列不一定是常数列,所以该命题是错误的.④数列{}n a 是“等和数列”且公和100h =,则其前n 项之和50n S n =,是错误的.举例“等和数列”1,99,1,99,1,其5201505S =≠⨯,所以该命题是错误的. 故答案为:② 【点睛】本题主要考查数列的新定义的理解和应用,考查等差数列和等比数列的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题21.(1)3. (2)5. 【解析】 试题分析:(1)求出第年年底,该车运输累计收入与总支出的差,令其大于0,即可得到结论; (2)利用利润=累计收入+销售收入-总支出,可得平均利润,利用基本不等式,可得结论. 试题(1)设大货车运输到第年年底,该车运输累计收入与总支出的差为万元,则由,可得∵,故从第3年,该车运输累计收入超过总支出;(2)∵利润=累计收入+销售收入−总支出, ∴二手车出售后,小张的年平均利润为,当且仅当时,等号成立∴小张应当在第5年将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大. 考点:根据实际问题选择函数类型, 基本不等式 22.(1)4m ≤;(2)94. 【分析】 (1)函数()2221690f x x x x x m =++-+≥恒成立,即+130x x m +--≥恒成立,设函数()+13g x x x =+-,则()min m g x ≤,利用绝对值不等式的性质求得()min g x 即可得解;(2)由(1)可得21432a b a b+=++,然后利用基本不等式计算即可求得74a b +的最小值. 【详解】 (1)函数()2221690f x x x x x m =++-+≥恒成立,即+130x x m +--≥恒成立,设函数()+13g x x x =+-,则()min m g x ≤, 又13(1)(3)4x x x x ++-≥+--=, 即()g x 的最小值为4,所以4m ≤; (2)由(1)知4n =,正数a ,b 满足21432a b a b+=++, 所以()1217474432a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭()()121622432a b a b a b a b ⎛⎫=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭()()222315432a b a b a b a b ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦54944+≥=, 当且仅当23a b a b +=+即3210b a ==时,等号成立,所以74a b +的最小值为94. 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用,考查基本不等式的应用,考查逻辑思维能力和计算能力,属于常考题. 23.(1)3A π=;(2)12. 【分析】(1)由已知化简可得22cos 5cos 30A A +-=,解出1cos 2A =即可求出角A 的大小; (2)利用面积公式可求得b ,再利用余弦定理可求得a ,进而求出ABC 外接圆直径,得出所求. 【详解】 (1)5cos cos 25sin sin cos2B C B C A +=+,25cos()22cos 1B C A ∴++=-,22cos 5cos 30A A ∴+-=解得1cos 2A =或cos 3A =-(舍去).0A π<<,所以3A π=.(2)313sin 223S bc π==,6bc ∴=, 3,c b =∴=由余弦定理得22212369,3a b c bc a =+-=+-==, 由正弦定理得ABC外接圆直径2sin 2a R A === 2(2)sin sin 6R B C bc ==,所以1sin sin 2B C =. 【点睛】本题考查正余弦定理的应用,解题的关键是正确利用正余弦定理进行化简. 24.(1)3;(2) 【分析】(1)根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果; (2)根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果. 【详解】(1)因为)cos cos A c a C =,cos sin sin cos C A C A C -=,()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+, 而()sin sin A C B +=b =,故3c b =. (2)由(1)知cos 6A =,则sin 6A =, 又ABC的面积为21sin 2bc A ==, 则3c =,b =由余弦定理得2222cos 27923276a b c bc A =+-=+-⨯⨯=,解得a =. 【点睛】关键点点睛:利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键.25.(1)21n a n =-;(2)()12326n n T n +=-⨯+.【分析】(1)由等差数列的前n 项和公式,等比数列的性质列出关于1a 和d 的方程组,解方程组后可得通项公式n a ;(2)由等差数列通项公式求得2log n b 后得n b ,然后由错位相减法求得和n T . 【详解】(1)设{}n a 公差为d ,则()()11211154525122124n a d a a n d a d a a d ⨯⎧+==⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨=⎩⎪+=+⎩. (2)由题意2log 11(1)n b n n =+⨯-=,2n n b ∴=()2323252212n n T n =+⨯+⨯++-⨯,(1) ()2341223252212n n T n +=+⨯+⨯++-⨯,(2)(1)-(2)得:2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯118(12)2(21)212n n n -+-=+--⨯-,()12326n n T n +=-⨯+.【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,错位相减法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和; (2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.26.条件性选择见解析,(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,41n b n =-;(2)()110245n n T n +=+-【分析】(1)选择①②,可以判断{}n a 为112a =,公比为12的等比数列,即可求出通项公式;选择②③,由112n n S a +=-可判断{}n a 为112a =,公比为12的等比数列,即可求出通项公式;选择①③根据条件可得()11n n S a n ->=,根据条件不能求出1a 的值,故不能选①③;根据{}n b 的条件建立关系即可求出公差,得出通项公式; (2)利用错位相减法可求解. 【详解】 (1)选择①②:由121n n S S +=+⇒当2n ≥时,有121n n S S -=+,两式相减得:12n n a a +=,即112n n a a +=,2n ≥. 又当1n =时,有()2112212S S a a =+=+,又∵214a =,∴112a =,2112a a =也适合,所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列,所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭;选择:②③:由112n n S a +=-⇒当2n ≥时,112n n S a -=-,两式相减得:122n n n a a a +=-+,即112n n a a +=,2n ≥.又当1n =时,有12112S a a =-=,又∵214a =,∴112a =,2112a a =也适合, 所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列,所以12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭; 选择①③:由121n n S S +=+,112n n S a +=-,则112122n n n S S a ++=+=- 即111n n S a ++=-,所以()11n n S a n =->,, 两式相减可得:()1121n n a a n +>=, 当1n =时,由121n n S S +=+,得2121S S =+,即()121221a a S a +=+,即1221a a += 由112n n S a +=-,得1212S a =-,即1212a a =-,与上式相同,不能求出1a 的值. 故不能选择①③所以数列{}n a 是首项、公比均为12的等比数列,所以12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭; 设正项等差数列{}n b 的公差为d ,∵13b =,且1b ,32b -,7b 成等比数列, ∴()23172b b b -=,即()()2322336d d +-=+,解得:4d =或12d =-(舍), ∴()34141n b n n =+-=-,故12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,41n b n =-. (2)()412n n c n -⨯= 所以()1233272112412nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则()()23123272452412n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯, 两式相减得()()22164222412n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯ ()()114126441212n n n -+-=+⨯--⨯-()110254n n +=-+-. ∴()110245n n T n +=+-【点睛】 关键点睛:本题考查利用{}n a 与n S 的关系证明等比数列,等差数列基本量的计算,等比数列前n 项和问题,解答本题的关键是错位相减法求和中的计算,即由()1233272112412n n T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯,和()()23123272452412n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯相减得到()()22164222412n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+--⨯,属于中档题.。
高中数学必修五期末试卷含答案
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一、选择题1.已知实数x ,y 满足260,{0,2,x y x y x -+≥+≥≤若目标函数z mx y =-+的最大值为210m -+,最小值为22m --,则实数m 的取值范围是( ) A .[]2,1-B .[]1,3-C .[]1,2-D .[]2,32.设m 1>,在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z=x+my 的最大值小于2,则m 的取值范围为( ) A.(1,1 B.()1+∞ C .(1,3)D .(3,+∞)3.已知正数a ,b 满足2a b +=,则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A .36B .42C .49D .604.已知正数x ,y 满足x +y =1,且2211x y y x +++≥m ,则m 的最大值为( ) A .163B .13C .2D .45.在ABC 中,内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c,已知b =22cos c a b A -=,则a c +的最大值为( )AB.C.D6.在△ABC 中,若b =2,A =120°,三角形的面积S = AB.C .2 D .47.在ABC 中,60A ∠=︒,4AC =,BC =ABC 的面积为 A.B .4C.D8.在ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,若ABC 的面积为S,且()22a b c =+-,则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .1B .22 C.62- D .62+ 9.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项10a >,202020210a a +>,202020210a a ⋅<,则满足0n S >成立的最大正整数n 是( ) A .4039B .4040C .4041D .404210.在等差数列{}n a 中,0n a ≠,()21102n n n a a a n -+-+=≥,若2138n S -=,则n =( ).A .38B .20C .10D .911.已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,其前n 项和为n S ,若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称,则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为( ) A .1011B .910C .89D .212.公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形(或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示,数列1,6,15,28,45,…,从第二项起每一项都可以用六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么该数列的第11项对应的六边形数为( )A .153B .190C .231D .276二、填空题13.已知实数,x y 满足约束条件1210320y x y x y c ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩,若2z y x =-的最大值为11,则实数c的值为____.14.如图,点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点,3OA =B 为半圆上任意一点,以AB 为一边作等边ABC ,则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15.ABC 的三边边长,,a b c 成递增的等差数列,且最大角等于最小角的2倍,则::a b c =______16.给出以下四个结论:①函数()211x f x x -=+的对称中心是()1,2-;②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根,则k 的取值范围是2k ≥;③在ABC 中,若cos cos b A a B =则ABC 为等腰三角形;④若将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后变为偶函数,则ϕ的最小值是12π.其中正确的结论是________.17.已知0a >,0b >,若a ,1,b 依次成等差数列,则41a b+的最小值为________. 18.已知正项等比数列{}n a 满足:28516a a a ,35+20a a =,若存在两项,m n a a 使得=32m n a a ,则14m n+的最小值为______ 19.已知数列{}n a 的各项均不为零,其前n 项和为n S ,且11a =,()12n n n S a a n *+=∈N .若11n n n b a a +=,则数列{}n b 的前n 项和n T =______. 20.若a 、b 、c 成等比数列,a 、x 、b 成等差数列,b 、y 、c 成等差数列(x 、y 均不为0),则a cx y+=______. 三、解答题21.(1)已知()2f x kx =+,不等式()3f x <的解集为()1,5-,不等式()1xf x ≥的解集为A .求集合A ;(2)解关于x 的不等式()2220ax a x +--≥.22.已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.(1)若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-,求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围.23.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin bC a-=tan cos A C -. (1)求角A 的大小;(2)若b =2c =,点D 在边BC 上,且2CD DB =,求a 及AD . 24.在ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.(1)求角B 的大小;(2)若ABC为锐角三角形,b =2a c -的取值范围. 25.已知数列{}n a 满足:121(21)n n n a q---=,224224231(N )22n n n n n a a a *++⋅⋅⋅+=+∈. (Ⅰ)求2n a ; (Ⅱ)若7553q <<,求数列{}n a 的最小项. 26.在数列{}n a ,{}n b 和{}n c 中,{}n a 为等差数列,设{}n a 前n 项的和为n S ,{}n c 的前n 项和为n T ,11a =,410S a =,12b =,n n n c a b =⋅,22n n T c =-. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)求证:()()()()()()12122311111111nn n c c c c c c c c c ++++<------.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】试题分析:画出可行域如下图所示,依题意可知,目标函数在点()2,10取得最大值,在点()2,2-取得最小值.由图可知,当0m ≥时,[]0,2m ∈,当0m <时,[)1,0m ∈-,故取值范围是[]1,2-.考点:线性规划.2.A解析:A【解析】试题分析:∵,故直线与直线交于点,目标函数对应的直线与直线垂直,且在点,取得最大值,其关系如图所示:即,解得,又∵,解得,选:A.考点:简单线性规划的应用.【方法点睛】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们可以判断直线的倾斜角位于区间上,由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状,其中根据平面直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直,且在点取得最大值,并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键.3.C解析:C 【分析】由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b aa b a b a b++=++=++,然后结合基本不等式即可求解.【详解】解:因为正数a ,b 满足2a b +=,所以229494(3)(8)(4)(9)3737249b a b a b aa b a b a b a b++=++=+++=, 当且仅当65a =,45b =时取等号. 故选:C . 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值,属于基础题.4.B解析:B 【分析】根据题意2211x y y x +++=22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5,由基本不等式的性质求出4411+++y x =13(4411+++y x )[(x +1)+(y +1)]的最小值,即可得2211x y y x +++的最小值,据此分析可得答案.【详解】根据题意,正数x ,y 满足x +y =1,则2211x y y x +++=22(1)(1)11--+++y x y x=(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4=(4411+++y x )﹣5, 又由4411+++y x =13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], =13[8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163, 当且仅当x =y =12时等号成立, 所以2211x y y x +++=(4411+++y x )﹣5163≥﹣5=13, 即2211x y y x +++的最小值为13,所以3m ≤,则m 的最大值为13; 故选:B . 【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用,还考查了转化求解问题的能力,属于中档题.5.B解析:B 【分析】由正弦定理化边角,利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得B 角,然后用余弦定理得2()33a c ac +-=,再利用基本不等式变形后解不等式得a c +的最大值.【详解】因为22cos c a b A -=,所以由正弦定理得,2sin sin 2sin cos C A B A -=,因为A B C π+=-,所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=,化简得(2cos 1)sin 0B A -=,因为sin 0A ≠,所以2cos 10B -=,解得1cos 2B =,因为(0,)B π∈,所以3B π=,因为b =222232cos a c ac B a c ac =+-=+-,所以2()33a c ac +-=,所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+,当且仅当a c =时取等号,所以a c +≤a c+的最大值为故选:B.【点睛】方法点睛:本题考查主要正弦定理、余弦定理,在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角,然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式,两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论.6.C解析:C【解析】12sin1202S c==⨯︒,解得c=2.∴a2=22+22−2×2×2×cos120°=12,解得a=,∴24sinaRA===,解得R=2.本题选择C选项.7.C解析:C【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B,利用三角形内角和求出角C,再利用三角形的面积公式求出三角形的面积,求得结果.【详解】因为ABC∆中,60A∠=︒,4AC=,BC=由正弦定理得:sin sinBC ACA B=,所以4sin60sin B︒=,所以sin1B=,所以90,30B C︒︒∠=∠=,所以14sin302ABCS︒∆=⨯⨯= C.【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题,在解题的过程中,需要注意根据题中所给的条件,应用正弦定理求得sin1B=,从而求得90,30B C︒︒∠=∠=,之后应用三角形面积公式求得结果.8.D解析:D 【分析】根据()22a b c =+-cos 1C C -=,结合三角函数的性质,求得C 的值,最后利用两角和的正弦函数,即可求解. 【详解】由()22a b c =+-,可得2221sin 22ab C a b c ab =+-+,因为2222cos a b c ab C +-=,所以sin 2cos 2C ab C ab =+,cos 1C C -=,可得π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 又因为0πC <<,则ππ5π666C -<-<,所以ππ66C -=,解得π3C =, 所以πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12==故选:D. 【点睛】 本题主要考查了两角和的正弦函数的化简、求值,以及余弦定理的应用,其中解答中根据题设条件和余弦定理,求得C 的值,结合三角函数的性质求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力.9.B解析:B 【分析】由等差数列的10a >,及202020210a a ⋅<得数列是递减的数列,因此可确定202020210,0a a ><,然后利用等差数列的性质求前n 项和,确定和n S 的正负.【详解】∵202020210a a ⋅<,∴2020a 和2021a 异号,又数列{}n a 是等差数列,首项10a >,∴{}n a 是递减的数列,202020210,0a a ><, 由202020210a a +>,所以140404040202020214040()2020()02a a S a a +==+>,14041404120214041()404102a a S a +==<,∴满足0n S >的最大自然数n 为4040. 故选:B . 【点睛】关键点睛:本题求满足0n S >的最大正整数n 的值,关键就是求出100n n S S +><,,时成立的n 的值,解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.10.C解析:C 【分析】由2110n n n a a a -+-+=,可得2112n n n n a a a a -++==,得到2n a =,再根据等差数列的求和公式,得到2138(21)n n n S a --==,代入即可求解,得到答案. 【详解】由题意,等差数列{}n a 中,()21102n n n a a a n -+-+=≥,可得2112n n n n a a a a -++==,又0,n a ≠解得2n a =, 又由12121(21)()(2)3812n n n n a a n a S ---+==-=,即(21)823n -⨯=,解得10n =,故选C . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,以及等差数列的求和公式的应用,其中解答中熟记等差数列的性质,求得2n a =和2138(21)n n n S a --==是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.11.A解析:A 【分析】由题意可知,直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,且直线0x y d +-=过圆心,可求得1a 和d 的值,然后利用等差数列的求和公式求得n S ,利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称,则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直,直线0x y d +-=的斜率为1-,则1112a =,可得12a =, 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0,则20d -=,可得2d =,()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=,则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+,()111111n S n n n n ∴==-++,因此,数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查裂项求和,同时也考查了直线与圆的综合问题,以及等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于中等题.12.C解析:C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数,记第n 个六边形数为n a ,找出规律,相邻两项差构成等差数列,累加求得22n a n n =-,将11n =代入求得结果. 【详解】记第n 个六边形数为n a ,由题意知:11a =,215141a a -==+⨯,32142a a -=+⨯,43143a a -=+⨯,,114(1)n n a a n --=+-,累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--,即22n a n n =-,所以21121111231a =⨯-=, 故选:C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式,属于中档题目.二、填空题13.23【分析】画出不等式组表示的平面区域数形结合判断出取最大值的点即可建立关系求出【详解】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分直线在轴上的截距为则由图可知即将化为观察图形可知当直线经过点时取得最大值解析:23 【分析】画出不等式组表示的平面区域,数形结合判断出2z y x =-取最大值的点,即可建立关系求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分,直线320x y c +-=在y 轴上的截距为2c,则由图可知12c ≥,即2c ≥,将2z y x =-化为122zy x =+, 观察图形可知,当直线122zy x =+经过点A 时,z 取得最大值, 由210320x y x y c -+=⎧⎨+-=⎩解得27237c x c y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,故23221177c c +-⨯-=,解得23c =. 故答案为:23. 【点睛】方法点睛:线性规划常见类型, (1)y bz x a-=-可看作是可行域内的点到点(),a b 的斜率; (2)z ax by =+,可看作直线a zy x b b=-+的截距问题; (3)()()22z x a y b =-+-可看作可行域内的点到点(),a b 的距离的平方.14.【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积 解析:23【分析】设AOB θ∠=,表示出ABC 的面积及OAB 的面积,进而表示出四边形OACB 的面积,并化简所得面积的解析式为正弦函数形式,再根据三角函数的有界性进行求解. 【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积,设AOB θ∠=,2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC AB θ=⋅⋅︒==OAB 的面积11sin 1sin 222OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=,四边形OACB 的面积3cos 2θθ=+13(sin )60)2θθθ==-︒,故当6090θ-︒=︒,即150θ=︒时,四边形OACB =故答案为: 【点睛】方法点睛:应用余弦定理一定要熟记两种形式:(1)2222cos a b c bc A =+-;(2)222cos 2b c a A bc+-=,同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.15.【分析】由题意可得又最大角等于最小角的倍运用正弦定理求出用余弦定理化简求出边长关系【详解】的三边边长成递增的等差数列最大角为最小角为由正弦定理可得化简可得用余弦定理代入并化简可得:则则移项可得:消去 解析:4:5:6【分析】由题意可得2b a c =+,又最大角等于最小角的2倍,运用正弦定理求出2cos a A c =,用余弦定理化简求出边长关系. 【详解】ABC 的三边边长a 、b 、c 成递增的等差数列,2b a c ∴=+,最大角为C ∠,最小角为A ∠, sin sin 2C A ∴=, 由正弦定理可得sin sin sin 22sin cos a c c cA C A A A===,化简可得2cos a A c =, 用余弦定理代入并化简可得:23220ab a ac bc -+-=,()()2220c a b a a b ---=,则()()20a b c a a b ⎡⎤--+=⎣⎦,a b ≠,则22c a ab =+,移项可得:()()c a c a ab -+=,()2b c a ab -=,消去b 并化简可得23a c =, 设4a k =,6c k =,则5b k =,则::4:5:6a bc =.故答案为:4:5:6. 【点睛】本题结合数列知识考查了运用正弦定理和余弦定理来解三角形,探究出三角形根据已知条件得到的三边数量关系,有一定的计算量,需要熟练运用各公式进行化简.16.①③④【分析】将化成后可得图象的对称中心故可判断①的正误;参变分离后考虑在上的值域后可判断②的正误;利用正弦定理和三角变换可判断③的正误;利用整体法求出的值从而可判断④的正误【详解】对于①因为故的图解析:①③④ 【分析】将()f x 化成()321f x x -=++后可得图象的对称中心,故可判断①的正误;参变分离后考虑1y x x=-在()0,1上的值域后可判断②的正误;利用正弦定理和三角变换可判断③的正误;利用整体法求出ϕ的值,从而可判断④的正误. 【详解】对于①,因为()321f x x -=++,故()f x 的图象可以看出3y x-=向左平移1个单位,向上平移2个单位,故()f x 的图象的对称中心为()1,2-,故①正确. 对于②,考虑方程10x k x -+=在()0,1上有实数根即1k x x=-在()0,1上有实数根, 故(),0k ∈-∞, 故关于x 的方程10x k x-+=在()0,1x ∈没有实数根时,则[)0,k ∈+∞,故②错误. 对于③,由正弦定理得到sin cos sin cos =B A A B ,故()sin 0B A -=, 因为(),B A ππ-∈-,故0B A -=即B A =,故③正确. 对于④,平移后得到的图象对应的解析式为sin 223πy x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 因为该函数为偶函数,故202,32ππφk πk Z ⨯--=+∈, 故5,212k ππφk Z =--∈,因为0ϕ>,故min 12πϕ=,故④正确. 故答案为:①③④. 【点睛】本题考查分式函数的图象性质、函数值域的求法、正弦定理和三角变换以及正弦型函数的图象特征,注意在三角形中,可利用正弦定理把边角的混合关系转化为边的关系或角的关系,而正弦型函数图象的性质,可利用整体法结合正弦函数的性质来讨论,本题属于中档题.17.【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为:【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析:92【分析】由a ,1,b 依次成等差数列,可得2a b +=,再利用乘“1”法及基本不等式计算,即可求得答案. 【详解】0a >,0b >,且a ,1,b 依次成等差数列,∴2a b +=, ∴()41141141941(52222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当4b a a b =,即43a =,23b =,取等号, 故14a b +的最小值为92. 故答案为:92. 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用,涉及等差中项的定义,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.18.【分析】由先求出数列的通项公式由找到把乘以1等量代换最后利用均值定理即可求解【详解】解:设正项等比数列的公比为由又所以所以即当且仅当即时取等号则的最小值为故答案为:【点睛】考查等比数列的性质以及用均解析:34【分析】 由28516a a a ,35+20a a =找到12m n +=,把14m n+乘以1,等量代换,最后利用均值定理即可求解. 【详解】解:设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >, 由28516a a a ,255516,16a a a ==,又35+20a a =,所以34a =,25316=4,24a q q a ===5515=1622n n n n a a q ---=⨯=,,所以1110222n m m n a a --==,即12m n +=,14145531212123124m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⋅=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当123n mm n=,即4,8m n ==时取等号, 则14m n +的最小值为34故答案为:34. 【点睛】考查等比数列的性质以及用均值定理求最小值,基础题.19.【分析】由得数列的递推关系数列奇数项成等差数列偶数项成等差数列分别求出通项公式后合并可得然后用裂项相消法求和【详解】∵∴两式相减得又∴由且得因此综上∴故答案为:【点睛】本题考查求等差数列的通项公式裂 解析:1n n + 【分析】由11n n n a S S ++=-得数列{}n a 的递推关系,数列奇数项成等差数列,偶数项成等差数列,分别求出通项公式后,合并可得n a ,然后用裂项相消法求和n T . 【详解】∵12n n n S a a +=,∴1122n n n S a a +++=,两式相减得11121222n n n n n n n a S S a a a a +++++=-=-,又10n a +≠,∴22n n a a +-=, 由1122S a a =且11a =得22a =,因此2112(1)12(1)21n a a n n n -=+-=+-=-,222(1)22(1)2n a a n n n =+-=+-=, 综上,n a n =,*n N ∈,111(1)1n b n n nn ,∴11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 故答案为:1n n +. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式,裂项相消法求和.数列求和的常用方法: 设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,(1)公式法:等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和;(2)错位相减法:数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法; (3)裂项相消法;数列1{}n n ka a +(k 为常数,0n a ≠)的前n 项和用裂项相消法; (4)分组(并项)求和法:数列{}n n pa qb +用分组求和法,如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法;(5)倒序相加法:满足m n m a a A -+=(A 为常数)的数列,需用倒序相加法求和.20.【分析】由题意可得出代入计算可得出的值【详解】由题意可得出故答案为:【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值考查计算能力属于中等题 解析:2【分析】由题意可得出2b ac =,2a bx +=,2b c y +=,代入计算可得出a c x y +的值.【详解】由题意可得出2b ac =,2a bx +=,2b c y +=, ()()()()()222222224222a b c c a b ab ac bc a c a cab ac bc x y a b b c a b b c ab ac b bc ab ac bc +++++++∴+=+====+++++++++.故答案为:2. 【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值,考查计算能力,属于中等题. 三、解答题21.(1)[)1,2;(2)见解析 【分析】 (1)由题意得,23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩,由此可求得()2f x x =-+,代入后转化为一元二次不等式即可求出答案;(2)分类讨论法解不等式即可. 【详解】解:(1)∵()2f x kx =+,不等式()3f x <的解集为()1,5-, ∴方程23kx +=的解集为1,5,∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩,解得1k =-,∴()2f x x =-+,∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩, 解得12x ≤<,∴[)1,2A =;(2)∵()2220ax a x +--≥,①当0a =时,原不等式化为220x --≥,解得1x ≤-; 当()2010a a x x a ⎛⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭, ②当0a >时,原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭, 解得1x ≤-,或2x a≥; ③当0a <时,原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭, 1︒当21a=-即2a =-时,原不等式化为()210x +≤,解得1x =-; 2︒当21a<-即20a -<<时,解得21x a ≤≤-;3︒当21a >-即2a <-时,解得21x a-≤≤; 综上:当2a <-时,原不等式的解集为21,x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦; 当2a =-时,原不等式的解集为{}1x ∈-; 当20a -<<时,原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦; 当0a =时,原不等式的解集为(],1x ∈-∞-; 当0a >时,原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法,考查分式不等式的解法,考查转化与化归思想,考查分类讨论法,属于中档题.22.(1)25-;(2)⎛-∞ ⎝⎭,. 【分析】(1)由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-,2-是方程2260kx x k -+=的两根,代入可解.(2)不等式的解集为R ,知二次函数图像恒在x 轴下方,则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】(1)∵不等式的解集为{}32x x x <->-或 ∴3-,2-是方程2260kx x k -+=的两根,且0k < ∴25k =-(2)∵不等式的解集为R ∴0k <且24240k ∆=-<∴6k <-∴k 的取值范围是(-∞, 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时,讨论判别式∆与0的关系.(3)确定无实根时可直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定解集形式.23.(1)π4A =;(2)a =AD = 【分析】(1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-,再化简计算即可求出cos A =(2)由余弦定理求得a =cos 10B =-3a BD ==,再由余弦定理即可求出AD . 【详解】解:(1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-,()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-,∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos AC A C A C C A C A--=-,∵sin 0C ≠,∴2sin cos cos AA A+=,∴cos A =0πA <<,∴π4A =.(2)由余弦定理可得:2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=, ∴a =∵点D 在边BC 上,且2CD DB =,∴3a BD ==,又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=,∴AD = 【点睛】关键点睛:本题考查正余弦定理的应用,解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件,再结合三角恒等变换化简运算. 24.(1)3B π=;(2)()0,3.【分析】(1)利用正弦定理边角互化,再利用余弦定理求出角B 的大小;(2)利用正弦定理结合三角恒等变换化简2a c -,再由锐角三角形得出C 的范围,进而得出答案. 【详解】(1)由已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+,结合正弦定理,得222a c b ac +=+.再由余弦定理,得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,又()0,B π∈,则3B π=.(2)由3B π=,b =224sin 2sin 4sin 2sin 3a c A C C Cπ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭224sin cos cos sin 2sin 33C C C C ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形,则62C ππ<<,则0cos 2C <<. 所以2a c -的取值范围为()0,3.25.(Ⅰ)2231n n a n =-;(Ⅱ)25q . 【分析】(Ⅰ)设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,利用122n n n n S S a -=-可求2n a . (2)讨论{}2-1n a 的单调性后可求数列{}21n a -的最小项,结合223n a >可求数列{}n a 的最小项.【详解】解:(Ⅰ)设数列22n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,即23122n S n n =+, ∴2131(1)(1)22n S n n -=-+-.则12231(2)n n n n S S n n a -=-=-≥, 故()22231n n a n n =≥-,当1n =,21a =,也符合此式, ∴2231n n a n =-. (Ⅱ)222223313313n n a n n ==+>--. 考虑奇数项,∵12121n n q a n --=-, ∴[]112121(21)(21)2121(21)(21)n n n n n q q n n q q a a n n n n --+---+-=-=+-+- ()()()111121(21)(21)(21)(21)2222n n q n q q q q q n n n q n n --⎡⎤-+----==+⎢⎥-⎡⎤⎣⎦+⎦-⎣-, 又()1112121q q q +=+--, ∵7553q <<,得()112,321q +∈-,而220q ->, ∴当2n ≤时,2121n n a a +-<,当3n ≥时,2121n n a a +->,即奇数项中5a 最小. 而25252593n q a a =<<<,所以数列{}n a 的最小项为255q a =. 【点睛】思路点睛:数列的最大项最小项,一般根据数列的单调性来处理,如果数列是分段数列,则可以分别讨论各段上的最大项最小项,比较后可得原数列的最大项最小项.26.(1)n a n =,2nn b n=;(2)证明见解析; 【分析】(1)设{}n a 的公差为d ,由410S a =,即可得到1d a =,从而求出{}n a 的通项公式,再由1122n n n n n c T T c c --=-=-,可得{}n c 是首项为2,公比为2的等比数列,即可求出{}n c 的通项,最后由n n n c a b =⋅,求出{}n b 的通项公式;(2)依题意可得()()1111112121n n n n n c c c ++=-----,利用裂项相消法求和即可得证; 【详解】解:(1)因为{}n a 为等差数列,且{}n a 前n 项的和为n S ,设其公差为d , 因为410S a =,11a =,所以()11441492a d a d ⨯-+=+,所以11d a ==,所以n a n =,因为11a =,12b =,n n n c a b =⋅,所以1112c a b =⋅=,因为{}n c 的前n 项和为n T 且22n n T c =-,当2n ≥时,()()111222222n n n n n n n c T T c c c c ---=-=---=-,所以()122n n c c n -=≥,所以{}n c 是首项为2,公比为2的等比数列,所以2n n c =,因为n n n c a b =⋅,所以2nn n n c b a n== (2)因为()()()()1112111121212121n n n n n n n n c c c +++==-------所以()()()()()()1212231111111n n n c c c c c c c c c ++++------ 122311111111111111212121212121212121n n n n +++=-+-++-=-=-<--------- 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加:用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和.(2)错位相减:用于等差数列与等比数列的积数列的求和.(3)分组求和:用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.。
高一必修五期末数学试卷
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一、选择题(每题5分,共50分)1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图像开口向上,且对称轴为x = -1,则下列说法正确的是:A. a > 0,b < 0B. a > 0,b > 0C. a < 0,b > 0D. a < 0,b < 02. 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,若a1 + a4 = 10,a2 + a3 = 12,则a5 =A. 15B. 16C. 17D. 183. 在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=3,b=4,cosA=1/2,则sinB的值为:A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/44. 函数y = 2^x + 1的图像上任意一点P(x,y),过点P的直线与x轴、y轴分别交于点A、B,则|PA|+|PB|的值为:A. 2B. 3C. 4D. 55. 下列函数中,是奇函数的是:A. y = x^2 + 1B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + x6. 已知复数z = 3 + 4i,则|z|^2的值为:A. 25B. 16C. 9D. 77. 在等比数列{an}中,若首项a1 = 1,公比q = 2,则数列{an}的前5项和S5 =A. 31B. 32C. 33D. 348. 若函数y = kx + b(k ≠ 0)的图像过点(2,3),且在y轴上的截距为-1,则k和b的值分别为:A. k = 2,b = -1B. k = 1,b = -1C. k = 2,b = 1D. k = 1,b = 29. 在直角坐标系中,点A(1,2),B(3,4),则线段AB的中点坐标为:A. (2,3)B. (1,3)C. (3,2)D. (2,2)10. 若函数y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0)的图像与x轴有两个不同的交点,则下列说法正确的是:A. a > 0,b^2 - 4ac > 0B. a > 0,b^2 - 4ac < 0C. a < 0,b^2 - 4ac > 0D. a < 0,b^2 - 4ac < 0二、填空题(每题5分,共50分)1. 若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则数列{an}的第n项an = ________。
2021-2022高中数学必修五期末试卷带答案

一、选择题1.若实数x ,y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为( )A .3-B .0C .1D .32.设x ,y 满足约束条件5010550x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩,且(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为1,则56a b+的最小值为( ) A .64B .81C .100D .1213.已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,且32x y +的最大值为10,则a =( )A .1B .2C .3D .44.如果0a b >>,0t >,设b M a =,b t N a t+=+,那么( ) A .M N < B .M N >C .MND .M 与N 的大小关系和t 有关5.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知()()sin sin 3sin2B A B A A -++=,且c =3C π=,则a =( )A .1BC .1D6.在ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 成等差数列,且2sin 2sin a A c C+4ac =+,则ABC 的面积的最大值为( ) A.B.C.D7.在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若22b c ac =+,则角C 的取值范围是( ) A .π(0,)4B .ππ(,)42C .ππ(,)43D .π,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭8.已知在ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若ABC 的面积为S ,且222()S a b c =+-,则tan C =( )A .43-B .34-C .34D .439.公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即121a a ==,12n n n a a a --=+(*3,n n ≥∈N ).此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.若记212n n n n b a a a ++=-(*n ∈N ),数列{}n b 的前n 项和为n S ,则2020S =( ) A .0B .1C .2019D .202010.若a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,a ,b ,2-这三个数适当排序后可成等比数列,点(),2a b 在直线2100x y +-=上,则p q +的值等于( ) A .6B .7C .8D .911.正整数数列{}n a 满足:1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩,则( )A .数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项B .n a 的最小值必定为1C .当n a 是奇数时,2n n a a +≥D .n a 的最小值可能为212.在1和19之间插入个n 数,使这2n +个数成等差数列,若这n 个数中第一个为a ,第n 个为b ,当116a b+取最小值时,n 的值是( ) A .4B .5C .6D .7二、填空题13.设,x y 满足约束条件20240280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩,则z y x =-的最小值是__________.14.已知0x >,0y >,且212+=x y ,若2322+≥-x y m m 恒成立,则实数m 的取值范围_______.15.若x ,y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为______.16.在ABC 中,3B π=,AC =,则4AB BC +的最大值为_______. 17.在ABC 中,2AB =,30C ︒=,则AB BC 的取值范围是________. 18.在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c,b =ABC ∆面积为()22212S b a c =--,则面积S 的最大值为_____. 19.给定*1log (2)()n n a n n N +=+∈,则使乘积12k a a a 为整数的()*k k ∈N 称为“和谐数”,则在区间内[1,2020]的所有“和谐数”的和为_______.20.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 经过坐标原点,()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足:对任意的正整数n ,点()n 1n a ,a +均在l 上,若2a 6=,则3a 的值为______.三、解答题21.近年来,某市在旅游业方面抓品牌创建,推进养生休闲度假旅游产品升级,其景区成功创建国家5A 级旅游景区填补了该片区的空白,某投资人看到该市旅游发展的大好前景后,打算在该市投资甲、乙两个旅游项目,根据市场前期调查, 甲、乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为01000和0080,可能的最大亏损率分别为0040和0020,投资人计划投资金额不超过5000万,要求确保亏损不四超过1200万,问投资人对两个项目各投资多少万元,才能使五年后可能的盈利最大? 22.若实数0x >,0y >,且满足8x y xy +=-. (1)求xy 的最大值; (2)求x y +的最小值23.在ABC 中,已知边长是5,7,8BC AC AB ===. (1)求角B ;(2)求ABC 的面积; (3)求ABC 外接圆面积.24.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .请在①cos sin b b C B +;②()2cos cos b a C c A -=;③2223ABCa b c S +-=这三个条件中任选一个,完成下列问题 (1)求角C ;(2)若5a =,7c =,延长CB 到点D,使cos 7ADC ∠=,求线段BD 的长度. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.25.已知{}n a 是公差不为0的等差数列,若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项. (1)求数列{}n b 的公比; (2)若11a =,数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200nS >,求n 的最小值. 26.已知等差数列{}n a ,且55a =,515S =,首项为1的数列{}n b 满足112n n n n b a b a ++= (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (2)求数列{}n b 前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】画出约束条件所表示的平面区域,根据目标函数的几何意义,结合图形,即可求出结果. 【详解】由x ,y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域,如图.则()()1,1,2,1B C ---,由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭目标函数2z x y =+,化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知,当直线2y x z =-+过点C 时,z 有最大值. 所以z 的最大值为:2213z =⨯-= 故选:D【点睛】方法点睛:解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.D解析:D 【分析】作出可行域,作出目标函数对应的直线,平移该直线得最优解,从而得,a b 的关系式561a b +=,然后用“1”的代换,配凑出积为定值,用基本不等式得最小值.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图,ABC 内部(含边界),作直线直线0ax by += ,z ax by =+中,由于0,0a b >>,ab是直线的纵截距,直线向上平移时,纵截距增大, 所以当直线z ax by =+经过点()5,6时,z 取得最大值, 则561a b +=, 所以()56565661306160121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当111a b ==时,等号成立,故56a b+的最小值为121. 故选:D .【点睛】关键点点睛:本题考查简单的线性规划,考查用基本不等式求最值.解题思路是利用简单的线性规划求得变量,a b 满足的关系式,然后用“1”的代换凑配出定值,再用基本不等式求得最小值.求最值时注意基本不等式的条件:一正二定三相等,否则易出错.3.B解析:B 【分析】作出不等式组所表示的可行域,平移直线32z x y =+,找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解,代入目标函数可得出关于实数a 的等式,由此可解得实数a 的值. 【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示:易知点()2,A a ,由题意可知,点A 在直线2x y +=上或其上方,则22a +≥,可得0a ≥,令32z x y =+,平移直线32z x y =+,当直线32z x y =+经过点A 时,直线32z x y =+在y 轴上的截距最大,此时,z 取得最大值,即max 3226210z a a =⨯+=+=,解得2a =. 故选:B. 【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数,考查数形结合思想的应用,属于中等题.4.A解析:A 【分析】对M 与N 作差,根据差值的正负即可比较大小. 【详解】()()()()()b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++,因为0a b >>,所以0b a -<, 又0t >,所以0a t +>,所以()()0t b a a a t -<+,即0M N -<,所以M N <.故选:A 【点睛】本题主要考查作差法比较大小,考查学生的化简分析能力,属于常规题型.5.C解析:C 【分析】由题意得3sinBcosA sinAcosA =,分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解,可得结果. 【详解】∵()()32sin B A sin B A sin A -++=, ∴3sinBcosA sinAcosA =.①当0cosA =时,ABC 为直角三角形,且2A π=.∵c =3C π=,∴3sin3a ==.②当0cosA ≠时,则有3sinB sinA =, 由正弦定理得3b a =.由余弦定理得2222c a b abcosC =+-,即()()22173232a a a a =+-⋅⋅, 解得1a =. 综上可得,a =1故选:C . 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查三角恒等变换,考查学生分类讨论思想,属于中档题.6.B解析:B 【分析】由等差数列性质得3B π=,应用正弦定理边角转换、余弦定理由已知可求得三角形外接圆半径R ,从而边,a c 可用角表示,最后用角表示出三角形面积,结合三角函数恒等变换、正弦函数性质得出最大值. 【详解】∵角A 、B 、C 成等差数列,∴2B A C =+,又A B C π++=,∴3B π=,23C A π=-,2(0,)3A π∈,由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R ===, ∵2sin 2sin a A c C+=,∴2sin 2sin 2sin a A c C b B +-=,即222a b c R R R +-=2222cos a c b ac BR R +-==,∴3R =,又由正弦定理得2sin ,a R A A c C ===,∴112sin sin sin()2233ABC S ac B A C A A ππ==⨯=-△21sin )cos 2sin )2A A A A A A =+=+21cos 2)A A =+-)6A π=-, ∵2(0,)3A π∈,∴3A π=时,sin(2)16A π-=,即ABCS取得最大值+=. 故选:B . 【点睛】本题以我们熟知的三角形为背景,探究的是三角形面积的最大值,结合等差数列的性质,利用正弦定理进行边角转换,考查目的是让考生发现、揭示问题本质的关联点,从而有效的激发考生学习兴趣,本题同时考查了考生的逻辑推理能力、直观想象能力.本题属于中档题.7.D解析:D 【分析】由22b c ac =+,并结合余弦定理,可求得2cos c a c B =-,进而结合正弦定理可得sin sin 2sin cos C A C B =-,由()sin sin A B C =+,代入并整理得sin C ()sin B C =-,结合△ABC 为锐角三角形,可得出2B C =,从而可得π02ππ2B BC ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩,即可求出答案. 【详解】由余弦定理可得,2222cos b a c ac B =+-,所以2222cos a c ac B c ac +-=+,即2cos c a c B =-, 由正弦定理可得,sin sin 2sin cos C A C B =-, 又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+, 所以sin sin cos sin cos 2sin cos C B C C B C B =+-()sin cos sin cos sin B C C B B C =-=-,因为π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ,22B C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 所以C B C =-,即2B C =.在锐角△ABC 中,π02ππ2B B C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩,即π022π3π2C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩,解得ππ64C <<.故选:D. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用,考查两角和的正弦公式的运用,考查学生的计算求解能力,属于中档题.8.A解析:A 【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式,利用二倍角公式求得tan2C,从而求得tan C .【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-,即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-, ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-,又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab CC ab ab +-⋅-===-,∴sin cos 12C C +=, 即22cos sin cos 222C C C =,则tan 22C =,∴222tan2242tan 1231tan2CC C ⨯===---, 故选:A . 【点睛】本题考查三角形面积公式,余弦定理,考查二倍角公式,同角间的三角函数关系,掌握相应的公式即可求解.属于中档题,考查了学生的运算求解能力.9.A解析:A 【分析】 由1n nb b +用递推式可得到值为-1,{}n b 是等比数列,再求前2020项和. 【详解】 由题意可知()2221121213221212n n n n n n n n n n n n n n n a a a a b a a a b a a a a a a ++++++++++++-+-===--()222211212212121n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++++---==---,又212131b a a a =-=-,因此()1nn b =-,故()()()20201111110S =-++-+++-+=,故选:A. 【点睛】本题考查了通过递推数列揭示数列存在的规律即等比数列,还考查了数列求和,属于中档题.10.D解析:D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>,因此2-只能是等比数列的中间项,从而得4ab =,由点(),2a b 在直线2100x y +-=上,得5a b +=,这样可得,p q 值.从而得出结论. 【详解】∵a ,b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,∴,a b p ab q +==,∴0,0a b >>,而a ,b ,2-这三个数适当排序后可成等比数列,只能是2-是,a b 的等比中项,即4ab =,点(),2a b 在直线2100x y +-=上,则22100a b +-=,得5a b +=, 由45ab a b =⎧⎨+=⎩,∴5,4p q ==,9p q +=.故选:D . 【点睛】本题考查函数零点的概念,考查等比数列的定义,考查韦达定理,关键是由题意分析出0,0a b >>.11.A解析:A 【分析】根据题意知,数列{}n a 中的任意一项都是正整数,利用列举法直接写出数列中的项,进而可得结论. 【详解】对于选项A ,假设:12019a =,则后面依次为:2022,1011,1014,507,510,255,258,129,132,66,33,36,18,9,12,6,3,6,3…循环; 假设:11a =,则后面依次为:4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环, 综上,数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项,故选项A 正确; 由选项A 知,选项B 、D 都不对;对于选项C ,令11a =,则24a =,32a =,所以13a a <,故选项C 不正确. 故选:A. 【点睛】本题考查数列中的项数的求法,考查数列的递推公式求通项公式,属于基础题.12.B解析:B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-,,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b a a b=,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.二、填空题13.【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义结合数形结合进行求解即可【详解】由得作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时也最小由解得即代 解析:4-【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合进行求解即可. 【详解】由z y x =-得y =x+z ,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):ABC平移直线y =x+z 由图象可知当直线y =x+z 经过点B 时,直线y =x+z 的截距最小,此时z 也最小,由240280x y x y +-=⎧⎨--=⎩,解得40x y =⎧⎨=⎩,即(4,0)B .代入目标函数z y x =-,得044z =-=-. 所以z y x =-的最小值是4-. 故答案为:4- 【点睛】方法点睛:线性规划问题解题步骤如下: (1)根据题意,设出变量,x y ; (2)列出线性约束条件;(3)确定线性目标函数(,)z f x y =;(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域); (5)利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数);(6)观察图形,找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案.14.【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题解析:3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用“1”的替换求出2x y +的最小值92,再解不等式23922m m -≤即可.【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当22y xx y=, 即32x y ==时等号成立,所以23922m m -≤,解得332m -≤≤.故答案为:3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查基本不等式求最值,涉及到解一元二次不等式,是一道中档题.15.1【分析】画出可行域和目标函数根据目标函数的几何意义得到答案【详解】如图所示:画出可行域和目标函数则表示直线在轴的截距当直线过点时即时有最大值为故答案为:【点睛】本题考查了线性规划问题意在考查学生的解析:1 【分析】画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义得到答案. 【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,z x y =+,则y x z =-+,z 表示直线在y 轴的截距, 当直线过点()0,1时,即0,1x y ==时,z 有最大值为1. 故答案为:1.【点睛】本题考查了线性规划问题,意在考查学生的应用能力,画出图像是解题的关键.16.【分析】利用正弦定理可将表示关于角的三角函数求出角的取值范围利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值【详解】由正弦定理可得则则其中为锐角且所以当时取最大值故答案为:【点睛】求三角形有关代数式的取值范围【分析】利用正弦定理可将4AB BC +表示关于角A 的三角函数,求出角A 的取值范围,利用正弦型函数的基本性质可求得4AB BC +的最大值. 【详解】由正弦定理可得21sin sin sin sin 3BC AB ACA CB π====,则sin BC A =,sin AB C =,3B π=,203A π∴<<,则()14sin 4sin sin 4sin sin cos 4sin 22AB BC C A A B A A A A+=+=++=++()9sin 22A A A ϕ=+=+, 其中ϕ为锐角,且tan ϕ=,23A πϕϕϕ∴<+<+,所以,当2A πϕ+=时,4AB BC +取【点睛】求三角形有关代数式的取值范围是一种常见的类型,主要方法有两类: (1)找到边与边之间的关系,利用基本不等式来求解;(2)利用正弦定理,转化为关于某个角的三角函数,利用函数思想求解.17.【分析】首先根据正弦定理得化简得到再求其范围即可【详解】由正弦定理得:所以所以因为所以即故的取值范围是故答案为:【点睛】本题主要考查正弦定理的应用同时考查三角函数的值域问题属于中档题 解析:[6,2]-【分析】首先根据正弦定理得4sin =BC A ,化简得到()4sin 2302⋅=+-AB BC A ,再求其范围即可. 【详解】 由正弦定理得:4sin sin ==AB BCC A,所以4sin =BC A .所以()cos 1808sin cos ⋅=⋅-=-AB BC AB BC B A B()()8sin cos 180308sin cos 30⎡⎤=--+=+⎣⎦A A A A218sin sin cos 4sin 2⎫=-=-⎪⎪⎝⎭A A A A A A ()()221cos 24sin 2302=--=+-A A A因为0150<<A ,所以3030330<2+<A , 即()1sin 2301-≤+≤A ,()64sin 23022-≤+-≤A .故AB BC 的取值范围是[6,2]-. 故答案为:[6,2]- 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用,同时考查三角函数的值域问题,属于中档题.18.【分析】利用三角形面积构造方程可求得可知从而得到;根据余弦定理结合基本不等式可求得代入三角形面积公式可求得最大值【详解】由余弦定理得:(当且仅当时取等号)本题正确结果:【点睛】本题考查解三角形问题中解析:4-【分析】利用三角形面积构造方程可求得tan 3B =-,可知56B π=,从而得到sin ,cos B B ;根据余弦定理,结合基本不等式可求得(82ac ≤-,代入三角形面积公式可求得最大值. 【详解】()()222312cos sin 12122S b a c ac B ac B =--=-=sin tan cos B B B ∴==()0,B π∈ 56B π∴=cos B ∴=,1sin 2B =由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得:(2282a c ac =+≥(当且仅当a c =时取等号)(82ac ∴≤= 11sin 424S ac B ac ∴==≤-本题正确结果:4-【点睛】本题考查解三角形问题中的三角形面积的最值问题的求解;求解最值问题的关键是能够通过余弦定理构造等量关系,进而利用基本不等式求得边长之积的最值,属于常考题型.19.2026【分析】根据换底公式把代入并且化简转化为为整数即可求得区间内的所有和谐数的和【详解】由换底公式:得为整数∴分别可取最大值则最大可取10故所有和谐数的和为故答案为:2026【点睛】考查数列的综解析:2026 【分析】根据换底公式把1log (2)n n a n +=+代入12k a a a ⋯并且化简,转化为lg(2)lg 2k +为整数,即22n k +=,n *∈N ,可求得区间[1,2020]内的所有“和谐数”的和.【详解】由换底公式:log log log b a b NN a=, 得()231241log 3log 4log 5log 2k k a a a k +=⋯+122lg3lg 4lg5lg(2)lg(2)log (2)lg 2lg3lg 4lg(1)lg 2==++⋯⋅⋅⋅⋅=++k k k a a a k k 为整数,∴22n k +=,n *∈N ,k 分别可取23422,22,22---,最大值222020n -≤,则n 最大可取10, 故所有“和谐数”的和为()923104122221818202612-++⋅⋅⋅+-=-=-.故答案为:2026. 【点睛】考查数列的综合应用及对数的换底公式,把12k a a a ⋯化简并且转化为对数的运算,体现了转化的思想,属中档题.20.-2【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程求得则数列为公比q 为的等比数列运用等比数列的通项公式可得所求值【详解】直线经过坐标原点是的一个法向量可得直线的斜率为即有直线的方程为点均在上可得即有解析:-2 【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程,求得n 1n 1a a 3+=-,则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列,运用等比数列的通项公式可得所求值. 【详解】直线经过坐标原点,()n 3,1=是l 的一个法向量, 可得直线l 的斜率为3-,即有直线l 的方程为y 3x =-,点()n 1n a ,a +均在l 上,可得n n 1a 3a +=-, 即有n 1n 1a a3+=-, 则数列{}n a 为公比q 为13-的等比数列, 可得321a a q 623⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭. 故答案为2-. 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用,考查直线方程的求法,考查运算能力,属于基础题.三、解答题21.甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000万元 【解析】试题分析:设投资人对甲,乙两个项目分别投资,x y 万元.根据已知条件可列出可行域为5000{0.40.212000,0x y x y x y +≤+≤≥≥,目标函数为0.8z x y =+,画出可行域,根据图像可知目标函数在点()1000,4000处取得最大值. 试题设投资人对甲,乙两个项目分别投资,x y 万元5000{0.40.212000,0x y x y x y +≤+≤≥≥求0.8z x y =+最大值 如图作出可行域当目标函数结果点()1000,4000A 时,0.8z x y =+取得最大值为4200 万元,此时对甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000 万元盈利最大. 22.(1)4;(2)4. 【分析】(1)由于0x >,0y >,根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法,即可求出xy 的最大值;(2)根据题意,由0x >,0y >,根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤,通过解一元二次不等式,即可求出x y +的最小值. 【详解】解:(1)∵0x >,0y >,∴8xy x y -=+≥80xy +≤,即2)0≤,解得:02<≤,04xy ∴<≤(当且仅当2x y ==时取等号), ∴xy 的最大值为4.(2)∵0x >,0y >,28()()2x y x y xy +∴-+=≤, 即2()()802x y x y +-++≥, 整理得:2()()3204x y x y +++-≥,∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣, ∴4x y +≥(当且仅当2x y ==时取等号), 所以x y +的最小值为4. 【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值,以及一元二次不等式的解法,考查转化思想和运算能力.23.(1)3π;(2)3)493π. 【分析】(1)由余弦定理,求得1cos 2B =,即可求得角B 的大小; (2)由三角形的面积公式,即可求得ABCS 的面积;(3)由正弦定理,求得2sin AC R B ==,进而取得外接圆面积.【详解】(1)由题意,在ABC 中,5BC =,7AC =,8AB =,由余弦定理有2222225871cos 22582BC AB AC B BC AB +-+-===⋅⨯⨯,因为(0,)B π∈,所以3B π=.(2)由三角形的面积公式,可得ABCS=11sin 8522AB BC B ⋅=⨯⨯= (3)由正弦定理,可得72sin sin 3AC R B π===,所以外接圆面积为2493ππ⨯=. 24.(1)条件选择见解析,3C π=;(2)5BD =.【分析】(1)利用所选条件,应用正余弦定理的边角关系、三角形面积公式,化简条件等式,结合三角形内角的性质,求角C ;(2)由正余弦定理,结合诱导公式及两角和正弦公式求CD ,进而求BD 的长度. 【详解】 (1)若选①:∵cos sin b b C B +=,∴sin sin cos sin B B C C B +=,又sin 0B ≠,∴1cos C C +=,即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又0C π<<, ∴5666C πππ-<-<,即66C ππ-=,故3C π=. 若选②:∵()2cos cos b a C c A -=, ∴()2sin sin cos sin cos B A C C A -=,即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B C A C C A A C B =+=+=, 又sin 0B ≠,∴1cos 2C =,又0C π<<, ∴3C π=,若选③:由222ABCa b c S +-=,则有12cos sin 2ab C ab C =,∴tan C =0C π<<, ∴3C π=.(2)ABC 中,由余弦定理:22525cos 493AC AC π+-⋅⋅=,得8AC =或3AC =- (舍), 由21cos 7ADC ∠=,可得27sin ADC ∠=,△ACD 中,()()32112757sin sin sin 2CAD C ADC C ADC π∠=--∠=+∠=⋅+⋅=, 由正弦定理得:sin sin CD ACCAD ADC=∠∠,即5727=,解得10CD =,∴5BD CD BC =-=.【点睛】 关键点点睛:(1)根据所选条件,应用正余弦定理的边角关系、三角形性质求角; (2)利用正余弦定理及三角恒等变换求边长. 25.(1)5;(2)50. 【分析】(1)利用基本量代换,求出12d a =,直接求出公比; (2)裂项相消法求出n S ,解不等式即可. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项,得23113a a a =⋅,即()()2111212a d a a d +=⋅+,化简得2148d a d =.10,2d d a ≠∴=.设数列{}n b 的公比的公比为q ,则3111111245a a d a a q a a a ++====.(2)若11a =,则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭, 111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭ 111111111111233557212122121n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 由99200n S >,得9999,212002n n n >∴>+,故n 的最小值为50. 【点睛】(1)等差(比)数列问题解决的基本方法:基本量代换;(2)数列求和的方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.26.(1)n a n =,(1)2n n n S +=;(2)1242n n n T -+=-. 【分析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,结合55a =,515S =列出关于首项与公差的方程组,求出首项和公差,可得数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ; (2)先求得()11112n n b b n n n +=⋅≥+,得到n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是111b =为首项,12为公比的等比数列,可得数列{}n b 的通项公式:12n n nb -=,再用错位相减法可得数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】 (1)依题意,设数列{}n a 的公差为d因为53515S a ==,所以33a =,故35153a a d -==-. 故()33n a a n d n =+-=,(1)2n n n S += (2)依题意,112n n n n b a b a ++=,()11112n n b b n n n+=⋅≥+ 所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是111b =为首项,12为公比的等比数列,112n n b n -⎛⎫= ⎪⎝⎭,从而12n n nb -=01221123122222n n n n n T ---=+++⋅⋅⋅++ 123111*********n n n n n T --=+++++⋅⋅⋅ 12111112122121222222212n n n n n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--所以1242n n n T -+=-. 【点睛】 关键点点睛:本题考查的知识点是等差数列通项公式与求和公式、等比数列前n 项和公式、错位相减求和,综合性强,难度中档.“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:(1)掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的新数列);(2)相减时注意最后一项的符号;(3)求和时注意项数别出错;(4)最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.。
高中数学必修5期末试题
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数学必修5测试题一、选择题(每小题5分,共60分) 1.已知数列{a n }中,21=a ,*11()2n n a a n N +=+∈,则101a 的值为 ( ) A .49 B .50 C .51 D .522.在△ABC 中,若a = 2 ,b =,030A = , 则B 等于 ( )A .60B .60或 120C .30D .30或1503.在三角形ABC 中,如果()()3a b c b c a bc +++-=,那么A 等于 ( )A .030B .060C .0120D .01504.设{a n }是由正数组成的等比数列,且a 5a 6=81,log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是( )A .5B .10;C .20D .2或45.3 若不等式x +≤a(x+y) 对一切正数x 、y 恒成立,则正数a 的最小值为( )A 1;B 2 ;12; D 1; 6.已知等差数列{a n }的公差d≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( ) A .34 B .23 C .32 D .437.在⊿ABC 中,BCb c cos cos =,则此三角形为 ( )A . 直角三角形; B. 等腰直角三角形 C 。
等腰三角形 D. 等腰或直角三角形8.已知数列}{n a 的前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=+n S n n ,则312215S S S -+的值是( )A. -76B. 76C. 46D. 139.若 x>0,y>0, 且x+y=s,xy=p, 则下列命题中正确的是 ( )A 当且仅当x=y 时s 有最小值B 当且仅当 x=y 时p 有最大值24s ;C 当且仅当 p 为定值 时s 有最小值D 当且仅当 x=y 时 有最大值24s ;10.等差数列{a n }中,a 1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下10项的平均值是4,则抽取的是 ( )A .a 8B .a 9C .a 10D .a 1111.f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0,则a 的取值范围是 ( )A .a ≤0B .a <-4C .-<<40aD .-<≤40a 12.已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列,-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数列, 则b 2(a 2-a 1)=A.8B.-8C.±8 D,7二、填空题( 每小题5分,共20分 )13.已知等差数列{a n }满足56a a +=28,则其前10项之和为 .14.数列{}n a 满足12a =,112n n n a a --=,则n a = ▲ ; 15.两等差数列}{n a 和}{n b ,前n 项和分别为n n T S ,,且,327++=n n T S n n 则157202b b a a ++等于 。
(完整word版)数学必修五期末复习综合测试题
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期末复习综合自测题题1.在△ABC中,若a = 2 ,23b=,030A=, 则B等于A.60B.60或120C.30D.30或1502.在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x中,x等于()A.11 B.12 C.13 D.143.已知a,b为非零实数,且a<b,则下列命题成立的是()A. a2<b2B.ab2<a2bC.21ab<21a bD.ba<ab【源:4.三角形ABC中角C为钝角,则有()A.sin A>cos BB. sin A<cos BC. sin A=cos BD. sin A与cos B大小不确定5.在ABC∆中,若32sina b A=,则B等于()A.60B.30C.60或120D.30或1506.等差数列{a n}各项依次递减,且有a2a4a6=45, a2+a4+a6=15那么它的通项公式是()A.a n =2n-3 B.a n =-2n+3 C.a n =-2n+13 D.a n =-2n+117.已知等比数列{}na的公比13q=-,则13572468a a a aa a a a++++++等于( )A.13- B.3- C.13D.38.在数列{}na中,12a=,11ln(1)n na an+=++,则na=()A.2ln n+ B.2(1)lnn n+- C.2lnn n+ D.1lnn n++9.已知两个等差数列3,7,11,…,139与2,9,16,…,142,则它们所有公共项的个数为()A. 4 B.5 C.6 D.710.小正方形按照下图中的规律排列,每个图形中的小正方形的个数构成数列}{na有以下结论,①155=a;②}{na是一个等差数列;③数列}{na是一个等比数列;④数列}{na的递推公式),(11*+∈++=Nnnaann其中正确的是()A.①②④B.①③④ C.①② D.①④一、选择题:的取值范围是 . 12.在ABC ∆中, 若21cos ,3-==A a ,则ABC ∆的外接圆的半径为 _____. 13.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,222_________。
高中数学必修5期末测试题和答案解析
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WORD 格式 . 整理版期末测试题考试时间: 90 分钟试卷满分: 100 分一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分 . 在每小题的4 个选项中,只有一项是符合题目要求的 .1.在等差数列 3, 7, 11,⋯中,第 5 项为() .A . 15B . 18C . 19D . 23 2.数列 { a } 中,如果 an = = , , ,⋯ ) ,那么这个数列是 ( ) .n 3n( n 1 2 3A .公差为 2 的等差数列B .公差为 3 的等差数列 C .首项为 3 的等比数列D .首项为 1 的等比数列 3.等差数列 { a } 中, a + a = 8, a + a = 3,那么它的公差是 ( ) . n 2 6 3 4A . 4B .5 C .6 D .7 4.△ ABC 中,∠ A ,∠ B ,∠ C 所对的边分别为a ,b ,c .若 a =3, b = 4,∠ C =60°, 则 c 的值等于() . A . 5B . 13C . 13D . 37 5.数列 { an} 满足 a1= 1, an +1= 2an +1( n ∈ N +) ,那么a4 的值为 () . A . 4B .8 C . 15 D . 31 6.△ ABC 中,如果 a = b = c ,那么△ ABC 是 () .tan Atan B tanC A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰直角三角形D .钝角三角形7.如果 a > b >0, t > 0,设 M = a, N = at,那么 ( ).b b t A . M >NB . M < NC . M =ND . M 与 N 的大小关系随 t 的变化而变化8.如果 { an} 为递增数列,则 { an} 的通项公式可以为( ) .A . an =- 2n +3B . an =- n 2- 3n +1C. an =1D. an=1+ log 2nn29.如果<<0,那么( ) .a b优质 . 参考 .资料WORD 格式 . 整理版A. a-b>0B. ac< bc C.1>1D. a2< b2a b10.我们用以下程序框图来描述求解一元二次不等式ax2+ bx+ c>0( a> 0) 的过程.令a = 2,=4,若c∈(0 , 1) ,则输出的为( ) .bA. M B. N C. P D.开始输入 a, b, c计算=b2-4ac判断Δ≥ 0?是bx1计算2a否x2b2a否输出区间M=(- ∞, - b ) ∪( -b,+∞ )2 a 2a11.等差数列 { an} 中,已知a1=A. 50 B. 49判断 x1≠ x2?是输出区间N=(- ∞, x1)∪( x2,+∞)结束( 第 10 题)1, a2+a5= 4, an=33,则3C. 48输出区间P(- ∞, +∞ )n 的值为 ( ) .D. 47优质 . 参考 .资料WORD 格式 . 整理版12.设集合 A={( x,y)| x,y,1― x― y 是三角形的三边长} ,则 A 所表示的平面区域( 不含边界的阴影部分 ) 是 ( ) .y y y y0.50.50.50.5O0.5 x O0.5 x O0.5 x O0.5 xA B C D13.若 { an} 是等差数列,首项a1 >0, a4+ a5>0, a4· a5< 0,则使前 n 项和 Sn> 0 成立的最大自然数 n 的值为 ( ).A. 4 B. 5 C. 7 D. 814.已知数列{n} 的前n项和n= 2 9 ,第k项满足 5< k<8,则= ( ) .a S n - n a kA. 9 B. 8 C. 7 D. 6二、填空题:本大题共4 小题,每小题 4 分,共16 分.将答案填在题中横线上.15.已知 x 是 4 和16 的等差中项,则x=.16.一元二次不等式 x2<x+ 6 的解集为.17.函数 f ( x) = x(1 - x) , x∈ (0 ,1)的最大值为.18.在数列 { an} 中,其前 n 项和 Sn =3· 2n+ k,若数列 { an} 是等比数列,则常数k 的值为.三、解答题:本大题共3 小题,共 28分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .19.△ ABC中, BC= 7, AB= 3,且sin C=3.sin B 5(1) 求 AC的长;(2) 求∠ A的大小.优质 . 参考 .资料WORD 格式 . 整理版20.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为 4 800 立方米,深度为3 米.池底每平方米的造价为150 元,池壁每平方米的造价为120 元.设池底长方形的长为x 米.(1)求底面积,并用含 x 的表达式表示池壁面积;(2)怎样设计水池能使总造价最低 ?最低造价是多少 ?21.已知等差数列{ a } 的前n 项的和记为S .如果4=- 12,8=-4.n n(1)求数列 { an} 的通项公式;(2)求 S 的最小值及其相应的n 的值;n(3)从数列 { a } 中依次取出 a , a ,a , a ,⋯, a2n - 1,⋯,构成一个新的数列{ bn},求n 1248{ bn} 的前 n 项和.优质 . 参考 .资料WORD 格式 . 整理版参考答案一、选择题1. C 2. B 3. B 4. C 5. C 6. B7. A 8. D 9. C 10. B 11. A 12.A13. D 14. B二、填空题15. 10.16. ( - 2, 3) .17.1.418.- 3.三、解答题19.解: (1) 由正弦定理得AC = AB AB = sin C = 3 AC=53= 5.sin B sin C ACsin B53(2)由余弦定理得cos A= AB2AC 2BC 2=925 49=-1,所以∠ A= 120°.2 AB AC 23 5 220.解: (1) 设水池的底面积为S1,池壁面积为S2,则有 S1= 4 800= 1 600(平方米 ) .3池底长方形宽为 1 600 米,则xS2= 6x+ 6× 1 600=6( x+ 1 600 ) .x x(2)设总造价为 y,则y= 150× 1 600 + 120× 6 x+1600≥ 240 000 + 57 600 = 297 600 .x当且仅当 x= 1 600,即 x= 40 时取等号.x所以 x= 40 时,总造价最低为 297 600 元.答:当池底设计为边长40 米的正方形时,总造价最低,其值为297 600元.优质 . 参考 .资料WORD 格式 . 整理版21.解: (1) 设公差为 ,由题意, da 4=- 12, a 1 +3d =-12,a8=- 4a 1 +7d =- 4.d =2, 解得a 1=- 18.所以 an = 2n - 20.(2) 由数列 { an} 的通项公式可知,当 n ≤9 时, an < 0,当 n =10 时, an = 0,当 n ≥11 时, an > 0.所以当 n = 9 或 = 10 时,由 n =- 18 + ( - 1) = 2 - 19 得 n 取得最小值为9=10 n S n n n n n S S S=- 90.(3) 记数列 { bn} 的前 n 项和为 Tn ,由题意可知n -1n bn = a 2n 1 = 2× 2 - 20=2 - 20. 所以 Tn = b1+ b2+ b3+⋯+ bn= (2 1- 20) + (2 2-20) + (2 3- 20) +⋯+ (2 n- 20)= (2 1+ 22+ 23+⋯+ 2n) - 20n=2 2n 1- 20n1 2= 2n+1- 20n - 2.-- 优质 . 参考 .资料---。
必修五期末数学试卷

考试时间:120分钟满分:100分一、选择题(每题5分,共50分)1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$,则$f(x)$的对称中心为()。
A. $(1, -1)$B. $(2, -1)$C. $(1, 3)$D. $(2, 3)$2. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为$2$,公差为$d$,且$a_1 + a_2 + a_3 = 9$,则$d$的值为()。
A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$3. 下列命题中,正确的是()。
A. 若$ab = 0$,则$a = 0$或$b = 0$B. 若$a > b$,则$a^2 > b^2$C. 若$a > b$,则$\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$D. 若$a^2 = b^2$,则$a = b$或$a = -b$4. 在等比数列$\{a_n\}$中,若$a_1 = 2$,$q = \frac{1}{2}$,则$\{a_n\}$的前$5$项之和为()。
A. $2$B. $4$C. $8$D. $16$5. 已知函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴有两个不同的交点,则下列说法正确的是()。
A. $a > 0$,$b^2 - 4ac > 0$B. $a < 0$,$b^2 - 4ac > 0$C. $a > 0$,$b^2 - 4ac < 0$D. $a < 0$,$b^2 - 4ac < 0$二、填空题(每题5分,共25分)6. 设等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$,公差为$d$,则$a_1 + a_2 + a_3 +\ldots + a_{10} = \frac{10(a_1 + a_{10})}{2}$。
7. 若函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 1$处取得极小值,则$a > 0$且$b = 0$。
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期末测试题
考试时间:90分钟 试卷满分:100分
一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列3,7,11,…中,第5项为( ). A .15
B .18
C .19
D .23
2.数列{a n }中,如果n a =3n (n =1,2,3,…) ,那么这个数列是( ). A .公差为2的等差数列 B .公差为3的等差数列 C .首项为3的等比数列
D .首项为1的等比数列
3.等差数列{a n }中,a 2+a 6=8,a 3+a 4=3,那么它的公差是( ). A .4
B .5
C .6
D .7
4.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =3,b =4,∠C =60°,则c 的值等于( ).
A .5
B .13
C .13
D .37
5.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4
B .8
C .15
D .31
6.△ABC 中,如果A a tan =B b tan =C c
tan ,那么△ABC 是( ). A .直角三角形
B .等边三角形
C .等腰直角三角形
D .钝角三角形
7.如果a >b >0,t >0,设M =b a ,N =t
b t
a ++,那么( ). A .M >N
B .M <N
C .M =N
D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变
化
8.如果{a n }为递增数列,则{a n }的通项公式可以为( ). A .a n =-2n +3 B .a n =-n 2-3n +1 C .a n =
n
21
D .a n =1+log 2 n
9.如果a <b <0,那么( ). A .a -b >0
B .ac <bc
C .
a 1>b
1 D .a 2<b 2
10.我们用以下程序框图来描述求解一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a >0)的过程.令
a =2,
b =4,若
c ∈(0,1),则输出的为( ).
A .M
B .N
C .P
D .∅
开始
否
11.等差数列{a n }中,已知
a 1=3
1
,a 2+a 5=4,a n =33,则n 的值为( ).
A .50
B .49
C .48
D .47
是
(第10题)
12.设集合A={(x,y)|x,y,1―x―y是三角形的三边长},则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( ).
A B C D
13.若{a n}是等差数列,首项a1>0,a4+a5>0,a4·a5<0,则使前n项和S n>0成立的最大自然数n的值为( ).
A.4 B.5 C.7 D.8
14.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-9n,第k项满足5<a k<8,则k=( ).A.9 B.8 C.7 D.6
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上.
15.已知x是4和16的等差中项,则x=.
16.一元二次不等式x2<x+6的解集为.
17.函数f(x)=x(1-x),x∈(0,1)的最大值为.
18.在数列{a n}中,其前n项和S n=3·2n+k,若数列{a n}是等比数列,则常数k的值为.
三、解答题:本大题共3小题,共28分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.△ABC中,BC=7,AB=3,且
B
C
sin
sin=
5
3.
(1)求AC的长;
(2)求∠A的大小.
20.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为4 800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元.设池底长方形的长为x米.
(1)求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
21.已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n.如果a4=-12,a8=-4.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求S n的最小值及其相应的n的值;
(3)从数列{a n}中依次取出a1,a2,a4,a8,…,1
a,…,构成一个新的数列{b n},求
2n-
{b n}的前n项和.
参考答案
一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C
5.C
6.B 7.A
8.D
9.C
10.B 11.A
12.A
13.D 14.B
二、填空题 15.10.
16.(-2,3). 17.
4
1. 18.-3. 三、解答题
19.解:(1)由正弦定理得
B A
C sin =C AB sin ⇒AC AB =B C sin sin =53⇒AC =33
5⨯=5.
(2)由余弦定理得
cos A =AC AB BC AC AB ⋅-+2222=53249
259⨯⨯-+=-2
1,所以∠A =120°.
20.解:(1)设水池的底面积为S 1,池壁面积为S 2,则有S 1=3
800
4 =1 600(平方米).
池底长方形宽为x 600
1米,则
S 2=6x +6×x 6001=6(x +x
600
1).
(2)设总造价为y ,则
y =150×1 600+120×6⎪⎭
⎫
⎝⎛x x 600 1+≥240 000+57 600=297 600.
当且仅当x =x
600
1,即x =40时取等号.
所以x=40时,总造价最低为297 600元.
答:当池底设计为边长40米的正方形时,总造价最低,其值为297 600元.
21.解:(1)设公差为d ,由题意,
⎩⎨⎧ ⇔ ⎩
⎨⎧ 解得⎩⎨⎧
所以a n =2n -20.
(2)由数列{a n }的通项公式可知, 当n ≤9时,a n <0, 当n =10时,a n =0, 当n ≥11时,a n >0.
所以当n =9或n =10时,由S n =-18n +n (n -1)=n 2-19n 得S n 取得最小值为S 9
=S 10=-90.
(3)记数列{b n }的前n 项和为T n ,由题意可知
b n =12-n a =2×2n -1-20=2n -20.
所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n
=(21-20)+(22-20)+(23-20)+…+(2n -20) =(21+22+23+…+2n )-20n
=2
1221--+n -20n
=2n +1-20n -2.
a 4=-12, a 8=-4 a 1+3d =-12, a 1+7d =-4. d =2,
a 1=-18.。