必修四_平面向量知识点梳理 ppt课件

例 2. 已知平行四边O形 ADB中， OAa,OBb，
AB与OD交于C.且| BM| 1| BC|， 3
| CN| 1| CD|，用a、b表示OM，ON，MN.
一、平面向量概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
一、平面向量概念
a AB x1x22y1y22
一、平面向量概念
1.向量的加法运算 三角形法则
平行四边形法则
CB
C
AB+BC= AC
OA+OB= OC
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
① 当a，b不共线时，由三角边形小一于 其他两边之和，大他于两其边之差O，
a
b
A
O AAB OB O AABab abab
② 若 a， b同 向O ， B O 则 A AB 若 a， b反向O ， BO 则 AAB
a 、 b 共a 线 b a 时 b 或 a ， b a b
综上所述：原命题成立
a1e12e2
(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义：a b | a| | b| cos
2、数量积的几何意义：
等 于 a 的 长 度 | a | 与 b 在 a 方 向 上 的 投 影 | b | c o s 的 乘 积 .
3、数量积的坐标运算
B
abx1x2y1y2
θ
4、运算律: （1） abba O
向 量 几何表示 : 有向线段
的 表
字母表示 :a、 AB等
示 坐标表示 : (x，y)
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
一、平面向量概念
向量的模（长度）
1. 设 a = ( x , y ), 则 a
x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
(2)aba•bx1x2y1y20
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的
坐标相等.
即那:么aa (xb 1 ,y 1)x ,1 bx 2 且 (x2y ,1 y2 )y 2
三、平面向量的基本定理
如果 e1 , e 2是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量a ，有且只有一对实数1,2,使
一、平面向量概念
2.向量的减法运算
B
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
A
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3.加法减法运算律
1）交换律： a+b=b+a 2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
练习
C
O
D
`
120o
b
B a
A
解：以AB、AD为邻边作平行四边AB形CD，
由于| AD|| AB|3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC a
b，DB
ห้องสมุดไป่ตู้
a
b
C
故|
AC||
a
b
|，| DB||
a
b|
D
因为 DAB12O0，所以 DAC60O
O
12`0o b
A
B a
所以 AD是 C 正三角|形 AC|， 3则
4cosab x1x2y1y2
ab x12y12 x22y22 (a, b是两个非零向量 )
5ab a b
例 1 .证明 a 、 b 对 有 a 任 ： ba 意 bab
证明:(1)若a， b有一个0,为 结论显然成立。B
(2 )若 a ， b 都0 不 ,作 O为 A a ,A B b ,则OBab
B
A
（ 2 ）（ a ） b（ ab ） a（ b ） 1
（ 3）a（ b） cacbc
5、数量积的主要性质及其坐标表示：
1 a b a b 0 x 1 x 2 y 1 y 2 0 2.当a//b时a， bab，当 a， b同向时
ab，当 a， b反向时
2
(3 )aaa,aaax1 2y1 2
由 于 菱 形 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 , 所 以 A O D 是 直 角 三 角 形 ，
|O D | |A D |sin6 0o3333 所 |a b | 3 ， 以 |a b | 23 3 2
return
一、平面向量概念 4.实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个 向量.
填空：
A B B D _ _ A_ D_ _ ;
B A B C _ _ C_ _A_ _ ;
B C C A _ _ B_ A_ _ _ ;
O D O A _ _A_ D_ _ _ ; O A O B _ _ B_ A_ _ _ .
练 习 、 如 图 ,已 知 向 量 A B a ,A D b ， D A B 1 2 0 o ， 且 |a | |b | 3 ， 求 |a b |和 |a b |
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
= (λ x , λ y)
一、平面向量概念
定理1:两个非零向量 a与 b平行 (方向相同或相反)
存在唯一实数，使得 a b .
结论: 设 a表示与非零向量 a同向的单位向量.
则
a
a
|a|
二、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1)a//b(b0)ab;
(2)a//b(a(x1,y1),b(x2,y2),b0) x1y2x2y1 0
向量垂直充要条件的两种形式:
(1)aba•b0
必修四 平面向量
知识点梳理
知 识
向量的概念
零向量、单位向量、 共线向量、相等向量
解决
网
图形
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平 面
加法、减法
向量平行的充要条件
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向 量
数乘向量
平面向量基本定理
问题 的
初
向 量
坐标表示
两向量的夹角公式
解决 步 图形 应
的垂 用
两向量数量积
向量垂直的充要条件 直和 角度,
两点的距离公式
长度 问题