平面向量线性运算的坐标表示PPT演示文稿
合集下载
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量的坐标表示ppt课件
成 xi 与 y j 。由向量加法的平行四边形法则可
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
7
我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫 做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
16
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x x 41 0 x 2;
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
23
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
7
我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫 做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
16
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
（1） a // b ；
（2） a 与 b 方向相同？
解：（1）a // b x x 41 0 x 2;
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
23
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
【】《平面向量的坐标表示》-完整版PPT课件
1、平面向量的坐标表示与平面向量分解定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量 →a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→a 1 和 λ2→a2 使得→a =λ1→a 1 +λ2→a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
（－1，3）、（3，4），求顶个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶 点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且知道 AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB坐标。
∴ a=(2,3)
同理，b=-2i+3j=(-2,3) c=-2i-3j=(-2,-3)
c
d=2i-3j=(2,-3)
d
已知
→a=(x1
,y1
)，
→
b=(x 2
,y2
)
你能得出 →a+→b ，→a -→b ，λ→a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
B(x2,y2) x
= (x2,y2) - (x1,y1)
= (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为(x2 - x1,y2 - y1)的P
点吗？
y A(x1,y1)
O
B(x2,y2)
x
P
例1 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求a+b， a－b，3a+4b
例2 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
平面向量的概念及线性运算(课堂PPT)
3
动脑思考 探索新知
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量 做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等． 既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）， 如力、速度、位移等．
向量的大小叫做向量的模．向量a, A B 的模依次记作 a ， A B ．
模为零的向量叫做零向量．记作0， 零向量的方向是不确定的．
O A O B O A ( O B ) = O A B O B O O A B A ．
即
O A O BB A ． （7．2）
观察图可以得到：起点相同的
a－b
A
两个向量a、 b，其差a − b仍然是一
B
个向量，其起点是减向量b的终点，
b
a
终点是被减向量a的终点．
O
21
巩固知识 典型例题
生活中的一些问题．
作业
32
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
16
巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
模为1的向量叫做单位向量．
B a A
4
巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向 线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不
同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向线段表示分别
平面向量的线性运算课件
A
2b
a
b
b
a
O
[类似题]已知非零向量e1和e2不共线，如果 AB e1 e2 ,
BC 2e1 8e2 ,CD 3 e1 e2 , 证明：ABD三点共线.
2.[逆向使用]已知非零向量e1和e2不共线，欲使ke1 e2和
e1 ke2共线，确定实数k的值.
3.[课本例题 ]如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，且 AB a, AD b，用a, b表示MA, MB, MC , MD.
完毕课本84页练习
平面对量旳线性运算
——向量旳减法运算
预备知识：相反向量
类比实数旳相反数旳概率，定义相反向量：
与a长度相等，方向相反旳向量， 叫做a旳相反向
量，记作-a ; -a与a互为相反向量
要求：零向量旳相反向量仍是零向量
所以: 1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；
3、
a=-b，b=-a，a+b=0
1.已知a,
b是两个非零向量,下列说法正确的有
概念辨析
_____ .
(1) 2a的方向与5a的方向相反，且 2a的模是5a的模的 2 ； 5
(2)a b与（b a）是一对相反向量；
(3)若a, b不共线，则 a( 0)与b不共线；
2.下列说法正确的个数是 _______
(1)若 a 0，则 0；(2)若 0，则 a 0；
探究：
问题：已知OA和OB不共线，AC t AB(t R), 试用OA和OB表示OC .
特例：对于OC (1 t)OA tOB,当t 1 时，你知道其几何意义 吗？ 2
中点公式向量表示法： C为AB中点，则OC OA OB 2
向量线性运算的坐标表示PPT课件
x1y2 x2 y1 0 由此得到，对非零向量a、 b，设 a (x1, y1),b (x2, y2 ),
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0． （7．9）
交叉相乘差为零
巩固知识 典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
创设情境 兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
当 0时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
运用知பைடு நூலகம் 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
(1)a＋b=(-1,4)、 a－b=(-3,2)、−2 a＋3 b=(7,-3) (2)a＋b=(-3,-3)、 a－b=(5,3)、−2 a＋3 b=(-14,-9) (3)a＋b=(2,2)、 a－b=(-4,2)、−2 a＋3 b=(11,-4)
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
当 0 时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0． （7．9）
交叉相乘差为零
巩固知识 典型例题
例4 设 a (1,3),b (2,，6)判断向量a、 b是否共线．
创设情境 兴趣导入
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a、b，当
0 时，有
a ∥b a b
如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？
动脑思考 探索新知
设 a (x1, y1),b (x2, y2 ), 由 a b ，有 x1 x2 , y1 y2 , 于是 x1 y2 x2 y1 ，即
当 0时，有
a ∥ b x1y2 x2 y1 0．
运用知பைடு நூலகம் 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a－b、−2 a＋3 b的坐标． （1） a＝(−2,3)， b=(1,1)； （2） a＝(1,0)， b=(−4,−3)； （3） a＝(−1,2)， b=(3,0)．
(1)a＋b=(-1,4)、 a－b=(-3,2)、−2 a＋3 b=(7,-3) (2)a＋b=(-3,-3)、 a－b=(5,3)、−2 a＋3 b=(-14,-9) (3)a＋b=(2,2)、 a－b=(-4,2)、−2 a＋3 b=(11,-4)
巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1, −2), b＝(−2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) －3 a，
(3) 3 a－2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, −2)＋(−2,3)＝(−1,1)
(2) −3 a＝−3 (1, −2)＝(−3,6)
第二节 平面向量基本定理及坐标运算 课件(共102张PPT)
( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.
平面向量线性运算的坐标表示_课件
(2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线． 解：∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0.∴k＝±1.
[类题通法]
(2)由题意
uuur DE
＝
uuur DB
＋
uuur BE
＝12
uuur AB
＋23
uuur BC
＝12
uuur AB
＋23
(
uuur BA＋
uuur AC
)＝－16 uAuBur ＋23
uuur AC
，
[所答以案λ]1＝(1－)D16，λ(22＝)1223，即 λ1＋λ2＝12.
注意三角形法 则的应用！
平面向量的概念及其线性运算
1．向量的有关概念
名称
定义
向量 零向量
既有 大小 又有 方向的量叫做向量，向量的大小叫 做向量的 长度(或称 模 )
长度为零的向量叫做零向量，其方向是 任意的，零 向量记作_0__
单位向量 长度等于 1 个单位的向量
表示两个向量的有向线段所在的直线 平行 或_重__合_， 平行向量 则这两个向量叫做平行向量，平行向量又叫 共线向
λ(μ a)＝
(λμ) a；
(λ＋μ)a＝
λa＋μa ；
λ(a＋b)＝
_λ_a_＋__λ_b____
3．共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数
λ，使得 b＝λa .
易误点
1．作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
平面向量的坐标表示和运算PPT文档共17页
（2）求 a 的单位向量a 0 解：因为 2a(6,4),
所以 2 a b 6 1 , 4 2 7 , 6
因为 a=32+（ -2） 2
a0=1a=1（ 3 ， - 2） （ 31 3 ， 21 3 ）
a 1 3
1 3 1 3
小结
1. 把有序实数对x,y叫做位置向量OA的坐标，记为：
a b (x 1 ,y 1) (x2,y2)(x 1x2,y 1y2)
a (x1,y1)(x1,y1)
• 作业：
•
基训A组1,2,3
谢谢指导
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
平面向量的坐标表示和运算
y
M(x, y)
O
x上课班级： 授课：
2012.5.22
自由向量的坐标表示：
以 A(为x1,起y1)点, 为B终(x2点, y的2)向量 2 y 1 ) y
|A B | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2
一个向量的坐标等于表示此向量的
A
o 有向线段的终点的坐标减去始点的
坐标．
B
x
例一：已知点P(1，-2)，点Q（3，-1）试写 P Q 出向量的坐标， P Q 的大小
解： P Q =(x2 x1,y2 y1)
=31,-1-2=2,1
P Q (x2x1)2(y2y1)2 = 2212 5
练习
例二.如图, 平面上三点A, B, C的坐标分别为
所以 2 a b 6 1 , 4 2 7 , 6
因为 a=32+（ -2） 2
a0=1a=1（ 3 ， - 2） （ 31 3 ， 21 3 ）
a 1 3
1 3 1 3
小结
1. 把有序实数对x,y叫做位置向量OA的坐标，记为：
a b (x 1 ,y 1) (x2,y2)(x 1x2,y 1y2)
a (x1,y1)(x1,y1)
• 作业：
•
基训A组1,2,3
谢谢指导
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
平面向量的坐标表示和运算
y
M(x, y)
O
x上课班级： 授课：
2012.5.22
自由向量的坐标表示：
以 A(为x1,起y1)点, 为B终(x2点, y的2)向量 2 y 1 ) y
|A B | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2
一个向量的坐标等于表示此向量的
A
o 有向线段的终点的坐标减去始点的
坐标．
B
x
例一：已知点P(1，-2)，点Q（3，-1）试写 P Q 出向量的坐标， P Q 的大小
解： P Q =(x2 x1,y2 y1)
=31,-1-2=2,1
P Q (x2x1)2(y2y1)2 = 2212 5
练习
例二.如图, 平面上三点A, B, C的坐标分别为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是 共线向量如何用坐标来表 非零向量 ,呢？ a= λb 这个结论如果用坐标表示，可写为 （x1，y1）= λ(x2，y2) 即 x1= λx2 y1= λy2
问题：
消去λ后得
x1y2-x2y1=0
也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0
练习：下列向量组中，能作为表示它 们所在平面内所有向量的基底，正确 的有（ ）
（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 ) （3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )
例5、已知 a=（4，2）， b=（6，y）， 且 a//b ，求 y 的值。
例6、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2， 5），判断A、B、C三点的位置关系。
C B A
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
a=xi+yj
y yj
→ → a
j
O → i xi
图 1
我们把（x,y)叫做向量a 的 （直角）坐标，记作 a=(x，y), 其中x叫做a 在x轴上的坐标， x y叫做a在y轴上的坐标，（x ,y） 叫做向量的坐标表示。
a j O i x
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
的坐标。因此，在平面直角坐标 系内，每一个平面向量都可以用 一对实数唯一表示。
例1 如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、 d ,并求出它们的坐标。
y b A i d A2 解：由图3可知a=AA1+AA2=2i+3j, ∴ a=(2,3)
a
1、平面向量的坐标表示与平面向量分 解定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的运算有何特点？
类似地，由平面向量的分解定理，对于平面上的
任意向量
和 λ→ a
2 2
→
a1 a ，均可以分解为不共线的两个向量 λ1→
→
→ → a 使得 a =λ λ + 1 1 2 a2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
A1 x
同理，b=-2i+3j=(-2,3)
c=-2i-3j=(-2,-3)
j O c
d=2i-3j=(2,-3)
已知
→
a=(x1 ,y1 ) ， b=(x 2 ,y2 )
→ →
→
你能得出
a+b
，a b
→ →
→ ， λ a
的坐标吗？
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j 即 a+b=(x1+x2,y1+y2) 同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
结论： 一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始点的 坐标。
y
A(x1,y1)
如图，已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则 AB= OB - OA
B(x2,y2) x
O
= (x2,y2) - (x1,y1) = (x2-x1,y2-y1)
你能在图中标出坐标为 (x2 - x1 ,y2 - y1 ) 的P点吗？
y A(x1,y1) B(x2,y2) O x
P
已知a=(x,y)和实数λ，那么 λ a= λ(x, y) 即 λa=(λx, λy)
这就是说，实数与向量的积的坐
标等用这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
例2 已知a＝（2，1），b＝（－3， 4），求a+b，a－b，3a+4b
例3 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、 （－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标
例4 已知平行四边形ABCD的三个定点A、 B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1， 3）、（3，4），求顶点D的坐标
平行四边形ABCD的对角线交于点O,且 知道AD=（3，7）， AB=（-2，1），求OB 坐标。
→ →
i= （1，0） j= （0，1） 0= （0，0）
→ → 其中i，j为向量 i，j
→
y yj a x
j O i xi
图 1
→ → 其中xi为x i，yj为y j
如图，在直角坐标平面内，以原 点O为起点作OA=a，则点A的位 y y A（x,y） 置由a唯一确定。 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来， x