动态规划0-1背包和资源分配

（2）状态：各阶段开始时的客观条件叫做状态，描述各阶段的 变量叫做状态变量，常用Sk表示第k阶段的状态变量，状态变量 Sk的取值集合称为状态集合，用Sk表示。 （3）决策：当各段的状态确定以后，就可以做出不同的选择， 从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策，表示决策的变 量叫做决策变量，常用Uk表示第k阶段状态为Sk时的决策变量。 在实际问题中，决策变量的取值往往限制在一定范围内，称此 范围为允许决策集合，常用 Dk(Sk) 表示第 k 阶段从状态 sk 出发的 允许决策集合，显然有“Uk∈Dk(Sk)．
0-1背包问题MATLAB实现结果
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动态规划应用之资源分配问题
发电机组分配问题
问题描述：现有5套发电机组分配给甲乙丙三个发电厂， 各个发电厂利润与发电机组数量之间的关系如下表所示， 请问如何分配可使3个发电厂的总利润最大化？
动态规划的基本组成
（1）阶段：将所给问题的过程，按照时间或空间特征分解成若 干相互联系的阶段，以便于按次序求解最有阶段的解，每个阶 段就是一个子问题，常用字母K表示阶段变量
0-1背包问题实例详解
有5个物品，其重量分别是{2,2,6,5,4}，价值分别为{6,3,5,4,6}， 背包的容量为10.
0-1背包问题判断下一个物品是放还是不放；不放时： M ( i , v )= M ( i-1 , C ) ；放时：M ( i , v ) = max{M ( i-1 , C ) , M ( i-1 , C – W(i) + V(i)}
二、动态规划的设计思想
动态规划法将求解问题分解成若干个相互重 叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一 个阶段。一般来说，子问题的重叠关系表现 在对给定问题求解的递推关系（也就是动态 规划函数）中，将子问题的解求解一次并填 入表中，当需要再次求解此子问题时，就可 以通过查表获得该子问题的解而不用再次求 解，从而避免了大量重复计算。为了达到这 个目的，可以用一个表来记录所有已解决的 子问题的解，这就是动态规法的设计思想。 具体的动态规划法是多种多样的，但是他们 具有相同的填表形式。
动态规划的应用
动态规划问世以来，在经济 管理、生产调度、工程技术和 最优控制等方面得到了广泛的 应用。例如最短路线、库存管 理、资源分配、设备更新、排 序、装载等问题。
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动态规划最优化原理
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作为整个过程最优策略具有这样 的性质：无论过去的状态和决策 如何，对前面的决策所形成的的 状态而言，余下的决策必须构成 最优策略
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动态规划在电网上的应用
电力项目投资、发电机组负荷优 化以提高经济性、供电系统无功 优化、配电网电压无功来自百度文库制、配 电网开关优化配置等方面有着广 泛的应用
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动态规划原理之0-1背包问题
0-1背包问题
问题描述： 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi， 背包的容量为c。请问如何选择装入背包中的物品，使 得装入背包中物品的总价值最大？
对于0-1背包问题，每种物品i都只有一件，可以选 择装入或者是不装入背包。不能将物品i装入背包 多次，也不能只装入部分。
动态规划的基本组成
（6）指标函数 用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数．一个n阶段 决策过程，从 1 到 n 叫作问题的原过程．对于任意一个给定的 k(1≤k≤n)，从第k阶段到第n阶段的过程称为原过程的一个后部子 过程。 V1,n(s1,p1,n) 表示初始状态为 s1 采用策略 p1,n 时原过程的 指标函数值。而Vk,n(sk,pk,n)表示在第k阶段，状态为sk采用策略 pk,n 时后部子过程的指标函数值．最优指标函数记为 fk(sk) ，它 表示从第 k 阶段状态 sk 采用最优策略 pk,n 到过程终止时的最佳效 益值．fk(sk)与Vk,n(sk,pk,n)间的关系为： fk(sk)=Vk,n(sk,pk,n)=optimize Vk,n(sk,pk,n) 当 k=1 时， f1(s1) 就是从初始状态 s1 到全过程结束的整体最优函 数．
发电机组分配问题
综上可知，基本方程为
同时可知： s1={5} s2={0,1,2,3,4,5} s3={0,1,2,3,4,5}
发电机组分配问题
发电机组分配问题
发电机组分配问题
MATLAB实现结果
第一阶段，Sk=5，Uk=2，Vk=7 第二阶段，Sk=3，Uk=2，Vk=10 第三阶段，Sk=1，Uk=1，Vk=4 Vk（max）=7+10+4=21
0-1背包问题基本思路
0-1 背包问题，特点就是：每种物品仅有一件，可 以选择放或者是不放，其状态转移方程就是： M ( i , v ) = max{第i件物品不放入背包,第i件物品放 入背包} M ( i , v ) = max{M ( i-1 , C ) , M ( i-1 , C – W(i) + V(i)} 用子问题定义状态：即M ( i , v )表示前i件物品恰好 放入一个容量为C的背包可以获得的最大价值。 M ( i , v ) = max{(不放入物品i)将前i-1件物品放入容 量为 C的背包中的最大价值， ( 放入物品i) 将前 i-1件 物品放入容量为C-W(i)的背包中的最大价值+V(i)}
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结果讨论
结果讨论
动态规划优缺点
1、由于约束条件确定的约束集 合往往很复杂，即使指标函数较 简单，也很难求出全局解，而动 态规划可以把全过程化为一系列 结构显示的子问题，变量大大减 少，约束集合变简单，易于得到 全局最优解。 2、实际问题往往是动态的，而 动态规划方法反映了过程逐段演 变的前后联系和动态特征，在计 算中可以利用实际知识和经验提 高求解效率。
动态规划
张起 控制工程
动态规划
动态规划的基本概念 动态规划原理值0-1背包问题 发电厂设备分配问题 结果讨论
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动态规划的基本概念
一、什么是动态规划？
动态规划是运筹学的重要分支之一，是解 决多阶段决策过程最优化的一种方法。 对于一个多阶段决策过程，可以根据问题 的特点，把整个过程分为几个相互联系的 阶段，各个阶段采取的决策，一般来说是 与时间有关的，决策依赖于当前状态，又 随即引起状态的变化，故有“动态”的含 义，称这种解决多阶段决策最优化问题的 方法为动态规划方法。
1、动态规划没有同意的模型， 也没有构造模型的通用方法，甚 至还没有判断一个问题能否构造 动态规划模型的准则，因此只能 凭借经验具体分析，这也带来了 应用上的局限性。 2、用数值方法求解时，对于状 态变量取值的n维问题，对每个 状态都要计算，就存在维数灾问 题，动态规划对于这一类问题是 无效的
结果讨论
发电机组分配问题
问题描述：现有5套发电机组分配给甲乙丙三个发电厂， 各个发电厂利润与发电机组数量之间的关系如下表所示， 请问如何分配可使3个发电厂的总利润最大化？ 建立动态规划的数学模型 1、阶段K：按发电厂划分阶段，k=1,2,3（分别代表甲乙 丙发电厂） 2、状态变量Sk：表示可用于分配给第k个发电厂的发电机 组的数量 3、决策变量Uk：表示分配给第k阶段（发电厂）的发电 机组数量 4、状态转移Tk：Sk+1=Sk-Uk 5、阶段指标Vk：第k阶段的指标函数，表示分配给第k个 发电厂Uk台设备所获的利益
二、动态规划的实质——记忆化搜索
最优化子结构性质：若问题的最优解所包含 的子问题的解也是最优的，则称该问题具有 最优子结构的性质（即满足最优化原理） 能用动态规划解决的求最优解问题，必须满 足最优解的每个局部也都是最优的
子问题重叠性质：在用递归算法对问题进行 求解时，每次产生的子问题并不总是新问题， 有些子问题可能被重复计算多次，动态规划 算法利用此性质，对每个子问题只计算一次， 然后将其结果保存起来以便高效利用。
动态规划的基本组成
（4）策略：一个由每个阶段的决策所组成的集合称为策略，用P 表示，即 P(s1)={u1(s1),u2(s2),……,un(sn)}一个 n阶段决策过程，从 1 到 n 叫作问题的原过程．对于任意给定的 k(1≤k≤n) ，从第 k 阶段 状 态 sk 到 第 n 阶 段 状 态 sn 的 过 程 称 为 原 过 程 的 一 个 后 部 子 过 程．后部子过程的策略记为 pk(sk)={uk(sk),uk+1(sk+1),......,un(sn)} ， 在实际问题中，可供选择的策略有一定的范围，此范围成为允许 策略集合。允许策略集合中达到最优效果的策略成为最优策略. (5) 状态转移：动态规划中本阶段往往是上一阶段状态和上一阶 段的决策进行综合的结果．如果给定了第 k段的状态 sk，且该阶 段决策为uk(sk)，则第k+1段的状态sk+1也就完全确定．它们的关 系可表示为：sk+1=Tk(sk,uk) 由于上式表示了由k阶段到k+1阶段的状态转移规律，所以称该式 为状态转移方程