高一数学集合11
高一数学专题11函数的概念与性质章末复习
(2)已知f(x)＝x－x a(x≠a)． ①若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； ②若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． [解] ①证明：∀x1<x2<－2， 则f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝x12＋x21－xx2＋2 2. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
第3章 函数的概念与性质
知 识 体 系 构 建
[核心素养培优]
一、数学运算 在本章中数学运算主要体现在函数的定
义域和值域求法、函数解析式的求法问题中.
函数的定义域
[例 1] (1)函数 f(x)＝ 31x－2 x＋(3x－1)0 的定义域是 (
)
A．－∞，13
B．13，1
C．－13，13
D．－∞，13∪13，1
(2)对于函数f(x)＝x2－2|x|.
①判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
②画此函数的图象，并指出单调区间和最小值． [解] ①函数的定义域为 R ，关于原点对称， f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|.则 f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)是偶函数．图象关于 y 轴对称． ②f(x)＝x2－2|x|＝xx22－＋22xx＝＝xx－＋1122－－11，，xx≥<00. ， 画出图象如图所示，根据图象知， 函数 f(x)的最小值是－1.单调递增区间 是[－1,0]，[1，＋∞)；单调递减区间是(－ ∞，－1]，[0,1]．
[例3] 已知函数f(x)的值域是 14，4 ，求g(x)＝f(x)－2 fx 的值域．
人教版高一数学必修11函数的奇偶性课件牛老师
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 例它如们，的函图数象分f (别x)如 下x2 图1(,1f)(、x)(2)x所22示1. 都是偶 函数，
观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发 现两个函数图象有什么共同特征吗？
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时 我们称函数y=x为奇函数.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
点对称，那么就称这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，
那么就称这个函数为偶函数.
说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性
例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图 象如下图，画出在y轴左边的图象.
4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我 们就说函数f(x)具有奇偶性.
例5、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(2) f ( x) x5
(3) f ( x) x 1 x
(4)
f
( x)
1 x2
3.用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
1.3集合的基本运算11题型分类(学生版)2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教A版必修第一册)
1.3 集合的基本运算11题型分类一、并集【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．二、交集【特别提醒】交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。
三、全集1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．2.记法：全集通常记作U.【思考】全集一定是实数集R吗？全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.四、补集自然语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言【特别提醒】(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A 为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(3)符号∁U A有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②ACU 表示一个集合，且(ACU)⊆U；③ACU 是U中不属于A的所有元素组成的集合，即ACU＝{x|x∈U，且x∉A}．(4)若x ∈U ，则x ∈A 或x ∈A C U ，二者必居其一．五、运算律(1) 交换律 A⋃B =B⋃A ，A⋂B =B⋂A ；(2) 结合律 (A⋃B )⋃C =A⋃(B⋃C)，(A⋂B )⋂C =A⋂(B⋂C)；(3) 分配律 (A⋂B )⋃C =(A⋂C)⋃(B⋂C)，(A⋃B )⋂C =(A⋂C)⋃(B⋂C)；(4) 德摩根律 ∁U (A ⋃B )=(∁U A)⋂(∁U B)，∁U (A ⋂B )=(∁U A)⋃(∁U B).（一）并集的运算1、求集合并集的方法(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn 图写并集．(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．2、集合并集运算应注意：(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解．(2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个．(3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．题型1：求两个集合的并集1-1．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知集合{}0,1,2A =，{}1,0B =-，则A B =U （ ）A ．{}1,1,2-B ．{}0,1,2C ．{}1,0-D ．{}1,0,1,2-1-2．（2024高一下·浙江·期中）设集合{}13A x x =-££，{}04B x x =<<，则A B =U （ ）A ．[]1,3-B ．(),4-¥C ．(]0,3D ．[)1,4-1-3．（2024·北京顺义·一模）已知集合{}22A x x =-<<，{}03B x x =<£，则A B =U （ ）A ．{}23x x -<£B ．{}02x x <<C ．{}20x x -<£D ．{}23x x <<题型2：利用并集运算求参数2-1．（2024高二下·江西景德镇·期中）设集合{}37M x x =-<<，{}221,R N x t x t t =-<<+Î，若M N M È=，则实数t 的取值范围为（ ）A ．13t £B ．133t <<C ．3t ≤D ．3t ³2-2．（2024高三·全国·课后作业）已知集合{}27A x x =-££，{}121B x m x m =+££-，且A B A =U ，则实数m 的取值范围是 ．2-3．（2024高一上·山西晋中·阶段练习）已知{1A =-，2}，{|10}B x mx =+=，若A B A =U ，则实数m 的取值所成的集合是( )A ．11,2ìü-íýîþB ．1,12ìü-íýîþC ．11,0,2ìü-íýîþD ．1,0,12ìü-íýîþ（二）交集的运算1、求两个集合的交集的方法(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍． 2、求集合A∩B 的步骤：(1)搞清集合A ，B 的代表元素是什么；(2)把所求交集的集合用集合符号表示出来；(3)把集合A ，B 的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅)题型3：求两个集合的交集3-1．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知集合()(){}2210A x x x =-+£，{}1B x x =＜，则A B =I （ ）A ．112x x ìü-££íýîþB ．112x x ìü-£íýîþ＜（三）补集的基本运算求集合补集的基本方法及处理技巧(1)基本方法：定义法．(2)两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．题型5：求两个集合的补集5-1．（2024高一·全国·专题练习）设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}21A x U x =Î-<，则U A =ð（ ）A ．{}13x x <<B ．{}13x x <£C ．{}2D ．{}0,1,3,45-2．（2024高二下·贵州·阶段练习）已知集合{}25A x x =££，{}34B x x =£<，则A B =ð（ ）A ．{}2,4,5B ．{23x x £<或}45x ££C ．{23x x ££或}45x ££D ．{23x x £<或}45x <£5-3．（2024·安徽合肥·一模）设集合1,Z 24n M x x n ìü==+Îíýîþ，,Z 4n N x x n ìü==Îíýîþ，则N M =ð（ ）A ．ÆB ．,Z 2n x x n ìü=ÎíýîþC ．3,Z 4n x x n ìü=ÎíýîþD ．{}2,Z x x n n =Î5-4．（2024高三上·海南·期末）设全集{|||3}U x x =Î<Z ，集合3{|0}=-=A x x x ，则U A =ð（ ）A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,3-C ．{}2,2-D ．{}3,2,2,3--题型6：利用补集运算求参数6-1．（2024高二下·山东滨州·阶段练习）设集合{1,3,5,7}A =，{2,4,6,8}U A =ð，{1,2,3,4}UB =ð，则集合B ＝ ．6-2．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）设全集{}22,4,U a =，集合{}4,2A a =+，{}U A a =ð，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．-1C ．2D ．0或26-3．（2024·河南驻马店·一模）已知全集{|15},{|1}U x x A x x a =££=£<，若{|25}U A x x =££ð，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（四）集合交、并、补集的综合运算1、解决集合交、并、补运算的技巧（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn 图来求解.（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2、涉及“B ⊆A”或“B A 且A≠∅”的问题，一定要分B ＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B ＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到.题型7：利用集合的交并补运算求集合7-1．（2024·天津南开·二模）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,2A =-，{}0,1B =，则()()U U A B Ç=ðð（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{}1,1,2,3-D ．{}1,0,1,2-7-2．（2024·天津南开）已知集合{}37A x x =£<，{}210B x x =<<，求R ()A B Èð，R ()A B I ð，(∁R A )∩B ，()R A B U ð.7-3．（2024·天津）设集合{N |08}U x x =Î<£，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则()U S T =I ðA ．{1,2,4}B ．{1,2,3,4,5,7}C ．{1,2}D ．{1,2,4,5,6,8}题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围8-1．（2024高一·全国·专题练习）已知集合{}1A x a x a =<<+，{}20B x x =-££.(1)若1a =，求A B U ；(2)已知()B A =ÆR I ð，求实数a 的取值范围.8-2．（2024高三上·山西·阶段练习）设集合{2A xx =<∣或{}4},1x B x a x a ³=££+∣，若()A B =ÆR I ð，则a 的取值范围是（ ）A ．1a £或4a >B ．1a <或4a ³C ．1a <D ．4a >8-3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合11{|}A x a x a =-££+，5|03x B x x -ìü=£íý+îþ.(1)若3a =-，求A B U ；(2)已知()R R B A È=ð，求实数a 的取值范围.（五）Venn 图的应用及集合的新定义问题1、韦恩图的应用韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．2、集合新定义问题的求解思路(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．题型9：韦恩图的应用9-1．（2024高一上·四川泸州·期末）设全集U 及集合M 与N ，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）A ．M NÇB ．M N ÈC ．U M N I ðD ．()U M N U ð9-2．（2024高一下·湖北黄冈·期中）设集合{|12}A x x =-££，{|04}B x x =££，则Venn 图阴影区域表示的集合是（ ）A ．{|02}x x ££B ．{|12}x x ££C ．{|04}x x ££D ．{|14}x x ££9-3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5M =，{1,3,5,7,9}N =，且M ，N 都是全集U 的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2,4}B ．{1,3,5}C ．{7,9}D ．{1,2,3,4,5,7,9}题型10：容斥原理10-1．（2024高一上·浙江台州·阶段练习）某高中学生运动会，某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有17人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1210-2．（2024高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用()card A 表示有限集合A 中元素的个数.例如，{},,A a b c =，则()card 3A =.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有,,A B C 三类，那么，()card A B C =U U ()()()()card card card card card card card A B C A B B C A C A B C ++---+I I I I I .某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510-3．（2024高三·云南昆明·阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％题型11：集合新定义问题11-1．（2024高一上·湖南·期中）已知集合{1,3,4,6,8,9}P =，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素m 都乘(1)m -再求和，例如{3,4,6}A =，则可求得和为346(1)3(1)4(1)67-´+-´+-´=，对P 所有非空子集，这些和的总和为（ ）A ．80B ．160C ．162D ．32011-2．（2024高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：()2,,2x A B x y A B y ìüÅ=ÎÎíýîþ.若集合{}14A B x x ==Î<<N ，()15,63C x y y x ìü==-+íýîþ，则()A B C ÅÇ=（ ）A ．ÆB ．(){}4,1C ．31,2ìüæöíýç÷èøîþD ．()24,1,6,3ìüæöíýç÷èøîþ11-3．（2024高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合A 和B ，我们把集合{},,xx a b a A b B =+ÎÎ∣记作A B *.若集合{}{}0,1,0,1A B ==-，则A B *中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411-4．（2024高二下·山西临汾·期末）对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”．已知集合{}7,3,1,1,2,3,4,5,6,7,13B =---，则B 的“小和数”为 ，B 的“大和数”为 ．一、单选题1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合{},5,4A a a =-，{}3,21B a =+，{}2,3,4,5A B È=，则a =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．42．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合{{}|,|31M x x N x x ==-££££，且M ，N 都是全集U 的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}|1x x ££B ．{}3|1x x -££C ．{|3x x -£<D ．{|1x x <£3．（2024高二下·湖南·期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =Î<£Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-4．（2024·全国·模拟预测）已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,3,4,5U A B ===，则()()U U A B Ç=ðð（ ）A ．U B ．{}1,2,4,5C ．{}3D ．Æ5．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知{}{}1,2,3,,5A a B a =+=，若A B A =U ，则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,4,6A =，{}1,2,3,6B =，则A I ()U B ð（ ）A ．{}3B ．{}6C ．{}4D ．{}2,3,4,67．（2024·浙江·模拟预测）已知实数集R ，集合{}06,{5}A xx B x x =££=>∣∣，则()B A Ç=R ð（ ）A ．{05}x x £<∣B ．{}05x x ££∣C ．{6}x x <∣D ．{}6xx £∣8．（2024高二下·天津河北·期末）设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =--，集合{}2,1,0,1B =--，则()UA B Ç=ð（ ）A ．{}2,1--B ．{}2,1,2--C ．{}0,1D ．{}2,1,0,1,2--9．（2024·山东烟台·二模）已知集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k Z ==Î，则A B =I （ ）．A ．{}2,2-B ．{}2,0,2-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--10．（2024高二下·浙江温州·学业考试）设集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}3,411．（2024高二下·北京海淀·期末）已知集合{}1,0,1A =-，{}11B x x =-£<，则A B =I （ ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-12．（2024·辽宁大连·三模）已知集合,M N ，满足M M N =È，则（ ）A ．M ⊆NB ．N M ÍC ．N M ÎD ．M NÎ13．（2024·天津）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4U A B ===，则U B A =U ð（ ）A ．{}1,3,5B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,514．（2024高二下·广西·期中）已知集合{1,0,1,2}A =-，{}12,B xx x *=-<<ÎN ∣，则A B U 中的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．615．（2024·四川成都·模拟预测）设集合{}N 12A x x =Î-££，{}2,1,0,1B =--，则A B =I （ ）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}116．（2024高一上·江西景德镇·期中）集合A ={x |0<x <8}，B =x |12<x ≤10，则A B =U （ ）A ．x |12<x ≤8B ．{x |0<x ≤10}C ．x |12≤x <8D ．x |12<x ≤1017．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）设全集{}22,3,2=+-U m m ，集合{}{}1,2,4U A m A =+=ð，则m =（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．4-18．（2024高三·全国·专题练习）如图，I 是全集，A ，B ，C 是I 的三个子集，则图中阴影部分表示（ ）A ．AB CÇÇB ．()I A C B ÇÇðC ．()I A B C ÇÇðD ．()I B C A ÇÇð19．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）设全集{}2,1,0,1,2U =--，{}210A x x =-=，()(){}120B x x x =--=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,0,2--C ．{}1D ．{}2,0-20．（2024·安徽芜湖·模拟预测）设全集U =R ，若集合{}230A x x =-<，{}0,2,3B =，则()U B A Ç=ð（）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,3D ．{}321．（2024·北京房山·二模）已知集合{}13A x x =-<<，集合{}2B x x =£，则（ ）A ．{}23AB x x Ç=-£< B ．{}23A B x x È=-£<C ．{}12A B x x Ç=-<<D ．{}3A B x x È=<22．（2024·四川成都·模拟预测）若集合{}20A x x =->，{}14B x x =-<<，则集合A B =U （ ）A ．()1,4-B ．{}2x x >C ．{}1,4-D ．()1,-+¥23．（2024·四川攀枝花·三模）设集合{}13,Z M x x x =-<£Î，{}1,0,1,2N =-，则M N =I （ ）A ．{}12x x -<£B ．{}1,0,1,2-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2,3-24．（2024·浙江·二模）若集合{}23M x x =>，{}1,2,3,4N =，则M N =I （ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{}*15,N x x x <<ÎD ．{}*14,N x x x ££Î25．（2024高一上·上海嘉定·阶段练习）若集合{1,1}A =-，{|1}B x mx ==，且A B A =U ，则m 的值为（ ）A ．1或0B ．1-或0C ．1或1-或0D ．1或1-或226．（2024·全国·三模）如图所示的Venn 图中，A 、B 是非空集合，定义集合A B ⊗为阴影部分表示的集合．若{}21,,4A x x n n n ==+ΣN ，{}2,3,4,5,6,7B =，则A B ⊗=（ ）A ．{}2,4,6,1B ．{}2,4,6,9C ．{}2,3,4,5,6,7D ．{}1,2,4,6,927．（2024高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名A ．7B ．8C ．9D ．1028．（2024高一上·四川绵阳·期末）如果全集*{|5}U x N x =Î<，{1,2}M =，则U M =ðA ．ÆB ．{1,2}C ．{3,4}D ．{0,3,4}29．（2024高三·全国·专题练习）已知集合|,Z 44k M x x k p p ìü==+Îíýîþ，集合,84k N x x k Z p p ìü==-Îíýîþ，则（ ）A ．M N Ç=ÆB ．M ⊆NC ．N M ÍD ．M N MÈ=30．（2024·河北沧州·模拟预测）若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =Î-<<=，则A B =U （ ）A ．(2,1)-B ．{1,0}-C ．(2,1]{2}-ÈD ．{1,0,1,2}-31．（2024·北京西城·二模）有三支股票,,,28A B C 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票.则只持有B 股票的股民人数是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4二、多选题32．（2024·北京西城）已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是（ ）A ．A ∩B ＝ÆB ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪R B ð＝{x |x ≤－1或x ＞2}D ．A ∩R B ð＝{x |2＜x ≤3}33．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）非空集合G 关于运算Å满足：（1）对任意a ，b G Î，都有a b G ÅÎ；（2）存在e G Î，使得对一切a G Î，都有a e e a a Å=Å=，则称G 关于运算Å为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G 关于运算Å为“融洽集”的是（ ）A ．{}G =有理数，Å为实数的乘法B ．{}G =非负整数，Å为整数的加法C ．{}G =偶数，Å为整数的乘法D ．{}G =二次三项式，Å为多项式的加法34．（2024高一下·四川南充·阶段练习）已知全集R U =，集合}{}{|27|121A x x B x m x m =-££=+££-，，则使U A B Íð成立的实数m 的取值范围可能是（ ）A ．}{|610m m ££B ．}{|22m m -<<C ．1|22m m ìü-<<-íýþîD ．}{|58m m <£35．（2024高一·全国·课后作业）（多选）满足{}{}1,31,3,5A È=的集合A 可能是A ．{}5B ．{}1,5C ．{}1,3D ．{}1,3,536．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）设全集U ＝{x |x 2－8x ＋15＝0，x ∈R}．U A ð＝{x |ax －1＝0}，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．13C ．15D ．237．（2024高三上·江苏连云港·阶段练习）设集合{|}{|}{|}626532M x x k k N x x k k P x x k k ==+Î==+Î==+ÎZ Z Z ，，，，，，则 （ ）A ．M N ǹÆB ．M N P È＝C ．M P ＝D ．P M N＝ð38．（2024高一上·全国·单元测试）已知全集U ={1,2,3,4,5,6}，集合P ={1,3,5}，Q ={1,2,4}，则下列结论正确的是（ ）A ．P Q Ç ={1}B ．P Q È ={1,2,3,4,5,6}C ．()U P Q U ð ={1,2,4,6}D ．()U P Q I ð={3,5}39．（广东省东莞市东莞高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）设{}28120A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =I ，则实数a 的值可以是（ ）A ．0B ．16C ．12D ．2三、填空题40．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合A ={x|−2≤x ≤4}，B ={x|x >a }．（1）若A B ¹ÆI ，实数a 的取值范围是 ．（2）若A B A ǹ，实数a 的取值范围是 ．（3）若A B B È=，实数a 的取值范围是 ．41．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知集合{}A x x a =<，{}14B x x =<<，若R A B Íð，则实数a 的取值范围为 ．42．（2024高一上·北京海淀·期中）已知2{|10,}A x x px x R =++=Î，若A R +=ÆI ，则实数p 的取值集合是 .43．（2024高一上·宁夏·阶段练习）已知集合{|25}A x x =-££，{|121}B x m x m =+££-，若A B A =U ，则实数m 的取值范围44．（2024·上海松江·模拟预测）已知集合{1,1,3A =-}，{}1,3,5B =，则A B =U ．45．（2024高二上·上海金山·期末）已知集合(){},20A x y x ay =-+=，(){},440B x y ax y =-+=，若A B =ÆI ，则实数a 的值为 ．四、解答题46．（2024高一上·陕西渭南·期中）已知集合{}|16P x x x =<->或，{}|11Q x m x m =-££+，全集为R .(1)求集合P R ð；(2)若()P Q P =R R U ðð，求实数m 的取值范围.47．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）在①A B B È=；②A B =ÆI 这二个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}{}11,13A x a x a B x x =-££+=-££.(1)当2a =时，求A B U ；(2)若__________，求实数a 的取值范围.48．（2024高三·全国·课后作业）已知全集为R ，集合{}023A x x a =<+£，122B x x ìü=-<<íýîþ，若A B A Ç=，求实数a 的取值范围.49．（2024高一上·重庆·期末）已知a ÎR ，集合{}0A x x a =-³，{}13B x x =-££.(1)当2a =时，求A B Ç，A B U ；(2)若()R A B Íð，求a 的取值范围.50．（2024高一上·山东临沂·期末）已知集合1N 22A x x ìü=Î<£íýîþ，{}R 220B x ax =Î-³(1)当1a =时，求A B Ç；(2)若______求实数a 的取值范围.①A B B È=，②A B A Ç=③R A B Ç=Æð从这三个条件选一个填入横线处，并求a 的取值范围.51．（2024高一下·江西南昌·期中）已知全集为R ，集合{}26A x x =££，{}3782B x x x =-³-．(1)求A B Ç；(2)若{}44C x a x a =-££+，且()A B I C ，求a 的取值范围．52．（2024高一上·北京昌平·期末）已知全集U =R ，{2A x x a =£-或}x a ³，B ={x |0<x <5}.(1)当1a =时，求A B Ç，A B U ，()U A B I ð；(2)若A B B =I ，求实数a 的取值范围.53．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）设集合{}{}(){}2221,1,33,210,10A a a a B x x x C x x a x a =--+-=-+==-++=.(1)讨论集合B 与C 的关系；(2)若0a <，且A C C Ç=，求实数a 的值.54．（2024高一上·浙江·期中）已知集合143A x x ìü=Î<<íýîþN ，{}10B x ax =-³．请从①A B B È=，②A B A Ç=，③()R A B Ç=Æð这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)当12a =时，求A B Ç；(2)若______，求实数a 的取值范围．55．（2024高一上·河南·阶段练习）已知集合3 2{|}2A x m x m =-££+，集合2430{|}B x x x =-+³.(1)当1m =时，求()R A B A C B I U ，；56．（2024高一上·上海杨浦·期中）已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R Î.（1）若A B A Ç=，求,m n 的值；（2）若A B A =U ，求,m n 的取值范围.57．（2024高一·全国·课后作业）设集合{}12A x x =-££，{}21B x m x =<<，{1C x x =<-或x >2}．(1)若A B B =I ，求实数m 的取值范围；(2)若B C Ç中只有一个整数，求实数m 的取值范围．58．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）已知集合{}332A x a x a =-££+，{}2280B x x x =--£．(1)当0a =时，求A B U ，()R A B I ð；(2)若A B B =I ，求实数a 的取值范围．59．（2024高一下·四川乐山·阶段练习）设全集R U =，集合A ={x |1≤x <4}，B ={x |2a ≤x <3−a }.(1)若2a =-，求B ∩A ，()U B A Çð(2)若A B A =U ，求实数a 的取值范围.60．（2024高一上·重庆沙坪坝·期中）已知{}2650A x x x =-+=，{}10B x ax =-=.(1)若1a =，求()Z A B Çð；(2)从①()A B =R R U ð；②A B B =I ；③()B A Ç=ÆR ð这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.问题：若 ，求实数a 的所有取值构成的集合C .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.61．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合{}220M x x x a =++=．(1)若Æ M ，求实数a 的取值范围；(2)若{}20N x x x =+=且M N ǹÆ，求实数a 的值．62．（2024高一上·陕西西安·期中）设集合{}{}220,4,2(1)10,R A B x x a x a x =-=+++-=Î.(1)若12a =-，求A B U ；63．（2024高一上·贵州毕节·阶段练习）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=.(1)若1a =，求A B Ç；(2)若A B A =U ，求a 的取值集合.64．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合{|(2)(1)0}A x x x =+-<，{|11}B x m x m =--<<-+．(1)若R ()A B =ÆI ð，求实数m 的取值范围；(2)若集合A B Ç中仅有一个整数元素，求A B U ．。
高一数学同步练习答案归纳总结
高一数学同步练习答案归纳总结高一数学上册练习册答案1.1集合111集合的含义与表示1.D.2.A.3.C.4.{1,-1}.5.{x|x=3n+1,n∈N}.6.{2,0,-2}.7.A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.8.1.9.1,2,3,6.10.列举法表示为{(-1,1),(2,4)},描述法的表示方法不,如可表示为(x,y)|y=x+2,y=x2.11.-1,12,2.112集合间的基本关系1.D.2.A.3.D.4.,{-1},{1},{-1,1}.5.6.①③⑤.7.A=B.8.15,13.9.a≥4.10.A={,{1},{2},{1,2}},B∈A.11.a=b=1.113集合的基本运算(一)1.C.2.A.3.C.4.4.5.{x|-2≤x≤1}.6.4.7.{-3}.8.A∪B={x|x3,或x≥5}.9.A∪B={-8,-7,-4,4,9}.10.1.11.{a|a=3,或-22113集合的基本运算(二)1.A.2.C.3.B.4.{x|x≥2,或x≤1}.5.2或8.6.x|x=n+12,n∈Z.7.{-2}.8.{x|x6,或x≤2}.9.A={2,3,5,7},B={2,4,6,8}.10.A,B的可能情形有:A={1,2,3},B={3,4};A={1,2,4},B={3,4};A={1,2,3,4},B={3,4}.11.a=4,b=2.提示:∵A∩綂UB={2}，∴2∈A，∴4+2a-12=0a=4，∴A={x|x2+4__12=0}={2,-6},∵A∩綂UB={2}，∴-6綂UB，∴-6∈B，将x=-6代入B,得b2-6b+8=0b=2,或b=4.①当b=2时,B={x|x2+2__24=0}={-6,4},∴-6綂UB，而2∈綂UB，满足条件A∩綂UB={2}.②当b=4时,B={x|x2+4__12=0}={-6,2},∴2綂UB，与条件A∩綂UB={2}矛盾.1.2函数及其表示121函数的概念(一)1.C.2.C.3.D.4.22.5.-2,32∪32,+∞.6.[1,+∞).7.(1)12,34.(2){x|x≠-1，且x≠-3}.8.-34.9.1.10.(1)略.(2)72.11.-12,234.121函数的概念(二)1.C.2.A.3.D.4.{x∈R|x≠0,且x≠-1}.5.[0，+∞).6.0.7.-15,-13,-12,13.8.(1)y|y≠25.(2)[-2,+∞).9.(0,1].10.A∩B=-2,12;A∪B=[-2,+∞).11.[-1,0).122函数的表示法(一)1.A.2.B.3.A.4.y=x100.5.y=x2-2x+2.6.1x.7.略.8.x1234y__9.略.10.1.11.c=-3.122函数的表示法(二)1.C.2.D.3.B.4.1.5.3.6.6.7.略.8.f(x)=2x(-1≤x0),-2x+2(0≤x≤1).9.f(x)=x2__+1.提示:设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=1,得c=1，又f(x+1)-f(x)=2x，即a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x，展开得2ax+(a+b)=2x,所以2a=2,a+b=0,解得a=1，b=-1.10.y=1.2(02.4(203.6(404.8(601.3函数的基本性质131单调性与(小)值(一)1.C.2.D.3.C.4.[-2,0),[0,1),[1,2].5.-∞,32.6.k12.7.略.8.单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为[1,+∞).9.略.10.a≥-1.11.设-10，∴(x1x2+1)(x2__1)(x21-1)(x22-1)0，∴函数y=f(x)在(-1，1)上为减函数.131单调性与(小)值(二)1.D.2.B.3.B.4.-5,5.5.25.6.y=316(a+3x)(a__)(011.日均利润，则总利润就.设定价为x元，日均利润为y元.要获利每桶定价必须在12元以上，即x12.且日均销售量应为440-(__13)·400，即x23,总利润y=(__12)[440-(__13)·40]-600(12132奇偶性1.D.2.D.3.C.4.0.5.0.6.答案不,如y=x2.7.(1)奇函数.(2)偶函数.(3)既不是奇函数，又不是偶函数.(4)既是奇函数，又是偶函数.8.f(x)=x(1+3x)(x≥0),x(1-3x)(x0).9.略.10.当a=0时，f(x)是偶函数;当a≠0时，既不是奇函数，又不是偶函数.11.a=1，b=1，c=0.提示:由f(__)=-f(x)，得c=0，∴f(x)=ax2+1bx,∴f(1)=a+1b=2a=2b-1.∴f(x)=(2b-1)x2+1bx.∵f(2)3，∴4(2b-1)+12b32b-32b00单元练习1.C.2.D.3.D.4.D.5.D.6.B.7.B.8.C.9.A.10.D.11.{0,1,2}.12.-32.13.a=-1,b=3.14.[1,3)∪(3,5].15.f1217.T(h)=19-6h(0≤h≤11),-47(h11).18.{x|0≤x≤1}.19.f(x)=x只有的实数解，即xax+b=x(_)只有实数解，当ax2+(b-1)x=0有相等的实数根x0，且ax0+b≠0时，解得f(x)=2_+2，当ax2+(b-1)x=0有不相等的实数根，且其中之一为方程(_)的增根时，解得f(x)=1.20.(1)x∈R,又f(__)=(__)2-2|__|-3=x2-2|x|-3=f(x)，所以该函数是偶函数.(2)略.(3)单调递增区间是[-1,0],[1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1],[0,1].21.(1)f(4)=4×13=5.2,f(5.5)=5×1.3+0.5×3.9=8.45,f(6.5)=5×1.3+1×3.9+0.5×65=13.65.(2)f(x)=1.3x(0≤x≤5),3.9__13(56.5__28.6(622.(1)值域为[22,+∞).(2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数，则任取x1,x2∈(0,1]且x1f(x2)成立，即(x1__2)2+ax1x20，只要a-2x1x2即可，由于x1,x2∈(0,1]，故-2x1x2∈(-2,0)，a-2，即a的取值范围是(-∞,-2).高一数学练习册及答案一、选择题1.下列各组对象能构成集合的有()①美丽的小鸟;②不超过10的非负整数;③立方接近零的正数;④高一年级视力比较好的同学A.1个B.2个C.3个D.4个①③中“美丽”“接近零”的范畴太广，标准不明确，因此不能构成集合;②中不超过10的非负整数有：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十一个数，是确定的，故能够构成集合;④中“比较好”，没有明确的界限，不满足元素的确定性，故不能构成集合.A2.小于2的自然数集用列举法可以表示为()A.{0,1,2}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}小于2的自然数为0,1，应选C.C3.下列各组集合，表示相等集合的是()①M={(3,2)}，N={(2,3)};②M={3,2}，N={2,3};③M={(1,2)}，N={1,2}.A.①B.②C.③D.以上都不对①中M中表示点(3,2)，N中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M表示一个元素：点(1,2)，N中表示两个元素分别为1,2.B4.集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，则6-a∈A，那么a为()A.2B.2或4C.4D.0若a=2，则6-a=6-2=4∈A，符合要求;若a=4，则6-a=6-4=2∈A，符合要求;若a=6，则6-a=6-6=0∉A，不符合要求.∴a=2或a=4.B5.(2013-曲靖高一检测)已知集合M中含有3个元素;0，x2，__，则x 满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1由x2≠0，x2≠__，__≠0，解得x≠0且x≠-1.C二、填空题6.用符号“∈”或“∉”填空(1)22________R,22________{x|x(2)3________{x|x=n2+1，n∈N+};(3)(1,1)________{y|y=x2};(1,1)________{(x，y)|y=x2}.(1)22∈R，而22=87，∴22∉{x|x7}.(2)∵n2+1=3，∴n=±2∉N+，∴3∉{x|x=n2+1，n∈N+}.(3)(1,1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y=x2}表示二次函数函数值构成的集合，故(1,1)∉{y|y=x2}.集合{(x，y)|y=x2}表示抛物线y=x2上的点构成的集合(点集)，且满足y=x2，∴(1,1)∈{(x，y)|y=x2}.(1)∈∉(2)∉(3)∉∈7.已知集合C={x|63__∈Z，x∈N_}，用列举法表示C=________.由题意知3__=±1，±2，±3，±6，∴x=0，-3,1,2,4,5,6,9.又∵x∈N_，∴C={1,2,4,5,6,9}.{1,2,4,5,6,9}8.已知集合A={-2,4，x2__}，若6∈A，则x=________.由于6∈A，所以x2__=6，即x2__6=0，解得x=-2或x=3.-2或3三、解答题9.选择适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)方程(3__5)(x+2)=0的实数解组成的集合;(3)一次函数y=x+6图像上所有点组成的集合.(1)绝对值不大于3的整数是-3，-2，-1,0,1,2,3，共有7个元素，用列举法表示为{-3，-2，-1,0,1,2,3};(2)方程(3__5)(x+2)=0的实数解仅有两个，分别是53，-2，用列举法表示为{53，-2};(3)一次函数y=x+6图像上有无数个点，用描述法表示为{(x，y)|y=x+6}.10.已知集合A中含有a-2,2a2+5a,3三个元素，且-3∈A，求a的值.由-3∈A，得a-2=-3或2a2+5a=-3.(1)若a-2=-3，则a=-1，当a=-1时，2a2+5a=-3，∴a=-1不符合题意.(2)若2a2+5a=-3，则a=-1或-32.当a=-32时，a-2=-72，符合题意;当a=-1时，由(1)知，不符合题意.综上可知，实数a的值为-32.11.已知数集A满足条件：若a∈A，则11-a∈A(a≠1)，如果a=2，试求出A中的所有元素.∵2∈A，由题意可知，11-2=-1∈A;由-1∈A可知，11--1=12∈A;由12∈A可知，11-12=2∈A.故集合A中共有3个元素，它们分别是-1，12，2.高一数学练习题答案C B AD C D C D C B26 {(1,2)} R {4,3,2,-1｝1或-1或016、x=-1 y=-117、解：A={0，-4} 又(1)若B= ，则，(2)若B={0}，把x=0代入方程得a= 当a=1时，B=(3)若B={-4}时，把x=-4代入得a=1或a=7.当a=1时，B={0，-4}≠{-4}，∴a≠1.当a=7时，B={-4，-12}≠{-4}，∴a≠7.(4)若B={0，-4}，则a=1 ，当a=1时，B={0，-4}，∴a=1综上所述：a18、.解：由已知，得B={2，3｝，C={2，-4｝.(1)∵A∩B=A∪B，∴A=B于是2，3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根，由韦达定理知：解之得a=5.(2)由A∩B ∩ ，又A∩C= ，得3∈A，2 A，-4 A，由3∈A，得32-3a+a2-19=0，解得a=5或a=-2?当a=5时，A={x|x2-5x+6=0｝={2，3｝，与2 A矛盾;当a=-2时，A={x|x2+2__15=0｝={3，-5｝，符合题意.∴a=-2.19、解:A={x|x2-3x+2=0}={1,2},由x2-ax+3a-5=0，知Δ=a2-4(3a-5)=a2-12a+20=(a-2)(a-10).(1)当2(2)当a≤2或a≥10时，Δ≥0，则B≠ .若x=1，则1-a+3a-5=0,得a=2,此时B={x|x2-2x+1=0}={1} A;若x=2，则4-2a+3a-5=0，得a=1,此时B={2,-1} A.综上所述，当2≤a10时，均有A∩B=B.20、解：由已知A={x|x2+3x+2 }得得.(1)∵A非空，∴B= ;(2)∵A={x|x }∴ 另一方面，，于是上面(2)不成立，否则，与题设矛盾.由上面分析知，B= .由已知B= 结合B= ,得对一切x 恒成立，于是，有的取值范围是21、∵A={x|(__1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1}，B={x|1∵ ，(A∪B)∪C=R，∴全集U=R。
高一数学集合知识点归纳总结大全
高一数学集合知识点归纳总结大全集合是数学中的一个基本概念，也是高中数学中的一门重要内容。
在高一数学学习中，集合知识点的理解和掌握对于后续数学学习的成功至关重要。
本文将从集合的基本概念、常用运算、集合间的关系以及应用领域等方面，对高一数学集合知识点进行归纳总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、互不相同的对象所组成的整体。
常用大写字母A、B、C等表示集合，小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
集合的元素可以是数字、字母、符号等。
集合中的元素用花括号{}括起来，用逗号分隔。
例子1：集合A={1, 2, 3, 4}例子2：集合B={a, b, c, d}二、集合的表示方法1. 列举法：直接将集合中的元素列出来并用花括号{}括起来。
例如：A={1, 2, 3, 4}，B={a, b, c, d}2. 描述法：根据给定条件描述集合中的元素。
例如：A={x | x是整数，1≤x≤4}，B={y | y是英文字母，a≤y≤d}三、集合的分类1. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
2. 单元素集合：只包含一个元素的集合。
3. 有限集：元素个数有限的集合。
4. 无限集：元素个数无限的集合。
5. 并集：将两个集合的所有元素合并在一起形成的集合，用符号∪表示。
6. 交集：两个集合中共同具有的元素形成的集合，用符号∩表示。
7. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么称前一个集合是后一个集合的子集，用符号⊆表示。
四、集合的运算1. 并集运算：将两个集合的所有元素合并在一起形成的集合。
例如：A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}2. 交集运算：两个集合中共同具有的元素形成的集合。
例如：A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，则A∩B={3, 4}3. 差集运算：从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素，所得到的元素组成的集合。
集合第一课时教案数学必修第一章集合与函数概念11人教A版
第一章集合与函数的概念1.1 集合第一课时 1.1.1 集合的含义与表示1 教学目标[1]通过实例，使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法[2]使学生体会元素与集合的“属于”关系[3]能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2 教学重点/难点教学重点：集合的基本概念与表示方法理解元素与集合之间的从属关系教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合掌握集合中元素的特性的应用3 专家建议这是高中数学的第一节课。
虽说在小学、初中都已渗透了这方面的内容，但集合这个概念还是很抽象。
在本节中，新的符号会比较多，对学生而言是一个难点，应让学生知道在某种意义上数学是一门研究符号的科学，在第一堂课就对数学符号有一个正确的认识。
要适当穿插学习数学的方法，让学生知道数学要自己摸索自己的学习方法。
在教学中尽可能创设一些情境，让学生自然、快乐、自觉地学习数学。
本节课要记的东西多，可让学生自己阅读，然后在老师的引导下思考问题，进一步解决问题。
在本节课的学习过程中，教师一方面让学生体会到知识网络化的必要性，另一方面希望学生养成知识梳理的习惯．在本节课中不断提出问题，采取问题驱动，引导学生积极思考，让学生全面参与，整个教学过程尊重学生的思维方式，引导学生发现问题、解决问题．通过自主分析、交流合作，从而进行有机建构，解决问题，改变学生模仿式的学习方式．在教学过程中，渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想．在教学过程中通过恰当的应用信息技术，从而突破难点4 教学方法启发式讲授法5 教学过程5.1 复习引入【师】我们初中学过的实数自然数都还记得吗？它们之间有什么关系呢？【板演/PPT】5.2 实例引入【师】我们来看下下面这些实例【板演/PPT】⑴ 1~20以内的所有整数;⑵我国从1991~2015的25年内所发射的所有人造卫星;⑶某汽车厂2015年生产的所有汽车;⑷所有的正方形;⑸某中学2015年9月入学的高一学生全体.5.3 新知介绍[1]元素与集合的相关概念【师】我们试着总结下这些事例它们有什么共同点？【生】思考交流【师】我们生活中的很多东西都能构成集合，你能举出一些例子吗？通过以上分析，能给出集合的含义吗【板书\PPT】一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）(简称为集)集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母a，b，c，d…表示[2]元素与集合的关系【师】如果用A表示我们学校全体高一学生组成的集合，用a表示高一学生中的一位同学,b 是高二年级的一位同学，那么a、b与集合A分别有什么关系?由此可见元素与集合之间有什么关系？我们怎样才能简单明了地表示它们的关系呢？【生】讨论交流【板书\PPT】如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作a∈A如果b不是集合A的元素，就说b属于集合A，记作b?A[3]集合的表示方法【师】我们用什么方法来表示我们的集合呢【生】讨论与理解【师】归纳总结【板书/PPT】列举法：把集合中的元素一个一个地写在一对大括号内表示集合的方法描述法：把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，已确定集合的方法【师】同学们请看题【板书\PPT】用适当的方法表示下列集合（1）方程 -4=0的解组成的集合{-2,2}或{x| -4=0}（2）大于3小于9的实数组成的集合{x|3<x<9,x∈R}（3）所有奇数组成的集合{y|y=2n-1，n∈Z}[4]集合元素的性质【师】我们观察一下实例中的数据它们能不能构成组合它们都有什么特征呢？【生】理解与交流【师】总结【板书/PPT】（1）确定性：集合中的元素必须是确定的,任何一个元素都能明确它是或不是某个集合的元素（2）互异性：集合中的元素必须是互不相同的（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的。
高一数学必修1--集合教案
第一章集合与函数概念§1．1集合（第一课时）教学过程：读一读课本第2页问：下面8个问题的研究对象是什么？对象的全体又称为什么?1、1--20以内的所有素数(质数)2、我国从1991--2003年的13年内所发射的所有人造卫星3、金星汽车厂2003年生产的所有汽车4、2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家5、所有正方形6、到直线l的距离等于定长d的所有点7、方程x2+3x-2=0的所有实数根8、兴华中学2004年9月入学的所有高一学生总结：⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…，或数字、式子等表示。
例如A={1,3,a,c,a+b}3.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；（0、1 、2······）正整数集，记作N*或N+；N内排除0的数集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；做一做1、A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合是则有3 A，4 A， 7 A，9 A，13 A，15 A 填（∈或∉）2、 A={2，4，8，16}，则4 A，8 A，32 A. 填（∈或∉）3．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N；⑵0 N；⑶-3 Z；；（5）-14 R(6)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A （7）若A={x|x2=x}则-1 A 。
（8）若B={x2+x-6=0}，则3 B6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
集合数学知识点高一数集
集合数学知识点高一数集高一数集数学中的数集是指具有某种特定性质或满足一定条件的数的集合。
高一阶段的数集知识是数学学习的重要基础，下面将介绍几个常见的数集及其相关概念。
一、自然数集自然数集是指包含所有正整数的集合，用符号N表示。
N={1, 2, 3, 4, ...}。
自然数集是最基本的数集，是人们最早接触到的数集。
二、整数集整数集是指包含所有整数（包括正整数、负整数和0）的集合，用符号Z表示。
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。
整数集可以看作是自然数集与负整数集的并集。
三、有理数集有理数集是指可以表示为两个整数之比的数的集合，用符号Q表示。
Q={a/b: a, b∈Z, b≠0}。
有理数集包括整数、分数和小数（循环小数和有限小数）。
有理数集在实际生活中有着广泛的运用，例如表示长度、温度等。
四、无理数集无理数集是指不能表示为两个整数之比的数的集合，用符号I 表示。
无理数集包括无限不循环小数，如π和e等。
无理数是无线不重复的小数，它们在实数轴上无法准确表示。
五、实数集实数集是指包含有理数和无理数的集合，用符号R表示。
R=Q∪I。
实数集是数轴上的所有点对应的数的集合，包括有理数和无理数。
六、正数集和负数集正数集是指所有大于零的数的集合，用符号P表示。
负数集是指所有小于零的数的集合，用符号N表示。
P={x∈R: x>0}，N={x∈R: x<0}。
七、实数集的运算实数集支持加法、减法、乘法和除法四则运算。
两个正数相加仍然是正数，两个正数相乘也是正数；两个负数相加仍然是负数，两个负数相乘也是正数；正数与负数相加或相乘的结果取决于它们的大小关系。
除法时需要避免除以零的情况。
总结：数学中的数集包括自然数集、整数集、有理数集、无理数集、实数集、正数集和负数集等。
这些数集的概念和性质是高中数学学习的重要内容，对于后续的数学知识的学习具有重要的基础作用。
熟练掌握数集的相关知识，对于解决实际问题和进行数学推理有着重要的帮助。
成都七中高一年级竞赛数学数论专题讲义：11.模为素数的二次剩余
成都七中高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余设素数2,p d >是整数,.p d Œ如果同余方程2(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.注意到|.p d 则同余方程20(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡若2,p =且.p d Œ则同余方程2(mod 2)x d ≡为21(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,12p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2(mod )x d p ≡的解数为2.2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >Œ那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是121(mod );p d p -≡d 是模p的二次非剩余的充要条件是121(mod ).p d p -≡-3. 若素数2,p >证明：1-是模p 的二次剩余的充要条件是1(mod 4).p ≡当1(mod 4)p ≡时,21!1(mod ).2p p ⎛-⎫⎛⎫±≡- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.设p 是奇素数,证明：1,2,,1p -L 中全体模p 的二次剩余之和12221(1).24p j p p j S p p -=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑由此可以证明当1(mod 4)p ≡时,12221(1)(1).244p j j p p p p p p -=⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑高一竞赛数论专题 11.模为素数的二次剩余解答设素数2,p d >是整数,.p d Œ如果同余方程2(mod )x d p ≡有解,则称d 是模p 的二次剩余,若无解,则称d 是模p 的二次非剩余.注意到|.p d 则同余方程20(mod )x d p ≡≡,则其有且只有一解0(mod ).x m ≡若2,p =且.p d Œ则同余方程2(mod 2)x d ≡为21(mod 2)x ≡有且只有一解1(mod 2).x ≡1.设素数2p >,证明在模p 的一个既约剩余系中,恰有12p -个模p 的二次剩余,12p -个模p 的二次非剩余.此外,若d 是模p 的二次剩余,则同余方程2(mod )x d p ≡的解数为2.证明：取模p 的绝对最小既约剩余系1111,1,,1,1,,1,.2222p p p p ------+--L L d 是模p 的二次剩余当且仅当2222221111(),(1),,(1),1,,(1),().2222p p p p d ----≡--+--L L 由于22()(mod ),j j p -≡所以d 是模p 的二次剩余当且仅当222111,,(1),().22p p d --≡-L 当112p i j -≤<≤时,121,10,2p i j p i j -<+<--<-<22()()0(mod ).i j i j i j p -=+-≡/ 所以222111,,(1),()22p p d --≡-L 给出了模p 的全部二次剩余,共有12p -个. 由于模p 的既约剩余系(简系)有1p -个数,所以另外的12p -个必为模p 的二次非剩余. 当d 是模p 的二次剩余时,必存在唯一的1,1,2p i i -≤≤使得(mod )x i p =是同余方程2(mod )x d p ≡的解,于是在模p 的绝对最小既约剩余系1111,1,,1,1,,1,.2222p p p p ------+--L L 中有且仅有(mod )x i p =±是同余方程2(mod )x d p ≡的解,所以解数为2.2.(Euler 判别法)设素数2,,p p d >Œ那么,d 是模p 的二次剩余的充要条件是121(mod );p d p -≡d 是模p的二次非剩余的充要条件是121(mod ).p dp -≡-证明：首先来证明对任一,,d p d Œ11221(mod ),1(mod )p p d p dp --≡≡-有且仅有一个成立.由Euler 定理知道11(mod ).p dp -≡因此1122(1)(1)0(mod ).p p d dp --+-≡由于素数2p >即1122(1)(1) 2.p p dd--+--≡所以对任一,,d p d Œ11221(mod ),1(mod )p p dp d p --≡≡-有且仅有一个成立.下面来证明d 是模p 的二次剩余的充要条件是121(mod ).p d p -≡先证必要性()⇒若d 是模p 的二次剩余,则必有0x 使得20(mod ),x d p ≡ 因此有111222()(mod ).p p p xx dp ---=≡由于,p d Œ所以0.p x Œ由Euler 定理知道101(mod )p x p -≡,所以121(mod ).p dp -≡再证充分性,若121(mod ).p dp -≡则.p d Œ考虑一次同余方程(mod ).ax d p ≡对模p 的绝对最小既约剩余系1111,1,,1,1,,1,.2222p p p p ------+--L L中的每个j ,当a j =时,必有唯一的j x x =属于模p 的绝对最小既约剩余系,使得(mod ).ax d p ≡ 若d 不是模p 的二次剩余,则必有.j j x ≠这样模p 的绝对最小既约剩余系中的1p -个数就可按,j j x 作为一对,两两配完.因此有121111(1)!()(1)(1)1(1)(mod ).2222p p p p p p d p ------≡--+--≡L L 由Wilson 定理知(1)!1(mod )p p -≡-,所以121(mod )p dp -≡-这与121(mod )p dp -≡矛盾.d 是模p 的二次剩余的充要条件是121(mod ),p dp -≡与对任一,,d p d Œ11221(mod ),1(mod )p p d p dp --≡≡-有且仅有一个成立.可以推得d 是模p 的二次非剩余的充要条件是121(mod ).p dp -≡-3. 若素数2,p >证明：1-是模p 的二次剩余的充要条件是1(mod 4).p ≡当1(mod 4)p ≡时,21!1(mod ).2p p ⎛-⎫⎛⎫±≡- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明：由Euler 判别法知道1-是模p 的二次剩余的充要条件是12(1)1(mod ).p p --≡又2p >,所以12(1)1.p --=即1(mod 4).p ≡由Wilson 定理,(1)! 1.p -≡-212111111(1)!()(1)(1)1(1)(1)!(mod )22222p p p p p p p p -----⎛-⎫⎛⎫-≡-≡--+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L当1(mod 4)p ≡时,21!1(mod ).2p p ⎛-⎫⎛⎫±≡- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.设p 是奇素数,证明：1,2,,1p -L 中全体模p 的二次剩余之和12221(1).24p j p p j S p p -=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑由此可以证明当1(mod 4)p ≡时,12221(1)(1).244p j j p p p p p p -=⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑证明：因为d 是模p 的二次剩余当且仅当222111,,(1),()(mod ).22p p d p --≡-L 设2(1)j j j j pq r r p =+≤<,11.2p j -≤≤则2.j j q p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦于是1111122222222221111111(1)(11)(1)22.624p p p p p jj j j j j p p p j j p p j S r j p p p p p p -----=====--+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤-==-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑若1(mod 4)p ≡,则12221(1).24p j j p p p S p -=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑因为1(mod 4)p ≡,由Euler 判别法知道j r 与j p r -同为二次剩余或非二次剩余. 又在模p 的一个既约剩余系中,恰好有12p -个模p 的二次剩余,所以1(1).224p p p p S --=⋅=于是12221(1)(1).244p j j p p p p p p -=⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑。
高一数学必修一《11集合的概念》ppt课件
01集合的基本概念Chapter集合的定义与表示方法定义表示方法确定性互异性无序性030201集合中元素的性质集合的分类根据元素性质分类01根据元素个数分类02根据集合间的关系分类0302集合间的基本关系Chapter真子集定义如果集合A 是集合B 的子集，且A 不等于B ，那么集合A 称为集合B 的真子集。
子集定义对于两个集合A 和B ，如果集合A的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集。
符号表示A ⊆B 表示A 是B 的子集，A ⊊B 表示A 是B 的真子集。
子集与真子集相等集合与空集相等集合定义如果集合A和集合B的元素完全相同，那么称集合A与集合B相等。
空集定义不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
符号表示A=B表示A和B是相等集合，∅表示空集。
集合的包含关系包含关系定义对于两个集合A和B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，那么称集合A被集合B包含，或称集合B包含集合A。
符号表示A⊆B或B⊇A表示A被B包含或B包含A。
03集合的运算Chapter01020304交集的定义交集的符号表示交集的运算性质交集的应用举例并集的定义并集的符号表示并集的运算性质并集的应用举例补集的定义补集的符号表示对于一个集合A，由全集U中所有不∁UA。
属于A的元素组成的集合称为A的补集。
补集的运算性质补集的应用举例满足德摩根定律、对偶律等。
求解不属于某个集合的元素。
04集合的应用举例Chapter表示点的位置表示数的范围在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|x∈R,y∈R}表示平面内所有点的集合。
表示图形的构成求解不等式求解方程逻辑推理集合在现实生活中的应用数据分类在统计学和数据分析中，经常需要将数据按照某些特征进行分类，形成不同的数据集合。
决策分析在决策论中，将各种可能的结果表示为集合，便于分析和比较不同决策方案的优劣。
编程中的数据结构在计算机科学中，集合是一种基本的数据结构，用于存储和操作一组数据元素。
高一数学知识点总结（集合15篇）
高一数学知识点总结高一数学知识点总结(集合15篇)总结就是对一个时期的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的回顾和分析的书面材料，它可以促使我们思考，让我们来为自己写一份总结吧。
你所见过的总结应该是什么样的？下面是小编为大家收集的高一数学知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
高一数学知识点总结11.多面体的结构特征(1)棱柱有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。
正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形。
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形。
2.旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到。
(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到。
3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法。
4.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半。
高一数学集合知识点及练习题
第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆ B{x A A = A ∅= B A ⊇ B B ⊇()A C B UA A U U U ==∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法（2）一元二次不等式的解法0)例题讲解1.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是 ( )答案 B解析 由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.2.设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U AB =ð( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x > 答案 B解析 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B =ð{|01}x x <≤3.（北京文）设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，则A B = （ ） A ．{12}x x -≤< B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x < D ．{|12}x x ≤<答案 A解析 本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运 算的考查∵1{|2},2A x x =-<<{}2{1}|11B x x x x =≤=-≤≤， ∴{12}AB x x =-≤<，故选A.4.(山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为 ( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题. 5.（全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M N )=( ) A.{5，7} B.{2，4} C. {2.4.8} D. {1，3，5，6，7} 答案 C6.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 答案 B解析 由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 7．设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-答案 C8．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝答案 D解析 {}{}2log 12N x x x x =>=>,用数轴表示可得答案D 。
高一数学集合到区间知识点总结
高一数学集合到区间知识点总结集合是数学中重要的基础概念之一，而区间则是集合的一个特殊类型。
在高一数学学习中，我们需要掌握集合和区间的相关知识点。
本文将对高一数学集合到区间知识点进行总结。
一、集合的概念及常见符号集合是由一些确定的对象所组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
常见的表示集合的方法有：1. 列举法：直接列出集合中的元素，用花括号{}表示，例如：A = {1, 2, 3}。
2. 描述法：利用一个性质描述集合中的元素，用大括号{}表示，例如：B = {x | x 是偶数}。
在集合的表示中，常见的符号有：1. ∈：表示属于，例如：a ∈ A，表示元素a属于集合A。
2. ∉：表示不属于，例如：b ∉A，表示元素b不属于集合A。
3. ⊆：表示包含关系，例如：A ⊆ B，表示集合A是集合B的子集。
4. ⊂：表示真包含关系，例如：A ⊂ B，表示集合A是集合B的真子集。
二、集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集和补集，在解决实际问题时，灵活运用集合运算可以简化问题的处理过程。
1. 交集：两个集合中共有的元素构成的集合，用符号∩表示，例如：A ∩ B。
2. 并集：两个集合中所有的元素构成的集合，用符号∪表示，例如：A ∪ B。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合中的公共元素所得的集合，用符号－表示，例如：A - B。
4. 补集：相对于某个给定的全集，在全集中不属于该集合的元素构成的集合，用符号'表示，例如：A'。
三、区间的定义及分类在数轴上，区间是表示一段连续的实数集合。
根据区间的开闭性，可以分为以下几种类型：1. 闭区间：包含端点的区间，用方括号[]表示，例如：[a, b]。
2. 开区间：不包含端点的区间，用圆括号()表示，例如：(a, b)。
3. 半开半闭区间：包含一个端点但不包含另一个端点的区间，例如：[a, b)。
4. 半闭半开区间：不包含一个端点但包含另一个端点的区间，例如：(a, b]。
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